EXAMEN DE FUNCIONES. 1 cosx (0.7 p)

Transcripción

1 EXAMEN DE FUNCIONES Se recomienda: a) Antes de hacer algo, leer todo el eamen. b) Resolver antes las preguntas que se te den mejor. c) Responde a cada parte del eamen en una hoja distinta. d) Es una hoja de eamen por las dos caras sobre la que no se escribe nada. e) Resuelve detalladamente el problema para obtener todos los puntos del mismo. f) El eamen se hará a bolígrafo, NUNCA a lápiz. 1. Se considera la función real de variable real definida por: f a if 1 3 b if 1 1 a ln if 1 Se pide: 1.1 Calcúlese a, b para que f sea continua en todos los puntos. ((0.3 p0.1 p))(# 1.7 p) 1. Representa el resultado final. (3. p)(#1. p)(# 3. p). Escribe la siguiente función como composición de funciones elementales: g cos 1 cos (0.7 p) 3. La profundidad de la capa de arena en una plaa se verá afectada por la construcción de un dique. En una zona de la plaa, esa profundidad vendrá dada por la siguiente función: t if 0 t 1 Pt 8t t 1 t if t 1 P es la profundidad en metros t el tiempo en años desde el inicio de la construcción. Si la profundidad llegara a superar los 4 metros, se debería elevar la altura del paseo marítimo. a. Es Pt una función continua? (0.3 p0.1 p) b. Será necesario elevar la altura del paseo con el paso del tiempo, por causa de la profundidad de la arena? Justifica tu respuesta. (0.4 p)(0. p)(# 1. p) 4. Calcula los límites siguientes: (1 p) 4. 1 (1 p) (1 p) e (0.8 p)(# 3.8 p). Calcula la función inversa de f 1 3 (0.8 p) fjps 013/14 term BHCS functions eam 1

2 1. f a if 1 3 b if 1 1 a ln if 1 SOLUCIÓN 1.1 Como la función está definida a trozos, habrá problemas de continuidad sólo en los puntos donde la función cambia de definición, pues cada uno de los trozos es continua en la parte del plano donde está definida. Estudiamos: Continuidad en 1 Hemos de calcular los límites laterales: 1 f 1 a 1 a a 0.3 p f b 31 b b p Como queremos que la función sea continua, habrá de ser a b 3 Continuidad en 1 Hemos de calcular los límites laterales: f b 3 1 b b 3 f a ln a ln 1 a 1 1 Como queremos que la función sea continua, habrá de ser b 3 a Con las epresiones 1 tenemos el siguiente sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas. a b 3 a b 3 Lo resolvemos aplicando el método de igualación: a a a a p Sustituimos este valor de a para hallar el correspondiente valor de b: 1 b 3 b p 1. f 1 if if ln if 1 Tenemos las siguientes tablas de valores: 1 if 1 Se trata de una parábola con las ramas hacia arriba: if 1 1 Se trata de una parábola con las ramas hacia abajo: ln if 1 Se trata de la función ln desplazada una unidad hacia arriba: fjps 013/14 term BHCS functions eam 1

3 La representación de estos puntos nos da la gráfica siguiente: 1 if if ln if (3. p)(#1. p). g cos 1 cos Consideramos las funciones siguientes: f 1 cos f 1 f 3 Entonces g f 3 f f 1 f 3 f f 1 f 3 f cos f 3 3. Pt 4. t if 0 t 1 8t t 1 t if t 1 cos 1 cos cos 1 cos a. Se trata de una función definida a trozos mediante dos parábolas por lo que habrá problemas en el punto donde se unen, o no, las dos parábolas. Vamos a estudiar la continuidad de la función en t 1. Para estudiamos los límites laterales. Pt t t t t 0.3 p Pt p Como los límites laterales son iguales a 3, además P1 3, se cumple que p Pt P1, es decir, la función es continua en p b El paso del tiempo nos lleva a calcular Pt 8t t 1 8t p t t t t t t Es decir, que con el paso del tiempo, la profundidad se estabilizaría en torno a los 4 m, por lo que no sería necesario elevar la altura del paseo. 0. p Racionalizamos: indeterminación!!! fjps 013/14 term BHCS functions eam 3

4 p indeterminación!!! Racionalizamos: p Aplicamos la regla de Ruffini: Resto Resto Retomamos el límite: e Hacemos 1, para despejar en función de : indeterminación!!! 4 4 Entonces la función inversa es f p Observa como quedan gráficamente representadas: p 1 p fjps 013/14 term BHCS functions eam 4

5 Son ambas simétricas con respecto a la bisectriz del primer tercer cuadrantes. fjps 013/14 term BHCS functions eam