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1 Objetvos El alumno conocerá y aplcará dversas técncas de dervacón e ntegracón numérca. Al fnal de esta práctca el alumno podrá:. Resolver ejerccos que contengan dervadas e ntegrales, por medo de métodos numércos, tales como método de Taylor y mpson respectvamente.. Implementar dchos métodos numércos en lenguaje orentado a objetos Antecedentes. aber elaborado programas orentados a objetos en lenguaje Java con aplcacón numérca.. Manejar solucones numércas de dervadas e ntegrales Introduccón Dervacón numérca Para dferencar numércamente funcones que están defndas medante datos tabulados o medante curvas determnadas en forma expermental se usan dferentes procedmentos. Un método consste en aproxmar la funcón en la vecndad del punto en que se desea la dervada, medante una parábola de segundo, tercer o mayor grado, y utlzar entonces la dervada de la parábola en ese punto como la dervada aproxmada de la funcón; este método podría ser el de la ere de Taylor. La sere de Taylor para una funcón y f(x) en x es x + x, desarrollada con respecto al punto y'' y''' y( x + x) y + y' ()!! en donde y es la ordenada que corresponde a x y ( x + x) se encuentra en la regón de convergenca. La funcón para ( x) está dada en forma smlar por: x y'' y''' y( x x) y y' ()!! Utlzando solamente los tres prmeros térmnos de cada desarrollo, se obtene una expresón para y restando la ec. () de la ec. (), y( x + x) y( x x) y' () x Ing. Laura andoval Montaño Vrdana del Carmen De Luna Bonlla Vrglo Green Pérez Programacón Avanzada y Métodos Numércos

2 Dferencas Centrales, aca Adelante y aca Atrás se denotan los puntos unformemente espacados a la derecha de x como x+, x+, y los puntos a la zquerda de x como x-, x-,...; y s se dentfcan las ordenadas correspondentes como y+, y+, y-, y-, respectvamente, la ec. () se puede escrbr: y' Ing. Laura andoval Montaño Vrdana del Carmen De Luna Bonlla Vrglo Green Pérez y+ y x La ec. () se denomna la prmera aproxmacón, por Dferencas Centrales de y, para x. La aproxmacón representa gráfcamente la pendente de la recta dscontnua mostrada en la fgura de arrba. La dervada real se representa medante la línea sólda dbujada como tangente a la curva en x. sumamos las ecuacones () y (), y utlzamos la notacón descrta prevamente, se puede escrbr la sguente expresón para la segunda dervada: y+ y + y y'' (5) La ec. (5) es la prmera aproxmacón, por Dferencas Centrales, de la segunda dervada de la funcón en x. Esta expresón se puede nterpretar gráfcamente como la pendente de la tangente a la curva en x+/ menos la pendente de la tangente a la curva en x-/ dvdda entre x, cuando las pendentes de las tangentes están aproxmadas medante las expresones: y+ y y' + x () y y y' x () Programacón Avanzada y Métodos Numércos

3 es decr, PRÁCTICA y'' y+ y y y x x x y + y + y (7) e ha demostrado que las expresones de Dferencas Centrales para las dversas dervadas encerran valores de la funcón en ambos lados del valor x en que se desea conocer la dervada en cuestón. e pueden obtener fáclmente expresones para las dervadas, totalmente en térmnos de valores de la funcón en x y puntos a la derecha de x. Éstas se conocen como expresones de Dferencas Fntas aca Adelante. En forma smlar, se pueden obtener expresones para las dervadas que estén solamente en térmnos de valores de la funcón en x y puntos a la zquerda de x. Éstas se conocen como expresones de Dferencas Fntas aca Atrás. EJEMPLO Usar aproxmacones de Dferencas Fntas aca Adelante, aca Atrás y Centradas para estmar la prmera dervada de: f ( x).x.5x.5x.5x +. en x.5 Utlzando un x de.5. Repetr los cálculos usando x.5. Nótese que la dervada se puede calcular drectamente como: f (x) -.x -.5x -.x -.5 y evaluando tenemos: f (.5) -.95 OLUCIÓN: Para x.5 se usa la funcón para determnar: Estos datos se utlzan para calcular: la Dferenca aca Adelante:..95 y '(.5).5.5 la Dferenca Dvdda aca Atrás:.95. y '(.5).55.5 X-. Y-. X.5 Y.95 X+. Y+. Ing. Laura andoval Montaño Vrdana del Carmen De Luna Bonlla Vrglo Green Pérez Programacón Avanzada y Métodos Numércos

4 y la Dferenca Dvdda Central:.. y '(.5).. Para x.5, los datos son: X-.5 Y-.55 X.5 Y.95 X+.75 Y+. Por lo que la Dferenca Dvdda aca Adelante:..95 y '(.5).57.5 la Dferenca Dvdda aca Atrás: y '(.5).75.5 y la Dferenca Dvdda Central:..55 y '(.5) Para los dos x, las aproxmacones por Dferencas Centrales son más exactas que las Dferencas Dvddas aca Adelante o las Dferencas Dvddas aca Atrás. Codfcando este método en Java, se tene: publc class Dervacon{ double x; double deltax; double hacaadelante; double hacaatras; double centradas; publc statc vod man(trng args[]){ try{ Redondear r new Redondear(); Dervacon d new Dervacon(); d.x Double.parseDouble(args[]); d.deltax Double.parseDouble(args[]); d.hacaadelante (d.funcon(r.redondeo(d.x+d.deltax,))- d.funcon(d.x))/(d.deltax); ystem.out.prntln( La dervada de +d.x+ haca adelante es: +d.hacaadelante); d.hacaatras (d.funcon(d.x)-d.funcon(r.redondeo(d.xd.deltax,)))/d.deltax; ystem.out.prntln( La dervada de +d.x+ haca atras es : +d.hacaatras); Ing. Laura andoval Montaño Vrdana del Carmen De Luna Bonlla Vrglo Green Pérez Programacón Avanzada y Métodos Numércos

5 d.centradas (d.funcon(r.redondeo(d.x+d.deltax,))- d.funcon(r.redondeo(d.x-d.deltax,)))/(*d.deltax); ystem.out.prntln( La dervada de +d.x+ en dferencas centradas es: +d.centradas); catch(arrayindexoutofboundsexcepton aoobe){ ystem.out.prntln( ERROR!!! Faltan parametros ); ystem.out.prntln( ntaxs: java Dervacon valor_ncal ncremento ); publc double funcon(double x){ double f; f -.*Math.pow(x,)-.5*Math.pow(x,)-.5*Math.pow(x,)-.5*x+.; return f; Como se puede observar, este códgo mplementa las ecuacones para las dferencas haca adelante, haca atrás, y centradas. Recbe como parámetros el punto en el que se desea calcular la dervada, y el x deseado. e tene un método que mplementa la funcón de la cual se desea obtener la dervada. Una de las característcas prncpales de este códgo es que se utlza un objeto de la clase Redondear, la cual es utlzada debdo a que en Java, como en otros lenguajes, tene errores de redondeo y artmétca de computadora. Por ejemplo, se puede dar el caso que s se resta 5 a 5., el resultado es ; de aquí el uso de dcha clase ayuda a hacer redondeos para tener valores útles en estos cálculos. El códgo de Redondear es: mport java.math.*; publc class Redondear{ publc double redondeo(double resultado, nt redondeo){ BgDecmal bdnew BgDecmal( Double.totrng(resultado)).setcale(redondeo,BgDecmal.ROUND_ALF _UP) ; return bd.doublevalue(); Este códgo crea un objeto de la clase BgDecmal, que ayuda a hacer el redondeo. e utlza el método setcale(), que recbe como parámetros el número de decmales a los que se redondeará, y un factor, que en este caso, para evtar equvocacones, se usa ROUND_ALF_UP. Ing. Laura andoval Montaño Vrdana del Carmen De Luna Bonlla Vrglo Green Pérez Programacón Avanzada y Métodos Numércos

6 Integracón numérca El prncpo de los métodos de ntegracón numérca consste en ajustar un polnomo a un conjunto de puntos y luego ntegrarlo. Al realzar dchas ntegrales obtenemos, entre otras, las reglas de trapeco y de mpson las cuales dan lugar a reglas de ntegracón compuestas que buscan que el error sea cada vez menor. Regla de mpson de La regla de mpson de o smplemente regla de mpson, consste en aproxmar la curva con polnomos de grado, es decr, con parábolas. Omtendo la deduccón, el resultado es N N N y y y y N,,5,...,,,.. La prmera sumatora es para aquellas s que sean mpares. La segunda es para las s que sean pares. Dado que para obtener la ecuacón de una parábola se requeren puntos, se necestan partcones, por lo cual la N debe ser par. Regla de mpson de La regla de mpson de consste en aproxmar la funcón medante una cúbca: N N y y y y N N,,9,.. múltplos de Esta regla es más complcada. La prmera sumatora sólo ncluye aquellas s que sean múltplos de. La segunda el resto, es decr, las s que no sean múltplos de. Entre las cubren desde hasta N-. Para una cúbca se requeren puntos, por lo cual se utlzan ntervalos. Por esta razón N debe ser un múltplo de. Ing. Laura andoval Montaño Vrdana del Carmen De Luna Bonlla Vrglo Green Pérez Programacón Avanzada y Métodos Numércos

7 Ejemplo de regla de mpson dx Calcularla sguente ntegral con las reglas anterores. π + x Para N ( y + y + y ) b a está dada por. 5 N.5.5(.) usttuyendo ( f () + f (.5) + f ()) ( + (.) + ()). Para N y + y + y + y,,5,...,,,.. ( y + ( y + y) + y + y ) b a está dada por. 5 N usttuyendo ( f () + ( f (.5) + f (.75)) + f (.5) + f ().5.5(7.9) 9.7 ( + ( ) + (.) + ()).5 Regla de mpson Para N y + y +,,9,.. y + ( y + y )) + y ( ) multplos de y + y b a está dada por. N usttuyendo ( ) f () + f ( ) + f ( ) + f () ) ( ) Ing. Laura andoval Montaño Vrdana del Carmen De Luna Bonlla Vrglo Green Pérez Programacón Avanzada y Métodos Numércos

8 Para N y + y y + +,,9,.. multplos de PRÁCTICA ( y + ( y ) + ( y + y + y + y ) + y ) b a está dada por. N usttuyendo 5 ( f () + ( f ( )) ( ( ) ( ) ( ) ( )) () ) + f + f + f + f + f Codfcando el método de mpson, se tene que: publc class mpsonunterco{ double lminf; double lmup; nt n; double h; double ntegral; publc statc vod man (trng args[]){ LeeUnDouble lud new LeeUnDouble(); mpsonunterco sutnew mpsonunterco(); //Empezamos a obtener datos: //Obtenemos el lmte nferor y 5 ( ). 575 ystem.out.prntln( Dame el valor del lmte nferor: ); lud.leenumero(); sut.lminflud.num; //Obtenemos el lmte superor ystem.out.prntln( Dame el valor del lmte superor: ); lud.leenumero(); sut.lmuplud.num; //Obtenemos el valor de N ystem.out.prntln( Dame el valor de N: ); lud.leenumero(); sut.n(nt)lud.num; //cast sut.h(sut.lmup-sut.lminf)/sut.n; sut.ntegral(sut.h/)*(sut.funcon(sut.lminf)+(*sut.sumaimpares( sut.lminf,sut.h,sut.n))+(*sut.sumapares(sut.lminf,sut.h,sut.n))+ sut.funcon(sut.lmup)); Ing. Laura andoval Montaño Vrdana del Carmen De Luna Bonlla Vrglo Green Pérez Programacón Avanzada y Métodos Numércos

9 PRÁCTICA ystem.out.prntln( El resultado de la ntegral es : +sut.ntegral); publc double sumaimpares(double nf, double, double N){ double suma; for(nt ; <(N-); +){ sumasuma+funcon(nf+*); return suma; publc double sumapares(double nf, double, double N){ double suma; for(nt ; <(N-); +){ sumasuma+funcon(nf+*); return suma; publc double funcon(double x){ double fx; fx/(+x*x); return fx; Como se puede observar, se utlza la clase LeeUnDouble, vsta anterormente, para obtener los valores de los límtes y el valor de N, para realzar la ntegral de la funcón. e mplementan los métodos para las sumatoras de los elementos pares, y de los elementos mpares, así como la funcón a la cual se le desea obtener la ntegral. Ing. Laura andoval Montaño Vrdana del Carmen De Luna Bonlla Vrglo Green Pérez Programacón Avanzada y Métodos Numércos

10 Ejerccos Propuestos. Implementar en una clase las ecuacones para obtener la segunda dervada por medo de la sere de Taylor. Utlce la msma ecuacón vsta en el ejemplo, obtenga el valor teórco de la segunda dervada en el msmo punto y calcule los errores absoluto y relatvo.. Realzar una clase que efectúe la ntegracón numérca medante el método de mpson /.. Utlce la funcón del ejemplo para obtener su ntegral y compare con los resultados del ejemplo.. Obtenga la prmera y segunda dervada de la sguente funcón: x e f ( x) x 5. Obtenga por medo de la regla de mpson de / la sguente ntegral: proponga un valor de N. x f ( x) e x dx. Obtenga por medo de la regla de mpson de / la ntegral del ejercco anteror y compare ambos resultados para una msma N. Ing. Laura andoval Montaño Vrdana del Carmen De Luna Bonlla Vrglo Green Pérez Programacón Avanzada y Métodos Numércos

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