FUNCIONES DERIVABLES. PROPIEDADES.

Transcripción

1 FUNCIONES DERIVABLES. PROPIEDADES. TASA DE VARIACION MEDIA. Dada una unción y se llama TASA DE VARIACIÓN o INCREMENTO de a la variación que eperimenta cuando la variable independiente pasa de "a" a "a ". Δ a, a a Por el mismo motivo recibe el nombre de incremento de o variación de. Esta tasa de variación o incremento de una unción nos da una primera idea de la rapidez con que crece o decrece la unción en un intervalo, aunque no es lo suicientemente precisa. Para tener una idea más eacta necesitaríamos conocer cuanto crece la unción por cada unidad que crece la variable. Este dato más preciso es la tasa de variación media. La TASA DE VARIACIÓN MEDIA T.V.M. nos viene dada por el cociente incremental siuiente: T. V. M. Δ a a y siniica la variación relativa de con relación a en el intervalo [ a, a ]. P Gráicamente: P α Δ La tasa de variación media es la pendiente de la recta que pasa por los puntos P y P. O a a DERIVADA DE UNA FUNCION EN UN PUNTO. El ite a, Δ a a si eiste y es inito, recibe el nombre de DERIVADA de la unción en el punto "a" y representa la variación de la unción en el punto a. Se representa por ' a. Si en la deinición anterior acemos a a : cuando tiende a cero, entonces tiende a "a" y la derivada de la unción en el punto a nos queda de la orma: a ' a a a DERIVADAS. PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES DERIVABLES. 6

2 Geométricamente, si vamos acercando el punto P acia el punto P tiende a cero, la recta P α P Δ secante se transorma en tanente a la ráica de la unción. En consecuencia, la derivada de una unción en un punto es iual a la pendiente de la recta tanente a la ráica de la unción en el punto de abscisa a. O a a m t ' a La ecuación de la recta tanente en el punto P a, a nos viene dada por: y a ' a. a NOTA: Para calcular la ecuación de la recta tanente utilizamos la ecuación de la recta en la orma punto-pendiente: y y m. La normal a una curva en un punto P es la perpendicular a la recta tanente en dico punto. Si la pendiente de la tanente es m t ' a, la pendiente de la normal será m N y la ecuación de la normal nos viene dada por: ' a EJEMPLOS. y a a ' a. Hallar la ecuación de la recta tanente y normal a la curva dada por de abscisa. 3 en el punto Calculamos la derivada de la unción dada en el punto que nos indican. Aplicando la propia deinición tendremos: ' En consecuencia, ' mt ' y mn ' Una vez que emos obtenido las pendientes de las rectas tanente y normal a la curva, podemos escribir sus ecuaciones, utilizando la ecuación de la recta en la orma puntopendiente: Si tenemos en cuenta que el punto de tanencia tiene por coordenadas,, 8, las ecuaciones de las rectas pedidas son: DERIVADAS. PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES DERIVABLES. 6

3 Ecuación de la recta tanente: y 8. y 6 49 Ecuación de la recta normal: y 8 y 6. Dada la parábola de ecuación y 8, allar el punto donde la tanente es paralela al eje de abscisas. Calculamos la derivada de la unción dada en un punto cualquiera : ' Como la tanente es paralela al eje de abscisas, las dos rectas tendrán iual pendiente: si tenemos en cuenta que la pendiente del eje de abscisas es iual a cero, al iualar la derivada a cero nos queda: ' 8 4 m t Obtenida la abscisa del punto de tanencia, la ordenada correspondiente del punto la obtenemos sustituyendo en la unción: En consecuencia, el punto de tanencia tiene por coordenadas 4, 4. DERIVADAS LATERALES. Puesto que la derivada de una unción en un punto la deinimos mediante el ite de una unción TVM en un punto a, podemos considerar la eistencia de ites laterales en dico punto. Aparece así el concepto de derivadas laterales. Derivada por la izquierda. Se llama derivada por la izquierda de la unción en el punto a al siuiente ite, si es que eiste: a lim a o a a a La derivada por la izquierda en el punto a se representa por ' a Derivada por la dereca: Se llama derivada por la dereca de la unción en el punto a al siuiente ite, si es que eiste: lim a a o a a a La derivada por la dereca en el punto a se representa por ' a. DERIVADAS. PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES DERIVABLES. 63

4 Evidentemente, una unción es derivable en un punto sí, y sólo sí, es derivable por la izquierda y por la dereca en dico punto y las derivadas laterales son iuales. Si las derivadas laterales eisten pero no coinciden, se debe a que la unción tiene un punto anuloso. Este es el caso de la unción que en el punto tiene por derivadas laterales ' y '. DERIVABILIDAD EN UN INTERVALO. Una unción es derivable en un intervalo abierto a, b si es derivable en cada uno de sus puntos. Una unción es derivable en un intervalo cerrado [ a, b] si es derivable en cada uno de los puntos del intervalo abierto a, b y derivable por la dereca en a y por la izquierda en b. CONTINUIDAD Y DERIVABILIDAD. La derivabilidad es una propiedad de las unciones más restrictiva que la continuidad, ya que eisten unciones continuas que no son derivables. TEOREMA. La implicación de que una unción derivable es continua se demuestra en el siuiente "Si una unción es derivable en un punto derivada inita, entonces es continua en dico punto" Demostración: Sabemos que una unción es continua en un punto a si a a [ a a ] En nuestro caso, tendremos que demostrar cualquiera de estos resultados: a a a a [ a a ] ' a Sin embaro, el recíproco de este teorema no es cierto: Una unción continua en un punto no es necesariamente derivable en dico punto. Esto podemos verlo ácilmente estudiando la unción en el punto. En eecto, esta unción es continua en Como, entonces es continua en. DERIVADAS. PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES DERIVABLES. 64

5 Veamos aora la derivabilidad en : ' ' ' ' Por tanto, la unción no es derivable en el punto. En consecuencia, las unciones derivables orman un subconjunto de las unciones continuas. LA FUNCION DERIVADA. Hasta aora sólo emos estudiado la derivada de una unción en un punto y el resultado es un número real por tratarse de un ite. Si una unción es derivable en un subconjunto D' de su dominio D D' D, podemos deinir una nueva unción que asocie a cada elemento de D' su derivada en ese punto: ' ' D' R / D' ' R Esta nueva unción así deinida recibe el nombre de FUNCIÓN DERIVADA o, simplemente, DERIVADA y se representa por '. A partir de la unción derivada primera se puede deinir, si eiste, también su derivada que recibe el nombre de derivada seunda y se representa por ''. Análoamente se deinirían la derivada tercera, cuarta, quinta,..., n-ésima, y se 4 5 n representarían por ''',,,, Otras ormas de representar las derivadas son: D, d d D, D 3,, D d ', '',, d n n d n d n REGLAS DE DERIVACION. Aplicando la deinición de derivada a las cuatro operaciones deinidas entre unciones adición, multiplicación, producto por un número y composición obtenemos las relas de derivación de ellas. Aplicando la misma deinición a alunas unciones elementales obtenemos también órmulas de derivación para ellas. Estos resultados, de todos conocidos, los reunimos en la siuiente tabla: DERIVADAS. PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES DERIVABLES. 65

6 Relas de Derivación: OPERACIONES REGLA ' ' ' SUMA Y DIFERENCIA DERIVADAS. PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES DERIVABLES. 66 PRODUCTO ' ' ' COCIENTE '. '. ' '. '. k k Producto por un número '. ' ' COMPOSICIÓN A modo de ejemplo, podríamos comprobarlas con la suma y dierencia: Suponiendo que las unciones y sean derivables, tenemos: ' [ ] [ ] [ ] [ ] ' '

7 Derivadas de Funciones Elementales: Constante: T I P O S k ' F. Identidad: ' Potencial Potencial Loarítmico Eponencial Potencial-eponencial Raíz Cuadrada Seno Coseno F O R M A S S I M P L E S COMPUESTAS n n n n D n. D n.. ' D α n. α, α R D α n. α. ', ' D L D L ' Dloa loa e D lo a lo a e D e e D e '. e D a a. La D a '. a. La D.. ' '.. L ' D D Dsen cos D sen ' cos D cos sen D cos ' sen D t t D t '. t Tanente D t sec D t '.sec ' D t D t cos cos D ct ct D ct '. ct Cotanente Dct cosec Dct ' cosec ' Dct Dct sen sen Arco seno D arcsen ' D arcsen Arco coseno Darccos ' D arccos Arco tanente ' D arct D arct Arco cotanente ' D arcct Darcct α R DERIVADAS. PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES DERIVABLES. 67

8 EJERCICIOS RESUELTOS. Dada la unción : R R deinida por,, 6, si < si 3 si 3 < Determina los puntos en los que la unción es derivable y en cada uno de ellos calcula su derivada. Nuestra unción es una unción deinida a trozos en cada uno de los cuales está deinida como una unción cuadrática o como unción lineal. Tanto una como la otra son unciones continuas y derivables en todo R y, por tanto, en el trozo en el que están deinidas. En consecuencia, la unción es continua y derivable en R {,3} por serlo las unciones mediante las que está deinida. Estudiemos la continuidad y la derivabilidad de la unción en los puntos y 3. En : Como en este punto ay un cambio de deinición de la unción, para estudiar la eistencia de ite en él tendremos que calcular los ites laterales de la unción: Por otra parte, y la unción sería continua en el punto. Estudiemos la derivabilidad: tendremos que calcular las derivadas laterales ' ' En 3. ' Continuidad: operamos de iual manera que en no eiste Por tanto, la unción no es continua en 3 presenta en este punto una discontinuidad inevitable de salto inito y, en consecuencia, será no derivable en él. La derivada de la unción nos vendría dada por: DERIVADAS. PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES DERIVABLES. 68

9 , si <, si ', si < < 3 6, si 3 < cos si Dada la unción : R R deinida por sen si > Determinar los puntos en los que es continua y los puntos en los que es derivable. Continuidad: Para valores menores y mayores que, la unción es continua pues está deinida mediante unciones continuas en todo el conjunto de números reales y tienen sentido las operaciones. Estudiamos la continuidad en el punto, empezando por calcular los ites laterales de la unción en dico punto: [ cos ] sen cos cos Al ser los ites laterales iuales, la unción tiene ite en el punto y es iual a. Por otra parte, cos cos Entonces, se veriica que y la unción es continua en el punto. Por tanto, el dominio de continuidad de la unción es R. Derivabilidad: Para valores menores y mayores que, la unción es derivable pues está deinida mediante unciones derivables en todo el conjunto de números reales. La derivada de la unción para valores distintos de es sen si < ' cos sen si > Estudiamos la derivabilidad de la unción en el punto calculando los ites laterales de ' en : ' ' ' [ sen ] sen sen cos sen cos ' sen [ cos ] cos DERIVADAS. PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES DERIVABLES. 69

10 4 En consecuencia, las derivadas laterales en el punto son distintas y la unción no sería derivable en dico punto. El dominio de derivabilidad de la unción sería R {}. Estudia, seún los valores del parámetro a, la continuidad y derivabilidad de la unción : R R deinida por a a si si > Para cualquier valor distinto de, la unción está deinida como unción cuadrática en cada uno de los sementos, para cualquier valor del parámetro a. Como las unciones cuadráticas son continuas y derivables en todo R, también lo serán en cualquier intervalo abierto de R y, por tanto, la unción será continua y derivable, para cualquier valor del parámetro a, en R {}. Estudiemos la continuidad de en el punto : Para que sea continua tiene que eistir ite en el punto y, para ello, los ites laterales tienen que ser iuales: a 4 a a Iualando estos ites laterales obtenemos: a 4 4 a a 4 a 8 En consecuencia, la unción sería continua en el punto si a 8. Para este valor del parámetro la unción nos queda de la orma: y su derivada, salvo en el punto, es: ' Calculamos la derivada en el punto : si si si si ' ' 8 4 ' ' 4 La unción es derivable en el punto. En resumen: > < > ' ' ' 4 DERIVADAS. PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES DERIVABLES. 7

11 Si a 8, la unción es continua y derivable en R {}. Si a 8, la unción es continua y derivable en R. DERIVADAS. PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES DERIVABLES. 7

12 RELACIÓN DE PROBLEMAS.. Hallar la ecuación de la tanente a las curvas en los puntos que se indican: 3 8 en el punto P,. 5 en el punto P, 3 en el punto de abscisa.. e en el punto de abscisa.. Escribid la ecuación de la recta tanente a la ipérbola y en el punto de abscisa En qué punto de la ráica de la unción 6 8 la tanente es paralela a la bisectriz del primer cuadrante? 4. Determinar los puntos de la curva y en los cuales la tanente es paralela a la recta y Buscar los puntos de la curva 4 3 y 7 3 que tienen la tanente ormando un ánulo de 45º con el eje de abscisas. 6. Estudiar la derivabilidad de la unción si si > Dibujar la ráica. 7. Demostrar que la unción no puede tener tanente en el punto de abscisa 8. Dada la unción, allar ' y ''. Representar ráicamente los resultados. 9. Estudia la derivabilidad de la unción. Estudia la derivabilidad de la unción cos en el intervalo [, ]. en el intervalo [, π].. Halla la derivada de la unción sen si si Es ' continua en? Es ' derivable en?. Calcula m y n para que la unción 5 m si n si > sea derivable en todo R. 3. Estudiar la derivabilidad de las siuientes unciones y, en caso de no sean derivables en alún punto, dar el valor de sus derivadas laterales: 3 si < 3 si 3 si 3 si > 4. Consideremos la unción. Sabiendo que es continua en, probar que es derivable en y calcular su derivada. No se puede suponer que es derivable; puede no serlo. DERIVADAS. PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES DERIVABLES. 7