Tecnología y Ciencias del Agua ISSN: Instituto Mexicano de Tecnología del Agua México

Transcripción

1 Tecnología y Cencas del Agua ISS: revsta.tyca@gmal.com Insttuto Mexcano de Tecnología del Agua Méxco Marón-Domínguez, Davd Ernesto; Gutérrez-de-la-Rosa, Alberto Resolucón de la ecuacón de la adveccón-dspersón en una dmensón, usando funcones splnes Tecnología y Cencas del Agua, vol. IV, núm. 4, septembre-octubre, 0, pp Insttuto Mexcano de Tecnología del Agua Morelos, Méxco Dsponble en: Cómo ctar el artículo úmero completo Más nformacón del artículo Págna de la revsta en redalyc.org Sstema de Informacón Centífca Red de Revstas Centífcas de Amérca Latna, el Carbe, España y Portugal Proyecto académco sn fnes de lucro, desarrollado bajo la ncatva de acceso aberto

2 ota técnca Resolucón de la ecuacón de la adveccón-dspersón en una dmensón, usando funcones splnes Davd Ernesto Marón-Domínguez* Alberto Gutérrez-de-la-Rosa Insttuto Superor Poltécnco José Antono Echeverría, Cuba *Autor de correspondenca Resumen Se muestra una aplcacón de los polnomos splnes cúbcos a la resolucón numérca de la ecuacón dferencal D de la dspersón. Para el caso no estaconaro, la varacón en el tempo se refleja en los coefcentes del polnomo splne y la dscretzacón en el tempo se hace aplcando el Método de las Dferencas Fntas. Todos los algortmos son mplementados computaconalmente en el asstente matemátco Matlab. Se comparan los resultados obtendos de las solucones aproxmadas con las medcones de un caso real de una prueba de trazador y además con la solucón del Método de los Elementos Fntos. Palabras clave: splnes cúbcos, nterpolacón, ecuacón dferencal, dspersón. 7 Introduccón Los polnomos splnes tenen gran aplcacón en la nterpolacón de funcones. En el problema de la nterpolacón con los polnomos splnes es necesaro añadr condcones adconales en los extremos del ntervalo. Samarsk (986) plantea el problema de la nterpolacón por tramos D a partr de los polnomos splnes cúbcos de forma que debe resolver un sstema lneal de ecuacones con matrz trdagonal. Para obtener solucón únca añade dos condcones adconales, asocadas con la segunda dervada en los extremos, lo cual se corresponde con el llamado splne natural (Samarsk, 986). Álvarez et al. (004) plantean la obtencón del polnomo cúbco, ntegrando dos veces un polnomo lneal que nterpola los valores de la segunda dervada en un ntervalo. Los splnes tambén se aplcan en la resolucón de ecuacones dferencales, con lo cual se obtene que las funcones solucón cumplen condcones de contnudad de las dervadas en puntos nterores de la regón sn necesdad de tener que conocer de forma preva los valores de las dervadas en dchos puntos. Szymkewcz (99) descompone la ecuacón D del transporte en dos ecuacones, una con la parte advectva y otra ecuacón con la parte dfusva (Szymkewcz, 99). Utlza el método de las característcas junto con los splnes cúbcos para resolver la ecuacón de la parte advectva y utlza el Método de los Elementos Fntos para resolver la ecuacón de la parte dfusva. Tsa et al. (004) tambén utlzan los polnomos splnes cúbcos para resolver la ecuacón D no estaconara del transporte (Tsa et al., 004) y emplean dferentes tpos de condcones adconales en los extremos del ntervalo. El objetvo de este trabajo es mostrar la resolucón de la ecuacón dferencal D de la dspersón, utlzando los splnes cúbcos para un caso real de estudo de una prueba de trazador, así como evdencar las ventajas de aplcar este método que fundamentalmente radca en que la solucón obtenda por este método garantza la suavdad de la msma en cada uno de los puntos de la dscretzacón de la regón de estudo, lo cual no ocurre con el Método de los Elementos Fntos. Tecnología y Cencas del Agua, vol. IV, núm. 4, septembre-octubre de 0, pp. 7-78

3 Tecnología y Cencas del Agua, vol. IV, núm. 4, septembre-octubre de 0 Marón-Domínguez y Gutérrez-de-la-Rosa, Resolucón de la ecuacón de la adveccón-dspersón en una dmensón, usando La funcón splne cúbca Se tene una red formada por los subntervalos [x, x + ], con =, x, de un ntervalo [0, L] La funcón u = u(x) defnda en dcho ntervalo se puede aproxmar por un splne cúbco, expresado en funcón del extremo zquerdo del ntervalo de la forma: ϕ (x) = a + a ( x x )+ a ( x x ) + a 4 ( x x ) para =,, x () Las condcones de nterpolacón que debe cumplr el splne son las sguentes: ϕ ( x )= u para =,, x () ϕ x x ( x +)= u x + () Las condcones de contnudad del splne cúbco y las condcones de suavdad de su prmera y segunda dervadas son las sguentes: donde =,, x y Dx representa la longtud del ntervalo. En el problema de la nterpolacón se conocen todos los valores u con =,, x +, de la funcón a nterpolar u = u(x) en los x + nodos. Los valores de los coefcentes a l, correspondentes a los térmnos ndependentes de (), concden con los valores de la funcón ncógnta u ; por lo tanto, el número de coefcentes ncógntas se reduce a x y el número total de ecuacones se reduce a x -. Se le añaden dos condcones adconales en los extremos para que el problema tenga solucón únca. Para cada valor de, con =,..., x -, las tres prmeras ecuacones del sstema (7) se pueden escrbr en notacón matrcal en la forma: C { A } B { A + }= { F } (8) donde C y B son matrces, y A y F son vectores, según se muestran a contnuacón: ( x + )= + ( x + ) para =,, x (4) ( x + )= + ( x + ) para =,, x (5) C = x x x x x 0 x B = ( x + )= + ( x + ) para =,, x (6) A = a a a 4 F = u + -u 0 0 Como puede observarse de () y de () se tene x + condcones de nterpolacón, y de (4) hasta (6) se tene ( x - ) condcones de contnudad; por lo tanto se tenen 4 x - condcones en total y hay 4 x coefcentes ncógntas. Tenendo en cuenta las condcones de () a (6) se obtene el sguente sstema de ecuacones: x a + x a + x a 4 = u + u a + x a + x + a 4 = a a + + x a 4 = a x a + x a + x a 4 = u + u (7) La resolucón del sstema de ecuacones (8), en conjunto con las dos condcones adconales en los extremos del ntervalo, da la solucón del problema de nterpolacón. Aplcacón de los polnomos splnes cúbcos a la resolucón de la ecuacón de la dspersón D no estaconara en un medo poroso Se consdera la ecuacón de la dspersón D no estaconara en un medo según la forma (Marón, 00):

4 Marón-Domínguez y Gutérrez-de-la-Rosa, Resolucón de la ecuacón de la adveccón-dspersón en una dmensón, usando... U C x D C x + R T C t + R T C = 0 para 0 < x < L, t > 0 (9) donde q es la porosdad del medo; R T, el coefcente de retardo; C = C (x, t), la funcón ncógnta que representa la concentracón; U, la velocdad del agua; D, el coefcente de dspersón, y l es el coefcente de degradacón o de decamento. A la ecuacón anteror hay que añadrle una condcón ncal y dos condcones de frontera: R T ( + t ) a k x + ( t U) a x k + ( t D) a k x = R T a x k- a k x + x a k x + x a k x + x a k x k 4 = C x + R T ( + t)a X k + ( R T x + t U + t R T x) a X k ( + x t U t D + R T x + t R T x ) a X k + ( x t U 6 x t D + R T x () C(0,t) = Ce(t) C(L,t) = Cs(t) C(x,0) = C 0 (x) + t R T x ) a x k 4 Como este problema es no estaconaro, entonces la varacón en el tempo se propone que sea recogda en los coefcentes del splne cúbco, de forma que el polnomo tene la forma: (x,t) = a (t)+ a (t) ( x x )+ a (t) x x ( ) +a 4 (t) ( x x ) (0) Susttuyendo (0) en (9), para X = X se obtene la expresón: R T ( + t )a k + ( t U)a k k + ( td)a = R T a k- () donde =,, x y k =,, t +. Para el polnomo del prmer tramo del splne correspondente a = se obtene: ( t U) a k + Δt D = R T a k- ( ) a k k R T ( + t ) C () la expresón anteror tene ncluda la condcón de frontera en el extremo zquerdo. Evaluando el polnomo splne del últmo tramo en X = X x+, se obtene: = R T a k- x + x a k- x + x a x k- ( + x a x k- 4 ) Las ecuacones (), () y () expresan que se debe satsfacer la ecuacón dferencal (9) en todos los puntos de la red. Para cada tempo, el sstema fnal de ecuacones se obtene ensamblando el sstema (8), junto con las ecuacones (), () y (). Para el cálculo de la solucón en el prmer ntervalo de tempo es necesaro calcular los valores de los coefcentes de los splnes en todos los tramos. Para esto se hace uso de la condcón ncal, utlzando la nterpolacón propuesta por el sstema (8). Comprobacón de los algortmos propuestos utlzando una aplcacón práctca Con el objetvo de comprobar los algortmos propuestos en este trabajo se hace uso de los msmos datos o medcones reales de la prueba de trazador detallada en el artículo de Marón (00). En el ctado trabajo, los datos fueron utlzados para la calbracón o estmacón de los parámetros hdráulcos de un humedal construdo en el laboratoro. Marón utlzó, para la dscretzacón en el espaco, el Método de los Elementos Tecnología y Cencas del Agua, vol. IV, núm. 4, septembre-octubre de 0 75

5 Tecnología y Cencas del Agua, vol. IV, núm. 4, septembre-octubre de 0 Marón-Domínguez y Gutérrez-de-la-Rosa, Resolucón de la ecuacón de la adveccón-dspersón en una dmensón, usando Fntos (MEF), con ayuda de los elementos cuadrátcos y cúbcos. Esto permte que la comparacón del método desarrollado en este trabajo con los splnes se haga no sólo con los datos reales observados sno tambén con los resultados obtendos por el MEF cúbco, ya que los polnomos utlzados para la construccón del splne fueron cúbcos. Para la dscretzacón en el tempo se hzo uso del Método de las Dferencas Fntas, al gual que en el artículo ctado. El algortmo de cálculo propuesto fue mplementado en el asstente matemátco Matlab, el cual se acopló con un algortmo de optmzacón, que ayudó a la estmacón de los parámetros de dspersón, retardo y degradacón (D, R T y l). En el cuadro se muestran los resultados de la calbracón de dchos parámetros con el algortmo de los splnes y se comparan con los resultados obtendos por el MEF cúbco, obtendos por Marón en su trabajo (Marón, 00). En el cuadro se apreca la no exstenca de dferencas sustancales entre los valores obtendos por el MEF desarrollado por Marón (Marón, 00) y el método utlzado por los autores. Se observa que no se detectó retardo en ambos casos, y se apreca buena aproxmacón en los resultados de las estmacones de los coefcentes de dspersón y degradacón. En la fgura se muestran las concentracones observadas en las seccones x = 0.9 m y x =.9 m, correspondentes a los puntos de observacón, en conjunto con las obtendas según el algortmo desarrollado en este trabajo a partr de los splnes con polnomos cúbcos y las obtendas según el MEF con elementos cúbcos, referdas por Marón en su trabajo. En la fgura se observa que se han obtendo buenas aproxmacones entre las concentracones observadas, (Cobs(*)), y las calculadas, (Ccal(o)), en ambas seccones (gráfcas de la derecha). Es bueno señalar, además, que la comparacón se puede hacer entre los valores calculados con los splnes y los valores obtendos por el MEF referdos Cuadro. Valores de los parámetros calbrados. en el trabajo de Marón (Marón, 00). Para el algortmo correspondente a los splnes cúbcos, se calculó el número de Peclet, cuyo valor fue.557. Conclusones Para el ejemplo real utlzado se evdencó que se obtuveron resultados satsfactoros para valores del número de Peclet mayor que. El método desarrollado por los splnes cúbcos aporta resultados superores al Método de los Elementos Fntos, ya que la funcón solucón satsface en los nodos nterores de la red condcones de suavdad hasta la segunda dervada, lo cual no se cumple en el Método de los Elementos Fntos. Queda esbozado el uso de un método que muestra resultados satsfactoros para que un especalsta en el estudo de aguas resduales dsponga de una herramenta más. Referencas Recbdo: 4/0/0 Aceptado: /09/0 ÁLVAREZ, B.M., GUERRA, H.A. y LAU, F.R. Matemátca numérca. La Habana: Edtoral Félx Varela, 004. MARÓ, D.E. Un modelo de dspersón en el transporte de contamnantes. Ingenería Hdráulca en Méxco. Vol. XVII, núm., julo-septembre, 00, pp. 89-0, SAMARSKI, A.A. Introduccón a los métodos numércos. Moscú: Edtoral Mr, 986. SZYMKIEWICZ, R. Soluton of the advecton-dffuson equaton usng the splne functon and fnte elements. Communcatons n umercal Methods n Engneerng. Vol. 9, 99, pp MEF (cúbcos) Splnes (cúbcos) D (m /mn) R T l (l/mn)

6 Marón-Domínguez y Gutérrez-de-la-Rosa, Resolucón de la ecuacón de la adveccón-dspersón en una dmensón, usando Fgura. Gráfcas de las concentracones calculadas y las observadas en x = 0.9 m y x =.9 m. TSAI, T-L., YAG, J-C., and HSIUG, L-H. Characterstcs Method Usng Cubc-Splne Interpolaton for Advecton- Dffuson Equaton. Journal Hydraulc Engneerng. Vol. 0, o. 6, 004. Tecnología y Cencas del Agua, vol. IV, núm. 4, septembre-octubre de 0

7 Tecnología y Cencas del Agua, vol. IV, núm. 4, septembre-octubre de 0 Marón-Domínguez y Gutérrez-de-la-Rosa, Resolucón de la ecuacón de la adveccón-dspersón en una dmensón, usando... Abstract MARÓ-DOMÍGUEZ, D.E. & GUTIÉRREZ-DE-LA-ROSA, A. Solvng an onedmensonal advecton-dsperson equaton wth splne functons. Water Technology and Scences (n Spansh). Vol. IV, o. 4, September-October, 0, pp The applcaton of cubc splne polynomals to the numerc soluton of a one-dmensonal dfferental dsperson equaton s presented. For the non-statonary case, the varaton n tme was reflected by the splne polynomal coeffcents and the dscretzaton n tme was obtaned usng the fnte dfference method. All the algorthms were mplemented wth the MATLAB mathematcal assstant. The results were compared to tracer test measurements from a real case as well as wth the fnte element method soluton. Keywords: cubc splnes, nterpolaton, dfferental equaton, dsperson. 78 Dreccón nsttuconal de los autores Dr. Davd Ernesto Marón Domínguez Lc. Alberto Gutérrez de la Rosa Centro de Estudos de Matemátca Insttuto Superor Poltécnco José Antono Echeverría (CUJAE) Calle 4 # 90 e/cclo-vía y Rotonda Marano, La Habana, Cuba Teléfono: +5 (7) 66 5 dmaron@cemat.cujae.edu.cu aguterrez@cemat.cujae.edu.cu