Tema 1: Conceptos generales del Análisis

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1 Tema 1: Conceptos generales del Análisis Numérico Cálculo Numérico I Anna Doubova y Blanca Climent Ezquerra Dpto. EDAN, Universidad de Sevilla 11 de febrero de 2018 A.Doubova y B. Climent Conceptos generales del Análisis Numérico 1/37

2 Un problema real Problema Real Modelar Modelo Matem. (ecs) Discretizar Ecs Aproxim. Programar Código Ordenador Solución Aproximada Solución? Estudiar ppdes solución Solución aprox y soluc. exacta parecidas? Lenguaje? A.Doubova y B. Climent Conceptos generales del Análisis Numérico 2/37

3 Cálculo Numérico (Análisis Numérico) Análisis Numérico Rama de las Matemáticas que estudia métodos constructivos para la resolución de problemas Resolución analítica o simbólica Resolución numérica A.Doubova y B. Climent Conceptos generales del Análisis Numérico 3/37

4 Cálculo Numérico (Análisis Numérico) Un método no constructivo permite afirmar la existencia de la/s solución/es, sin proporcionar la forma de calcularla. Ejemplo Probar que ax 2 + bx + c = 0, con a, b, c R y a 0 tiene exactamente 2 soluciones reales cuando b 2 4ac > 0. 1 Método no constructivo: usar el Teorema de Bolzano 2 Método constructivo: manipular la ecuación hasta obtener x = b ± b 2 4ac 2a A.Doubova y B. Climent Conceptos generales del Análisis Numérico 4/37

5 Cálculo Numérico (Análisis Numérico) Encontrar soluciones a problemas complejos mediante muchos pasos fáciles Resolución enfocada al uso del ordenador Necesidad de traducir las Matemáticas a un lenguaje comprensible para la máquina (un ordenador es capaz de realizar sólo determinadas acciones sencillas: sumar, comparar, transferir datos,..., pero los problemas que normalmente interesa resolver son más complejos) Método del Análisis Numérico: Algoritmos A.Doubova y B. Climent Conceptos generales del Análisis Numérico 5/37

6 Algoritmo Un algoritmo es un método para resolver un problema mediante una secuencia de pasos bien definidos, ordenados y finitos Características de un algoritmo Preciso: estar compuesto de pasos bien definidos (no ambiguos) y ordenados Definido: si se sigue dos veces, se obtiene el mismo resultado cada vez Finito: tener un número finito de pasos A.Doubova y B. Climent Conceptos generales del Análisis Numérico 6/37

7 Métodos directos e iterativos Los algoritmos pueden ser: 1 Directos: obtener la solución exacta en un número finito de pasos (por ejemplo la resolución de la ecuación de 2 o grado) 2 Iterativos: obtener la solución mediante aproximaciones sucesivas empezando desde una estimación inicial. A.Doubova y B. Climent Conceptos generales del Análisis Numérico 7/37

8 El problema de los errores A.Doubova y B. Climent Conceptos generales del Análisis Numérico 8/37

9 Representación de números en el ordenador El ordenador almacena solamente ceros y unos BIT= BInary unit es la unidad mínima de información: 0, 1 Agrupaciones de 4 bytes = 32 bits y 8 bytes = 64 bits: PALABRA Los ordenadores almacenan la información en sistema binario. A.Doubova y B. Climent Conceptos generales del Análisis Numérico 9/37

10 Representación de números en el ordenador Representación decimal N = 3459 = R = = Representación binaria N = = = 23 R = = = (consulta la Sección 1.7 de asig/grafis/gfipc/tema1fispc.pdf) A.Doubova y B. Climent Conceptos generales del Análisis Numérico 10/37

11 Almacenamiento de números enteros En palabras de 32 bits: Ejemplo 1 bit para el signo del número (0 si es positivo, 1 si es negativo) los 31 bits restantes son para almacenar los dígitos binarios del número sin signo. N = 77 (10) = (2) A.Doubova y B. Climent Conceptos generales del Análisis Numérico 11/37

12 Almacenamiento de números reales coma flotante (floating point): consiste en trasladar la coma (o punto) decimal hasta la posición de la primera cifra significativa (la primera, comenzando por la izquierda, que no es nula) a la vez que se multiplica el número por la potencia adecuada de la base de numeración. Ejemplo = (sistema decimal) = (sistema decimal) = (sistema binario) A.Doubova y B. Climent Conceptos generales del Análisis Numérico 12/37

13 Almacenamiento de números reales R = (±)0.m 1 m 2 m 3... m k 2 ±e, m 1 m 2 m 3... m k se llama la mantisa e es el exponente (el número de lugares que hay que trasladar la coma a derecha o izquierda para obtener el número inicial) m 1 = 1 Ejemplo R = (10) = (2) = A.Doubova y B. Climent Conceptos generales del Análisis Numérico 13/37

14 Almacenamiento de números reales R = (±)0.m 1 m 2 m 3... m k 2 ±e 1 bit para el signo del número (0 positivo, 1 negativo). 23 bits para la mantisa (en realidad 24, pues m 1 = 1...) 8 bits para el exponente con su signo (se guarda codificado como un número entero). A.Doubova y B. Climent Conceptos generales del Análisis Numérico 14/37

15 Almacenamiento de números reales Teniendo en cuenta que una de las 8 posiciones para el exponente guarda el signo, Mayor exponente positivo que se puede almacenar: = 127 Menor exponente negativo: 2 7 = 128 Número de mayor magnitud: Número de menor magnitud: A.Doubova y B. Climent Conceptos generales del Análisis Numérico 15/37

16 Overflow y underflow Cantidad finita de números (palabras de 32 bits) Overflow: fenómeno que se produce cuando el resultado de un cálculo es un número real con exponente demasiado grande ( > 127). Cuando se produce un overflow durante la ejecución de un programa, los ordenadores actuales generan un evento de error y como resultado devuelven el símbolo Inf. Underflow: fenómeno que se produce cuando el resultado de un cálculo es un número real con exponente demasiado pequeño ( < 127). Cuando se produce durante la ejecución de un programa, normalmente se sustituye el número por cero. A.Doubova y B. Climent Conceptos generales del Análisis Numérico 16/37

17 Errores de redondeo Errores de redondeo: debidos a un desarrollo decimal infinito. Existen números en base 10 cuya representación binaria tiene infinitas cifras no nulas: R = 1/5 = 0.2 = (2) = R = 0.1 (10) = (2) = La memoria de ordenador es finita!. Los números binarios con infinitas cifras se almacenan en el ordenador aproximados (por redondeo o truncamiento) por otros con un número finito de cifras. A.Doubova y B. Climent Conceptos generales del Análisis Numérico 17/37

18 Errores de redondeo Errores de redondeo: debidos al almacenamiento en un ordenador. Consideramos dos números reales consecutivos con el mismo exponente y cuyas mantisas sean Representan los números 2 1 = 0.5, = Los números comprendidos entre ellos se representan por alguno de los dos anteriores. A.Doubova y B. Climent Conceptos generales del Análisis Numérico 18/37

19 Errores de redondeo Número máquina es aquel que se puede representar de modo exacto en el ordenador. La diferencia entre dos números máquina consecutivos es El error que se comete al aproximar un número por el número máquina más cercano llamado error de redondeo de almacenamiento es menor que 2 25 < Para una mantisa de 24 dígitos se obtiene una precisión de 7. A.Doubova y B. Climent Conceptos generales del Análisis Numérico 19/37

20 Tipos de errores 1 Errores en toma de datos: mediciones, datos estadísticos, etc. 2 Errores de aproximación (de discretización) 1 Por ejemplo, para calcular el número e = se toma el k! valor aproximado e N = e e N = k=n+1 1 k! N k=0 k=0 1 y se comete un error k! 3 Errores de redondeo: producidos por el ordenador (que tiene memoria limitada...!!!) A.Doubova y B. Climent Conceptos generales del Análisis Numérico 20/37

21 Error absoluto y error relativo Para medir la proximidad de dos cantidades numéricas se usan: Error absoluto ( x x) E a = x x Error relativo ( x x) E r = x x x si x 0 o bien E r = x x x si x 0 A.Doubova y B. Climent Conceptos generales del Análisis Numérico 21/37

22 Error absoluto y error relativo Ejemplos: (a): x = 3, x = 3.1 E a = = 0.1, E r = = (b): x = 3100, x = E a = 100, E r = = Es importante la magnitud de los datos A.Doubova y B. Climent Conceptos generales del Análisis Numérico 22/37

23 Cifras decimales exactas En los cálculos es habitual aproximar un número real con m cifras decimales por otro con n < m cifras decimales. Como criterio de proximidad de dos números reales no es objetivo fijarse en el número de cifras decimales coincidentes. Por ejemplo, los números x = y x = 1.1 son próximos y no tienen ninguna cifra decimal en común. x aproxima a x con s cifras decimales exactas si s es el mayor entero no negativo tal que: E a = x x s Ejemplos (a): x 1 = 0.1, x 1 = , E a = = coinciden en 4 cifras decimales (b): x 2 = 1000, x 2 = , E a = :0 cifras decimales exactas (c): x 3 = , x 3 = E a = π = < = A.Doubova y B. Climent Conceptos generales del Análisis Numérico 23/37

24 Cifras significativas exactas El criterio de cifras decimales exactas puede ser engañoso, ya que no tiene en cuenta la magnitud de los números. En este caso se usa otro criterio de comparación basado en el concepto del error relativo x es una aproximación de x con s cifras significativas exactas si s es el mayor entero no negativo tal que: E r = x x x 5 10 s Ejemplos (a): x 2 = 1000, x 2 = , x 2 x 2 = = coinciden en 4 cifras x 2 significativas (b): x 4 = , x 4 = = 1 = < A.Doubova y B. Climent Conceptos generales del Análisis Numérico 24/37

25 Consistencia, Convergencia, Estabilidad En relación a los tres tipos de errores (errores en toma de datos, errores de aproximación, errores de redondeo) cualquier método numérico debe verificar que los errores no conduzcan a soluciones no deseadas. Un algoritmo tiene que cumplir: 1 Convergencia (ligada al error de aproximación): Al realizar una cantidad suficiente de iteraciones las aproximaciones obtenidas se acercan a la solución del problema. 2 Consistencia (se verá en cursos próximos): La solución exacta del problema verifica en cierto sentido el algoritmo. 3 Estabilidad (ligada al error de aproximación y de redondeo): Pequeños cambios en los datos producen pequeños cambios en la solución del problema. A.Doubova y B. Climent Conceptos generales del Análisis Numérico 25/37

26 Estabilidad de un algoritmo Algoritmo inestable: Ejemplo 1: Sean A, B R dados y sea {x n } n 0 definida por { x0 = A, x 1 = B x n+2 = 10.1x n+1 x n, n 0 Se puede comprobar que el término general de la sucesión es: x n = 0.1A + B n + 10A B 0.1 n 9.9 Para A = 10 y B = 1, x n = 10 n+1 0 cuando n + Para A = 10 y B = 1 + ε, x n cuando n + La sucesión es divergente, ya que el término dominante es 10 n. A.Doubova y B. Climent Conceptos generales del Análisis Numérico 26/37

27 Estabilidad Numérica Otro concepto de estabilidad para un algoritmo es el siguiente: Estabilidad Numérica (ligada al error de redondeo): La acumulación de errores no influye en el resultado del algoritmo. Puede depender de la escritura del mismo. A.Doubova y B. Climent Conceptos generales del Análisis Numérico 27/37

28 Estabilidad Numérica de un algoritmo Algoritmo sensible a los errores de redondeo Ejemplo 2: { x0 = 1, x 1 = 1/3 x n+2 = 13 3 x n x n, n 0 Se puede comprobar que el término general de la sucesión es: Usando (1), obtenemos: (1) x n = 1 0 cuando n + (2) 3n x 0 = 1 x 5 = x 1 = x 6 = x 2 = x 7 = x 3 = x 4 = x 15 = !!! Usando (2), obtenemos: x n 0 (x 15 = ) A.Doubova y B. Climent Conceptos generales del Análisis Numérico 28/37

29 Estabilidad del problema El fenómeno de la inestabilidad puede aparecer en el problema de partida. Estabilidad del problema: Pequeños cambios en los datos producen pequeños cambios en la solución exacta del problema. Los problemas que no verifican esta propiedad se dicen mal condicionados. A.Doubova y B. Climent Conceptos generales del Análisis Numérico 29/37

30 Problemas mal condicionados I Ejemplo 3(R.S. Wilson): Consideramos el sistema lineal Ax = b, con A = b =, Consideramos la siguientes variaciones: à x 1 = b A x 2 = b para à = b = A.Doubova y B. Climent Conceptos generales del Análisis Numérico 30/37

31 Problemas mal condicionados II Las correspondientes soluciones no se parecen. x = , x 1 = , x 2 = A.Doubova y B. Climent Conceptos generales del Análisis Numérico 31/37

32 Problemas mal condicionados III Ejemplo 4: Consideramos la ecuación x 2 60x = (x 30) 2 = 0 cuyas raíces son x 1 = x 2 = 30 La ecuación variada ligeramente : 1.1x 2 60x = 0 tiene como raíces x 1 = i x 2 = i Este problema está mal condicionado respecto a las variaciones en el coeficiente de mayor potencia A.Doubova y B. Climent Conceptos generales del Análisis Numérico 32/37

33 Ejemplos de problemas de Cálculo Numérico I Resolución de sistemas lineales: Ax = b, A R N N, b R N Si hay solución única, podemos calcularla usando la regla de Cramer: x j = D j, j = 1,..., n donde D = det(a) D D j es como D pero reemplazando la columna j ésima por el vector b Regla de Cramer necesita aproximadamente 2(n + 1)! operaciones. Cuando N es grande Cramer es inviable incluso para un ordenador A.Doubova y B. Climent Conceptos generales del Análisis Numérico 33/37

34 Ejemplos de problemas de Cálculo Numérico II Por ejemplo, con un ordenador capaz de realizar 10 9 operaciones por segundo, se necesitarían en torno a 12 horas para resolver un sistema de dimensión n = 15 (aprox operaciones) por este método, y en torno a 3240 años para un sistema de dimensión n = 20 (aprox operaciones). Conclusión: Hay que buscar otros métodos menos costosos A.Doubova y B. Climent Conceptos generales del Análisis Numérico 34/37

35 Ejemplos de problemas de Cálculo Numérico III Resolución de ecuaciones y sistemas no lineales: f (x) = 0, siendo f : R R (o f : R N R N ) no lineal. En general, no hay fórmulas explícitas para calcular las soluciones Conclusión: Obtener métodos numéricos para calcular soluciones aproximadas A.Doubova y B. Climent Conceptos generales del Análisis Numérico 35/37

36 Ejemplos de problemas de Cálculo Numérico IV Cálculo de integrales definidas: b a f (x) dx En general, no se puede aplicar la regla de Barrow: b a Por ejemplo f (x) dx = F(a) F(b) donde F (x) = f (x). b a e x 2 dx no se puede resolver de manera exacta. Conclusión: Idear fórmulas de integración numérica para calcular aproximaciones de las integrales. A.Doubova y B. Climent Conceptos generales del Análisis Numérico 36/37

37 Ejemplos de problemas de Cálculo Numérico V Interpolación y ajuste de datos, Aproximación de funciones, Cálculo aproximado de autovalores y autovectores, Resolución aproximada de ecuaciones diferenciales,etc. A.Doubova y B. Climent Conceptos generales del Análisis Numérico 37/37