ESTRATEGIAS ALGEBRAICAS. Cos (x)dx : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ) ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) n n. n 1+Cos 2x

Transcripción

1 ESTRATEGIAS ALGEBRAICAS Itegrles de l for Se (), ) Si es ipr, =+1, N, etoces: ( ) ( ) ( ) ( ) Cos () : ( ) ( ) ( ( )) ( ) Se = Se ise = Se ise = 1-Cos i Se. Se filiz co l sustitució z = Cos(). ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( )) ( ) Cos = Cos icos = Cos icos = 1-Se i Cos. Se filiz co l sustitució z = Se (). b) Si es pr, =, N, etoces: ( ) 1-Cos Se ( ) = Se ( ) = ( Se ( )) =. Se desrroll el bioio y se repite el procediieto si es ecesrio. ( ) 1+Cos Cos ( ) = Cos ( ) = ( Cos ( )) =. Se desrroll el bioio y se repite el procediieto si es ecesrio. Itegrles de l for T (), ) Si es ipr, =+1, N, etoces: ( ) ( ) ( ) ( ) Ctg () : ( ) ( ) ( ( ) ) ( ) T = T it = T it = Sec 1 i T. Se desrroll el bioio y se repite el procediieto si es ecesrio. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ) ) ( ) Ctg = Ctg ictg = Ctg ictg = Csc 1 i Ctg. Se desrroll el bioio y se repite el procediieto si es ecesrio. b) Si es pr, =, N, etoces: - 1 -

2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ) ) T = T = T = Sec 1. Se desrroll el bioio, se sustituye Sec ()=T ()+1 y repite el procediieto si es ecesrio. Filete se itegr por sustitució. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ) ) Ctg = Ctg = Ctg = Csc 1. Se desrroll el bioio, se sustituye Csc ()=Ctg ()+1 y repite el procediieto si es ecesrio. Filete se itegr por sustitució. Itegrles de l for Sec () y ) Si es ipr, =+1, N, etoces: Csc () : +1-1 Sec ( ) = Sec ( ) = Sec ( ) i Sec ( ). -1 Se itegr por prtes, hciedo u = Sec ( ) y dv Sec ( ) = Csc ( ) = Csc ( ) = Csc ( ) i Csc ( ). -1 Se itegr por prtes, hciedo u = Csc ( ) y dv Csc ( ) =. b) Si es pr, =, N, etoces: ( ) ( ) ( ) -1-1 ( ) ( ) ( ( ) ) ( ) Sec = Sec = Sec isec = T + 1 i Sec. Filete itegr por sustitució, hciedo z=t(). ( ) ( ) ( ) -1-1 ( ) ( ) ( ( ) ) ( ) Csc = Csc = Csc icsc = Ctg + 1 i Csc. Filete itegr por sustitució, hciedo z=ctg(). Itegrdos de l for Se() i Se(), Se() i Cos(), Cos() i Cos() : Ls itegrles que cotiee u itegrdo de l for Se() i Se(), Se() i Cos() o Cos() i Cos(), se puede covertir e itegrles iedits plicdo u de ls siguietes idetiddes: ) b) c) 1 Se()Se(y) = Cos( y) Cos( y) + 1 Se()Cos(y) = Se( y) Se( y) Cos()Cos(y) = Cos( y) Cos( y) + + 1) ) Se () ) T () ) EJERCICIOS: 6 Cos () ) 6 Se () 6) Cos () 6 Ctg () - -

3 7) Sec () 8) 6 Csc () 9) Cos () Se () 10) Se () 11) Cos () 1) Se ()Cos () 6 Csc ()Cos () 1) Se Se 1) Se Cos 1) Cos Cos - -

4 Itegrles de l for ( ) / Se plic ls siguietes sustitucioes: b = bse( θ ) o = Se( θ ). b = Cos( θ)dθ. 1 b = bcos( θ ) y θ = Se b b. (, Z, ipr) Itegrles de l for ( ) / Se plic ls siguietes sustitucioes: b = bt( θ ) o = T( θ ). b = Sec ( θ)dθ. 1 b + = bsec( θ ) y θ = T b Itegrles de l for ( ) / Se plic ls siguietes sustitucioes: b = bsec( θ ) o = Sec( θ ). b = Sec( θ)t( θ)dθ. 1 b = bt( θ ) y θ = Sec b + b. (, Z, ipr) b. (, Z, ipr) EJERCICIOS: 1) b ) + b ) b ) ) + 6) 7) 8) + 9) 10) 11) + 1) 1) 1) + 1) - -

5 16) 17) + 18) 19) ( 9 + ) 0) ( 9) 1) ( ) 1 9 ) ) + 1 ) 6 ) 9 + 6) ) 9 8) + 9) e 1 + e + e 0) l() 1 l() l () 1) ( + + 1) ) ( ) 9 ) ) ) 6) Se() Cos () + Cos() + 1 7) + 8) + 1 9) ) ) + ) b + ) Use ls sustitucioes =(1+Se(θ)) o =Se (θ) pr resolver l itegrl. ) Use ls sustitucioes =(Sec(θ) 1) o =T (θ) pr resolver l itegrl +. ) Use ls sustitucioes =Cos(θ) o =Sec(θ) pr resolver ls itegrles y

6 Fucioes rcioles: U fució se ll rciol si es de l for f() = b +b +b +...+b, es decir, u fució rciol P()/Q() es el cociete de dos fucioes polióics, co Q() 0. Algus itegrles de fucioes 1 rcioles que se h desrrolldo e este curso so = l + C, = T + C, 1 = l + b + C. + b Frccioes prciles: Pr resolver itegrles de fucioes rcioles ás coplejs que ls teriores, deás usr sustitucioes, se puede descopoer l fució e frccioes siples, es decir, e fucioes rcioles cuyo deoidor se de l for Q()=+b ó Q()= +b+c irreducible e R. Si f() = es u fució rciol co < y, etoces b +b +b +...+b se preset básicete cutro vís de descoposició, e dode debeos hllr los coeficietes ideteridos k 1, k, k,, h 1, h, h,., segú el cso: ) Cudo Q() = b +b +b +...+b se puede epresr coo u producto 0 1 de epresioes de l for (+b) tods diferetes, etoces: k1 k k = (1+b 1)(+ b )...( +b ) (1+b 1) (+b ) (+b ) b) Cudo Q() = b +b +b +...+b se puede epresr coo u producto 0 1 de epresioes de l for (+b) z, etoces: k11 k1 k k 1 1z1... z1 z + zj z ( +b ) ( b )...( +b ) = (1+b 1) + ( +b ) + ( +b ) + ( +b ) j j c) Cudo Q() = b +b +b +...+b se puede epresr coo u producto 0 1 de epresioes de l for ( +b+c) diferetes e irreducibles e R, etoces: k1( 1+b 1) + h1 kr ( r+b r ) + hr = , o tbié ( +b +c )...( +b +c ) ( +b +c ) ( +b +c ) r r r r r r k1+ h1 kr+ hr puede ser = , cudo los fctores ( +b )...( +b ) ( +b ) ( +b ) 1 1 r r 1 1 r r del deoidor so de l for ( +b) irreducibles e R. d) Cudo Q() = b +b +b +...+b se puede epresr coo u producto 0 1 de epresioes de l for ( +b+c) z irreducibles e R, etoces: k11( 1+b 1) + h11 k1z 1 ( 1+b 1) + h1z 1 = z1 zr ( +b +c )...( +b +c ) ( +b +c ) ( +b +c ) z r r r Vle clrr que u fució rciol o solo tiee ls teriores posibiliddes de descoposició, tbié se preset cobicioes de todos los csos

7 EJERCICIOS: Resolver ls siguietes itegrles relizdo u descoposició propid del itegrdo e frccioes siples: 1) ( + )( + b) ) ) ) ( 1)( + )( + ) ) + + ( ) 6) ( + 1) ( ) 7) - + 8) ( + ) + 9 9) 6 10) ) (1 + ) 1) 1 1) ( )( b ) 1) ( + 1)( 1) 1) ( ) 16) ( 1) 17) ) ) ) + 1) + 1 ( + + ) ) + 9 ) T() ) + 1 ) ) ) T() 8) ) ) ) e + e + e ) 6 + ) ) + ) T() 6) + 7) ( + ) 8) Cos() Se () + 1 9) Se () + Cos () 0) ) ) L itegrl ( + ) i( + b) se puede resolver plicdo l sustitució Use est sustitució pr resolver ls siguietes itegrles: ) ( ) i( + ) ) ( 1) i( ) ) ( + ) i( 1) u = +. + b - 7 -

8 Ls itegrles de l for ( ) R Se(), Cos(), es decir, e dode el itegrdo es u fució rciol de Se() y Cos(), puede resolverse edite u de ls siguietes sustitucioes: ( ) ( ( ) ( )) R Se, Cos R Se,Cos, se sugiere ls sustitucioes ) Si ( ) ( ) z=t() ó z=ctg(). ( ) ( ( ) ( )) R Se,Cos R Se,Cos, se sugiere l sustitució z=cos(). b) Si ( ) ( ) ( ) R ( Se( ),Cos ( ) ) c) Si R Se( ), Cos ( ), se sugiere l sustitució z=se(). ( ) R ( T() ) d) Si R Se( ),Cos ( ) z = Ctg., se sugiere ls sustitucioes EJERCICIOS: z = T o 1) ) Se() + Cos() Se()- Cos() ) Se() Se() + 1 ) Cos() Cos() ) 7) 9) 11) 1) 1) 17) Se()- Cos() 6) 8Se() + Cos() 8) +Se()+ Cos() 10) + T()+ Ctg() 1) 1+ Cos () 1+ T() 1) 1- T() 16) Se ()+Se()Cos()- Cos () Cos() 18) Se ()+ Cos () Se() + Cos() +Se()- Cos() + T() 1+ Se () ( Se() + Cos() ) Se ()+Cos () Se ()- Se()Cos() ( - Se() ) ( - Se() ) - 8 -

9 19) 1) ) 1- Se()+ Cos() 0) 1+ Se()- Cos() Se ()- Cos () ) Se ()+ Cos () Se()Cos() 1+ Se () ) Se() Se ()+Cos () Se 6()+Cos 6() ( Se ()+Cos ()) ) Aplique el cbio + Cos z = Se + Cos pr resolver l itegrl. Se - 9 -

10 ) Si l itegrl es de l for sustitució +b z = c + d. + b R, c + d. (, eteros), se plic l b) Si l itegrl es de l for / / / R, 1 1,,..., k k. ( 1,,, k, 1,,, k eteros), se plic l sustitució =z, e dode es el íio coú últiplo de los úeros 1,,, k. c) Si l itegrl es de l for ( ) sustitucioes de Euler, si: - Si >0, +b + c = z ±. - Si c>0, +b + c = z ± c. - Si +b+c=(-α)(-β), +b + c z ( ) + d) Si l itegrl es de l for ( b ) R, +b + c, se plic u de ls p = α.. (,,p rcioles), se plic u de ls siguietes sustitucioes: - Si + 1 es etero, se plic z α =+b, (α es el deoidor de p). - Si + 1 b + p es etero, se plic zα + =, (α es el deoidor de p). Ests itegrles recooce coo difereciles bióics. EJERCICIOS: Resolver ls siguietes itegrles plicdo u sustitució de l for =z +b z = : c + d o 1) ) ) ) ( ) 1 ) ) ( + 1) 7) ) + + 9) ( + 1) ) ) ( + ) 1 1)

11 1) 1) ) 16) ( ) + ( 1) ( + ) 17) 19) (1 ) 1 18) 1 + ( ) 1 0) ( + 1) ( 1) ( ) Resolver ls siguietes itegrles plicdo u de ls sustitucioes de Euler: 1) ) ) ) (1 + ) 1 + ( 7 10 ) ) 7) 9) + + 6) ) 1 0) Resolver ls siguietes itegrles de difereciles bióics plicdo u sustitució propid: 1) ) 1 + ) ) 1 + ( 1 + ) 1 + ) 6) ) 8) 1 + ( ) + 9) + 0) ( 1 + )

12 1) ) ) 7) 9) ) 1 + ) + 1 6) 8) ( 1 ) 0) ( 1 + ) ( ) + ( + )