OLCOMA II Eliminatoria 2012 Nivel C XXIV OLIMPIADA COSTARRICENSE DE MATEMÁTICA UNA- UNED- UCR- ITCR- MEP-MICIT SEGUNDA ELIMINATORIA NACIONAL

Transcripción

1 OLCOMA II Elimintori 0 Nivel C XXIV OLIMPIADA COSTARRICENSE DE MATEMÁTICA UNA- UNED- UCR- ITCR- MEP-MICIT SEGUNDA ELIMINATORIA NACIONAL FECHA: 7 de gosto, 0 SOLUCIONARIO NIVEL C ( - )

2 OLCOMA II Elimintori 0 Nivel C SELECCIÓN ÚNICA. Si un heágono regulr y un octágono regulr tienen rdios congruentes, entonces l rzón entre el áre del heágono y el áre del octágono es ) b) c) d) Solución: ) En un heágono regulr el ángulo centrl mide 60 y en un octágono regulr mide 45 por lo tnto l rzón de ls áres es: Not: El áre de un polígono regulr de n ldos y rdio r está dd por. L cntidd de enteros positivos n pr los cules l epresión corresponde ) b) 4 c) 7 d) 5 n 5 n 0 es un número entero Solución: c) Vemos que n 5 n Pr que l epresión correspond un número entero, n 0 n 0 n 0 entonces n 0 debe dividir 5, y como los divisores son, 3, 5, 5, l igulr n 0 cd uno de estos divisores se obtienen los vlores de n, con ecepción de 5, pues n serí negtivo. Por lo tnto, l cntidd de enteros positivos es 7

3 OLCOMA II Elimintori 0 Nivel C 3. Si en un colegio se construyen 5 nuevs uls, se reduce en 6 el promedio de estudintes por clse. Si se construyen otrs 5 uls nuevs, se reduce en 4 más el promedio de estudintes por clse. Si el número totl de estudintes del colegio permnece igul, l cntidd de estudintes que tiene l institución es ) 560 b) 600 c) 650 d) 70 Solución: b) Se el número de estudintes y n el número de uls inicil. El promedio de estudintes por clse es n. Si se increment en 5 el número de uls, el promedio es y por lo tnto, 6 de n 5 n 5 n donde n n 5 6n 5 6n 30n. Si se increment nuevmente en 5 el número de uls, el promedio es n 0 n 0 0 n n 0 0n 0 0n 00n 5 5n 50n n Igulndo ls ecuciones y se obtiene 6n 30n 5n 50n n 0n 0 n n 0 0 n 0 o n 0 y por lo tnto Se tom n 0, pues no tiene sentido tener 0 uls. Despejndo l ecución se obtiene n 0n y sustituyendo el vlor de n se tiene que En l siguiente cudrícul A, B, C, D, E, F representn números nturles distintos tles que l multiplicr los números de cd fil, column o digonl se obtiene el mismo resultdo entonces el vlor de D E F es ) 0 b) 38 c) 40 d) 46 3

4 OLCOMA II Elimintori 0 Nivel C Solución: c) Se N el resultdo de multiplicr los números de cd fil, column o digonl. Se tiene entonces que N 643 y N D E F Además N B F N 64 B E N 3 B D De donde N B D E F N N B N B N B B Con esto se tiene que 646 E E D D F F 8 Por lo tnto D E F En un círculo se inscribe un rectángulo de tl mner que su áre corresponde l mitd del áre del círculo. Entonces, l rzón entre el lrgo y el ncho del rectángulo es ) b) c) d) Solución: b) Sen r,, y ls medids del rdio del círculo, el lrgo y ncho del rectángulo respectivmente. L digonl del rectángulo corresponde un diámetro del círculo, es decir, y r, por lo que 4 y r. Además, como el áre del rectángulo es l mitd del áre del círculo se tiene: y r y y 8y y 8y y 0 4 4

5 OLCOMA II Elimintori 0 Nivel C Resolviendo l ecución cudrátic en términos de se tiene: 8y 4 y y y y y y Se tiene sí que y ó y Como , mientrs que y como y, l respuest correct es y 6. Considere un circunferenci cuyo centro es el punto de coordends 6,6 y es tngente l rect l de ecución y 8. El áre del triángulo cuyos vértices son el centro de l circunferenci y los puntos donde l rect l intersec los ejes coordendos es 0 ul... Entonces l longitud de es circunferenci es ) 5 ul.. b) 4 5 ul.. c) 8 5 ul.. d) 6 5 ul.. Solución: b) Ls intersecciones de l rect l con los ejes de coordends son los puntos 0,4 y 8,0, los cules determinn junto con el origen del sistem de coordends, un triángulo rectángulo cuyos ctetos miden 4 y 8. Por lo tnto ess intersecciones están un distnci de ul.. Por lo tnto, un de ls bses del triángulo determindo por estos dos puntos y el centro de l circunferenci mide 4 5 y l ltur correspondiente es el rdio. Como se sbe que el áre de este triángulo es 0 entonces se debe cumplir que r r 5 0 r 5. De lo nterior se concluye que l longitud de l circunferenci es r 4 5 u. l. 5

6 OLCOMA II Elimintori 0 Nivel C 7. Considere el número rel positivo,, y l función : f definid por f se sbe que pr todo número rel se cumple que log log ) creciente e inyectiv b) creciente y sobreyectiv c) decreciente e inyectiv d) decreciente y sobreyectiv. Si entonces f es Solución: ) Como se sbe que log log y entonces l función definid por g log es creciente, de donde se concluye que. Por lo tnto y como f ( ) f entonces f es estrictmente creciente y por lo tnto inyectiv. Además, el rngo de f es 0, por lo que f no es sobreyectiv. 8. Si y b son dos dígitos tles que l epnsión deciml del número rcionl los vlores de y b son, respectivmente ) 3 y 5 b) y 4 c) 7 y 4 d) 3 y 7 b es 0, b 0 entonces 495 Solución: ) Si considermos entonces y. Se tiene entonces que, de donde, por lo que. Epresndo lo nterior en representción desrrolld tenemos que, de donde. Como y b son dos dígitos, debe ser entero, lo cul ocurre cundo, se concluye entonces. 6

7 OLCOMA II Elimintori 0 Nivel C 9. Considere l siguiente relción entre ls vribles t y pr un constnte : t ) - b) c) d). Cundo t un vlor de es Solución: ) 0 Se trt de un ecución cudrátic: El discriminnte es Por lo tnto 3 3. Como se sbe que entonces Se tiene entonces ó 0. Considere un función definid por f, 5 5, f D entonces l imgen de es igul ) b) c) d) 3 4 definid en su dominio máimo 30 Solución: ) 7

8 OLCOMA II Elimintori 0 Nivel C Como f 4 30 entonces 4 debe estr definid pr, de donde se deduce que. Por lo tnto como f 4 5 y 3 se tiene que f f De cuerdo con los dtos de l figur, donde F es el punto medio de CE, HC 3cm y H C F E, entonces, de los triángulos ABC, EBC, HFB y EJB, el que tiene myor áre es J ) ABC A 6 cm 6 cm b) EBC c) HFB d) EJB B 8 cm cm H C 60 F 60 E Solución: b) ABC es rectángulo, su áre es 68 4 EBC es equilátero de ldo 8, su áre es 6 3 6, HFB es rectángulo, su áre es porque 3,5, con lo que EJB es escleno, plicndo l fórmul de Herón, su áre es Por lo tnto, el triángulo de myor áre es EBC 8

9 OLCOMA II Elimintori 0 Nivel C. Con l yud de l siguiente figur se puede clculr cos75, cuyo vlor ecto es B 30 A C ) 6 4 b) 3 c) 3 50 d) Solución: b) Aplicndo l ley de cosenos pr determinr BC se tiene que BC cos BC 3 Como el ABC es isósceles, entonces se cumple que ABC BCA, por lo que cd uno mide 75. Si se trz l ltur AM con M el punto medio de BC se tiene que 3 cos

10 OLCOMA II Elimintori 0 Nivel C DESARROLLO. Determine l cntidd de enteros positivos menores que 00 que stisfcen l ecución n n n n 3 6 Donde se define como el myor entero que es menor o igul Solución Por l definición y en l ecución, se tiene que n n n n n n n Así, pr que se de l iguldd n n, n n, n n 3 3 6, por lo que n debe ser divisible por, 3 y 6 6, es decir, por 6. Ahor, 00 6,6 por lo que l cntidd de enteros positivos menores que 00 y múltiplos de 6 son Considere un función f : cuy gráfic es un prábol en l cul el eje de simetrí es l rect de ecución. Si se sbe que pr culquier número rel se cumple que f f f 0, determine l distnci entre los puntos donde es prábol intersec l eje X. Solución Se f b c entonces f f f 0 b c b c c b c b c c 4 4 0

11 OLCOMA II Elimintori 0 Nivel C b b b c b c c 4 4 b c c b Como se sbe que el eje de simetrí es entonces b c 4 4 L distnci entre los puntos de intersección con los ejes está dd por b b b 4c u.l Si O es un punto en el interior del PQR y S es un punto tl que P S R y Q O S, pruebe que PR + PQ > OR + OQ. Solución: R S O P Q Vemos que. Además por desiguldd tringulr. Sumndo se tiene que. Por tnto () Por otro ldo,, y por desiguldd tringulr. Sumndo se tiene que. Por lo tnto () De () y () se concluye que, que es lo que se querí probr.