Contrastes sobre la media Sea X 1, X 2,..., X n una m.a.s. extraída de una población normal X con media desconocida µ. Se desea contrastar:

Transcripción

1 sobre la media Sea X 1, X 2,..., X n una m.a.s. extraída de una población normal X con media desconocida µ. Se desea contrastar: H 0 : µ = µ 0 Si H 0 es cierta, X N(µ 0, σ), de donde D 1 = X µ 0 n σ N(0, 1) D 2 = X µ 0 n Ŝ tn 1 siendo Ŝ la desviación típica l corregida.

2 Ejemplo Se cree que en la actualidad la longitud media del antebrazo de los varones adultos de una determinada población supera los 45 5 centímetros. Seleccionada al azar una de 15 varones adultos de la citada población, se obtuvieron las siguientes longitudes (en centímetros) de sus antebrazos: 43 9, 46 7, 53 1, 42 7, 47 5, 52 1, 45 5, 51 8, 46 5, 52 1, 48 3, 44 5, 46, 43 4 y Interesa contrastar la hipótesis H 0 : µ = 45 5 frente a H 1 : µ > 45 5, donde µ denota la longitud media del antebrazo.

3 Ejemplo Supuesta la normalidad de la variable X = longitud del antebrazo y la independencia de las observaciones les, el para el contraste anterior es: ( p = P t 14 > X ) Ŝ De las 15 observaciones les se obtiene X = y Ŝ = 3 403, de modo que p = P (t 14 > ) = Obsérvese que el contraste es significativo a un 5% pero no a un 1%. Quizá sería apropiado aumentar el tamaño de la.

4 sobre la media En ausencia de la normalidad de X, el T.C.L. garantiza que para un tamaño l suficientemente grande (n > 30), la distribución de X también puede aproximarse por una N ( µ, σ/ n ). Si σ es desconocida, debemos acudir al estadístico de contraste D 2, que, en este nuevo contexto se considera la aproximación ( ) X N µ 0, Ŝ/ n si n 30 habrá que acudir entonces a contrastes no, como el contraste de los signos o el de los rangos con signo de Wilcoxon.

5 sobre la media. Determinación del tamaño l Supongamos que, a efectos prácticos, sea importante que el contraste, realizado a un nivel α, resulte significativo cuando el valor real de µ sea µ 0 + ε H 1, ε R. Qué tamaño deberá tener una para que ello ocurra con una potencia prefijada de antemano 1 β(µ 0 + ε)? Consideraremos en primer lugar unilateral de la forma H 1 : µ > µ 0 y supondremos que se conoce σ. Si H 0 es cierta D 1 N(0, 1), pero si es H 1 la correcta, ( y en ε ) concreto µ = µ 0 + ε, ε > 0, entonces D 1 N n, 1. σ

6 sobre la media. Determinación del tamaño l Fijado α, la probabilidad de error de tipo II es β(µ 0 + ε) = P ( no rechazar H 0 / H 1 es cierta ) / ( ε )) = P (D 1 z α D 1 N n, 1 ( σ = P Z ε / ) n + zα Z N(0, 1) σ Equivalentemente, ε σ n + zα = z 1 β(µ0 +ε) = z β(µ0 +ε)

7 sobre la media. Determinación del tamaño l Denotando β = β(µ 0 + ε), se deduce de la expresión anterior ( ) zα + z 2 β n = σ 2 ε que especifica el tamaño l como función del nivel de significación y del error de tipo II cuando µ = µ 0 + ε.

8 Determinación del tamaño l. Comentarios 1 El valor de n anterior debe interpretarse como el tamaño l mínimo para que un 100(1 β)% de las veces que realicemos el contraste a un nivel de significación α, detectemos que la verdadera media dista ε de µ 0. 2 Si el contraste propuesto es unilateral a la izquierda (H 1 : µ < µ 0 ), la expresión anterior es igualmente válida para detectar µ = µ 0 ε, ε > 0. 3 Si el contraste es bilateral la distancia ε puede manifestarse en las dos direcciones: µ 0 + ε y µ 0 ε, obteniéndose: ( ) zα/2 + z 2 β n σ 2 ε

9 Ejemplo En el ejemplo de los antebrazos, supuesto que se va a resolver con un nivel de significación del 5%, qué número de varones adultos habría que examinar para detectar con probabilidad 0 9 una longitud media real del antebrazo igual a σ, siendo σ la desviación típica de X? Se pretende que la potencia del contraste en σ sea igual a 0 9 y, equivalentemente, la probabilidad de cometer un error de tipo II en σ sea 0 1. De acuerdo con las fórmulas anteriores el tamaño l será ( ) z0 n 05 + z 2 ( ) = 5 0 = El número mínimo requerido sería de 35 varones.

10 sobre la varianza en poblaciones normales Si se ha tomado una de tamaño n de una población normal X y se está interesado en contrastar la hipótesis nula H 0 : σ 2 = σ 2 0, bajo H 0, Si la media es desconocida: (n 1)Ŝ 2 i=1 σ 2 0 σ 0 χ 2 n 1 Si la media es conocida: n ( ) Xi µ 2 χ 2 n

11 para una proporción El objetivo es contrastar un valor postulado para la proporción de individuos de una población que verifican determinada característica A, es decir, H 0 : p = p 0. Se toma una de tamaño n y se evalua sobre cada una de las n unidades les el cumplimiento o no de A. La proporción l p, si n > 30, bajo H 0 : p = p 0, el estadístico p p 0 p0 (1 p 0 ) se distribuye, aproximadamente, según una N(0, 1). n

12 Ejemplo Informes del Ministerio de Educación apuntan a que la proporción (p) de estudiantes de Informática que llegan a la Facultad manejando con soltura algún lenguaje de programación es de un 40%. El Decanato de la Facultad no da excesivo crédito a tal afirmación y opta por preguntar a diez estudiantes de primer curso acerca de este tema, resultando que en el momento de matricularse sólo 3 dominaban bien un lenguaje de programación. Tenía razón el Decanato al dudar de la afirmación inicial?

13 Ejemplo Utilizando la aproximación normal resulta: = de modo que un valor aproximado para el es: p = 2P ( Z ) = =

14 con dos s Contraste de igualdad de varianzas para dos poblaciones normales independientes Sean X 1,..., X n e Y 1,..., Y m dos m.a.s. obtenidas de dos poblaciones normales e independientes Se desea contrastar la hipótesis nula H 0 : σx 2 = σ2 Y La normalidad e independencia de las poblaciones permite afirmar que si H 0 es cierta, entonces (n 1)Ŝ X 2 σ 2 X (m 1)Ŝ 2 Y σ 2 Y χ 2 n 1 χ 2 m 1 = Ŝ 2 X Ŝ 2 Y F n 1,m 1

15 con dos s para comparar medias. Muestras independientes y varianzas conocidas Sean X 1,..., X n e Y 1,..., Y m dos m.a.s. de X e Y que supondremos normales. Interesa contrastar la hipótesis nula de H 0 : µ X = µ Y o, equivalentemente, H 0 : µ X µ Y = 0. Si ambas s han sido recogidas con independencia, bajo H 0, X Y σ 2 X n + σ2 Y m N(0, 1)

16 con dos s para comparar medias. Muestras independientes y varianzas desconocidas pero iguales Las hipótesis de independencia y normalidad garantizan que, si H 0 es cierta X Y t n+m 2 Ŝ T 1 n + 1 m con Ŝ T 2 = (n 1)Ŝ X 2 + (m 1)Ŝ Y 2 el estimador insesgado más n + m 2 eficiente de la varianza poblacional utilizando ambas s.

17 con dos s para comparar medias. Muestras independientes y varianzas desconocidas y no iguales Cuando H 0 es cierta, el estadístico: X Y ŜX 2 n + Ŝ Y 2 m siendo δ el entero más próximo a t n+m 2 δ, ψ = [(m 1)ψ 1 (n 1)ψ 2 ] 2 (m 1)ψ (n 1)ψ2 2 con ψ 1 = Ŝ 2 X n y ψ 2 = Ŝ 2 Y m.

18 con dos s para comparar medias. Muestras apareadas Se considera la nueva variable aleatoria D = X Y. Si D se supone normal con media µ D y varianza σ 2 D. Contrastar H 0 : µ X = µ Y equivale a contrastar H 0 : µ D = 0 y para ello disponemos de una m.a.s. sin más que considerar los valores D i = X i Y i obtenidos a partir de la apareada (X i, Y i ). Bajo H 0, D n tn 1 Ŝ D y este puede ser utilizado como estadístico de contraste transformando el problema original en el contraste de una media bajo condiciones de normalidad.

19 con dos s para comparar medias. Ausencia de normalidad Si las s son grandes el T.C.L. garantiza que la aproximación normal para las distribuciones de X e Y (caso de s independientes), o de D (caso de s apareadas) es adecuada y, por consiguiente, la violación de la hipótesis de normalidad no es especialmente preocupante. Más aún, se ha demostrado que el test t de Student es muy robusto (insensible) a las desviaciones de la normalidad y por todo ello los estadísticos utilizados proporcionan regiones críticas razonablemente válidas para tamaños les grandes (pongamos n > 30). Si las s son pequeñas se dispone de los contrastes no.

20 con dos s para comparar dos proporciones Contrastar la hipótesis nula H 0 : p X = p Y donde p X y p Y denotan, respectivamente, las proporciones de elementos de las poblaciones X e Y que verifican una cierta característica que denotaremos por A. Si n > 30, m > 30, p X y p Y son ( independientes y con distribuciones aproximadas N p X, ) p X (1 p X )/n y ( N p Y, ) p Y (1 p Y )/m respectivamente.

21 con dos s para comparar dos proporciones Bajo H 0 : p X = p Y = p, se deduce que p X p Y ( 1 p(1 p) n + 1 ) m es aproximadamente N(0, 1). Como no se conoce p, se sustituye por su estimador p = n p X + m p Y n + m

22 Relación entre intervalos de confianza y contrastes de hipótesis Si θ 0 pertenece al intervalo de confianza construido para θ a un nivel de confianza 1 α, entonces H 0 : θ = θ 0 será aceptada frente a H 1 : θ θ 0 cuando el contraste se realiza con un nivel de significación α y con la misma información l. Por ejemplo, a un nivel α, H 0 : µ = µ 0, con µ la media de una población normal X con varianza desconocida, será aceptada siempre y cuando ) Ŝ Ŝ (µ 0 t n 1,α/2 n, µ 0 + t n 1,α/2 n X o, equivalentemente, cuando ) Ŝ Ŝ (X t n 1,α/2 n, X + t n 1,α/2 n µ 0