MatemáticasI. 1. Basta con mover el cuadrado para ver que el área de la región limitada es la cuarta parte del cuadrado.

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1 MtmáticsI UNIDAD : Límits d fucios. Cotiuidd ACTIVIDADES-PÁG. 76. Podmos dcir lo siguit: ) Pr l gráfic dl prtdo I): f ) tid cudo tid f ) tid + cudo tid por l izquird f ) tid - cudo tid por l drch f ) tid - cudo tid por l izquird f ) tid + cudo tid por l drch f ) tid cudo tid. b) Pr l gráfic dl prtdo II): f ) tid cudo tid f) tid cudo tid. c) Pr l gráfic dl prtdo III) f ) tid cudo tid f) tid cudo tid. d) Pr l gráfic dl prtdo IV): f ) tid cudo tid f ) tid cudo tid. ACTIVIDADES-PÁG. 9. Bst co movr l cudrdo pr vr qu l ár d l rgió limitd s l curt prt dl cudrdo.. Bst coocr l ldo dl cudrdo qu s form dtro d l figur. L rsolució os rcurd l problm d los prros gurdis. El ár d l ros d pétlos s igul l ár dl cudrdo rdo más vcs l ár dl pétlo. El ár d u pétlo lo puds cotrr l problm d los prros gurdis.. L rprstció gométric dl problm sí como su rsolució qud: Los cálculos qud: Ár ) = Ár cudrdo Ár triágulo Ár sctor = 7

2 MtmáticsI 8 6 Ár rd) = Ár círculo Ár triágulo rctágulo = Ár ) = Ár triágulo rctágulo Ár rd) Ár ) = 6 Ár z) = Ár rd) Ár ) = 6. S ls figurs: E l figur ) l ár pdid s vcs l ár d u d ls sps rd l dibujo djuto. Ár sp = Ár cudrdo Ár ) Ár b) Vmos hllr l ár d l zo ). El rdio d st zo s l mitd d l digol dl cudrdo.,, r dcir s D ) m r Ár

3 MtmáticsI Ahor hllmos l ár d l zo b). El rdio d st zo s l ldo dl cudrdo mos l rdio d l zo ), s dcir, r. Ár 7 ) b) m El ár dl sp qud: Ár sp 7 ) El ár pdid qud: Ár pdid Ár sp ),97 m E l figur ) l ár pdid s igul l ár dl cudrdo d ldo m mos l ár dl círculo d rdio m. Ár figur ) = π = - π =,6 m ACTIVIDADES-PÁG. 9. E l img tmos l rsolució, co Wiris, d stos its. 9

4 MtmáticsI. Co Wiris rprstmos l fució vmos l gráfic qu ti dos sítots vrticls d cucios = ; =, u sítot horizotl d cució = -. E l mism gráfic studimos l cotiuidd st fució s cotiu R {;,}

5 MtmáticsI. Rprstmos co Wiris sts dos fucios: ) Est s u fució trozos h qu dibujr cd trozo su itrvlo, los dos dibujos dtro dl mismo bloqu. A prtir d l gráfic vmos qu st fució s cotiu R {}

6 MtmáticsI b) Pr rprstr l prt tr s scrib dibujrsulo/)) L rprstmos prtir d l gráfic vmos qu s u fució s cotiu R / Z. ACTIVIDADES-PÁG. 96. Ls solucios pud vrs l tbl. Aprtdos Gráfic ) Gráfic b) Gráfic c) ) Dom f R R R b) Im f [, ) R [, + ) c) f ) d) f ) ) f ) f) f ) g) f ) h) f ) i) f ) j) f ) ) f ) No ist No ist No ist No ist - +

7 MtmáticsI l) f ) No ist + +. Rprst gráficmt fucios qu stisfg ls siguits codicios: ) Dom f = R; Im f =, f ) = f ) = ; f ) ; f ) ; f ) ; f ) = ; b) g ) ; g ) strictmt crcit, ) ; Im g =, ].

8 MtmáticsI c) Dom h = R; Im h = R; h ) ; h ) ; h) ; h ) d) j ) j ) j )

9 MtmáticsI ) Dom = R; Im =, ; ) ; ) ; ) E st ctividd so icomptibls ls codicios: Im =, ) Por lo qu o ist u fució cu gráfic vrifiqu ss codicios.. L socició s: ) co II) b) co III) c) co I) ACTIVIDADES-PÁG. 97. Ls solucios so: ) f ) h) g ) b) f ) i) g ) o ist c) f ) o ist j) g ) d) Asítots horizotls: = ) Asítots horizotls: = Asítots vrticls: = - Asítots vrticls: = - ) f ) l) g ) o ist f) f ) g) f ) m) g ) ) g ). Rprst gráficmt fucios qu stisfg ls siguits codicios: ) Asítot vrticl = - ; f ) f )

10 MtmáticsI b) g ) ; g ) ; g ) ; g ) c) h - ) = ; h ) ; h ) ; h ) ; h ) 6

11 MtmáticsI d) t ) = ; ht ) ; t ) ; t ) t ) 7

12 MtmáticsI 6. Los vlors d los its so: ) = i) b) 8 = j) c) 8 ) 7 d) l) ) ) = - m) f) 8 g) 8 ) o) h) p) = ACTIVIDADES-PÁG El vlor d los its s: ) f ) = ) f ) = b) f ) = f) f ) = c) f ) d) f ) o ist g) f ) = h) f ) 8

13 MtmáticsI Todo lo trior pud vrs l gráfic qu sigu. 8. Los its vl: ) ) b) ) c) 6 ) f) 6 g) h) 8 d) 6 i) 7 7 ) 9. Los its vl: ) b) g) h) c) 7 6 i) 6 9

14 MtmáticsI d) j) 8 ) ) f) o ist los its l) ltrls so difrts). Los its so: ) o ist, qu: b) qu: c) 7 d) ) ) f) ) ) ) ) ) o ist, l sr los its ltrls: ) ) ) ). Los its vl: ) lim b) lim

15 MtmáticsI c) lim ACTIVIDADES-PÁG. 99. Los its so: ) Es u idtrmició dl tipo. El vlor dl it s: b) Es u idtrmició dl tipo. El vlor dl it s: c) d) Es u idtrmició dl tipo. El vlor dl it s: ) Es u idtrmició dl tipo. El vlor dl it s: 6 6 f) Es u idtrmició dl tipo. El vlor dl it s: ) g) Es u idtrmició dl tipo. El vlor dl it s: 6 6 ) h) Es u idtrmició dl tipo. El vlor dl it s: ) ) ) )

16 MtmáticsI i).. El vlor dl prámtro, cd cso, s: ) = b) = c) =. A l vist d l gráfic podmos sgurr qu: ) L gráfic s cotiu pr culquir úmro rl cpto pr =. b) L gráfic s cotiu pr culquir úmro rl cpto pr =. c) L gráfic s cotiu pr culquir úmro rl.. Los rsultdos so: I) ) f ) b) f ) = ) f ) = = f) f ) = c) f ) d) f ) = g) f ) = - 6 = - 6 L fució s cotiu pr culquir úmro rl cpto pr =. Todo lo trior pud vrs l gráfic djut. II) ) f ) b) f ) = - ) f ) = - = - f) f ) = - c) f ) = - g) f ) = d) f ) = L fució s cotiu pr culquir úmro rl cpto pr =.

17 MtmáticsI 6. Los vlors dl prámtro pr qu ls fucios s cotius s: ) = 6 b) = ACTIVIDADES-PÁG. 7. ) L fució f ) s cotiu R {-, }. b) L fució f ) s cotiu [-, ]. c) L fució f ) o s cotiu =. d) L fució f ) s cotiu,. ) L fució f ) s cotiu R. f) L fució f ) o s cotiu = pus o st dfiid. g) L fució f ) s cotiu R. h) L fució f ) s cotiu R - 8. L fució dd s discotiu vitbl =. L rdfiimos qud: f ) = 6 si si 9. ) E st momto h águils. Al cbo d 8 ños hbrá 768 águils l cbo d ños hbrá 76 águils, s dcir, hbrá umtdo l úmro. 6t b) Clculmos lim 8 t, s dcir s stbilizrá 8 imls.. I. L fució pocil s N t) = 7, t II. L fució logístic s N t 7 9 t 7 ) Rsolvido ls cucios = 7, t = t 9 pocil h d psr 7,8 hors co l modlo logístico h d psr, hors. obtmos qu co l modlo

18 MtmáticsI b) L tbl pdid s: t Epocil Logístic ,996 8,7 9,97 9,7,978,87 7,89678,77,7 6,97, ,97 68,78 8,67 88, ,68,69 8,697,8676 9,779 9,889 7,9996 8,689 78,96 77,98989 E ls tbls triors obsrvmos como l crcimito co l fució pocil s l pricipio más lto qu co l fució logístic l psr ls hors s l cotrrio. 7 lim lim 7 t c) Clculmos 7, t 9 Al psr ls hors l crcimito pocil s ifiito cmbio l logístico tid 7 qu s l úmro totl d idividuos. El modlo logístico s just más st tipo d fómos. ACTIVIDADES-PÁG. ) Ls fucios co pr so:,, 6 Sus pricipls crctrístics so: Domiio: R {}. Rcorrido:, ) Simtrí rspcto j OY, qu f ) f ) ) Asítots: = =, l cumplirs: Crcit, ) dcrcit, ). L primr drivd s Cov cócv hci ls Y positivs) R {}. L sgud drivd s )

19 MtmáticsI Algus d ls gráfics so: Ls fucios co impr so:,, Sus pricipls crctrístics so: Domiio: R {}. Rcorrido: R {} Simtrí rspcto dl orig d coordds, qu f ) f ) ) Asítots: = =, l cumplirs: Dcrcit R {}. L primr drivd s Cócv cócv hci ls Y gtivs), ) Cov cócv hci ls Y positivs) ), ). L sgud drivd s

20 MtmáticsI Algus d ls gráfics so: b) Estudimos ls pricipls crctrístics d ls fucios, sido u vlor culquir. b ) E l cso =, l fució s u fució costt o comprt ls crctrístics d l fmili d fucios. b ) E l cso > ls crctrístics d ls fucios coicid co ls dscrits l prtdo trior. b ) E l cso <, por jmplo = -, tmos dos opcios distits: I) Ls fucios co pr so:,, 6 Sus pricipls crctrístics so: Domiio: R {}. Rcorrido:, ) 6

21 MtmáticsI Simtrí rspcto j OY, qu f ) f ) ) Asítots: = =, l cumplirs: Dcrcit, ) crcit, ). L primr drivd s ) Cócv cócv hci ls Y gtivs) R {}. L sgud drivd s Algus d ls gráfics so: II) Ls fucios co impr so:,, Sus pricipls crctrístics so: Domiio: R {}. Rcorrido: R {} Simtrí rspcto dl orig d coordds, qu f ) f ) ) Asítots: = =, l cumplirs: 7

22 MtmáticsI Crcit R {}. L primr drivd s Cov cócv hci ls Y positivs), ). Cócv cócv hci ls Y gtivs) ), ). L sgud drivd s Algus d ls gráfics so: c) Ls rspusts los prtdos prc cotiució: c ) L drivd d l fució s. S P, u puto d l fució. L cució d l rct tgt l curv P s: ) ) 8

23 MtmáticsI 9 Los putos d cort A co OX) B co OY) co los js coorddos so:, ) : A A B B ), ) ) : S M l puto mdio dl sgmto d trmos A B; sus coordds so: B A M B A M ) ) Pr qu l puto M coicid co l puto P db cumplirs: P M ) P M Como db sr mor o igul qu, l puto mdio, M color vrd), dl sgmto d trmos A B o s l puto P color rojo). Esto pud obsrvrs los dibujos qu sigu.

24 MtmáticsI c ) El ár dl triágulo OAB s: Ár OA OB Ár ) Ár ) Obsrvmos qu l ár dl triágulo dpd d los prámtros qu dfi l fució d l vribl qu os d l posició dl puto P sobr l gráfic d l fució. E ls imágs pud vrs ls árs d los triágulos OAB pr l fució f 9 ) los putos d bsciss =, = =. 9 ) 8 Si = 9, = =, obtmos: Ár, u. 9 ) 8 Si = 9, = =, obtmos: Ár, u. 8 9 ) 8 Si = 9, = =, obtmos: Ár 6,7 u.

25 MtmáticsI d) Ls rspusts los prtdos prc cotiució: d ) L drivd d l fució s. S P, u puto d l fució. L cució d l rct tgt l curv P s: ) ) Los putos d cort A co OX) B co OY) co los js coorddos so:, ) : A A B B ), ) ) : S M l puto mdio dl sgmto d trmos A B; sus coordds so: B A M B A M ) ) Pr qu l puto M coicid co l puto P db cumplirs: P M ) P M Como db sr mor o igul qu, l puto mdio, M, dl sgmto d trmos A B uc coicid co l puto P. Esto pud obsrvrs los dibujos qu sigu.

26 MtmáticsI d ) El ár dl triágulo OAB s: Ár OA OB Ár ) Ár ) Obsrvmos qu l ár dl triágulo dpd d los prámtros qu dfi l fució d l vribl qu os d l posició dl puto P sobr l gráfic d l fució. E ls imágs pud vrs ls árs d los triágulos OAB pr l fució f ) los putos d bsciss =, = =. ) Si =, = =, obtmos: Ár,6 u. 8 ) Si =, = =, obtmos: Ár,8 u. 6 ZXZZXZX ) Si =, = =, obtmos: Ár,87 u.

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