Método Polar para generación de variables normales Generación de eventos en Procesos de Poisson

Transcripción

1 Método Polar para generación de variables normales Generación de eventos en Procesos de Poisson Georgina Flesia FaMAF 25 de abril, 2013

2 Método polar Con este método se generan dos variables normales independientes. Si X e Y son normales estándar independientes, entonces R 2 = X 2 + Y 2, tan(θ) = Y X determinan variables R 2 y Θ independientes. f (x, y) = 1 2π exp( (x 2 + y 2 )/2) f (d, θ) = π e d/2, 0 < d <, 0 < θ < 2π. R 2 y Θ resultan independientes, con R 2 E(1/2) y Θ U(0, 2π).

3 Método polar Método polar Generar U 1, U 2 U(0, 1); R 2 2 log(u); Θ 2πU 2 ; X R cos(θ); Y R sen(θ) Transformaciones de Box-Muller: X 2 log(u 1 ) cos(2πu 2 ) Y 2 log(u 1 ) sen(2πu 2 ) El cálculo de funciones trigonométricas lo hace poco eficiente. Se puede mejorar generando uniformes V 1 y V 2 en el círculo unitario, para evitar el cálculo directo del seno y el coseno.

4 Método polar Generar un par (V 1, V 2 ) uniformemente distribuido en el círculo unitario. U U(0, 1), entonces 2U U(0, 2) y 2U 1 U( 1, 1), V1 = 2U 1 1, V 2 = 2U 2 1, rechazo hasta que entren en el círculo. R 2 = V1 2 + V 2 2 resulta uniforme en (0, 1). Θ = arctan V 2 /V 1 es uniforme en (0, 2π). sen(θ) = V 2 R cos(θ) = V 1 R

5 Método polar Transformaciones de Box Muller S = V V 2 2 X = ( 2 log U) 1/2 V 1 (V V 2 2 )1/2 Y = ( 2 log U) 1/2 V 2 (V V 2 2 )1/2 y Θ son independientes, luego podemos tomar U = S = V V 2 2

6 Método polar Transformaciones de Box Muller Método polar (última versión) repeat Generar V 1, V 2 U( 1, 1); S V1 2 + V 2 2 until S < 1; X Y 2 log S S V 1 ; 2 log S S V 2 X = ( 2 log S) 1/2 V 1 S 1/2 Y = ( 2 log S) 1/2 V 2 S 1/2

7 Generación de v. a. normales Existen otros métodos de generación de v. a. normales. Uno de ellos es el método rectangle-wedge-tail: Z, Z N(0, 1) 15 rectángulos ( 92%) 15 triángulos. 1 cola. Método de composición: 15 distr. uniformes. 16 restantes: método de rechazo. Referencia: Donald E. Knuth, Seminumerical Algorithms, p.p. 122 en adelante.

8 Proceso de Poisson homogéneo N(t), t 0, es un proceso de Poisson homogéneo de razón λ, λ > 0, si: N(0) = 0 proceso comienza en cero N(t 1 ) 0 N(t n ) N(t n 1 ) t 2 t 3 t 1 t n 1 t n En dos intervalos de tiempo disjuntos, las variables número de llegadas son independientes. La distribución del número de llegadas depende sólo de la longitud del intervalo. N(s) N(t + s) N(t), s < t.

9 Ocurrencia de 1 o más eventos La probabilidad de que ocurra un evento en un intervalo de tiempo pequeño es proporcional al tamaño del intervalo. Constante = λ. P(N(h) = 1) lim = λ, h 0 h La probabilidad de ocurrencia de dos o más eventos en un intervalo muy pequeño es cero. P(N(h) 2) lim = 0. h 0 h

10 Consecuencias Supongamos que N(t) es el número de llegadas en el intervalo de tiempo [0, t], que forma un proceso de Poisson de tasa λ. Entonces, la distribución de cada N(t) es Poisson de tasa λt e 1 e 2 e 3 e n 1 e n X 2 X 1 X 3 X n {X j }, la sucesión de tiempos entre llegadas, son v.a. independientes, igualmente distribuidas, con distribución exponencial con parámetro λ. X i E(λ), i = 1, 2,.... S n el tiempo hasta la n esima legada es Gamma de parámetros (n, λ).

11 Generación de un Proceso de Poisson homogéneo e 1 e 2 e 3 e n 1 e n X 2 X 1 X 3 X n Para generar los primeros n eventos de un Proceso de Poisson homogéneo, generamos exponenciales X i E(λ), 1 i n: Primer evento: al tiempo X 1. j-ésimo evento: al tiempo X 1 + X X j, para 1 j n. Para generar los eventos en las primeras T unidades de tiempo, generamos eventos hasta que j + 1 excede a T.

12 Proceso de Poisson homogéneo: Primer método Generacion de eventos en el intervalo t 0, I 0; while true do Generar U U(0, 1); if t 1 λ log U > T then stop else t t 1 λ log U; I I + 1; S[I] t end end I: número de eventos. S[I]: tiempo en el que ocurre el evento I. S[1], S[2],..., están en orden creciente.

13 Proceso de Poisson homogéneo: Segundo método Supongamos quiero generar los primeros tiempos de arribo hasta t = T. La variable N(T ) es el número de eventos hasta el tiempo T, con distribución Poisson λt. Dado N(T ), la distribución de los tiempos de arribo en un Proceso de Poisson homogéneo de razón λ es uniforme en (0, T ). Luego, para generar los eventos hasta el tiempo T : Generar una v. a. Poisson de media λt, y tomar n = N(T ). Generar n v. a. uniformes U 1, U 2,..., U n. Los tiempos de arribo son: TU 1, TU 2,..., TU n. Notar que deben ordenarse los tiempos de arribo.

14 El proceso de Poisson no homogéneo N(t), t 0 es un proceso de Poisson no homogéneo con función de intensidad λ(t), t 0, si: N(0) = 0 para cada n 1 y cada partición 0 t 0 < t 1 < < t n se tiene que N(t 0 ), N(t 1 ) N(t 0 ),..., N(t n ) N(t n 1 ) son variables aleatorias independientes. lim h 0 P(N(t + h) N(t) = 1) h = λ(t), lim h 0 P(N(t + h) N(t) = 1) 2) h = 0.

15 Número de eventos en (t, t + s] Proposición Para cada t 0 y s > 0 se tiene que N(t + s) N(t) es una variable aleatoria Poisson con media m(t + s) m(t) = t+s t λ(x) dx. Corolario Si λ(t) = λ (es constante), N(t + s) N(t) es una variable aleatoria Poisson con media λt.

16 Poisson homogéneo y Poisson no homogéneo Supongamos que Existen eventos del tipo A y eventos del tipo B. Independientemente de lo que ocurrió antes, si ocurre un evento del tipo A entonces ocurre uno del tipo B con probabilidad p(t). N(t)= número de eventos del tipo A en [0, t] M(t)= número de eventos del tipo B en [0, t]. Proposición Si (N(t)) t 0 es un proceso de Poisson homogéneo con razón λ > 0, entonces M(t) t 0 es un proceso de Poisson no homogéneo con función de intensidad λ(t) = λ p(t), t > 0.

17 Poisson homogéneo y Poisson no homogéneo El proceso M(t) cumple con las condiciones de comenzar en el cero, tener incrementos independientes y probabilidad nula de observar instantáneamente mas de un evento. Para ver la tasa instantánea de observar un evento P(1 evento del tipo B en [t, t + h]) = P(un evento y es de tipo B) + P(dos o mas eventos y exactamente uno es de tipo B) λhp(t)

18 Generación de un Proceso de Poisson no homogéneo Algoritmo de adelgazamiento En un Proceso de Poisson no homogéneo, con intensidad λ(t), los incrementos no son estacionarios, la intensidad λ(t) indica la tasa de ocurrencia de los eventos, si λ(t) λ, entonces λ(t) = λ p(t) con p(t) = λ(t) λ < 1, podemos considerar p(t) = λ(t)/λ como la probabilidad de ocurrencia de un cierto evento de un Proceso de Poisson homogéneo de razón λ, y "adelgazar" el proceso homogéneo para obtener el proceso no homogeneo de intensidad λp(t).

19 Algoritmo de adelgazamiento Generación de eventos en el intervalo t 0, I 0; while true do Generar U U(0, 1); if t 1 λ log U > T then stop else t t 1 λ log U; Generar V ; if V < λ(t)/λ then I I + 1; S[I] t end end end I: número de eventos. S[1], S[2],...,: tiempos de eventos. El algoritmo es más eficiente cuánto más cerca esté λ de λ(t).

20 Proceso de Poisson no homogéneo Método de adelgazamiento mejorado Un mejora consiste en particionar el intervalo (0, T ) en subintervalos, y aplicar el algoritmo anterior en cada uno de ellos: 0 = t 0 < t 1 < < t k < t k+1 = T λ(s) λ j, si j 1 s < j

21 Proceso de Poisson no homogéneo t 0; J 1; I 0; while true do Generar U U(0, 1); X 1 λ J log U; while t + X > t J do if J = k + 1 then stop end X (X t J + t) λ J λ J+1 ; t t J ; J J + 1 end t t + X; Generar V U(0, 1); if V < λ(t)/λ J then I I + 1; S[I] t end end I: número de eventos. S[1], S[2],...,: tiempos de eventos. El algoritmo es más eficiente cuánto más cerca esté λ de λ(t).

22 Proceso de Poisson no homogéneo Otra mejora sobre este algoritmo es considerar el mínimo de λ(s) en cada subintervalo. Por ejemplo, en un intervalo (t i 1, t i ): λ min = min{λ(s) s (t i 1, t i )} En este intervalo los eventos ocurren con intensidad (λ(s) λ min ) + λ min, Generar eventos de un P. P. homogéneo con razón λ min. Intercalarlos con eventos de un P. P. no homogéneo con intensidad λ(s) = λ(s) λ min. Ventaja: Disminuye el número promedio de uniformes.

23 Ejemplo Sea λ(s) = 10 + s 0 < s < 1. Adelgazamiento con λ = 11 tiene una media de 11 eventos, que pueden ser aceptados o no. 10 = min{λ(s) s (0, 1)} Generar eventos de un P. P. homogéneo con razón 10. Intercalarlos con eventos de un P. P. no homogéneo con intensidad λ(s) = λ(s) 10 = s. que tiene media 1 de eventos necesarios. Reduce de 11 a 1 el número de uniformes necesarias

24 Proceso de Poisson no homogéneo Otro método consiste en generar directamente los sucesivos tiempos de evento. S 1, S 2,... : sucesivos tiempos de evento. Estos tiempos de evento no son independientes. Para generar S i+1, utilizamos el valor generado S i. Dado que ha ocurrido un evento en t = S i, el tiempo hasta el próximo evento es una variable aleatoria con la siguiente distribución: F s (x) = P{ocurra un evento en (s, s + x)} = 1 P{0 eventos en (s, s + x)} ( s+x ) ( x ) = 1 exp λ(y) dy = 1 exp λ(s + y) dy s 0

25 Proceso de Poisson no homogéneo Ejemplo Describir un algoritmo para la generación de eventos de un P. P. no homogéneo con función de intensidad λ(t) = 1 t + 3, t 0. x 0 λ(s + y) dy = x 0 1 dy = log s + y + 3 F s (x) = 1 s + 3 x + s + 3 = x x + s + 3. u = F s (x) x = ( x + s + 3 u(s + 3) 1 u. s + 3 ).

26 Proceso de Poisson no homogéneo Fs 1 u (u) = (s + 3) 1 u. Los sucesivos tiempos de eventos son entonces: S 1 = 3U 1 1 U 1 U 2 S 2 = S 1 + (S 1 + 3) = S 1 + 3U 2 1 U 2 1 U 2. U j 1 S j = S j 1 + (S j 1 + 3) = S j 1 + 3U j 1 U j 1 1 U j

27 Proceso de Poisson no homogéneo Generación de eventos utilizando el método de la T. Inversa I = 0; S[0] = 0; while true do Generar U U(0, 1); if (S[I] + 3U)/(1 U) > T then stop else I I + 1; S[I] (S[I 1] + 3U)/(1 U); end end