que da lugar al sistema z = 1, sustituyendo en la 1ª ecuación se obtiene

Transcripción

1 1 Considera el sistema de ecuaciones dado en forma matricial mediante AX B siendo m x A 1 m + m B m X y m 7 z a) [1 5 puntos] Discute el sistema según los valores de m. b) [1 punto] Resuelve el sistema para m 3 y determina en dicho caso, si existe, una solución en la que x m a) matriz de coeficientes: A 1 m + m matriz ampliada: A 1 m + m m m m det( A) ( m + ) + m ( m + ) m + m + m + 3m 0 m 0 ó m 3 rango( A) 3 porque det A 0 Si m 0 y m 3 rango( A ) 3 porque A tiene sólo 3 filas y A contiene a A Usando el teorema de Rouché Fröbenius, rango( A) rango( A ) 3 nº de incógnitas Es un SCD Si m 0, A 1 0 rango( A), porque el menor A F + F Es un SI F3 F Si m 3, A 3 rango( A), porque el menor A 3 3 F + F F F como F3 3. F eliminamosf 3 rango( A ) Por el teorema de Rouché Fröbenius, rango( A) rango( A ) < nº de incógnitas Es un SCI b) Usando el apartado anterior, para m 3 obtenemos la matriz del sistema x + y + z 4 que da lugar al sistema z, sustituyendo en la 1ª ecuación se obtiene z 1 x 6 λ x + y 6 ; y λ ; x 6 λ. Las inf initas soluciones del sistema son y λ, con λ R z 1 6 λ λ 4 Para determin ar si existe una solución que tenga x sustituimos y λ z 1 x Por tan to, existe dicha solución, que es y 4 z 1 Página 1

2 De los datos recabados en un informe sobre los beneficios obtenidos por las empresas A, B y C el pasado año, se desprende lo siguiente: La empresa B obtiene el mismo beneficio que las empresas A y C juntas. El beneficio de la empresa A es la media aritmética del de las otras dos. a) [1 5 puntos] Determina si se puede hallar el beneficio de cada empresa sabiendo que A ha obtenido el doble que C. b) [1 punto] Calcula el beneficio de cada empresa sabiendo que entre las tres han obtenido 10 millones de euros. Sea x beneficio dela empresa A ; y beneficio dela empresa B; z beneficio dela empresac y x + z x y + z 0 y + z x x y z 0 x y + z a) Nos dicen que x z x y z 0 ; matriz decoeficientes : A x z matriz ampliada o matriz del sistema : A rango( A) porque det A 0 y 0; rango( A ) rango( A) porqueen A laúltima columna se puedeelim inar por ser nula. Usandoel teorema de Rouché Fröbenius, rango( A) rango( A ) < nº de incógnitas es un SCI (inf initas soluciones). Luego, la respuesta es que no. x y + z b) Nos dicen que x + y + z 10 x y z 0 ; matriz decoeficientes : A x + y + z matriz ampliada o matriz del sistema : A rango( A) 3 porque det A 6 0 rango( A ) 3 porque A tiene sólo 3 filas y A contiene a A Usando el teorema de Rouché Fröbenius, rango( A) rango( A ) 3 nº de incógnitas Es un SCD x y + z 0 x 70 A 0 F F y 3z 0 z F F y 10 y 105 Beneficios : A 70 millones de ; B 35 millones de ; C 105 millones de Página

3 Considera las matrices A y B (a) [1 75 puntos] Halla la matriz X que verifica AX + B A. (b) [0 75 puntos] Calcula B y B 016. a) Como AX + B A AX A B; Para despejar X es necesario que exista A y existirá sólo si det( A) 0. Pero det( A) 1 0. Por tan to, A multiplicando por la izquierda por A AX A B A AX A ( A B) IX A ( A B) Luego, t t 1 X A ( A B); A [ adj( A) ] det( A) X A ( A B) b) B BB I B ( B ) ( I3) I Página 3

4 (3a 1) x + y 5 a 4 Se considera el siguiente sistema de ecuaciones lineales ax + y 3ax + 3y a + 5 a) [1 5 puntos] Discútelo según los valores del parámetro a. b) [1 punto] Resuélvelo para a 1 y determina en dicho caso, si existe alguna solución donde x 4. 3a 3a 5 a a) A a 1 A a a a a det( A ) (3a 1)( a+ 5) + 1a+ 3 a(5 a) 3 a(5 a) 6(3a) a( a+ 5) a a+ 1 0 a 1 rango( A ) 3 porque det( A ) 0 Si a 1 rango( A) porque A tienesólo columnas y sonli.. pues el menor Usandoel teoremade Rouché Fröbenius, rango( A) rango( A ) EsunSI 3a a 1 a 0 Si a 1, A 1 1 rango( A) 1, porque las dos columnas son iguales 3 3 A 4 F1 : F : rango( A ) 1, porque las tres filas son iguales Usando el teorema de Rouché Fröbenius, rango( A) rango( A ) 1< nºdeincógnitas Es un SCI 1 1 x λ b) Paraa 1, A 1 1 (11 ) x+ y, con λ R λ 1 1 y 4 λ λ Para det ermin ar si existe una solución donde x 4 sustituimos y λ x 4 Por tan to, existe dicha solución, que es y Página 4

5 ['5 puntos] Considera las matrices A y B Determina, si existe, la matriz X que verifica AX + B BX + A. Como AX + B BX + A AX BX A B ( A B) X A B ; Para despejar X es necesarioque exista ( A B) ; existirá sólo si det( A B) 0. 0 Pero det( A B) 0. Por tan to, ( A B) 1 0 multiplicando por la izquierda por ( A B) ( A B) X A B ( A B) ( A B) X ( A B) ( A B ) Luego, X ( A B) ( A B ) t 1 t ( A B) [ adj( A B) ] det( A B) X ( A B) ( A B ) Página 5

6 x + λy + z λ 6 Se considera el siguiente sistema de ecuaciones lineales λx + y + z 1 x + y + λz 1 a) [1 75 puntos] Determina, si existen, los valores de λ para los que el sistema tiene infinitas soluciones. b) [0 75 puntos] Resuelve el sistema para λ. 1 λ 1 1 λ 1 λ a) A λ 1 1 A λ Según el teorema de Rouché Fröbenius, para que el sistema 1 1 λ 1 1 λ 1 tenga inf initas soluciones debe ser rango( A) rango( A ) < nº de incógnitas 3. Por tanto, debe ser det(a) 0 (porque si no fuese así rango( A) sería 3) 3 3 det( A) λ + λ + λ λ λ + 3λ 0 λ 1, λ Si λ 1, A A ; rango( A) rango( A ) 1 < nº de incógnitas Si λ A 1 1 A ; rango( A), porque A F + F Como F3 F, elim inamos F F F Además dividim os F :( 3). Nos queda. Por tanto, rango(a ) Luego, rango( A) rango( A ) < nº de incógnitas 3. Resumiendo, para λ 1 o λ el sistema tiene inf initas soluciones. 1 1 x y+ z x + y z b) Para λ, A y z 1 y z + 1 x + k ( k 1) x k Llamamos y k y k y k, conk R 1 z k z k Página 6

7 1 0 7 Sea la matriz A a) [1 75 puntos] Estudia, según los valores de λ, el rango de la matriz A λ I, siendo I la matriz identidad de orden tres. x 0 b) [0 75 puntos] Resuelve el sistema dado por ( A I) y 0. 0 z λ 1 0 a) A λi 0 1 λ λ λ desarrollando por la1ª columna 1 λ det( A λi) ( λ) ( λ) [(1 λ)(4 λ) + ] 4 λ ( λ)( λ 5λ + 6) 0 λ ó λ 3 Si λ y 3 rango( A λi) 3, porque det( A λi) Si λ A I 0, rango( A I), porque la1ª columna es nula y Si λ 3 A I 0, rango( A I), porque la 3ª fila es proporcional a la ª y 0 x 0 b) Sea B A I, X y, 0 0. El sistema es BX 0. Notese que B y B tienen el mismo rango 0 z porque la columna de términ os independientes de B es nula. Como rango( B) rango( B ) < nº de incógnitas 3 es un SCI Rouché x 0 y 0 y 0 y y 0 y z 0.( 1) y + z :() + 0 z z y z y z x k Llamando x k. Las inf initas soluciones son y 0, con k R z 0 Página 7

8 x + ( λ + 1) y + z 1 8 Considera el siguiente sistema de ecuaciones lineales λy + z 0 λy + λz λ a) [1 punto] Discútelo según los valores de λ. b) [0 75 puntos] Resuélvelo para λ 0. c) [0 75 puntos] Determina, si existe, el valor de λ para el que hay una solución en la que z. Calcula esa solución. 1 λ λ a) A 0 λ 1 A 0 λ 1 0. det( A) λ λ 0 λ 0, λ 1 0 λ λ 0 λ λ λ rango( A) 3 porque det A 0 Rouché Si λ 0 y λ 1 SCD rango( A ) 3 porque A tiene sólo 3 filas y A contiene a A Rouché Si λ 0, A A ; rango( A) rango( A ) < nº de incógnitas 3 SCI Notese que la 3ª fila es nula y Si λ 1, A A ; rango( A) porque rango( A ) 3 porque ; entonces rango( A) rango( A ) SI x 1 k x + y + z 1 b) Si λ 0, A y k, con k R z z 0 Rouché x + ( λ + 1) y + 1 x + ( λ + 1) y c) Para det ermin ar si existe λ para que z sustituimos λ y + 0 λ y λ λ λ y + λy λ x + 3y 1 x x 3 λ λ. Luego, queda y y y y z x Por tan to, para λ existe dicha solución, que es y 1 z Página 8

9 x 4y + z 1 9 Considera el siguiente sistema de ecuaciones lineales 5x 11y + 9z λ x 3y + 5z a) [1 75 puntos] Discute el sistema según los valores del parámetro λ. b) [0 75 puntos] Resuélvelo, si es posible, para λ a) A A λ det( A) rango( A) porque En A consideramos el menor λ 36 + λ λ 3 8λ 0 λ Si λ 4, rango( A ) 3 rango( A) rango( A ) Es un SI 4 1 F1 F Si λ 4, A F 5F F : ComoF F1, eliminamosf y obtenemos Además dividim os F :( 3). Nos queda. Por tanto, rango(a ) porque tiene filas li.. rango( A) rango( A ) < nº de incógnitas Es un SCI Si λ 4 es un SI Re sumiendo: Si λ 4 es un SCI y 8z 3 b) Para λ 4 obtuvimos en a) una matriz del sistema x 3y + 5z 3+ 8z 3 y y + 4 k Llamando z k 3 5 x + 3y 5z k 5k x + 7k 5 x + 7k 3 Portan to, las inf initas soluciones viene dadas por y + 4 k, con k R z k Página 9

10 Considera las matrices A 1 B 1 C (a) [1 punto] Calcula el rango de AB T + λ I según los valores de λ (B T es la matriz traspuesta de B e I es la matriz identidad de orden 3). (b) [1 5 puntos] Calcula la matriz X que verifica CX X I λ 0 0 λ T a) AB + λi 1 (1 1 1) + λ λ 0 λ λ T det( AB + λi) λ 0 λ 0 T Si λ 0, rango( AB + λi) 3 porque det( AB + λi) 0 T T Si λ 0, AB + 0I 1 tiene rango1 porque la 3ª fila es nula y F F ( C I) X I Paradespejar X esnecesarioque exista ( C I) b) CX X I CX IX I yexistirásólosi det ( C I) 0. Pero det ( C I) det det 1 0. Por tan to, ( C I). 0 0 Multiplicando por la izquierda por ( C I) Como C I X I C I C I X C I I X C I ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) t t 1 X ( ) det adj C I ( C I ) Página 10

11 k 1+ k 11 Considera la matriz A Determina, si existen, los valores de k en cada uno de 1 k 0 los casos siguientes: a) [0 75 puntos] rango(a) 1. b) [0 75 puntos] A A. c) [0 5 puntos] A tiene inversa. d) [0 5 puntos] det (A). a) Para que rango( A) 1debe ser det( A) 0 k 1 0 k ± 1 k 1+ k k 1+ k k 1+ k 1 k + k k 1+ k b) SiA A k k k 1 k k k 1 k 0 1 k k + k 1+ k Comok 1 Igualando los elementos correpondientes: Debe ser k k k 1 k k 0 c) Para que Atenga inversa debe ser det( A) 0 k 0 k ± 1 d) Si det( A) k 1 k k 1 0 λ Considera la matriz A λ 1 a) [1 5 puntos] Determina, si existen, los valores de λ para los que A I A (siendo I la matriz identidad de orden 3). b) [1 punto] Determina, si existen, los valores de λ para los que la matriz A + A T no tiene inversa (A T es la matriz traspuesta de A)? Por la definición de matriz inversa a) Si A I A A I A I Página 11 ( ) 1 0 λ λ λ λ λ λ λ 1 λ λ λ Igualando los elementos correpondientes debe ser λ λ 0 λ 0 ó λ 1 0 λ λ 0 λ λ + 1 T b) A + A λ λ λ λ + 1 T T ( A A ) A + A no tiene inversa det + 0 3λ + 3λ 0 λ 3 ± 33 6