Instrucciones: Leer detenidamente los siete enunciados y resolver seis de los siete problemas propuestos. Frecuencia absoluta (f i )

Transcripción

1 UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉICO FACULTAD DE INGENIERÍA DIVISIÓN DE CIENCIAS BÁSICAS COORDINACIÓN DE CIENCIAS APLICADAS DEPARTAMENTO DE PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA PRIMER EAMEN FINAL RESOLUCIÓN SEMESTRE 04 - TIPO DURACIÓN MÁIMA.0 HORAS DE NOVIEMBRE DE 0 NOMBRE Apelldo paterno Apelldo materno Nombre (s) Frma Instruccones: Leer detendamente los sete enuncados y resolver ses de los sete problemas propuestos.. Una empresa de elementos prefabrcados de madera procedó a clasfcar los ecedentes de una muestra aleatora de bastdores de una pulgada de espesor, por su longtud en centímetros. Los resultados se muestran en la sguente tabla de dstrbucón de frecuencas: Frontera nferor (L R ) Frontera superor (L Rs ) a) La tabla de dstrbucón de frecuencas queda dada como: Frontera Inferor Frontera Superor Marcas de Clase Frecuenca Absoluta Frecuenca Relatva Frecuenca Acumulada Absoluta Frecuenca Acumulada Relatva LR L Rs f f * F F * f * ( -meda) f ( -meda) f * Clase medana y clase modal Sumas Meda D.Est.Muestral Sesgo <0 La meda, está defnda por: * m m n f f Frecuenca absoluta (f ) a) Calcular la meda, la medana y la moda. b) Determnar el sesgo de la dstrbucón de los datos. PYE_ EF_04-

2 f f * n La medana, es el valor que dvde a la muestra en dos partes guales, entonces: y y nterpolando en la clase medana: y y susttuyendo: La moda es la abscsa con mayor frecuenca absoluta o relatva, entonces:. o ben mo b f f mo f : frecuenca absoluta de la clase que contene a la mod a. mo c : Longtud de la clase que contene a la mod a. mo L _ nf : Límte nf eror de la clase que contene a la mod a. Mo mo mo c) El sesgo de la muestra aleatora está dado por: a * m m f f n Sn Sn susttuyendo para calcular la varanca muestral, se tene: m S n f n sn La raíz es la desvacón estándar: sn sn susttuyendo en el sesgo: 89. a 0.79 tene lgero sesgo negatvo.74 a mo L c mo_nf mo a b a f f mo mo De manera empírca por la poscón de las meddas de tendenca central, se sabe: mo tene sesgo negatvo.. Un centro de cómputo tene tres mpresoras A, B, C, que mprmen a dstnta velocdad. Las probabldades de que una persona envíe el trabajo a las mpresoras A, B y C son 0., 0. y 0., respectvamente. En ocasones los mpresos se atoran en la mpresora y se destruyen. Las probabldades de que se atore el papel en las mpresoras A, B y C son 0.0, 0.0 y 0.04, en ese orden. Un estudante de ngenería utlza este sstema para mprmr un trabajo urgente de nvestgacón, calcular: PYE_ EF_04-

3 a) S el trabajo se atoró, qué probabldad hay de que el estudante haya envado el documento a la mpresora B? b) Qué probabldad hay de que el trabajo haya sdo envado por el estudante a la mpresora A o a la mpresora C?, s se mprmó correctamente. Sean los eventos que representan: A el trabajo se envía a la mpresora A B el trabajo se envía a la mpresora B C el trabajo se envía a la mpresora C D el trabajo se atora y se destruye Datos: P A 0. PB 0. PC 0. PD A 0.0 PD B 0.0 PD C 0.04 a) Dado que el trabajo se atoró, cuál es la probabldad de que el estudante haya envado el documento a la mpresora B, se pde PB D que es Teorema de Bayes, entonces: P B D PB PD B P B D P D P A P D A P B P D B P C P D C susttuyendo: P B D b) Se sabe que el trabajo se mprmó correctamente, cuál es la probabldad de que el estudante haya envado a la mpresora A ó C, con el Teorema de Bayes se tene: PC PD C P AC D P A P D A P AC D PD P A PD A PB PD B PC PD C susttuyendo: P AC D La varable aleatora tene la sguente funcón de probabldad dada por: a b 0 p Determnar los valores a y b de la varable aleatora, s se sabe que E 0 y Var 8 PYE_ EF_04-

4 Se sabe que E f susttuyendo: E 0 a b 0 8 Var f E E susttuyendo: Var a b queda un sstema de dos ecuacones con dos ncógntas, como: a b 0 ab0 a b a b 8 a b 8 a a 8 a 8 a 4 a entonces: a y b La funcón de probabldad es: 0 p 4. Un call center tene un servco de consulta por teléfono para la solucón de los problemas de sus usuaros. El servco está dsponble de 9:00 a 7:00 horas en días laborables. La eperenca muestra que la varable aleatora, el número de llamadas recbdas por día, tene una dstrbucón de Posson con 0 llamadas al día, calcular la probabldad de que en un día dado, la prmera llamada del día se recba: a) Antes de las 9: horas. b) Después de las 0:00 horas, dado que no se recbó llamada antes de las 9:0 horas. a) Sea Número de llamadas recbdas por día Posson 0 llamadas por día T Eponencal 0 tempo entre llamadas Observando que el día laborable es de 8 horas, entonces: PYE_ EF_04-4

5 0 PT e b) P T T P T e 8 8 P T T e e P T P T e. Un consultoro médco cuenta con dos líneas telefóncas. En un día selecconado al azar, sea la varable aleatora que representa la proporcón del tempo que se utlza la línea telefónca y sea Y la varable aleatora que representa la proporcón del tempo que se utlza la línea telefónca. S la funcón de densdad conjunta de estas varables aleatoras es: y ; 0, 0 y f Y, y 0 ; en otro caso Cuál es la probabldad de que la línea telefónca se encuentre lbre durante el 80% del día? P La línea está desocupada el 80% del día P Y 0. Se pde calcular entonces: 0. y0. 0. P Y0. y dyd y y d d y PY Consdérese el epermento del lanzamento de un dado. Sea la varable aleatora que representa el número que queda haca arrba. a) Qué dstrbucón tene? b) Cuál es la meda y la varanca de? c) S el epermento se modfca y ahora se lanza 0 veces el dado y se promedan los resultados, cuál es la meda y la varanca teórca de la meda muestral? d) Al lanzar 0 veces el dado, cuál es la probabldad apromada de que la meda muestral sea mayor o gual que cuatro? a) El comportamento aleatoro tene dstrbucón Unforme dscreta 4 f PYE_ EF_04-

6 O ben, f ;,,,4,, 0 ; en otro caso b) Puesto que tene dstrbucón unforme dscreta, entonces: E f. E E f 9 E Var E E Var c) es la meda muestral, entonces del teorema del límte central porque n 0, se sabe: Normal susttuyendo: n, Normal 0 0., d) Se pde P 4, utlzando el TLC, puesto que n= FZ P P Z P Z PYE_ EF_04-7. Un médco especalsta drector del área de crugía tene datos estadístcos hstórcos del número de pacentes programados y operados, estos datos corresponden a los meses de marzo, abrl, mayo, juno y julo del año corrente y desea tener un pronóstco con regresón lneal de mínmos cuadrados para saber cuánto necestará de sumnstros para el área de qurófanos en los meses de agosto, septembre y octubre, de este msmo año. a) Trazar el dagrama de dspersón. b) Calcular el coefcente de correlacón lneal. c) Obtener la recta de regresón lneal. Trazar la recta de regresón lneal junto con el dagrama de dspersón. d) Calcular el coefcente de determnacón e nterpretar el resultado.

7 Los datos son los sguentes: Mes Consecutvo Mes Número de pacentes programados para crugía y Marzo 00 Abrl 4 0 Mayo 00 Juno 4 0 Julo 7 0 Del enuncado se tene: Número de pacentes Mes Mes Consecutvo programados para crugía y y y Marzo Abrl Mayo Juno Julo Sumas a) La gráfca de dspersón y la recta de mejor estmacón es: b) El coefcente de correlacón está dado por: R y yy PYE_ EF_04-7

8 ss ss yy yy 0 y y y y y 880 ssy susttuyendo r c) La recta de regresón es: ŷ ˆ ˆ 0 donde se sabe que los promedos están defndos por:, n n y n n y susttuyendo los valores de las sumas en los promedos: los estmadores se defnen por: ˆ y y ˆ , y PYE_ EF_04-8

9 ˆ y ˆ 0 0 ˆ 7 0 Por lo tanto el modelo está dado por: yˆ ˆ ˆ 0 yˆ 0 d) Como el coefcente de determnacón se utlza como medda de efcaca de la regresón, éste se calculará a partr del cuadrado del coefcente de correlacón. El coefcente de determnacón se defne por: R y r yy Del resultado anteror, se puede observar y conclur, que el coefcente de determnacón, 88.9 % y no es tan cercano al 00%, por lo que se consdera que el modelo lneal es sufcente para el número de pacentes programados para crugía. PYE_ EF_04-9