IES Gerardo Diego Departamento de Matemáticas Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II, curso

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1 Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II, curso -. (JUN ) Calcular la integral definida ( ) d absoluto de ). ( representa el valor. (JUN ) Se considera la función real de variable real definida por. (a) Determinar su dominio de definición. (b) Obtener sus asíntotas (JUN 5) La función B( ) representa, en miles de euros, el beneficio de un proceso de venta, siendo el número de artículos vendidos. Calcular el número de artículos que deben venderse para obtener un beneficio máimo. Determinar este beneficio máimo.. (JUN 5) (a) Hallar la ecuación de la recta tangente a la gráfica de e en el punto en que esta corta al eje de ordenadas. (b) Calcular el área del recinto limitado por, el eje OX y las rectas = -, =. 5. (JUN 6) Se considera la función real de variable real definida por 9. (a) Calcular sus máimos y mínimos relativos, si eisten. (b) Calcular el área del recinto plano acotado limitado por la gráfica de f () y el eje OX. 6. (JUN 6) Se considera la curva de ecuación y 8. Se pide: (a) Calcular las coordenadas del punto en el que la recta tangente a la gráfica es paralela a la recta y =. (b) Calcular el área del recinto plano limitado por la gráficas de la curva dada y de la recta de ecuación y = (JUN 7) Dada la función real de variable real definida por, (a) Determinar sus asíntotas. (b) Calcular sus máimos y mínimos y determinar sus intervalos de crecimiento. 8. (JUN 7) Representar gráficamente la región acotada limitada por los gráficos de las 5 funciones, g( ) 5, h( ) 5 y obtener su área. 9. (JUN 8) Calcúlese el área de la región plana acotada limitada por las gráficas de las funciones reales de variable real y g( ).. (JUN 8) Se considera la función real de variable real definida por,.

2 Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II, curso - (a) Determínense las asíntotas de f. (b) Calcúlense los máimos y mínimos relativos de f y determínense sus intervalos de crecimiento.. (SEP ) Se considera la función real de variable real definida por a 5, a. a (a) Obtener los valores de a para los cuales la función tiene un máimo en =. (b) Calcular los etremos relativos de f () para a = y representar la función.. (SEP ) Sean las funciones 8, g( ). (a) Calcular lim. g( ) (b) Calcular el área del recinto acotado limitado por las gráficas de f y de g.. (SEP 5) Se considera la curva d ecuación. Se pide: (a) Hallar la ecuación de la tangente a dicha curva en el punto de abcisa =. (b) Hallar sus asíntotas.. (SEP 5) Se considera la función real de variable real definida por. 9 (a) Hallar sus asíntotas. (b) Calcular, si eisten, sus máimos y mínimos relativos (SEP 6) Dada la función, (a) Encontrar las asíntotas de la función. (b) Especificar el signo de la función en las distintas regiones en las que está definida. 6. (SEP 6) Representar gráficamente la región acotada limitada por las gráficas de las funciones 9, g( ), y obtener su área. 7. (SEP 7) Dada la función real de variable real definida por (a) Especificar su dominio de definición. (b) Estudiar su continuidad. (c) Calcular sus asíntotas, si las hubiera.,

3 Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II, curso - 8. (SEP 7) La gráfica de la función a b c satisface las siguientes propiedades: Pasa por el punto (,) Tiene un máimo local en el punto (,) Se pide: (b) Obtener el valor de los coeficientes a, b y c. (c) Hallar el área de la región acotada del plano limitada por las gráficas de g( ), el eje OX y la recta =. 9. (SEP 8) Se desea fabricar un acuario de base cuadrada y sin tapa, de capacidad 5 dm. La base y las paredes del acuario han de estar realizadas en cristal. Cuáles deben ser sus medidas para minimizar la cantidad total de cristal empleado?. (SEP 8) Se considera la función real de variable real definida por, (a) Determínense las asíntotas de f. (b) Calcúlense los máimos y mínimos relativos de f, y determínense sus intervalos de crecimiento. (c) Calcúlese la integral definida f ( ) d. (JUN 9) Se considera la función real de variable real definida por f ( ) = ( ). (a) Determínense los etremos relativos de f. (b) Hállese la ecuación de la recta tangente al gráfico de f en el punto de abcisa =. (c) Calcúlese el área del recinto plano acotado limitado por la gráfica de f y el eje OX.. (JUN 9) Se considera la función real de variable real definida por:. a (a) Determínense las asíntotas de f, especificando los valores de a para los cuáles f tiene una asíntota vertical, dos asíntotas verticales o ninguna asíntota vertical. (b) Para a = -, calcúlense los valores reales de b para los que se verifica que b d. (SEP 9) Se considera la función real de variable real definida por, si 9, si 5, si (a) Represéntese gráficamente la función f. 5

4 Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II, curso - (b) Determínese la ecuación de la tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa =. (c) Calcúlese el área del recinto plano acotado limitado por f y el eje OX.. (SEP 9) El beneficio (en miles de euros) que obtiene una central lechera por la producción de leche desnatada está determinado por la función B ( ) 7, en la que representa los hectolitros de leche desnatada producidos en una semana. (a) Represéntese gráficamente la función B () con mayor o igual que. (b) Calcúlense los hectolitros de leche que debe producir semanalmente la central lechera para maimizar sus beneficios. Cuál es ese beneficio máimo? (c) Calcúlense las cantidades mínima y máima de leche desnatada que debe producir semanalmente la central lechera para no incurrir en pérdidas (es decir, beneficios negativos). 5. (JUN ) Se considera el rectángulo R de vértices BOAC con B = (, b), O=(,), A = (a, ) y C = (a, b), a >, b > y el vértice C en la parábola de ecuación y = - +. (a) Para a =, determínense los vértices del rectángulo, y calcúlese su área. (b) Determínense las coordenadas de los vértices del rectángulo de forma que tenga área máima. (c) Calcúlese el valor de dicha área máima. 6. (JUN ) Se considera la función real de variable real definida por, si si. a b si (a) Calcular a, b para que f sea continua y derivable en =. (b) Determinar la ecuación de la tangente a la gráfica de f en el punto =. (c) Para a =, b = -, calcular el área de la región plana acotada limitada por la gráfica de f y el eje OX. 7. (JUN esp) Se considera la función. (a) determinar sus asíntotas. (b) Calcular sus máimos y mínimos locales. Esbozar su gráfica. (c) Calcular el área de la región plana limitada por las rectas =, =, el gráfico de f y la recta y = (JUN esp) Se considera la función definida por a si. si b (a) determinar los valores de a y b para que f sea continua y derivable.

5 Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II, curso - (b) Para a 6, b determinar los puntos de corte de f con el eje OX y esbozar su gráfica. (c) Para a 6, b, calcular el área del recinto limitado por la gráfica de f, el eje OX y la recta vertical =. 9. (SEP ) El coste de una ventana rectangular es de 5 por cada metro de lado vertical y 5 por cada metro de lado horizontal. Se desea construir una ventana de m de superficie. Calcular sus dimensiones largo y alto- para que el marco sea lo más barato posible, Cuál es ese valor mínimo?. (SEP ) Se considera la función definida por a si b si -. ln a si (a) Calcular a y b para que la función sea continua en todos sus puntos. (b) Para a = y b =, representar esquemáticamente la función. (c) Para a = y b =, calcular la integral definida d.. (SEP esp) Se considera la función definida por. (a) Calcular la ecuación de la tangente a la gráfica de f en su punto de infleión. (b) Calcular los etremos relativos de f y esbozar su gráfica. (c) Calcular el área de la región plana limitada por la gráfica de f y la recta de ecuación y = +. si. (SEP esp) Se considera la función definida por a b si. 5 si (a) Determinar a y b para que f sea continua en todos sus puntos. (b) Eisten valores de a y b para los que f sea derivable en =? Razonar la respuesta. (c) Para a = y b =, calcular la integral definida d.. (JUN ) Se considera la función real de variable real definida por: a, si. b, si a) Calcúlense a y b para que f sea continua y derivable en = -. b) Para a =, b =, represéntese gráficamente la función f. c) Calcúlese el valor de b para que d 6. 5

6 Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II, curso -. (JUN ) Se considera la función real de variable real definida como. a) Especifíquese su dominio de definición y los puntos de corte de su gráfica con los ejes coordenados. Determínese las asíntotas de f. b) Calcúlese la integral d. 5. (SEP ) Se considera la función real de variable real definida como. a) Determínense las asíntotas de f. Calcúlense los etremos relativos de f. b) Represéntese gráficamente la función f. c) Calcúlese el área del recinto plano acotado limitado por la gráfica de f, la recta horizontal y =, y la recta vertical =. 6. (SEP ) Se considera un rectángulo R de lados, y. a) Si el perímetro de R es igual a., calcúlense, y para que el área de R sea máima y calcúlese el valor de dicha área máima. b) Si el área de R es igual a 6 m, calcúlense, y para que el perímetro de R sea mínimo y calcúlese el valor de dicho perímetro mínimo. 7. Se considera la curva de ecuación y =. (a) Calcular las coordenadas del punto en el que la recta tangente a la gráfica de f es paralela a la bisectriz del primer cuadrante. (b) Calcular el área del recinto plano acotado limitado por la gráfica de la curva propuesta, su tangente en el punto P (,) y el eje OX. 8. Se considera la función definida por f () = a + b +c, con a, b y c números reales. (a) Qué valores deben tomar a, b y c para que la gráfica de f pase por el punto O (,) y además tenga un máimo relativo en el punto P (,)? (b) Para a =, b = - y c =, calcúlese el área del recinto plano acotado limitado por la gráfica de f y el eje OX. 9. Se considera la función real de variable real definida como, si a, si 5 5 b, si 5 (a) Determinar los valores de a y b para los que la función es continua en = y en =5. (b) Para a = y b = 6, determinar los valores f () y f (7). (c) Para a = y b = 6, determinar el valor de la integral definida 6 d. 6

7 Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II, curso - Soluciones de análisis PAU ( ) d ( ) d ( ) d d ( ) d u a) D( f ) { R / y b) Asíntotas: i) Verticales: = y = - ii) Horizontal: y = } D( f ) (, ],, B( ) B'( ) B'( ) Calculando la segunda derivada B''( ) si y ( no válido) B''() Máimo Solución: Se obtiene un beneficio máimo de vendiendo artículos.- a) Ecuación de la recta tangente a e en el punto de corte con el eje de ordenadas: Si = f ()= e Recta tangente: y f ( ) f '()( ) y e f '() y e e ya que derivando: f '( ) e ( ) f '() e b) Área de f () =, el eje OX y las rectas = - y =. A(,) A 59 ( ) d ( ) d 9 u 7

8 Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II, curso a) Máimos y mínimos relativos: f '( ) 9 f ''( ) 6 f ''( ) mínimo f ()= 9, f ''( ) máimo b)área del recinto plano limitado por f() y el eje OX. A (-,) B (,) Por simetría calculamos A 8 8 ( 9) d u 6.- y 8 (a) El punto o que cumple que la recta tangente es paralela a y = es aquel que cumple que m=f ( o )=, por lo tanto como: y = +8, se tiene que +8 = por lo que o = - Punto: P( o, f( o ))=(-,-5) (b)calcular el área limitada por la curva y la recta y = + 8 y 8 Puntos de corte: y 8 Resolviendo: =-8, = A [( 8) ( 8)] d u 8 ( ) 7.- a) Asíntotas: i) Vertical: = - ii) Horizontal: No hay iii) Oblicua: y = 9 8

9 Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II, curso b) Intervalos de crecimiento y máimos y mínimos relativos: f '( ) ( ) f ()= 6 7 o 9 Estudiamos el signo de f : Intervalos (-,-9) (-9,-) (-,) (,+ ) Signo de f Crecimiento de f Creciente Decreciente Decreciente Creciente = -9 = Máimo Mínimo f creciente : (, 9) (, ) f decrecient e : ( 9, ) (,) g( ) (5 ) h( ) ( 5 ) A(-,5) B(,5) Por simetría: 5 5 [ h( ) ] d ( ) d 7 A u 9.- f ( ) g( ) A(-/,) B(,) A 9 [ g( ) ] d ( ) d u 8 9

10 Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II, curso -.- a) Asíntotas: i) Vertical: = ii) Horizontal: No hay iii) Oblicua: y = + b) Intervalos de crecimiento y máimos y mínimos relativos: f '( ) f ()= o Estudiamos el signo de f : Intervalos (-,- ) (-,) (, ) (,+ ) Signo de f Crecimiento de f Creciente Decreciente Decreciente Creciente = - = Máimo: P(-,- ) Mínimo: Q(,+ ) f f creciente : (, ) (, ) decrecient e : (,) (, ).- a 5 a a a) Obtener a para que haya un máimo en = f '( ) a 5 a f ()= a 5 a o a a 6 f '( ) a. Sustiyendo por = tenemos que son solución ambos valores de a a ya que f ()<. b) 5 f '( ) 6 5 f ()= 6 5 y Estudiamos el signo de f : Intervalos (-,) (,5) (5, + ) Signo de f Crecimiento de f Creciente Decreciente Creciente = = 5 Máimo Mínimo

11 Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II, curso - Representamos: Máimo A(, 5/) Mínimo B(5, 5/).- 8 g( ) ( )( ) a) lim ( ) lim g ( )( ) b) Área: A [ g( ) ] d ( ) d 5u -

12 Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II, curso -.- a) Ecuación de la recta tangente en = f()=/ f '( ) m f '() ( ) Recta tangente: y f ( ) f '()( ) y y b) Asíntotas: i) Verticales: No hay ya que D(f)=R ii) Horizontal: No hay iii) Oblicua: y =.- 9 a) Asíntotas: i) Verticales: = y = - ii) Horizontal: y = 8 b) Máimos y mínimos relativos: f '( ) ( 9) f ()= Estudiamos el signo de f : Intervalos (-,-) (-,) (,) (,+ ) Signo de f Crecimiento de f Creciente Creciente Decreciente Decreciente Máimo = Nota: También podemos obtener f () y aplicar el criterio del signo. 5 6 f ''( ) f ''() ( 9) a) Asíntotas: i) Verticales: = y = - ii) Horizontal: y = b) Especificar signo: Puntos de corte con OX: = y = - Consideramos el signo en los siguientes intervalos: Intervalos (-,-) (-,-) (-,) (,) (,+ ) Signo de f

13 Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II, curso g( ) A(-,) B(,5) A 5 [ g( )] d ( 6) d u a) D( f ) { R / } D( f ) R {,} b) Continuidad f discontinua en = y = ya que no son del dominio de la función Vemos tipos de discontinuidad ( ) lim lim disc. evitable ( )( ) lim lim ( ) ( )( ) b)asíntotas: i) Vertical: = ii) Horizontal: y = disc.ª esp( salto inf inito ) 8.- a b c a) Obtener a, b y c para que pase por (,) y haya un máimo en (,) Como pasa por el origen f()=, por tanto c =. Máimo en = y f()=: f () = a -b f '() a b f ( ) a b Resolviendo el sistema: a=- y b=-6 6

14 Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II, curso - b) Área: g()= -, eje OX y recta = A(,) A 7 ( ) d ( ) d u 9.- a: longitud lado base b : altura a) Obtener a, b para que el área sea mínima con un volumen de 5dm A a ab a( a b) f ( a) a 5 a b a f '( a) a f '( a) a a Dimensiones: Base:dm Altura:5 dm a min imizar.- a) Asíntotas: i) Verticales: = y = - ii) Horizontal: y = b) Máimos y mínimos relativos: f '( ) ( ) f ()= Estudiamos el signo de f : Intervalos (-,-) (-,) (,) (,+ ) Signo de f Crecimiento de f Creciente Creciente Decreciente Decreciente Máimo =

15 Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II, curso - f creciente : (, ) (,) f decrecient e : (,) (, ) c) 5.- ( f ) d ( ) ( ) 5 ( ) d a) Máimos y mínimos relativos: f '( ) f ()= ; ; f ''( ) b)tangente a f en = f()=6 m f '() 96 f ''() P(,) Máimo relativo f ''() P(,) Mínimo relativo f ''( ) P(,) Mínimo relativo Recta tangente: y f ( ) f '()( ) y 96 c)área: 6 ( ) d u 5.- a a) a a i) Si a a No hay asíntotas verticales ii) Si a a Hay una asíntota vertical : iii)) Si a a Hay asíntotas verticales : a y a A.Horizontal: y= 5

16 Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II, curso - b) b d.-a) Representar: b ln b b b o b si 9 si 5 si b) Tangente a f en = f()= f '( ) m f '() Recta tangente: y f ( ) f '()( ) y 8 c)àrea: 5 ( ) d ( 9) d ( 5) d ( ) u A 6.- Beneficio en miles de Euros. = nº de hl en una semana B ( ) 7 a) Representar : A(5,), B(,), C(9/,9/) b) Solución: Se obtiene un beneficio máimo de 5 produciendo,5 hl semanales. c) Cantidad mínima: hl Cantidad máima: 5 hl 6

17 Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II, curso O(,), A(a,), B(,b) y C(a,b) y ( f '( ) Sol : a b a b 8 a) Si a = A(, ) B(,) C(,) Área= 9u b) Área máima: A=a b a b c) o ) ma imizar f '( ) ( No válida) Si a A 6u máima si 6.- si a b si a) Calcular a y b para que sea continua y derivable en = a) Continuidad f continua en f () a b lim lim b) Derivable: si f '( ) si a si f derivable en Sustituyen do : b 8 f '( ) f '( ) a b) Para estos valores de a y b: Tangente a f en = f()= f '() Recta tangente: y f ( ) f '()( ) y 8 7

18 Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II, curso - c) Para a= - y b=, calcular el área limitada por f() y OX. 8u ( ) d u A Siendo 8u el área del triángulo de base u y altura u. 7.- a) Asíntotas: i) Vertical: = ii) Horizontal: No hay iii) Oblicua: y = + b)representar: ( ) f '( ) ( ) f ()= o Estudiamos el signo de f : Intervalos (-,) (,) (,) (,+ ) Signo de f Crecimiento de f Creciente Decreciente Decreciente Creciente Máimo en =: P(,) Mínimo en =: Q(,) c) A ( (` ) d d ln ln u 8

19 Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II, curso - a si 8.- si b a) Calcular a y b para que sea continua y derivable Lo estudiamos en = ya que en el resto de los puntos del dominio es continua y derivable Continuidad f continua en f () lim lim a b Derivable: f '( ) b si si f derivable en Sustituyen do b a 5 f '( ) f '( ) b b b)para a = 6 y b=/: Puntos de corte: OX: (-,) OY: (,6) 6 si si A(,) B(-,) C(,) c) 9

20 Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II, curso - A 56 ( 6) d ( ) d ( ln ) u 9.- Coste ventana: 5 /m horizontal; 5 /m vertical A=m Minimizar coste A= y 5 5 f '( ) 5 f '( ) o f ''( ) f ''() Dimensones : Horizontal m Vertical m Coste : ( No válida) a si.- b si ln a si a)calcular a y b para que sea continua Estudiamos la continuidad en = y =- f continua en f ( ) lim lim a b f continua en f () lim lim Resolviendo el sistema: a = ; b = - b)para a= y b= representar: a b c) f ) d ( ( ) d 8

21 Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II, curso -.- a) Calcular la ec. de la tg. en su punto de infleión: f '( ) 6 f ''( ) 6 6 Como f '''() 6 Tangente a f en = f()= m f '() f ''( ) P. I. Recta tangente: y f ( ) f '()( ) y 5 b)etremos y gráfica: f '( ) o f ''() P(,) Máimo relativo f ''() Q(,) Mínimo relativo c) A(,) B(-,) C(,) Área entre f y la recta y = +: Por simetría, A ( ) d 8u si.- a b si 5 si a)calcular a y b para que sea continua Estudiamos la continuidad en = y = f continua en f () lim lim f continua en f () lim lim Resolviendo el sistema: a = -; b = b a b b) f no es derivable en =, ya que para que sea continua debe ocurrir que a=- y b= y, en estas condiciones, f ( + )= y f ( - )=-

22 Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II, curso - c) Para a = ; b = d ( ) d ( ) d a si.- b si a) Calcular a y b para que sea continua y derivable Lo estudiamos en =- ya que en el resto de los puntos del dominio es continua y derivable Continuidad f continua en f ( ) lim lim a si Derivable: f '( ) si b a f derivable en f '( ) b Sustituyendo en a b b)representar para a= y b= f '( ) a a c) Calcular b para que d 6 b ( ) d 6 9 b b 5 b 6.- a) D( f ) { R / b) } D( f ) R Puntos de corte : O(,) Asíntotas: i) Verticales: = y = ii) Horizontal: y =,

23 Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II, curso - A d d ln (ln 7 ln ) Representación(no es necesaria para el problema): 5.- f ( ) ) ( a) Asíntotas y etremos relativos: Asíntotas i) Verticales: No hay ya que D(f)=R ii) Horizontal: y= Etremos relativos: f '( ) ( ) f ()= o Estudiamos el signo de f : Intervalos (-,-) (-,) (,+ ) Signo de f Crecimiento de f Decreciente Creciente Decreciente Máimo en =: P(,) Mínimo en =-: Q(-,) b)representar: c) A ( ) d ( ) d ln u

24 Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II, curso a) P= y 6 A= y Máima (6 ) f '( ) 6 f '( ) f ''( ) f ''() Dimensones : e y f '( ) 6 6( no válida) f ''( ) f ''(6) Dimensones : 6m e y 6m b) A=6m P=+y mínimo A= y 6 Minimizar 7 f '( ) 7.- a) Calcular P(,y) en el que la tg. es paralela a y= f '( ) e y Recta tangente en = /: y b) Calcular el área limitada por f, la ec. de la tg. en A(,) y el eje OX: f '( ) Tangente a f en = f()= m f '() Recta tangente: y f ( ) f '()( ) y A(,) B(/,) A d ) d ( u

25 Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II, curso a b c a) Obtener a, b y c para que pase por (,) y haya un máimo en (,) Como pasa por el origen f()=, por tanto c =. Máimo en = y f()=: f () = a +b f '() a b f ( ) a b Resolviendo el sistema: a=- y b= Se comprueba que f ()< b)para a=, b=- calcular el área entre f y OX. A(,) B(,) C(,) Por simetría: A ( ) d u si 9.- a si 5 5 b si 5 a) Calcular a y b para que sea continua Estudiamos la continuidad en = y =5 f continua en f () lim lim f continua en 5 f (5) lim lim 5 Resolviendo el sistema: a = ; b = 7 b) Para a = ; b = 6 calcular f () y f (7) 5 a 5 a b si si si 5 f '() y f '(7) 9 f '( ) 5 si si 5 si 5 c) 5

26 Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II, curso d ( ) d ( 5 6) d 6

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