2.3. Estadísticos de posición

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1 48 Bioestadística: Métodos y Aplicaciones 2.3. Estadísticos de posición Los estadísticos de posición van a ser valores de la variable caracterizados por superar a cierto porcentaje de observaciones en la población (o muestra). Tenemos fundamentalmente a los percentiles como medidas de posición, y asociados a ellos veremos también los cuartiles, deciles y cuartiles. Percentiles Para una variable discreta, se define el percentil de orden k, como la observación, P k, que deja por debajo de si el k % de la población. Véase la figura 2.4. Esta definición nos recuerda a la mediana, pues como consecuencia de la definición es evidente que M ed = P 50 Peso de 100 individuos frecuencia relativa P 25 P 50 P Peso Figura 2.4: Percentiles 25, 50 y 75 de una variable. Los que se muestran dividen a la muestra en cuatro intervalos con similar número de individuos y reciben también el nombre de cuartiles.

2 2.3. ESTADÍSTICOS DE POSICIÓN 49 En el caso de una variable continua, el intervalo donde se encuentra P k (l i 1, l i ], se calcula buscando el que deja debajo de si al k % de las observaciones. Dentro de él, P k se obtiene según la relación: n k P k = l i N i 1 a i (2.3) n i Cuartiles Los cuartiles, Q l, son un caso particular de los percentiles. Hay 3, y se definen como: Q 1 = P 25 (2.4) Q 2 = P 50 = M ed (2.5) Q 3 = P 75 (2.6) Deciles Se definen los deciles como los valores de la variable que dividen a las observaciones en 10 grupos de igual tamaño. Más precisamente, definimos D 1,D 2,..., D 9 como: D i = P 10 i i = 1,..., 9 Ejemplo de cálculo de cuartiles con una variable discreta Dada la siguiente distribución en el número de hijos de cien familias, calcular sus cuartiles.

3 50 Bioestadística: Métodos y Aplicaciones Solución: 1. Primer cuartil: 2. Segundo cuartil: 3. Tercer cuartil: Ejemplo x i n i N i n=100 n 4 = 25; Primera N i > n/4 = 39; luego Q 1 = 2. 2 n 4 = 50; Primera N i > 2 n/4 = 65; luego Q 2 = 3. 3 n 4 = 75; Primera N i > 3 n/4 = 85; luego Q 3 = 4. Calcular los cuartiles en la siguiente distribución de una variable continua: l i 1 l i n i N i n = 51

4 2.3. ESTADÍSTICOS DE POSICIÓN 51 Solución: 1. Primer cuartil N 4 = 12, 75; Primera N i > n/4 = 22; La línea i es la del intervalo [1; 2) Q 1 = l i Segundo cuartil: n 4 N i 1 12, a i = = 1, 23 n i 12 2 n 4 = 25, 5; Primera N i > 2 n/4 = 34; La línea i es la del intervalo [2; 3) Q 2 = l i n 4 N i 1 25, 5 22 a i = = 2, 29 n i Tercer cuartil 3 n 4 = 38, 25; Primera N i > 3 n/4 = 44; La línea i es la del intervalo [3; 4) Q 3 = l i n 4 N i 1 38, a i = = 3, 445 n i 10 Ejemplo de cálculo de cuartiles con una variable continua Han sido ordenados los pesos de 21 personas en la siguiente tabla:

5 52 Bioestadística: Métodos y Aplicaciones Intervalos f.a. l i 1 l i n i Encontrar aquellos valores que dividen a los datos en 4 partes con el mismo número de observaciones. Solución: Las cantidades que buscamos son los tres cuartiles: Q 1, Q 2 y Q 3. Para calcularlos, le añadimos a la tabla las columnas con las frecuencias acumuladas, para localizar qué intervalos son los que contienen a los cuartiles buscados: l i 1 l i n i N i Q 1, Q Q 3 21 Así se tiene que: Q 1 y Q 2 se encuentran en el intervalo 52 59, ya que N 3 = 12 es la primera f.a.a. que supera a 21 1/4 y 21 2/4. Q 3 está en 66 73, pues N 5 = 21 es el primer N i mayor que 21 3/ = 5, 25 i = 3 Q 1 = l 4 n N i 1 i 1 = = 10, 5 i = 3 Q 2 = l i 1 + n i 5, = , a i 7 = 52, n N i 1 a i n i 7 = 57, 5

6 2.3. ESTADÍSTICOS DE POSICIÓN = 15, 75 i = 5 Q 3 = l i 1 + = n N i 1 n i 15, a i 7 = 66, 875 Obsérvese que Q 2 = M ed. Esto es lógico, ya que la mediana divide a la distribución en dos partes con el mismo número de observaciones, y Q 2, hace lo mismo, pues es deja a dos cuartos de los datos por arriba y otros dos cuartos por abajo. Ejemplo La distribución de una variable tiene por polígono acumulativo de frecuencias el de la figura 2.5. Si el número total de observaciones es 50: 1. Elaborar una tabla estadística con los siguientes elementos: intervalos, marcas de clase, frecuencia absoluta, frecuencia absoluta acumulada, frecuencias relativa y frecuencias relativa acumulada. 2. Cuántas observaciones tuvieron un valor inferior a 10, cuántas inferior a 8 y cuántas fueron superior a Determine los cuartiles. Solución: 1. En la siguiente tabla se proporciona la información pedida y algunos cálculos auxiliares que nos permitirán responder a otras cuestiones. Intervalos n i N i f i F i x i a i n i ,2 0,3 2, ,5 0, , ,1 0,8 9, ,2 1 13,5 7 3,33 2. Calculemos el número de observaciones pedido:

7 54 Bioestadística: Métodos y Aplicaciones 1 0,8 0,7 0, Figura 2.5: Diagrama acumulado de frecuencias relativas. 7 a a 10 x x x = = = 38 observaciones tomaron un valor inferior a 10 7 a a 8 x x x = = = 36 observaciones tomaron un valor inferior a 8 7 a a 11 x x x = = ( ) = 50-39=11 observaciones tomaron un valor superior a Cuartiles: Q 1 = l i 1 + n/4 N i 1 12, 5 10 a i = = 5, 2 n i 25 Q 2 = l i n/4 N i a i = = 6, 2 n i 25

8 2.4. MEDIDAS DE VARIABILIDAD O DISPERSIÓN 55 Q 3 = l i n/4 N i 1 37, 5 35 a i = = 9, 5 n i Medidas de variabilidad o dispersión Los estadísticos de tendencia central o posición nos indican donde se sitúa un grupo de puntuaciones. Los de variabilidad o dispersión nos indican si esas puntuaciones o valores están próximas entre sí o si por el contrario están o muy dispersas Rango Una medida razonable de la variabilidad podría ser la amplitud o rango, que se obtiene restando el valor más bajo de un conjunto de observaciones del valor más alto. Propiedades del rango Es fácil de calcular y sus unidades son las mismas que las de la variable. No utiliza todas las observaciones (sólo dos de ellas); Se puede ver muy afectada por alguna observación extrema; El rango aumenta con el número de observaciones, o bien se queda igual. En cualquier caso nunca disminuye Varianza La varianza, S 2, se define como la media de las diferencias cuadráticas de n puntuaciones con respecto a su media aritmética, es decir S 2 = 1 n (x i x) 2 (2.7) n i=1