Curs MAT CFGS-13

Transcripción

1 Curs MAT CFGS-13 Sigue la GEOMETRÍA (Nunca han puesto nada de esto, pero está en el programa) Definición de vectores Definición de vector: Un vector fijo es un segmento orientado que va del punto A (origen) al punto B (extremo). Módulo del vector: Es la longitud del segmento AB, se representa por Dirección y sentido del vector: Dirección de un vector: Es la dirección de la recta que contiene al vector o de cualquier recta paralela a ella. Sentido del vector: El que va del origen A al extremo B. Vectores opuestos: Dos puntos A y B determinan dos vectores fijos y, con sentido distinto, que se llaman vectores opuestos. Vector nulo: Un vector fijo es nulo cuando el origen y su extremo coinciden. Vector posición. Coordenadas de un Vecto r 1 Vector de posición de un punto en el plano de coordenadas El vector que une el origen de coordenadas O con un punto P se llama vector de posición del punto P. 2 Coordenadas o componentes de un vector en el plano Si las coordenadas de A y B son: Las coordenadas o componentes del vector son las coordenadas del extremo menos las coordenadas del origen. Hallar las componentes de un vector cuyos extremos son: 55

2 Un vector tiene de componentes (5, 2). Hallar las coordenadas de A si se conoce el extremo B(12, 3). Módulo de un vecto r. Distancia entre dos p untos El módulo de un vector es la longitud del segmento orientado que lo define. El módulo de un vector es un número siempre positivo y solamente el vector nulo tiene módulo cero. 1 Cálculo del módulo conociendo sus componentes 2 Cálculo del módulo conociendo las coordenadas de los puntos Distancia entre dos puntos La distancia entre dos puntos es igual al módulo del vector que tiene de extremos dichos puntos. Vector unitario Los vectores unitarios tienen de módulo la unidad. Normalizar un vector: Normalizar un vector consiste en obtener otro vector unitario, de la misma dirección y sentido que el vector dado. Para normalizar un vector se divide éste por su módulo. 56

3 Si es un vector de componentes (3, 4), hallar un vector unitario de su misma dirección y sentido. Suma y resta de vecto res Suma de vectores Para sumar dos vectores libres y se escogen como representantes dos vectores tales que el extremode uno coincida con el origen del otro vector. Regla del paralelogramo Se toman como representantes dos vectores con el origen en común, se trazan rectas paralelas a los vectoresobteniéndose un paralelogramo cuya diagonal coincide con la suma de los vectores. Para sumar dos vectores se suman sus respectivas componentes. Resta de vectores Para restar dos vectores libres y se suma con el opuesto de. Las componentes del vector resta se obtienen restando las componentes de los vectores. Producto de un número por un vector 57

4 El producto de un número k por un vector 1 De igual dirección que el vector. es otro vector: 2 Del mismo sentido que el vector si k es positivo. 3 De sentido contrario del vector si k es negativo. 4 De módulo Las componentes del vector resultante se obtienen multiplicando por K las componentes del vector. Ecuación vectoria l de la recta Definimos una recta r como el conjunto de los puntos del plano, alineados con un punto P y con una dirección dada. Si P(x 1, y 1) es un punto de la recta r, el vector tiene igual dirección que, luego es igual a multiplicado por un escalar: Una recta pasa por el punto A(-1, 3) y tiene un vector director = (2,5). Escribir su ecuación vectorial. Ecuaciones paramétricas de la recta A partir de la ecuación vectorial: Realizando las operaciones indicadas se obtiene: La igualdad de vectores se desdobla en las dos igualdades escalares: 58

5 Una recta pasa por el punto A(-1, 3) y tiene un vector director = (2,5). Escribir sus ecuaciones paramétricas. Ecuación punto-pendiente Pendiente La pendiente de una recta es la tangente del ángulo que forma la recta con la dirección positiva del eje OX. Pendiente dado el ángulo Pendiente dado el vector director de la recta Pendiente dados dos puntos 1 Si el ángulo que forma la recta con la parte positiva del eje OX es agudo, la pendiente es positiva y crece al crecer el ángulo: 2 Si el ángulo que forma la recta con la parte positiva del eje OX es obtuso, la pendiente es negativa y decrece al crecer el ángulo. Ecuación punto-pendiente Partiendo de la ecuación continua la recta Y quitando denominadores: 59

6 Y despejando: Como Se obtiene: Ejemplos: 1 Una recta pasa por el punto A(-1, 3) y tiene un vector director = (2,5). Escribir su ecuación punto pendiente. 2 Hallar la ecuación de la recta que pasa por los puntos A(-2, -3) y B(4,2). 3 Hallar la ecuación de la recta que pasa por A(-2, -3) y tiene una inclinación de 45. Ecuación continua de la recta Si de las ecuaciones paramétricas despejamos el parámetro k. Y si igualamos, queda: Una recta pasa por el punto A(-1, 3) y tiene un vector director = (2,5). Escribir su ecuación continua. Ecuación general de la recta Partiendo de la ecuación continua la recta Y quitando denominadores se obtiene: 60

7 Trasponiendo términos: Haciendo Se obtiene Esta expresión recibe el nombre de ecuación general o implicita de la recta. De esta forma se acostumbra a dar la respuesta cuando se pide la ecuación de una recta. Las componentes del vector director son: La pendiente de la recta es: Ejemplos: 1 Hallar la ecuación de la que pasa por A (1,5) y tiene como vector director igual (-2, 1). 2 Hallar la ecuación de la que pasa por A (1,5) y tiene como pendiente m=-2. Ecuación explícita de la recta Si en la ecuación general de la recta despejamos y, se obtienen: El coeficiente de la x es la pendiente, m. El término independiente, b, se llama ordenada en el origen de una recta siendo (O, b) el punto de corte con el eje OY. Hallar la ecuación en forma explícita de la recta que pasa por A (1,5) y tiene como pendiente m=-2. Ecuación de la recta que pasa por dos puntos 61

8 Sean los puntos A (x 1, y 1) y B (x 2, y 2) que determina una recta r. Un vector director de la recta es: cuyas componentes son: Sustituyendo estos valores en la forma continua: Hallar la ecuación de la recta que pasa por A(1,3) y B(2,-5). 62