Ajuste e interpolación

Transcripción

1 Ajuste e terpolcó Pro. MurZo Mttes

2 Itroduccó E el presete te estudos étodos pr obteer el poloo de procó u ucó. L ucó l podeos coocer eplíctete u tbl de vlores ) t ) er ) e dt ) 3 3 Puede ser que os terese obteer Aproco de Tylor, coo étodo de pror u ucó por u poloo e ls edcoes de u puto Poloo de terpolcó, os puede teresr obteer el poloo de yor orde. Aprocó por íos cudrdos, cosste e pror por u poloo de u orde deterdo y que cooceos l or de vrcó de l ucó Fucó error ucó error de Guss)

3 Aprocó de ucoes por poloos 3 E ueross ocsoes es coveete pror u ucó coocd ) por u ucó ás sple, coo u poloo p). Ls vetjs y desvetjs de est procó so ls sguetes: Vetjs Norlete u poloo se evlú por edo de u coputdor ás áclete que u ucó y que solo so ecesrs opercoes báscs, coo ultplccoes y sus por ejeplo ls ucoes trgooétrcs so uy costoss de evlur). U poloo se puede dervr e tegrr áclete y de este odo podeos obteer procoes de l dervd o l tegrl de l ucó orgl, ésts puede ser uy útles pr progrr los étodos. Desvetjs U poloo tede to cudo tee to, por ello o se puede epler poloos pr pror ucoes pr 's grdes. L ucó orgl ) puede poseer propeddes que el poloo de procó p) o posee, coo ser postv u poloo de orde pr o es postvo), oóto, etc. Teore de ucdd: S, =,..., es u cojuto de + putos deretes, pr u cojuto, =,...,, solo hy u poloo p) de orde tl que = p ) =,...,. El teore teror os dce que cudo obteeos u poloo de terpolcó de orde usdo + dtos el resultdo sepre es el so depedeteete del étodo epledo. S terpolos co u grdo <, es posble que o ecotreos guo que pse por todos los putos. S terpolos co u grdo >, os ecotros co que o es úco.

4 El poloo de Tylor 4 Supogos que l ucó ) se tete dervble e u etoro de u puto, su epsó e sere de Tylor se dee coo: ) ) ) ) ' ) ) ) ) z) )! )! dode z es u puto s deterr studo ete y. S elos el últo téro, l ucó ) se puede pror por u poloo p) de orde grdo) de l or: Poloo de Tylor p ) ) ) ) ' ) )! ) ) El error l represetr u ucó por u poloo de Tylor vee ddo por el téro: S o =, el poloo se ll de Mc-Lur) ) p ) )! ) z) ) El error dsuye co el grdo del poloo epledo ) y uet co l dstc etre y o. Adeás, cuto ás suve se l ucó dervds ás pequeñs) l procó es ejor. P.ej. l ucó ) = e se puede pror cerc del puto o = por el poloo p )! Nótese coo p) o tee ls ss propeddes que ). P.ej., p) puede tor vlores egtvos pr u egtvo, s ebrgo ) sepre es yor que cero.

5 Iterpolcó polóc 5 El proble que pretedeos resolver e est seccó es pror u ucó por u poloo utlzdo vlores de l ucó = ) e u cojuto de + putos, =,...,. Esto es, ecotrr el poloo de terpolcó p) de los dtos, ) tl que = p ). Co + putos se puede clculr u poloo de terpolcó de orde. Este proble suele precer cudo, por ejeplo, obteeos e u epereto u cojuto de dtos de l or: ) 3 3 y quereos u procó polol de l ucó ). De este odo se puede estr el vlor de l ucó e otro puto 4: S el poloo de terpolcó se us pr obteer vlores de l ucó detro del rgo de vlores de utlzdo pr costrurlo se ll terpolcó. S el poloo de terpolcó se us pr obteer vlores de l ucó uer del rgo de vlores de utlzdo pr costrurlo se ll etrpolcó. El poloo de terpolcó sepre ps por los putos usdos pr obteerlo. S ebrgo, o suele dr u resultdo correcto cudo se us pr terpolr o etrpolr u vlor porque sepre se trt de u procó. E geerl s l ucó ) es suve, u poloo p) de orde bjo d bueos resultdos. E cbo, s l ucó o es suve debeos tor el poloo que pro l ucó co esceptcso y que ls solucoes puede teer uchos errores

6 L trz de Vderode 6 E geerl, pr que u poloo: p ) stsg = p ) h de cuplr l sguete codcó:,,, Pr obteer los coecetes del poloo se h de resolver el sguete sste de ecucoes: L trz de este sste se deo trz de Vderode. Este étodo es uy costoso y que requere resolver u sste de ecucoes. Es evdete que cuto yor es el úero de dtos, yor tedrá ser l derec de tño etre los eleetos de cd l. Por ello, e l yorí de los csos, result ser u trz l codcod pr resolver el sste uércete. Por ello es ás coveete usr lguo de los étodos sguetes pr clculr el poloo terpoldor.

7 Derecs Dvdds 8 U proble de obteer el poloo de terpolcó por edo de l trz de Vderode o por edo del poloo de Lgrge es que s ñdos u dto ás +, + ) l coleccó de dtos y estete, el poloo debe ser reclculdo! El étodo de derecs dvdds perte obteer el poloo de terpolcó e eor úero de opercoes que el étodo de Lgrge y provechdo ls opercoes relzds terorete. Cosdereos el sguete poloo de orde : p ) ) ) ) ) ) ) ) L derec dvdd de orde etre dos putos s y t se dee: l de orde :,, s, t t t,, s s l derec dvdd de orde :,,,,,,,,,

8 Derecs Dvdds 9 S susttuos los dtos e el poloo, llegos u sste de ecucoes trgulr eror e el que ls cógts so los coecetes del poloo: Este sste se resuelve eplíctete epledo u esque de derecs dvdds. S despejos por susttucó progresv los coecetes del poloo de terpolcó del sste trgulr eror obtedo, cd coecete puede socrse u derec dvdd.,,,,,,,

9 Derecs Dvdds S hceos P )=, llegos u sste de ecucoes trgulr eror que s resolveos por susttucó progresv obteeos ls sguetes epresoes pr los coecetes:,,,, Luego, pr clculr los coecetes del poloo podeos usr ls derecs dvdds. Norlete, pr clculr los coecetes del poloo se costruye u tbl de derecs dvdds. Por ejeplo co 5 putos, ), =,...,4 se costruye l sguete tbl:,,, [, +] [, +, +] [, +, +, +3] [, ] [,, ] [,,, 3] [, ] [,, 3] [,, 3, 4] [, 3] [, 3, 4] 3 3 [3, 4] 4 4 Los coecetes del poloo so los eleetos de l prer l de l tbl de derecs dvdds. Veos u lgorto pr obteer ls derecs dvdds o coecetes :

10 Derecs Dvdds Veos u lgorto pr obteer ls derecs dvdds o coecetes : derecs dvdds or =,..., do = ed or j=,,..., do or =,j+,..., do ed ed j or =,j+,..., do ed = U vez obtedos estos coecetes y podeos evlur el poloo e u puto pr terpolr o etrpolr u vlor. =ddv,,) que teg coo etrd + dtos, ) e terpole el vlor de l ucó e los putos : ucto = ddv,,) = sze,)+sze,)-; % crer los coecetes =; or j=: or =j: ed ) = )--))/)--j+)); [j:]) = [j:]); =; ed % evlur el poloo e = ); or k=:- ed pr = ; or =:k ed pr = pr.*-)); = +k+).*pr;

11 Derecs Dvdds otro códgo) ucto [,p]=ddv,,) % [,p]=ddv,,) % Clcul el vlor de l ucó e los putos, usdo el % etodo de derecs dvdds pr clculr el poloo p =legth); % Clculr tbl de derecs dvdds tbl:,)=; or =:; or j=:-+ tblj,)=tblj+,-)-tblj,-))/j+-)-j)); ed ed p=tbl,:); dsp'los coecetes del poloo so: '); dspp) % Clculr los ctores -)*-)* vl,:)=oessze)); or k=:; vlk,:)=vlk-,:).*-k-)); ed % Evlur l ucó e los putos =; or k=:; =+vlk,:)*pk); ed

12 Derecs Dvdds y otro ás) A -- 3 ucto =ddv,y) % este poloo perte obteer los coecetes del poloo de derecs dvdds que terpol % los dtos cotedos el los vectores e y. D coo resultdo u vector l co los coecetes % ros cutos dtos teeos =legth); % clzos el vector de coecetes co ls derecs de orde, es decr los vlores de y, =y; % y hor otos u bucle, s teeos dtos debeos clculr derecs, coo y teeos l % prer, cos el bucle e, or j=: ed % e cd tercó clculos ls derecs de u orde superor, coo solo os vle l prer % derec de cd orde epezos el bucle teror e el vlor del eteror j or =j: )=)-y-))/)--j+)); ed % volveos copr e y ls derecs obteds pr eplerls e l sguete tercó y=;

13 Derecs Dvdds Evlú el poloo) B -- 4 ucto y=evd,,) % est ucó obtee el vlor de u poloo de derecs dvdds % prtr de los coecetes ) del poloo, los putos ) sobre los que % se h clculdo el poloo y el puto o vector de putos ) pr el % que se quere clculr el vlor que to el poloo. % obteeos el tño del vector de coecetes del poloo =legth); % Costruos u bucle pr clculr el vlor del poloo, y=); or k=:- ed % clculos el vlor del producto de los boos que ultplc l % coecete bprod=; or j=:k bprod=bprod.*-j)); ed y=y+k+)*bprod;

14 Derecs Dvdds Reúe A y B) 5 ucto y=tddv,p,yp) % Est ucó clcul el vlor del poloo de derecs dvdds que % terpol los putos p,yp) el el puto, o %los putos cotedos e. % Epledo ls ucoes, ddv, pr clculr los coecetes del % poloo y evd pr evlurlo % llos ddv =ddvp,yp); % y cotucó llos evd Y=evd,p,);

15 6 Derecs Dvdds Lbortoro /) Vetjs respecto los étodos terores):. Obtee P ) co eos opercoes que co el étodo de Lgrge.. El poloo P ) clculdo prtr de +) putos srve pr clculr P ), sedo >. Se {, )} =, ) descoocd, S dspoeos de u uevo dto +, + ), el poloo P + ) serí: Derec dvdd de orde ete y,,,,,,,...,,,...,,,..., Derec dvdd de orde ete y Derec dvdd de orde ete y,,..., )... ) ) ) ) ) P P Derec dvdd de orde + ete y + P )... ) )... ) ) ) )

16 7 Derecs Dvdds Lbortoro /) Esque pr obteer { } =,,, derecs dvdds de orde -éso etre y ): P )... ) )... ) ) ) ). Orde Orde Orde ,,,3 3 3 ) ), ),,,,,,,3 3,,3 ) ), 3), 3 ) 3), ) ), ), ), ) ), ),,,..., ),,...,,,...,

17 Ejercco/) 8 Dd l sguete tbl de vlores: o ) Obteer, edte el étodo de derecs dvdds y, redodedo los cálculos tres decles, el poloo terpoldor pr los dtos de l tbl. ) S se ñde el puto 4.8; 38.3), ecotrr el uevo poloo terpoldor. Solucó: o ) Costruyos l tbl pr plcr el étodo de derecs dvdds esos tres putos.. Orde Orde, , ,,,,,,, 855,,., Luego, el poloo terpoldor que se just esos dtos es: P ) 8.4

18 Ejercco/) 9 ) Añdedo el uevo dto l tbl, o es ecesro rehcer los cálculos, bst clculr,3,,,3 y,,,3.. Orde Orde Orde , , ,3,,, , 3,3 3,,3 3,,,,,,3,,3 3,,,,, ,,3,,,,, Por tto, P ) 8.4

19 Iterpolcó por Itervlos o tros) 3 Hst hor, heos vsto coo terpolr u cojuto de + dtos edte u poloo de grdo. E uchos cso, especlete cudo el uero de dtos es suceteete lto, los resultdos de dch terpolcó puede o ser stsctoros:. L rzó es que el grdo del poloo de terpolcó crece lelete co el uero de putos terpolr, sí por ejeplo pr terpolr dtos ecestos u poloo de grdo.. Desde u puto de vst uérco, este tpo de poloos puede dr grdes errores debdo l redodeo. 3. Por otro ldo, y depededo de l dsposcó de los dtos pr los que se relz l terpolcó, puede resultr que el poloo obtedo toe u or desdo coplcd pr los vlores copreddos etres los dtos terpoldos.

20 Iterpolcó por Itervlos 4 L gur cotucó uestr el poloo de terpolcó de grdo ueve pr u cojuto de dtos. Es ácl drse cuet, spleete observdo los dtos, que o hy gu rzó que justque ls curvs que trz el poloo etre los putos y o los putos 9 y!????

21 Iterpolcó por Itervlos 5 E uchos csos es preerble o epler todos los dtos dspobles pr obteer u úco poloo de terpolcó. E su lugr, lo que se hce es dvdr el cojuto de dtos e vros grupos orlete se grup ordo tervlos de dtos cosecutvos) y obteer vros poloos de eor grdo, de odo que cd uo terpole los dtos de u grupo dstto. El grdo de los poloos epledos deberá estr, e prcpo, relcodo co los dtos cotedos e cd tro. Iterpolcó de orde cero: s hceos que cd tervlo coteg u solo dto, obtedreos poloos de terpolcó de grdo cero, = y. El resultdo, es u cojuto de escloes cuy vlor vrí de u tervlo otro de cuerdo co el dto represettvo cotedo e cd tro.

22 Iterpolcó por Itervlos 6 Iterpolcó lel: E este cso, se dvde los dtos e grupos de dos. Cd pr de dtos cosecutvos se terpol clculdo l rect que ps por ellos. L terpolcó lel se eple e uchs plccoes debdo su secllez de clculo. Sguedo el so procedeto, uetdo el uero de dtos cotedos e cd tervlo, podríos der u terpolcó cudrátc, co poloos de segudo grdo, todo tervlos que coteg tres putos, u terpolcó cubc, pr tervlos de cutro putos etc.

23 Iterpolcó por Sples Cúbcos 7 Heos vsto coo el poloo terpoldor de orde pr u cojuto de + dtos puede presetr el coveete de coplcr ecesvete l or de l curv etre los putos terpoldos. L terpolcó tros splc l or de l curv etre los putos pero preset el proble de l cotudd e ls uoes etre tros sucesvos. Serí deseble ecotrr étodos de terpolcó que uer cpces de solucor bos probles sultáeete. U bue procó dch solucó l proporco los sples. U ucó sple está ord por vros poloos, cd uo dedo e u tervlo que se ue etre sí obedecedo certs codcoes de cotudd. Supogos que teeos l sguete tbl de vlores: y que se debe costrur u sple cúbco S pr terpolr l tbl. S está ded co u ucó derete e cd tervlo: S ) S ), S ),, 3 S ),

24 Iterpolcó por Sples Cúbcos 8 Los poloos S - ) y S ) terpol el so vlor e el puto pr que S) se cotu. Adeás S') y S'') so tbé ucoes cotus. S ) S ), ) S ) S ), ) S ) S ), ) Grdo del poloo terpoldor Es decr, dos poloos cosecutvos del sple y sus - prers dervds, debe tor los sos vlores e el etreo coú. Ls codcoes de cotudd sustr -) ecucoes que, uds ls + codcoes de terpolcó, sustr u totl de +)--) ecucoes. Este uero es sucetes pr deterr los +) práetros correspodetes los poloos de grdo epledos e l terpolcó. Ls - ecucoes que lt se obtee poedo los sples codcoes dcoles.

25 9 Iterpolcó por Sples Cúbcos Los sples de grdo so ucoes costtes por zos. U or eplíct de represetr u sple de grdo es l sguete: o o o c S c S c S S,,, o S S o S S S 4 Los tervlos [ -, ] o se tersec etre s, por lo que o hy bgüedd e l decó de l ucó e los udos. U sple de grdo se puede der por: o o o o b S b S b S S,,, o S S o S S S 4

26 Iterpolcó por Sples Cúbcos 3 Vos deducr l ecucó pr S ) e el tervlo [, + ]. Deos S ) : S b c d e 3 ) ) ) ) [, ],..., ) Ipogos ls codcoes terores deedo l costte h = + -, ) y cosderos que hy que deterr 4 coecetes [+)] pr los poloos cúbcos: E cd sub-tervlo [, + ] teeos codcoes de terpolcó por u totl de codcoes. Debeos egr l cotudd de S) : codcó por udo - codcoes Lo so vle pr l cotudd de S) : codcó por udo - codcoes Por tto teeos: S y S S S ' S ' '' S poloos de 4 práetros, esto hce 4 cógts +-) ecucoes, esto hce u totl de 4- ecucoes Ests dos ecucoes que lt ls podeos obteer poedo codcoes los poloos e los bordes, y que quí o este ls codcoes de eple. S ) b h c h d h 3 '' 3 S ) b h c h d h S ) S ) b c h 3 d h S ) b S ) c 6 d h S ) c

27 Iterpolcó por Sples Cúbcos 3 Depededo del tpo de codcoes de cotoro que pogos se obtee dsttos tpos de sples: Sples co vlor coocdo e l prer dervd de los etreos S o )= o y S )=. Sples turles, cudo o se dspoe de codcoes e ls roters, se suele egr que l dervd segud de los poloos se ule e los etreos, de est or se cosgue que el coezo y el se uy suves. Es posble despejr y reorder [c =S )] ls ecucoes terores hst obteer u sste de ecucoes trdgol co dgol dote. Pr el cso del Sple Nturl el resultdo es el sguete: c c ; Codcoes turles h h ) h c g h h h ) h c g h h h ) c g g ) ) h h U vez resuelto el sste p.e. co el étodo de elcó de Guss) y cooceos los vlores de los c s, es edto obteer los otros coecetes: S c 6h c 6h c h 6 c c S '' S '' 3 3 h h c h 6

28 Iterpolcó por Sples Cúbcos 3 L gur cotucó uestr el resultdo de terpolr edte u sple cubco. Es ácl observr coo hor los poloos de terpolcó d coo resultdo u curv suve e los dtos terpoldos y e l que deás ls curvs so tbé suves, s presetr vrcoes etrñs, pr los putos cotedos e cd tervlo etre los dtos. OK OK

29 Fucoes de terpolcó del sste MATLAB 33 MATLAB port l ucó y=terp[,y,,'tpo ] que produce u terpolcó lel tpo=ler), cúbc tpo=cubc) o por sples cúbcos tpo=sple). Est ucó tee u sere de restrccoes vése help terp). Hy u ucó lld sple que deás de terpolr vlores por edo del étodo de los sples cúbcos puede devolver, coo práetro de sld, l ucó sple. Ejeplo:.8 >> = :; >> y = s); >> = :.5:; >> y = terp,y,); >> plot,y,'o',,y) Opcol: Theore o Optlly o Nturl Cubc Sples: Let be cotuous [,b] d let = < < < =b. I S s the turl cubc sple terpoltg t the kots or, the b b '' '' S d d Curvture o curve

30 Aprocó por Míos Cudrdos 34 El proble de l procó por íos cudrdos es derete l búsqued del poloo de terpolcó estudd e l seccó teror. L procó por íos cudrdos cosste e ecotrr u poloo de u orde ddo que se proe ás u cojuto de dtos eperetles. Ahor supogos que p) es u poloo de orde y quereos deterr sus coecetes. S los dtos se h todo eperetlete puede teer errores y por ello lo orl es tor ás de + dtos. Teeos putos,...,, dode + y l eos + de los putos so dsttos. Se,..., los vlores prodos de l ucó ), o ecesrete u poloo, e esos putos. Etoces, quereos ecotrr u poloo de orde, p)= tl que l epresó: w p )) es í pr todos los poloos de orde. Es decr, quereos ecotrr los coecetes del poloo tl que l su co pesos de los errores dstcs) -p ) es í. Los pesos w se utlz pr dr ás o eos éss cd uo de los putos. Veos los csos ás sples: Est ctdd tee l vetj de que su vlor es sepre postvo co depedec de que l derec se postv o egtv.

31 Aprocó por íos cudrdos 35 Ajuste u poloo de orde o costte Por ejeplo, supogos que heos todo vrs edds de l logtud de u objeto l,...,l. E este cso el poloo que quereos obteer es costte p)=. El objetvo es zr lo sguete: g ) w l ) Sbeos que el ío de est ucó tee g' )= y g'' ). g' ) w l ); g' ) w l ) g'' ) w g'' ) w l w L procó por íos cudrdos o es ás que l ed poderd de tods ls eds.

32 Aprocó por íos cudrdos 36 Apror u cojuto de vlores por u poloo de grdo cero, es tto coo supoer que l vrble y perece costte pr culquer vlor de. Ls derecs observds deberá deberse etoces errores letoros eperetles, y l ejor est del vlor de y será precsete el vlor edo de los vlores dspobles. L gur uestr el resultdo de clculr el poloo de íos cudrdos de grdo cero pr u cojuto de dtos.

33 Aprocó por íos cudrdos 37 Ajuste u poloo de orde o lel S toos u cojuto de edds eperetles y supoeos que tee u relcó lel podeos obteer el poloo lel que los relco prodo por íos cudrdos los dtos u rect p)= +. E este cso l ucó que debeos zr respecto los coecetes y es: Sbeos que el ío de est ucó se obtee cudo ls dervds prcles respecto bos coecetes so gules cero: g, ) w ) g g w l ) w l ) Reordedo ests epresoes obteeos el sguetes sste de dos ecucoes que os proporco los coecetes y : w ) w ) w w ) w ) w

34 Aprocó por íos cudrdos 38 Ajuste u poloo de orde geerlzcó) S toos u cojuto de edds eperetles y supoeos que tee u relcó polol de orde, podeos pror por íos cudrdos los dtos u poloo p) = E este cso l ucó que debeos zr es: Sbeos que el ío de est ucó se obtee cudo ls dervds prcles respecto los coecetes so gules cero: g,,, ) Reordedo ests epresoes obteeos el sguete sste de + ecucoes que os proporco los coecetes : j g,,, ) w ) j w ) ; j,, s s s s s s s s s s c j j w j w j c c c

35 Aprocó por íos cudrdos 39 Escrbe u ucó MATLAB =c,,,w) que teg coo etrd los dtos,, w) y el orde del poloo que se debe justr por íos cudrdos. L sld de l ucó es u vector co los coecetes del poloo desde el eor l yor. S o se troduce vector de pesos se to por deecto w =. ucto = c,,,w) >=+) %S hy sucetes dtos % = c,,,w) Clcul los coecetes de u poloo de orde por os cudrdos prtedo de los dtos que se troduce e y, co peso w. % Vrbles de etrd: %,,w: dtos y pesos % : orde del poloo que se debe justr % Vrbles de sld: % : coecetes del poloo % rg<4) w = -+; ed = sze,)+sze,)-; or j=:*+, % crer el vector s ed sj) = ; or =: ed sj) = sj)+w)*)^j-); or j=:+, % crer el vector c ed cj) = ; or =: cj) = cj)+w)*)*)^j-); ed or =:+, %crer l trz del sste ed ed or j=:+ ed M,j) = s-)+j); szem); = M\c'; %resolver el sste

36 Míos cudrdos e Mtlb 4 MATLAB port l ucó p=polyt,y,) pr justr los putos,y ) u poloo de grdo. El vector p se crg co los coecetes del poloo desde el ás sgctvo l eos p) = +)+)+...). Ejercco:Obteer e los putos [.::5.] los vlores de l ucó )=. A cotucó surle u rudo y obteer el juste de los dtos resulttes u poloo de orde. Usreos l ucó polyt: >> = [.:.:5.]; =.^; = +rdsze)); >> p = polyt,,); A cotucó, podeos epler el codo polyvl, pr obteer e vlor del poloo de íos cudrdos obtedo e culquer puto. E prtculr, s lo plcos los dtos : >> yht=polyvlp,) Por ulto, podeos clculr el error coetdo por el poloo e = p )- : >> error=bsyht-)

37 Míos cudrdos e Mtlb 4 Adeás del codo polyt Mtlb perte justr u poloo por íos cudrdos u cojuto de dtos trvés de l vet grc de Mtlb. Pr ello, es sucete represetr los dtos co el codo plot,y). U vez que Mtlb uestr l vet grc co los dtos represetdos, se selecco e el eú desplegble tools l opcó Bsc Fttg. Mtlb bre u segud vet que perte seleccor el poloo de íos cudrdos que se dese justr los dtos: