Clase No. 19: Integrales impropias MAT 251. Joaquín Peña (CIMAT) Métodos Numéricos (MAT 251) / 17

Transcripción

1 Clse No. 19: Integrles impropis MAT 251 Joquín Peñ (CIMAT) Métodos Numéricos (MAT 251) / 17

2 Integrndos con singulriddes (I) Cundo el integrndo o lgun de sus derivds de bjo orden tienen un singulridd en un punto dentro o cerc del intervlo de integrción, ls fórmuls de cudrtur convencionles no tienen bien desempeño. Si sbemos donde están ls singulriddes, podemos hcer un prtición, de modo que l singulridd ocurr en lguno de los extremos de los subintervlos. Si f tiene un singulridd en x =, entonces b b f (x) dx = lim f (x) dx r r b Podemos clculr l integrl f (x) dx numéricmente, pr lgún r >. r Pero, de ntemno no sbemos que vlor de r usr. Un criterio práctico (que puede no ser correcto) es Joquín Peñ (CIMAT) Métodos Numéricos (MAT 251) / 17

3 Integrndos con singulriddes (II) b b m rn f (x) dx f (x) dx + f (x) dx (1) r 1 n=1 r n+1 pr r n = + b y podemos escoger m tl que 2 n rm f (x) dx < ε r m 1 Ejemplo. Queremos clculr numéricmente 1 dx 1 = lim x 1/2 dx = lim 2 x 1 x = lim(2 ) = 2. Usmos cudrtur Gussin pr clculr cd un de ls integrles en (1). Núm. de nodos por integrl m Aproximción Joquín Peñ (CIMAT) Métodos Numéricos (MAT 251) / 17

4 Integrndos con singulriddes (III) Es mejor ver si podemos truncr el intervlo de integrción: Si r f (x) dx < ε, entonces podemos hcer b b f (x) dx f (x) dx r Ejemplo. Supongmos que g es continu en [, 1] y g(x) 1. Queremos clculr 1 g(x) x 1/2 dx + x1/3 Se puede ver que r g(x) x 1/2 dx + x1/3 1 r x 1/2 dx = r 1/2. 2 Joquín Peñ (CIMAT) Métodos Numéricos (MAT 251) / 17

5 Integrndos con singulriddes (IV) Entonces podemos escoger r suficientemente pequeño pr proximr l integrl. Ejemplo. L integrl tenemos que 1 dx x = 2. r dx x = 2 r. Si elegimos r = 2 4, entonces 2 r.2 y usndo cudrtur Gussin tenemos Nodos r Aproximción e e e e Joquín Peñ (CIMAT) Métodos Numéricos (MAT 251) / 17

6 Otrs lterntivs Un opción es hcer un cmbio de vrible que yude remover l singulridd. Ejemplo. Pr clculr 1 e x x dx podemos hcer x = t 2, de modo que hor tendrímos que clculr 1 2 e t2 dx. Otr posibilidd es usr integrción por prtes 1 e x dx = 2x 1/2 e x x 1/2 e x dx x Joquín Peñ (CIMAT) Métodos Numéricos (MAT 251) / 17

7 Fórmuls bsds en interpolción (I) Supongmos que w(x) es un función con un singulridd en x =, pero existe 1 w(x) x k dx, pr k =, 1,..., n. Queremos usr un fórmul de l form 1 n w(x)f (x) dx w i f (x i ) i= con x < x 1 <... < x n = 1. Si pedimos que l fórmul se exct cundo f es un polinomio de grdo lo más n entonces podemos determinr los vlores w i. Ejemplo. Clculr 2h x 1/2 f (x) dx Tommos como nodos, h, 2h. Pr determinr los pesos, tommos como f los monomios 1, x, x 2 : Joquín Peñ (CIMAT) Métodos Numéricos (MAT 251) / 17

8 Fórmuls bsds en interpolción (II) 2h x 1/2 dx = 2 = w + w 1 + w 2 2h De quí que 2h x 1/2 x dx = 2 3 = 1 2 w 1 + w 2 x 1/2 x 2 dx = 2 5 = 1 4 w 1 + w 2 w = 12 15, w 1 = 16 15, w 2 = Joquín Peñ (CIMAT) Métodos Numéricos (MAT 251) / 17

9 Y si ignormos l singulridd? (I) Supongmos que f no es cotd en x =. De mner rbitrri definimos f () = (o culquier vlor) y usmos l regl de trpecio pr clculr l integrl, o podemos usr fórmuls de cudrtur que no usen los extremos del intervlo de integrción [, b]. Ejemplo. Tenemos que 1 dx = 2. Numéricmente, obtenemos x1/2 n Trpecio n C. Gussin Joquín Peñ (CIMAT) Métodos Numéricos (MAT 251) / 17

10 Y si ignormos l singulridd? (II) Este form de estimr el vlor de l integrl puede fllr si el integrndo oscil: 1 1 Ejemplo. Tenemos que x sin 1 dx = x n Trpecio Joquín Peñ (CIMAT) Métodos Numéricos (MAT 251) / 17

11 Intervlos de longitud infinit (I) Se. Queremos clculr r f (x) dx = lim f (x) dx r Podemos repetir lgunos de los rgumentos nteriores. Por ejemplo, Si tenemos un sucesión < r < r 1 <... que converge infinito y queremos clculr r r1 f (x) dx = f (x) dx + f (x) dx +... r rn+1 y prmos cundo f (x) dx < ε. Es clro que este procedimiento r n permite obtener un vlor pr integrles divergentes, como 1 dx x. Joquín Peñ (CIMAT) Métodos Numéricos (MAT 251) / 17

12 Intervlos de longitud infinit (II) Otr form es usndo sums de Riemnn. Si dividimos el intervlo [, ) en subintervlos de l form [ + ih, + (i + 1)h]. Podemos proximr l integrl usndo sums de Riemnn evluds en los extremos derechos, f (x) dx R R (f ; h) = h f ( + (i + 1)h), i= o evlundo en los extremos izquierdos, f (x) dx R L (f ; h) = hf () + R R (f ; h) El promedio de ls dos sums d l regl del trpecio, f (x) dx T(f ; h) = 1 2 hf () + R R(f ; h) Por rzones computciones, hy que truncr l serie. Joquín Peñ (CIMAT) Métodos Numéricos (MAT 251) / 17

13 Intervlos de longitud infinit (III) Ejemplo. Consideremos l integrl e x2 dx = 1 2 π Usndo l regl del trpecio, pr diferentes vlores h, obtenemos lo siguiente: h n T(f ; h) Joquín Peñ (CIMAT) Métodos Numéricos (MAT 251) / 17

14 Intervlos de longitud infinit (IV) L trnsformción y = e x, cmbi el intervlo x < en < y e. Así, e f ( ln y) e g(y) f (x) dx = dy = y y dy L sustitución cmbi el problem un integrl en un intervlo finito. Si g(x)/x es cotd en l vecindd de x =, entonces podemos clculr su integrl con reltiv fcilidd. Si no es cotd, hy que buscr l form propid de relizr el cálculo. Otros cmbios de vrible x = 1/(1 + e y ) x 1; y x = (e y 1)/(e y + 1) 1 x 1; y x = e y x ; y Joquín Peñ (CIMAT) Métodos Numéricos (MAT 251) / 17

15 Truncmiento del intervlo infinito (I) Se puede nlizr el comportmiento de l integrl f (x) dx r y trtr de determinr un vlor pr r que hg que podemos desprecir el vlor de l integrl en [, ]. Ejemplo. Clculr e x2 dx. Puesto que pr k N, si x k entonces kx x 2. Así, e x2 dx e kx dx = e k2 /k. k k Pr k = 4 se tiene que e k2 /k 1 8, de modo podemos proximr 4 e x2 dx e x2 dx y clculr l integrl con culquier método estándr. Joquín Peñ (CIMAT) Métodos Numéricos (MAT 251) / 17

16 Cudrtur Gussin (I) Pr obtener fórmuls como w(x)f (x) dx donde x k y w k son determindos pr que l fórmul se exct pr polinomios de grdo lo ms 2n + 1. Hy que elegir un función pr l cul w(x) dx < Pr clculr integrles de l form n e x f (x) dx = w k f (x k ) k=1 Es común usr funciones como los polinomios de Lguerre: n L (α) n (x) = ( 1) m n + α x m n m m= m!, α > 1, Joquín Peñ (CIMAT) Métodos Numéricos (MAT 251) / 17

17 Cudrtur Gussin (II) los cules cumplen con l propiedd Entonces x α e x L (α) n (x) 2 dx = Γ(n + α + 1) n! n e x f (x) dx = w k f (x k ) + (n!)2 (2n)! f (2n) (ξ), < ξ <. k=1 donde x k son los ceros del polinomio de Lguerre L n (x) = L () n (x), y w k = x k [L n+1 (x k )] 2. Joquín Peñ (CIMAT) Métodos Numéricos (MAT 251) / 17