Conceptos básicos de inferencia estadística (II): Contrastes de hipótesis (repaso)

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1 Conceptos básicos de inferencia estadística (II): Contrastes de hipótesis (repaso) Tema 1 (II) Estadística 2 Curso 08/09 Tema 1 (II) (Estadística 2) Contrastes de hipótesis Curso 08/09 1 / 21

2 Contrastes de hipótesis Objetivo Objetivo: Decidir, a partir de la información que proporciona una muestra, entre dos hipótesis sobre alguna característica de la v.a. de interés X : hipótesis nula (H 0 ) y hipótesis alternativa (H 1 ). (controlando el riesgo de equivocarse al no disponer de toda la información) Hipótesis estadística: enunciado/a rmación sobre una o varias características de interés de un modelo de probabilidad: Paramétrica: sobre los valores de algún parámetro (desconocido) Simple: especi ca un único valor (p.e.: µ = 10, µ X = µ Y,...) Compuesta: especi ca un conjunto de valores (p.e.: µ 10, µ X µ Y,...) No Paramétrica: a rmación sobre otra característica de la población (p.e.: la distribución es normal, las observaciones son independientes,...) Tema 1 (II) (Estadística 2) Contrastes de hipótesis Curso 08/09 2 / 21

3 Idea Idea: Aceptar la hipótesis nula H 0 salvo que exista una "clara evidencia" en contra (en lo observado). Población Muestra Rechazamos H 0 Analizamos una muestra Suponiendo H 0 cierta, es poco probable obtener lo observado? SI NO H 0 falsa Ocurrió algo poco probable (asumimos el riesgo) No hay evidencias para rechazar H 0 Aceptamos H 0 P ("suceso raro" j H 0 cierta) = P (rechazar H 0 j H 0 cierta) = α (nivel de signi cación riesgo asumible al rechazar H 0 siendo cierta). Tema 1 (II) (Estadística 2) Contrastes de hipótesis Curso 08/09 3 / 21

4 Pasos Contrastes de hipótesis Pasos 1 Formular claramente la hipótesis nula y la alternativa. Ejemplo: H0 : θ 2 Ω 0 H 1 : θ 2 Ω 1 (= RnΩ 0 normalmente) (y jar el nivel de signi cación). 2 Elección del estadístico del contraste: medida de discrepancia entre la muestra observada y la hipótesis H 0. Ejemplo: D (X 1,..., X n ; H 0 ) = ˆΘ n θ 0 σ ˆΘ n (estadístico con distribución conocida bajo H 0 ). 3 Determinación la región de de rechazo (o región crítica): R.R.=valores que tiende a tomar el estadístico cuando H 1 es cierta (normalmente valores grandes de D). Ejemplo: ( ) ˆΘ n θ 0 R.R. d (α) σ ˆΘ n Tema 1 (II) (Estadística 2) Contrastes de hipótesis Curso 08/09 4 / 21

5 Pasos Esta región se establece de modo que: P (D 2 R.R. j H 0 cierta) = α (P (D 2 R.A. j H 0 cierta) = 1 α). Aunque en ciertos casos (hipotesis nula compuesta): P (D 2 R.R. j H 0 cierta) α 4. Realización del contraste: Se rechaza H 0 si el valor observado del estadístico ˆd = D (x 1,..., x n ; H 0 ) 2 R.R. (si ocurre un suceso poco probable bajo H 0, i.e. gran discrepancia entre lo observado y H 0 ), en caso contrario se acepta. Si se rechaza H 0 (se acepta H 1 ) se dice que el contraste es estadísticamente signi cativo (no signi cativo en caso contrario). Tema 1 (II) (Estadística 2) Contrastes de hipótesis Curso 08/09 5 / 21

6 Regiones de aceptación y rechazo Regiones de aceptación y rechazo Las regiones de aceptación y rechazo dependen de H 1. Contraste bilateral: H0 : θ = θ 0 H 1 : θ 6= θ 0 Tema 1 (II) (Estadística 2) Contrastes de hipótesis Curso 08/09 6 / 21

7 Regiones de aceptación y rechazo Contraste unilateral: H0 : θ θ 0 H ) 0 : θ = θ 0 H 1 : θ < θ 0 H 1 : θ < θ 0 NOTA: P (R.R. j H 0 cierta) α Tema 1 (II) (Estadística 2) Contrastes de hipótesis Curso 08/09 7 / 21

8 Regiones de aceptación y rechazo Contraste unilateral: H0 : θ θ 0 H ) 0 : θ = θ 0 H 1 : θ > θ 0 H 1 : θ > θ 0 NOTA: P (R.R. j H 0 cierta) α Tema 1 (II) (Estadística 2) Contrastes de hipótesis Curso 08/09 8 / 21

9 Relación entre Contrastes de Hipótesis e Intervalos de Con anza Contrastes de Hipótesis e Intervalos de Con anza Puede verse que: θ 0 2 IC (1 α) (θ) () Aceptamos H 0 : θ = θ 0 con nivel de signi cación α Ejemplo: µ 0 2 x t n 1,1 α/2 bs p n () t n 1,1 α/2 < x µ 0 bs p n < t n 1,1 α/2 NOTA: No realizaremos contrastes de hipótesis a partir de intervalos de con anza (salvo en los casos que se indique). Con la metodología de contrastes de hipótesis podemos obtener información adicional con el p-valor o nivel crítico. Tema 1 (II) (Estadística 2) Contrastes de hipótesis Curso 08/09 9 / 21

10 p-valor o nivel crítico p-valor o nivel crítico Si ˆd = D (x 1,..., x n ; H 0 ) es el valor observado del estadístico del contraste, se denomina valor crítico o p-valor a: Menor valor del nivel de signi cación para el que se rechaza H 0. Probabilidad de obtener una discrepancia mayor o igual que bd cuando H 0 es cierta. Probabilidad de obtener un resultado tan extraño o más que el observado bajo H 0 Regla de decisión: p α ) Aceptamos H 1 (con mayor seguridad cuanto más pequeño) p > α ) Aceptamos H 0 (con mayor seguridad cuanto más grande) Tema 1 (II) (Estadística 2) Contrastes de hipótesis Curso 08/09 10 / 21

11 Cálculo del p-valor Contrastes de hipótesis p-valor o nivel crítico El p-valor depende de H 1 (de modo análogo a la R.R.): H 1 R.R. p-valor H 1 : θ 6= θ 0 (, d α/2 ) [ (d 1 α/2, ) 2P D ˆd j H 0 H 1 : θ < θ 0 (, d α ) P D ˆd j H 0 H 1 : θ > θ 0 (d 1 α, ) P D ˆd j H 0 NOTA: Suponiendo distribución simétrica en el caso bilateral H 1 : θ 6= θ 0, si fuese asimétrica: p = 2 min P D ˆd j H 0, P D ˆd j H 0 Tema 1 (II) (Estadística 2) Contrastes de hipótesis Curso 08/09 11 / 21

12 Tipos de error Contrastes de hipótesis Tipos de error Situación H 0 cierta H 0 falsa Decisión Aceptar H 0 Correcto Error Tipo II Rechazar H 0 Error Tipo I Correcto Nivel de signi cación del contraste: α = P (Error Tipo I) = P (rechazar H 0 j H 0 cierta) P (aceptar H 0 j H 0 cierta) = 1 α. Tamaño: β (θ) = P (Error Tipo II) = P (aceptar H 0 j H 0 falsa) Potencia del contraste: 1 β (θ) = P (rechazar H 0 j H 0 falsa) Tema 1 (II) (Estadística 2) Contrastes de hipótesis Curso 08/09 12 / 21

13 Tipos de error Decisión Aceptar H 0 Rechazar H 0 Situación H 0 cierta H 0 falsa Correcto Error Tipo II 1 α β (θ) Error Tipo I Correcto α 1 β (θ) Lo ideal sería que α y β fuesen lo menores posibles; sin embargo, jado un tamaño muestral n, si disminuimos la probabilidad de un error aumenta la probabilidad del otro. Aproximación de Neyman-Pearson: Únicamente se controla la probabilidad de error Tipo I; jado α, se escoge el método que proporcione mayor potencia (aunque no se controla el error tipo II). Aceptar H 1 es una decisión able (controlamos la probabilidad de error): hipótesis de interés. Al aceptar H 0 no controlamos la probabilidad de error: hipótesis neutra. Tema 1 (II) (Estadística 2) Contrastes de hipótesis Curso 08/09 13 / 21

14 Potencia de un contraste Potencia de un contraste Se denomina potencia de un contraste a la función que asigna a cada posible valor del parámetro θ la probabilidad de rechazar H 0 cuando θ es el verdadero: Potencia : Ω! [0, 1] θ Pot (θ) = P (rechazar H 0 j θ) Se utiliza para medir la bondad de un test de hipótesis. Se veri ca que: Pot (θ) = 1 β(θ), 8θ 2 H 1 Pot (θ) α, 8θ 2 H 0 Tema 1 (II) (Estadística 2) Contrastes de hipótesis Curso 08/09 14 / 21

15 Ejemplos Contrastes de hipótesis Potencia de un contraste H 1 : µ 6= 0 H 1 : µ > 0 1 Curva de Potencia alpha = 0.05, sigma = Curva de Potencia alpha = 0.05, sigma = 1.0 Potencia Media Verdadera Potencia Media Verdadera Tema 1 (II) (Estadística 2) Contrastes de hipótesis Curso 08/09 15 / 21

16 Algunos contrastes paramétricos de interés Algunos contrastes paramétricos de interés Contrastes para la media de una población normal (varianza desconocida) Suponemos que X N µ, σ 2 con σ 2 desconocida Se pretende realizar alguno de los contrastes: H0 : µ = µ 0 H 1 : µ 6= µ 0 H0 : µ µ 0 H 1 : µ < µ 0 H0 : µ µ 0 H 1 : µ > µ 0 a partir de una m.a.s. de tamaño n. El estadístico del contraste es: T = X µ 0 bs p n Sup. µ=µ 0 t n 1 Tema 1 (II) (Estadística 2) Contrastes de hipótesis Curso 08/09 16 / 21

17 Algunos contrastes paramétricos de interés Se rechaza H 0 si el valor observado del estadístico: ˆt = x µ 0 bs p n 2 R.R Equivalentemente si el p-valor es pequeño p α. Donde: H 1 R.R. p-valor H 1 : µ 6= µ 0 (, t n 1,1 α/2 ) [ (t n 1,1 α/2, ) 2P (t n 1 jˆtj) H 1 : µ < µ 0 (, t n 1,1 α ) P (t n 1 ˆt) H 1 : µ > µ 0 ( t n 1,1 α, ) P (t n 1 ˆt) Tema 1 (II) (Estadística 2) Contrastes de hipótesis Curso 08/09 17 / 21

18 Diferencia de medias de dos poblaciones normales independientes Contrastes para la diferencia de medias de dos poblaciones normales independientes (con varianzas iguales) Suponemos X N µ X, σ 2 X e Y N µy, σ 2 Y independientes con σ 2 X = σ2 Y = σ2 Se pretende realizar alguno de los contrastes: H0 : µ X = µ Y H0 : µ X µ Y H0 : µ X µ Y 6= µ Y < µ Y > µ Y a partir de dos m.a.s. independientes de tamaños n y m. El estadístico del contraste es: T = X Y bs r 1 n + 1 m donde bs 2 = (n 1) bs 2 X + (m 1) bs 2 Y n + m 2 Sup. µ X =µ Y t n+m 2 Tema 1 (II) (Estadística 2) Contrastes de hipótesis Curso 08/09 18 / 21

19 Diferencia de medias de dos poblaciones normales independientes Se rechaza H 0 si el valor observado del estadístico: ˆt = r x y 1 bs n R.R m Equivalentemente si el p-valor es pequeño p α. Donde: H 1 R.R. p-valor (, t 6= µ n+m 2,1 α/2 ) Y 2P (t [(t n+m 2,1 α/2, ) n+m 2 jˆtj) < µ Y (, t n+m 2,1 α ) P (t n+m 2 ˆt) > µ Y ( t n+m 2,1 α, ) P (t n+m 2 ˆt) Tema 1 (II) (Estadística 2) Contrastes de hipótesis Curso 08/09 19 / 21

20 Diferencia de medias de dos poblaciones normales apareadas Contrastes para la diferencia de medias de dos poblaciones normales con datos apareados Suponemos X N µ X, σ 2 X e Y N µy, σ 2 Y apareadas (dos características de un mismo individuo, supuestamente dependientes) Se pretende realizar alguno de los contrastes: H0 : µ X = µ Y 6= µ Y H0 : µ X µ Y < µ Y H0 : µ X µ Y > µ Y a partir de dos m.a.s. (dependientes) apareadas de tamaño n: (X 1, Y 1 ),..., (X n, Y n ) Como la variable diferencia es normal: Z = Y X N µ X µ Y, σ 2 Z NOTA: σ 2 Z = σ2 X + σ2 Y 2σ XY Tema 1 (II) (Estadística 2) Contrastes de hipótesis Curso 08/09 20 / 21

21 Los contrastes se pueden expresar en función de: Diferencia de medias de dos poblaciones normales apareadas µ Z = µ X µ Y y se pueden resolver a partir de la muestra de las diferencias: (Z 1, Z 2,..., Z n ), con Z i = X i Y i considerando el estadístico del contraste: Obteniéndose: T = Z bs Z p n Sup. µ Z =0 t n 1 H 1 R.R. p-valor 6= µ Y (, t n 1,1 α/2 ) [ (t n 1,1 α/2, ) 2P (t n 1 jˆtj) < µ Y (, t n 1,1 α ) P (t n 1 ˆt) > µ Y ( t n 1,1 α, ) P (t n 1 ˆt) Tema 1 (II) (Estadística 2) Contrastes de hipótesis Curso 08/09 21 / 21