(Soluc: 1) 1/x 2) x 6 /36 3)
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- Juan José Saavedra Cano
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1 INTEGRALES INDEFINIDAS º BACH.. Calcular las siguints intgrals potncials (y comprobar la sombrada: d d d 6 d t t dt d 7 t dt d 9 d 0 d t d d d + d ( t dt d (Soluc: / 6 /6 0 t 7 /7 t 6 / t / Calcular las siguints intgrals d funcions compustas (y comprobar las sombradas: ( + d (7 + d ( + d ( + d t (t + dt ( + d 7 ( + d 7 ( + d 9 d 0 ( + + ( + + dt d 6 + d d ( + ( + + d t + t d 7 ( + d (6 + (8 + d d 0 + cos sn d cos sn d sn cos d (* ln d 7 arctg d + d ln d 9 ln arctg d + arcsn d d cos d sn d d arcsn (Soluc: (+ / (7+ / ( + / ( + / (t + / ( + / ( + 8 ( + ( t + ( + ( + ( ( ++ 7 / 9( (8 +- / sn / o -cos / sn / cos / cosc ln / 7 /ln ln / 9 arctg arc sn NOTA: En todas las solucions s omit, por razons d spacio, la ct. d intgración C. arc tg 0 arc sn Tto bajo licncia Crativ Commons: s prmit su utilización didáctica así como su rproducción imprsa o digital simpr y cuando s rspt la mnción d su autoría, y sa sin ánimo d lucro. En otros casos s rquir l prmiso dl autor
2 . Calcular las siguints intgrals d tipo logarítmico (y comprobar la sombrada: d d d d + a + b + d d d 9 d 0 sn cos d + sn + cos d ln d (+ arctg d arcsn sc d + tg (* d cos d sn (Soluc: ln ln (- ln ln ( + + ln ln ( ln (arcsn ln ( + tg ln sn ln (a + b a 9 ln + ln ln ln (ln ln (arctg sn + cos. Calcular las siguints intgrals d tipo ponncial (y comprobar la sombrada: d d d d d d - 7 d + d 9 ( + sn + d 0 cos d ln d tg sc d (6 d 7 arctg d + 7 d (Soluc: -/ / + 9 /ln 6 /ln6 7 9 d arcsn + / -+ / d d sn tg arctg arcsn (7 / ln7 ln. Calcular las siguints intgrals trigonométricas sncillas (y comprobar la sombrada: cos( d sn d sn( + d 7 cos( + d sn d 9 cos d sn ( + d cos( + d cos( + d 0 sn( cos( d 7 sn( + d cos d sn d cos (arctg d + cos ln d + 7 d sn (Soluc: cos sn cos (+ sn( + cos (-+ Tto bajo licncia Crativ Commons: s prmit su utilización didáctica así como su rproducción imprsa o digital simpr y cuando s rspt la mnción d su autoría, y sa sin ánimo d lucro. En otros casos s rquir l prmiso dl autor
3 7 sn( + sn cos cos 9 sn( + 0 cos ( sn (ln sn(arctg sn ( 7cos ( Calcular las siguints intgrals por l método d sustitución o cambio d variabl: + d mdiant +=t d hacindo t =- d con t= + ( 0 ( + d hacindo +=t d + ( + 0 d 7 + d + d d (Soluc: ( + ( + ( ( + ( + 0 ( + 9 ( Ln 7 ( 0 9 arc tg + + ( + + Ln ( ( arctg Ln Rcordar algunos consjos:. En las intgrals NO inmdiatas n las qu haya, sul funcionar l cambio RADICANDO=t. aparzcan d distinto índic, pud funcionar l cambio mcm d los índics RADICANDO=t. En las intgrals NO inmdiatas n las qu aparzca a, pud nsayars a =t. Para intgrals trigonométricas NO inmdiatas vr los cambios vistos n l tma. NOTA: Algunas intgrals d st jrcicio también s podrían habr hcho por parts, como por jmplo la 6.7. Inténts. 7. Calcular las siguints intgrals d tipo arco tangnt (y comprobar la sombrada: d + + d d 8 + d sc d + tg a + a d 7 + d + 9 d 9 d ( + 0 (+ ln d ( + 7 d d + d + + d + (Soluc: arctg(+ arctg ( + arctg arctg ln( + a ln a 7 arctg arctg 9 arctg 0 arctg(ln arctg( + 7 arctg ln ln 6 arctg( + arctg 8. Calcular las siguints intgrals d tipo npriano-arco tangnt (y comprobar la sombrada: d d + + d d d + Tto bajo licncia Crativ Commons: s prmit su utilización didáctica así como su rproducción imprsa o digital simpr y cuando s rspt la mnción d su autoría, y sa sin ánimo d lucro. En otros casos s rquir l prmiso dl autor
4 + + + d + d d d d (Soluc: + ln arctg ln + + arctg( + + ln arctg + ln arctg ln + + arctg ln + + arctg ln( arctg ln + + arctg ln arctg 0 ln( + + arctg ln( + + arctg d 9. Calcular por parts las siguints intgrals (y comprobar la sombrada: ln d ln d ln d ln d d ln( + d 7 arc cos d sn d 9 + d 0 ( d - + sn d ( + d cos d d ( + sn d Ln d (Soluc: ln ln ln ln -ln+ 9 9 ( -+ ln(+-+ln(+ 7 arccos cos - cos+sn 9 ( + 0 ( + sn + cos + + (sn cos sn cos Ln 0. Calcular las siguints intgrals racionals (y comprobar la sombrada: + d d d d + d d d d + + d d d 7 + d + 8 d + + d + 6 d + 0 d + + d d (Soluc: ln ( ( 7 ln ( ln( ln Esta s la prgunta B spt 0. Tto bajo licncia Crativ Commons: s prmit su utilización didáctica así como su rproducción imprsa o digital simpr y cuando s rspt la mnción d su autoría, y sa sin ánimo d lucro. En otros casos s rquir l prmiso dl autor
5 ln ln[( ( ] 7 ln ( + + arctg( + ( + ln ( 9 ln ( + + arctg 0 9 ln( ( 7 ln ( + + arctg ln( ln( 7 + ( ln 0 9 ( ln( 7 + ln( ln( + ln( +. Calcular las siguints intgrals trigonométricas no inmdiatas, hacindo cambios o transformando los intgrandos (y comprobar la sombrada: cos d sn cos d (Hacr cos=t sn + tg d (Dscomponr l intgrando cos sc d Sustituir ctg = cos ctg d sn (Hacr sn=t sn d 7 cos d cos d + sn cos (hacr tg=t 9 0 sn d (Multiplicar por l conjugado d + cos sn cos d (hacr tg=t cos cos d sn cos sn sn d (sn=t o cos=t cos cos sn cos d (Soluc: sn sn sn + cos cos + cos sc + ln sc sn 8 sn + π L n, o bin Ln ( sc + tg, o bin Ln tg + cos c sn 7 sn 6 sn + Ln ( + tg 9 tg 0 sn Ln ( tg tg tg + cos Ln cos sn sn cos d. Calcular por l método más adcuado (ntr paréntsis figura una ayuda las siguints intgrals: d(inmdiata d (tipo ln ( d (por parts ( 6 + ( ln d (por parts d (raícs R simpls + d (raícsr simpl d (ln-arctg + d (raícs R simpls 9 sc d (cambio sn=t sn d (cambio sn=t cos d sn cos cos (transformar l intgrando cos sn d (inmdiata sn d (por parts arctg d (por parts d (por parts 9 d (ln-arctg 7 d (raícsr simpls ln( + d (por parts + 9 ln d - (inmdiata 0 sn(ln d (por itración ln( + d Tto bajo licncia Crativ Commons: s prmit su utilización didáctica así como su rproducción imprsa o digital simpr y cuando s rspt la mnción d su autoría, y sa sin ánimo d lucro. En otros casos s rquir l prmiso dl autor
6 + d + + d (hacr la división + + d (hacr la división + + d (hacr la división d (tipo arcsn 9 + d + d d ln ln ln ( + sn d sncos 7+ tg d cos (hacr ln =t 0 sn d (cambio var.+por parts (Sol: ln + 6 ln 6 + ( ln + ln ln( arctg ( + + ln ( 6 9 ln sn ln sn + (sn (sn + 0 sn ln --cosc-ctg cos sn 9 cos sn cos arctg arctg + + ln + 9 arctg ln ln ( ln ( ln ln 0 (snln cosln ln ln + + arctg+ln( + --ln(- ln( + + ln( + + ln (7 + tg arcsn 9 (ln (ln + ln 6 0 ( sn cos ( + Ln + arctg ln( sn (ln Tórico-prácticos:. Calcular la primitiva d f(=ln qu s anula n =. Dtrminar f( sabindo qu f (=, f(0=0, f (0= y f (0= (Soluc: f(= + +. Hallar un polinomio cuya drivada sa +-6 y tal qu l valor d su máimo sa trs vcs mayor qu l d su mínimo. (Soluc: p(= /+ /-6+7/ 6. a Calcular todas las funcions qu vrifican b Estudiar su drivabilidad. si 0 f '( = + si > 0 + C si 0 Soluc : f( = ; f( drivabl R + + C si > 0 7. Hallar una función F( tal qu F(0= y qu sa una primitiva d f( = + ( Soluc : F( = Ln ( + + Ln Tto bajo licncia Crativ Commons: s prmit su utilización didáctica así como su rproducción imprsa o digital simpr y cuando s rspt la mnción d su autoría, y sa sin ánimo d lucro. En otros casos s rquir l prmiso dl autor
(Soluc: a) 1/x b) x 6 /36 c)
. Calcular las siguints intgrals potncials (s rcominda hacr la comprobación: a d b d c d d d t t dt f d g t dt h d i d j d t m d n d o d p + d ( t dt l d (Soluc: a / b / c j d t / l m t / f 8 8 n o g t
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