Lic. Manuel de Jesús Campos Boc

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1 UNIVERSIDAD MARIANO GALVEZ DE GUATEMALA FACULTAD DE CIENCIAS DE LA ADMINISTRACIÓN DIRECCIÓN GENERAL DE CENTRO UNIVERSITARIOS CAMPUS VILLA NUEVA CURSO MATEMATICA FINANCIERA Lic. Manuel de Jesús Campos Boc DOCEAVA UNIDAD OPERACIONES A LORGO PLAZO IMPOSICIONES Y AMORTIZACIONES Cuando las cuotas de una anualidad se destinan a formar un capital (capitalización), la anualidad recibe el nombre de IMPOSICIÓN; y cuando es para cancelar una deuda, se llama AMORTIZACIÓN. En general hay dos sistemas para liquidar una deuda a largo plazo por medio de pagos iguales regulares que son: -Fondo de amortización o fondo de capitalización -Amortización 1.- Fondo de amortización o de capitalización Generalmente una deuda se puede cancelar con pagos periódicos (o abonos), que se hacen al acreedor. Sin embargo, puede suceder que por comodidad u otra razón, a esta persona no le interese recibir su dinero mediante abonos a cuenta, sino recibir el total hasta el final del plazo. A veces el deudor, por iniciativa propia, efectúa depósitos en forma regular en un banco u otra institución financiera, constituyendo así un fondo de amortización o de capitalización, que devenga intereses, en tal forma que la suma así acumulada permite cancelar el capital total, al llegar la fecha de vencimiento. Sin embargo, no sólo para cancelar una deuda se constituye un fondo, sino puede hacerse con otro propósito futuro: disponer del capital necesario para la reposición de activos fijos, como maquinaria, equipo, vehículos; para prevenir los gastos de jubilación del personal de la 1

2 empresa; para mantenimiento y construcción de vías de comunicación e infraestructura en general, o simplemente para comprar un bien material. Este sistema presenta algunas ventajas como: la obtención de una rebaja por compras al contado, evita al comprador el pago de intereses y recargos originados de ventas a plazos; además, la inversión sistemática (técnica o método de inversión), produce interese y se adquiere el hábito de la previsión y del ahorro. También este sistema presenta desventajas, como la de no disponer del objeto de la compra sino hasta el final del plazo y el alto riegos de comprar a mayor precio en épocas de inflación. Un fondo es una suma de dinero que se acumula mediante pagos periódicos, que ganan intereses en tal forma que a cierto plazo, se logra e En el caso de una deuda, esta permanece constante hasta que se complete el fondo, el cual no incluye los interese de la obligación, que tienen que ser considerados por separado. El fondo gana interese, pero no necesariamente a la misma tasa que le carga el acreedor. Este es un sistema de Acumulación o Capitalización, en donde por lo general las cuotas o abonos son iguales o nivelados y los intervalos de pagos no varían, y en consecuencia, estos fondos constituyen una aplicación más de las anualidades. Los problemas básicos del fondo son dos: a) Calcular la renta, cuota o contribución periódica. b) Elaborar la tabla de capitalizaciones o estado del fondo de amortización. En el caso del fondo siempre se hará referencia al valor acumulado o al vencimiento (monto), por ello, el material que comprende este capítulo se refiere a monto en las anualidades. Cada partida que se va reservando periódicamente, es una anualidad que gana intereses que se van capitalizando regularmente. -Variantes a considerar en el fondo En los problemas de fondo de amortización o de capitalización, participan los siguientes elementos:

3 S = Monto o capital de la deuda (la meta del fondo) Renta, cuota, aporte o controbución periodica n = Tiempo o término para acumulación del capital p = Numero de cuotas en el año i = La tasa de interses efectiva ganada por el fondo (capitalizable una vez al año) j = La tasa de interses nominal devengada por el fondo (capitalizable varias vez al año) m = Numero de capitalizaciones en el año -Procedimiento de elaboración de un fondo de amortización 1.- Calcular la renta o los depósitos periódicos, con base en el monto a acumular, la tasa de interés y el plazo establecido. Se aplica la fórmula de la renta según sea el caso de la anualidad. (Un pago tasa efectiva, varios pagos tasa efectiva y varios pagos tasa nominal)..- Establecer la tasa de interés equivalente a cada periodo de la renta, con base en el número de pagos y el número de capitalizaciones del interés en el año. Se aplica las formulas siguientes: FORMULAS DE TASA EQUIVALENTE 1.- UN PAGO, TASA EFECTIVA i = ( 1 + i ) VARIOS PAGOS, TASA EFECTIVA 1 / p i = ( 1 + i ) VARIOS PAGOS, TASA NOMINAL m / p i = ( 1 + j ) - 1 m 3.- Establecer la renta y la tasa equivalente a cada periodo de pago, elaborar el cuadro de estado del fondo de amortización. 3

4 APLICACIÓN PROBLEMA No. 1 Una empresa obtuvo un préstamo de Q 10, , que devenga interese del 8% anual, que deberá cancelar totalmente dentro de cuatro años. Para cumplir este compromiso, se ha constituido un fondo de amortización en un banco, que abono interese a sus depositarios del 7% anual. De cuanto deberá ser el depósito anual del fondo, cuyas sumas acumuladas se destinara a cubrir solo el capital de la deuda, no así los interese propio de la misma, que se deberán considerar por separado. PASO No. 1 CALCULO DE LA RENTA TASA EFECTIVA Un pago por año S x i n ( 1 + i ) - 1 DATOS: S = p = 1 PAGO AL AÑO i = 0.07 n = / 1 =? x 0.07 ( ) ( 1.07 ) ( ) ,5.8 CONTRIBUCIÓN O CUOTA ANUAL AL FONDO 4

5 PASO No. TASA EQUIVALENTE i = ( 1 + i ) - 1 i = ( ) - 1 i = ( 1.07 ) - 1 i = 0.07 "COMO ES TASA EFECTIVA UN PAGO AL AÑO, Y EL FONDO GENERA INTERÉS UNA VEZ AL AÑO NO, HAY NINGUN PROBLEMA. LA TASA ES EL 7% (ES EQUIVALENTE) PASO No. 3 TABLE O ESTADO DEL FONDO DE AMORTIZACIÓN O CAPITALIZACIÓN CALCULOS DE LOS INTERÉS POR AÑO I = R X i AÑO I =,5.8 X 0.07 = AÑO 3 I = 4,66. X 0.07 = AÑO 4 I = 7,40.86 X 0.07 = ESTADO DEL FONDO DE AMORTIZACIÓN CAPITAL DE EN 4 AÑOS TASA DE INTERÉS 7 % ANUAL 1 3 4=+3 5=5₁+4 AÑOS RENTA ANUAL INTERÉS GANADO TOTAL AGREGADO AL FONDO TOTAL ACUMULADO EN EL FONDO 1,5.8,5.8,5.8, , ,66. 3, , , , , ,

6 PROBLEMA No. Para solventar un compromiso de Q 5, a dos años plazo, se decidió formar un fondo especial al que se harán aportes semestrales que se acumularán en un banco, que reconoce a sus depositantes el 6% anual de interés. Encontrar el importe de la cuota, formulando la tabla de capitalización. PASO No. 1 CALCULO DE LA RENTA TASA EFECTIVA Varios pago por año 1 / p S ( 1 + i ) - 1 n ( 1 + i ) - 1 DATOS: S = 5, p = PAGO AL AÑO SEMESTRAL i = 0.06 n = / 1 =? 1 / 5, ( ) - 1 ( ) - 1 5, ( 1.06 ) - 1 ( 1.06 ) - 1 5, ( ) - 1 ( ) - 1 5, ( ) ( ) 5, ( ) 1, PASO No. TASA EQUIVALENTE 1 / p i = ( 1 + i ) / i = ( ) i = ( ) - 1 i = ( ) - 1 i =

7 PASO No. 3 TABLE O ESTADO DEL FONDO DE AMORTIZACIÓN O CAPITALIZACIÓN CALCULOS DE LOS INTERÉS POR AÑO I = R X i AÑO I = 1, X = AÑO 3 I =,47.18 X = AÑO 4 I = 3, X = PROBLEMA No. 3 Para cancelar una deuda de Q 1, , a cuatro años plazo, se constituyó un fondo de capitalización que devenga el 8% anual e interés, capitalizable semestralmente, al que se harán contribuciones anuales. Calcular la renta anual y preparar el plan del fondo. PASO No. 1 CALCULO DE LA RENTA TASA NOMINAL 5, EN AÑOS % SEMESTRAL 1 3 4=+3 5=5₁+4 SEMETRAL CAPITAL DE RENTA ANUAL ESTADO DEL FONDO DE AMORTIZACIÓN TASA DE INTERÉS INTERÉS GANADO TOTAL AGREGADO AL FONDO TOTAL ACUMULADO EN EL FONDO 1 1, , , , ,31.7, , , , , , , , , m / p S ( 1 + j ) - 1 m m n ( 1 + j ) - 1 m DATOS: S = 1, p = 1 PAGO AL AÑO ANUAL j = 00 m = n = / 1 =? 7

8 / 1 1, ( ) - 1 x 4.00 ( ) , ( ) - 1 ( ) - 1 1, ( ) - 1 ( ) - 1 1, ( 1600 ) ( ) 1, ( ) PASO No. TASA EQUIVALENTE m / p i = ( 1 + j ) - 1 m / 1 i = ( 1 + ) - 1 i = ( ) - 1 i = ( ) - 1 i = 1600 PASO No. 3 TABLE O ESTADO DEL FONDO DE AMORTIZACIÓN O CAPITALIZACIÓN CALCULOS DE LOS INTERÉS POR AÑO I = R X i AÑO I = 1.40 X 1600 = AÑO 3 I = X 1600 = AÑO 4 I = X 1600 =

9 CAPITAL DE ESTADO DEL FONDO DE AMORTIZACIÓN TASA DE INTERÉS 1, EN 4 AÑOS 1600 % ANUAL 1 3 4=+3 5=5₁+4 AÑOS RENTA ANUAL INTERÉS GANADO TOTAL AGREGADO AL FONDO TOTAL ACUMULADO EN EL FONDO , , Fondos de amortización con participación de varias tasas de interés En algunas ocasiones los créditos se contratan con una tasa de interés variable. Cuando se está amortizando una deuda y sucede el cambio en la tasa de interés, se le presenta al deudor la alternativa entre seguir cancelando la misma cuota nivelada y modificar el plazo, o bien mantener el mismo plazo pactado y modificar el pago periódico. En el caso de la acumulación de fondos lo que sucede cuando se modifica la tasa de interés, es que si se sigue haciendo los depósitos por el mismo valor el fondo se acumula en un periodo diferente al pactado inicialmente, o que se acumule el fondo en el plazo establecido originalmente y lo que varíe sea el valor de cada deposito. En resumen la modificación de la tasa de interés repercute en el plazo y/o la renta convenidos inicialmente. En las operaciones a largo plazo es muy común que sucedan estos cambios de la tasa de interés. Lo que se recomienda para trabajar adecuadamente los problemas que se presentan al respecto, es identificar bien los periodos en que se estuvieron vigentes cada una de las tasa de interese y sobre esa base definir las distintas anualidades que correspondan. 9

10 APLICACIÓN PROBLEMA No. 1 Cual deberá ser el aporte anual para construir un fondo de amortización de Q 6, , en cinco años, si este devenga el 7% anual durante tres años, y el 8% anual durante los dos siguientes. Elabora el plan del fondo de amortización. CALCULO DE LA RENTA TASA EFECTIVA Un pago por año S S k t t ( 1 + i ) - 1 X ( 1 + i₁ ) + ( 1 + i₁ ) - 1 i i₁ 6, ( X ( 1 + ) + ( 1 + ) ( 1.07 ) - 1 X ( 1.08 ) + ( 1.08 ) , ( ) - 1 X ( ) + ( ) , ( ) X ( ) + ( ) , ( ) X ( ) + ( ) 6, k t t ( 1 + i ) - 1 X ( 1 + i₁ ) + ( 1 + i₁ ) - 1 i i₁ DATOS: S = 6, p = 1 PAGO AL AÑO k = Tiempo 1 k = / 1 = t = Tiempo i = 0.07 i = Tasa de Interés 1 t = / 1 = i ₁ = Tasa de Interés i₁ =? 6, ,09.18 CONTRIBUCIÓN O CUOTA ANUAL AL FONDO 10

11 PASO No. TASA EQUIVALENTE i = ( 1 + i ) - 1 i = ( 1 + i₁ ) - 1 i = ( ) - 1 i = ( 1 + ) - 1 i = ( 1.07 ) - 1 i = ( 1.08 ) - 1 i = 0.07 i₁ = PASO No. 3 TABLE O ESTADO DEL FONDO DE AMORTIZACIÓN O CAPITALIZACIÓN CALCULOS DE LOS INTERÉS POR AÑO I = R X i AÑO I = 1,09.18 X 0.07 = 7.04 AÑO 3 I =, X 0.07 = AÑO 4 I = 3,308.7 X = AÑO 5 I = 4,60.61 X = CAPITAL DE 6, EN 3 AÑOS TASA DE INTERÉS 0.07 % ANUAL 1 3 4=+3 5=5₁+4 AÑOS RENTA ANUAL ESTADO DEL FONDO DE AMORTIZACIÓN 0.07 INTERÉS GANADO TOTAL ACUMULADO EN EL FONDO 1 1, , , , ,101.3, , , , , , , , , , , , TOTAL AGREGADO AL FONDO 11

12 .- Sistema de amortizaciones Es el proceso mediante el cual se cancela gradualmente una deuda con una serie de abonos o pagos periódicos, de los cuales una parte sirve para pagar los intereses sobre saldos y el resto para abonar al capital de la deuda. Cada renta debe ser mayor que los intereses sobre saldos para que se pueda amortizar parte de ella al capital. Si no es así no existe amortización. Se parte del valor actual de una anualidad. -Principales aplicaciones: cancelación de préstamos de vivienda mediantes cuotas nivelas, pagos de créditos, cancelación de aparatos eléctricos mediante abonos del mismo valor, liquidaciones de adeudos con cuotas nivelas y otros. -Procedimiento para elaboración de un sistema de amortización 1.- Calcular la renta o las amortizaciones o abonos periódicos, con base en el valor actual de la deuda a amortizar, la tasa de interés y el plazo establecido. Se aplica la fórmula de la renta según el caso de la anualidad..- Establecer la tasa de interés equivalente a cada periodo de la renta, con base en el número de pagos y el número de capitalizaciones del interés en el año. Se aplica la formula según sea el caso. 3.- Establecida la renta y la tasa equivalente a cada periodo de pago, elaborar el cuadro de estado de amortización. APLICACIÓN PROBLEMA No. 1 Un banco otorgó un crédito de Q 10, , a cuatro años plazo, que devenga el 8% anual de interés y deberá cancelarse mediante pagos anuales vencidos. Que abono deberá hacerse al banco para amortizar gradualmente esta obligación. Elaborar el estado de amortización. 1

13 PASO No. 1 CALCULO DE LA RENTA TASA EFECTIVA Un pago por año 1 - A 1 ( 1 + i ) i DATOS: A = p = 1 PAGO AL AÑO i = n = / 1 =? n 1 - ( 1 + ) ( 1.08 ) ( ) 1 - ( ) ,019.1 RENTA ANUAL 13

14 PASO No. 3 TABLE DE ESTADO DE AMORTIZACIÓN ESTADO DE AMORTIZACIÓN CAPITAL DE EN 4 AÑOS TASA DE INTERÉS % ANUAL 1 3=5x% 4=-3 5=5₁+4 FIN DE AÑO PAGO ANUAL INTERÉS DEUDA AMORTIZACIÓN A CAPITAL CAPITAL POR AMORTIZAR 0 1 3, ,19.1 7, , , , , ,588.48, , , ,076.83, PROBLEMA No. Una deuda de Q 6, , se amortizará en dos años, mediante pagos trimestrales vencidos, la cual devenga interese del 8% anual. Calcular el pago anual que incluye intereses y abonos de capital. PASO No. 1 CALCULO DE LA RENTA TASA EFECTIVA Varios pago por año 1 / p A ( 1 + i ) n 1 - ( 1 + i ) DATOS: A = 6, p = 4 PAGO AL AÑO i = n = / 1 =? TRIMESTRAL 14

15 1 / 4 6, ( 1 + ) ( 1 + ) 6, ( 1.08 ) ( 1.08 ) 6, ( ) ( ) 6, ( ) ( ) PASO No. TASA EQUIVALENTE 1 / p i = ( 1 + i ) / 4 i = ( 1 + ) - 1 i = ( ) - 1 i = ( ) - 1 i =

16 PASO No. 3 TABLE DE ESTADO DE AMORTIZACIÓN ESTADO DE AMORTIZACIÓN CAPITAL DE 6, EN AÑOS TASA DE INTERÉS % TRIMESTRAL 1 3=5x% 4=-3 5=5₁+4 FIN TRIMESTRE PAGO TRIMESTRAL INTERÉS DEUDA AMORTIZACIÓN A CAPITAL CAPITAL POR AMORTIZAR 0 6, AÑO , , , , AÑO , , , , PROBLEMA No. 3 Un préstamo de Q 10, , con intereses del 8% anual capitalizable por semestres, se deberá cancelar en cinco pagos anuales vencidos iguales. Calcular el importe del pago nivelado y elaborar el plan de amortización. PASO No. 1 CALCULO DE LA RENTA TASA NOMINAL m / p A (( 1 + j ) - 1 ) m - mn 1 - ( 1 + j ) m DATOS: A = p = 1 PAGO AL AÑO j = m = n = / 1 =? ANUAL 16

17 / 1 (( 1 + ) - 1 ) 1 - ( 1 + ) - x 5.00 ( ) ( 1.04 ) ( ) ( ) ( 1600 ) ( ) ( ), PASO No. TASA EQUIVALENTE m / p i = ( 1 + j ) - 1 m / 1 i = ( 1 + ) - 1 i = ( ) - 1 i = ( ) - 1 i =

18 PASO No. 3 TABLE DE ESTADO DE AMORTIZACIÓN ESTADO DE AMORTIZACIÓN CAPITAL DE EN 5 AÑOS TASA DE INTERÉS 1600 % ANUAL 1 3=5x% 4=-3 5=5₁-4 FIN DE SEMESTRE PAGO SEMESTRAL INTERÉS DEUDA AMORTIZACIÓN A CAPITAL CAPITAL POR AMORTIZAR 0 1, , ,300.86, , , , , , , ,149.95, , , ,575.68, AMORTIZACIÓN CON BONOS Cuando las entidades necesitan de fondos adicionales para realizar sus operaciones, colocan en el mercado bonos u obligaciones, que van amortizando en n años. El bono es un certificado de préstamo mediante el cual, su entidad emisora se compromete a cancelar a su tenedor. a) Sus intereses hasta la fecha en que sea amortizado b) A pagar el valor del bono al llegar a su vencimiento APLICACIÓN PROBLEMA No. 1 Una empresa contrajo una deuda por Q 10, , representada por 100 bonos de Q cada uno, que rentan el 8% anual de interés, a amortizarse en cuatro años. Calcular el pago anual y elaborar el estado de amortización. 18

19 PASO No. 1 CALCULO DE LA RENTA TASA EFECTIVA Un pago por año 1 - A 1 ( 1 + i ) i DATOS: A = p = 1 PAGO AL AÑO i = n = / 1 =? n ( 1 + ) ( 1.08 ) ( ) 1 - ( ) ,019.1 RENTA ANUAL NIVELADA TEÓRICA PASO No. TABLE DE ESTADO DE AMORTIZACIÓN DE BONOS Como los bonos tienen un valor determinado (Q c/u), estos tienen que amortizarse en números completo o entero de títulos y no por fracción. De allí que en el cuadro de amortización NO se puede mantener la RENTA TEÓRICA antes obtenida (Q 3, 019.1). 19

20 Por ello, cuando después de calcular los intereses, el remanente de la renta teórica da oportunidad de amortizar un número exactos de bonos, quedando un sobrante si es mayor del 50% del valor nominal de un bono, se acostumbra amortizar un bono más. Si el sobrante es menor, solo se amortizan el número de títulos a que da margen la renta teórica ya calculada, despreciándose el remanente que puede quedar. CALCULO DE LOS BONOS VALOR DEL BONO C / U AÑO 1 RENTA TEÓRICA INTERÉS 3,019.1 ( X ) REMANENTE,19.1 = AÑO RENTA TEÓRICA 3,019.1 INTERÉS ( 7, X ) REMANENTE,395.1 = 4 BONOS BONOS AÑO 3 RENTA TEÓRICA 3,019.1 INTERÉS ( 5, X ) REMANENTE,587.1 = 6 BONOS AÑO 4 RENTA TEÓRICA 3,019.1 INTERÉS (, X ) 4.00 REMANENTE,795.1 = 8 BONOS POR TASA DE INTERÉS 100 BONOS EN 4 AÑOS % ANUAL CADA UNO 1 =3+4 3=6x% 4=5*valor del bono 5 6=6₁-4 FIN DE AÑO PAGO ANUAL INTERÉS ESTADO DE AMORTIZACIÓN DE BONOS AMORTIZACIÓN A CAPITAL BONOS AMORTIZADOS CAPITAL POR AMORTIZAR 0 1 3, , , , , , , , , , , ,080.00,

21 -Método convencional de amortización No es necesario amortizar un préstamo por medio de pagos iguales a intervalos regulares. Puede haber tantos planes diferentes de amortizaciones como prestamos; sin embargo, el más usado por ser el más científica, es el de pagos periódicos iguales a intervalos regulares, aunque también está muy difundido el de pago regular de importe decreciente. Estos son, pagos iguales sobre el capital y pagos decrecientes por interés. APLICACIÓN PROBLEMA No. 1 Una deuda de Q 30, , será amortizada durante cuatro años, mediante ocho pagos semestrales de Q 3, cada uno, o sea una octava parte del capital. De acuerdo a las cláusulas del contrato de préstamos, se cancelarán interese sobre saldos adeudados o insolutos, a razón del 1% anual capitalizable semestralmente. Elaborar la tabla de amortización, sujetándose a las condiciones pactadas entre deudor y acreedor. PASO No. 1 TASA EQUIVALENTE DATOS: VALOR DEL PAGO 3, A = 30, p = PAGO AL AÑO SEMESTRALES j = 0.1 m = n = / 1 = m / p i = ( 1 + j ) - 1 m / i = ( ) - 1 i = ( ) - 1 i = ( ) - 1 i =

22 PASO No. ESTADO DE AMORTIZACIÓN ESTADO DE AMORTIZACIÓN 30, EN 4 AÑOS CON PAGOS SEMESTRALES VENCIDOS 0.06 INTERÉS SEMESTRALES SOBRE SALDOS INSOLUTOS FIN DE SEMESTRALES TOTAL DEL PAGO DISTRIBUCIÓN DEL PAGO INTERESE SOBRE SALDO ADEUDALES AMORTIZACIÓN DE CAPITAL SALDO CAPITAL POR AMORTIZAR 1 =3+4 3=5₁*% 4 5=5₁ , , , , , , , ,750.00, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,000.00