Capítulo 3. SISTEMAS DE PARTÍCULAS

Transcripción

1 Capítulo 3. SISTEMAS DE PARTÍCULAS 3.1. Introduccón En la mayoría de los sstemas partculados esten partículas de dstnto tamaño tal como se observa en la Fgura 3.1. Muchos de los métodos que mden tamaño de partículas tenen que consderar la naturaleza dspersa de la poblacón. Fgura 3.1. Sstemas de partículas de dstntos tamaños 3.. Métodos de medcón de tamaño de partículas Tamzado Esta técnca es adecuada para el análss de partículas que se encuentren el rango de 15 mm a μm. La muestra de partículas es tamzada en una torre de tamces con mallas de dstnto dámetro que sguen una progresón geométrca y se encuentran estandarzados. Una vez que se establece la torre de tamces, se colocan en un equpo que agta el conjunto de tamces por el tempo que se desee, o la técnca requera. En general, s se carga más masa mayor tempo de tamzado será requerdo. Fgura 3.1. Tren de tamces y equpo de agtacón.

2 El tamz que tene la apertura mayor se coloca arrba, y un recpente cego al fondo para contener todas las partículas pequeñas que pasan el tamz de menor apertura (ver Fgura 3.). Una vez termnado el proceso de tamzado se pesa lo recolectado en cada tamz, los datos luego se representan de dversas maneras como se verá a contnuacón. Es mportante recalcar que el análss por tamzado da resultados en masa. El método de tamces es muy usado porque requere baja nversón, los operadores no tenen que ser muy calfcados, la técnca es smple. Fgura 3.. Esquema de orden de tamces y vsta de una malla Mallas Las mallas que poseen los tamces pueden ser especfcadas por el número de aperturas por pulgada lneal (MESH) y el espesor del alambre; o tambén por el dámetro de apertura (d A ). En la Fgura 3.3 se muestran mallas de dferente MESH, cuanto más grande es el MESH menor la apertura. El tamaño de las partículas queda determnado por los dámetros de tamz Tamces estándares Esten muchos tamces estándares por ejemplo: ASTM (EEUU), BSI (Gran Bretaña), DI (Alemana), AFOR (Franca), JSA/JIS (Japón), ISO (ormas nternaconales). En general las aperturas sguen una progresón geométrca que puede ser,, 3, 4. Por lo tanto el cocente de dos dámetros de tamz consecutvos debe dar una razón sempre constante (ver Tabla 3.1).

3 1 mesh/nch mesh/nch 4 mesh/nch 1/ mesh/nch 8 mesh/nch 16 mesh/nch Fgura 3.3. Mallas de dstnta apertura. Mesh vs. d A. Tabla 3.1. Tamces estándares ASTM ASTM Seve Openng d -1 d /(^.5) (n) (mm) (n) En la Tabla 3. se muestran las aperturas de dferentes tamces estándares.

4 Tabla 3.. Tamces estándares Mesh Sze ASTM- DI-4188 (mcrons) µm TYLER Mesh E11 o. BS-41 Mesh mm Mcroscopía La mcroscopía es el únco método que permte la observacón y medcón de partículas ndvduales. Medante la observacón de las partículas es posble establecer tamaño, forma y morfología. Los valores de tamaño que se obtengan por mcroscopía

5 serán más eactos en la medda que se mdan más partículas. El resultado del análss permte establecer el número de partículas. El rango de análss recomendado para mcroscopos óptcos es 3μm-15μm. Los mcroscopos electróncos pueden analzar partículas de menor tamaño, apromadamente entre.1μm-1μm. Las mágenes que se ven en el mcroscopo son áreas proyectadas, de manera que las dmensones dependen de la orentacón de las partículas. Se mden los dámetros de Feret, de Martn, de perímetro o de área proyectada. Los mcroscopos pueden tener algunos dspostvos automátcos que permten medr las partículas automátcamente. La Fgura 3.4. muestra la dgtalzacón de partículas, cálculo del área proyectada y de d a. Fgura 3.4. Dgtalzacón de mágenes y procesamento de datos. Fuente: Elutracón La elutracón por are es especalmente útl para polvos fnos, los cuales pueden ser clasfcados sometendo las muestras a dferentes caudales de are. Aquellas partículas que alcancen su velocdad termnal (defnda por la velocdad de are en el ensayo), serán arrastradas y podrán ser colectadas aguas abajo del equpo, por ejemplo con un fltro. Luego se aumenta el caudal de are y se recolectan partículas más gruesas, y así sucesvamente Sedmentacón En esta técnca se calcula el dámetro de Stokes medante la observacón de la velocdad con la que caen las partículas en un medo fludo estaconaro. Se dluye el sstema partculado, comúnmente en agua, para poder asumr que las partículas caen a la velocdad termnal de una partícula únca en un medo líqudo. S se asume la Ley

6 de Stokes (tema que se verá en mayor detalle en el prómo capítulo), el Re debe ser menor a.5 (régmen lamnar). Por lo tanto este método de sedmentacón será aplcable a partículas menores a los 5 μm (consderando como fludo agua a temperatura ambente). En la Fgura 3.5 se muestra un equpo típco. Superfce de líqudo Muestreo h vel para muestreo Fgura 3.5. Análss de tamaños por sedmentacón. Fuente: Rhodes (3). La velocdad de sedmentacón de las partículas se establece dbujando la densdad de la muestra retrada en una poscón fja vs el tempo. La densdad de la suspensón se relacona con la masa de menor tamaño que queda aún por sedmentar. Por su parte el tempo se lo relacona con el dámetro de la partícula a través del dámetro de Stokes. Para comprender mejor está técnca se ntroduce el ejemplo 3.1. Ejemplo 3.1. Supongamos que el líqudo con el materal partculado posee una densdad ρ. Al tempo t, en el punto de muestreo consderemos que la densdad del líqudo con materal partculado es ρ. A ese dado tempo, todas aquellas partículas que vajan mas rápdo que vh/t habrán caído debajo del punto de muestreo. Al tempo t la muestra tomada tendrá sólo aquellas partículas que han vajado a una velocdad h/t. La relacón ρ/ρ representa la fraccón másca de partículas que vajan a una velocdad h/t. Podemos hacer gual la velocdad termnal a: v T h/t, reemplazando esta relacón en la epresón vsta en el capítulo :

7 1/ 18 vt μ dst (.8) ( ρp ρf ) g Resulta: 1/ 18h μ dst (3.1) t( ρp ρf ) g Por lo tanto la masa de partículas defnda por la relacón ρ/ρ posee un dámetro menor a d St. Tomando muestras a dstntos tempos es posble establecer la fraccón másca de partículas correspondentes a dstntos dámetros Dfraccón Láser La técnca de dfraccón láser se basa en el prncpo que cuando partículas atravesan una luz láser la dspersan con un ángulo que está drectamente relaconado con el tamaño de las partículas. A medda que el tamaño de las partículas dsmnuye el ángulo de dfraccón que se observa aumenta logarítmcamente. Además la ntensdad de la luz es dependente del tamaño de las partículas, se relacona con el área transversal de las partículas. Por lo tanto partículas de mayor tamaño dfractan la luz a ángulos pequeños con mayor ntensdad, mentras que las partículas pequeñas dfractan con mayores ángulos y menor ntensdad. En la Fgura 3.6 se muestra un esquema de un equpo de dfraccón láser, el msmo posee los sguentes componentes: Un láser, que provee una fuente de luz a una longtud de onda constante. Un espaco donde se confna la muestra dspersa (con are o líqudo) Una sere de detectores para medr el patrón de luz. Fgura 3.6. Incdenca del haz láser sobre materal partculado y dfraccón del msmo. Fuente:

8 3.3. Representacón e nterpretacón de datos Hstogramas En la Tabla 3.3. se muestran datos epermentales obtendos medante una técnca que permte cuantfcar el número de partículas. Tabla 3.3. Datos epermentales y cálculos elementales Rango de tamaño, μm úmero, # Fraccón en número Fraccón porcentual, % Fraccón acumulatva, % > 5 1 Total 1 1 En la Fgura 3.7 se muestra un hstograma donde para un dado rango de tamaño que mde el equpo se grafca el número total de partículas encontrado en dcho ntervalo. Los tamaños pueden segur una progresón artmétca o geométrca, eso depende del equpo de análss usado. En el eje y se puede grafcar número, volumen, masa, o cualquer propedad de la partícula que mda el nstrumental elegdo, epresada como una magntud absoluta, fracconal o fracconal porcentual (columnas, 3 y 4 de la Tabla 3.3). Por su parte en el eje puede grafcarse el dámetro, volumen o masa de las dstntas clases de tamaño dadas. El símbolo n representa el número de partículas de la clase. La últma columna de la Tabla 3.3 representa la fraccón en número acumulatva pasante, esta varable tambén puede ser grafcada en un hstograma. n Fgura 3.7. Hstograma. úmero vs. dámetro de partícula

9 La Fgura 3.7 muestra una curva dscontnua, comúnmente se suelen elaborar funcones contnuas asgnándole el número o masa obtendo epermentalmente en un dado rango de tamaños al promedo artmétco entre los etremos del ntervalo. La Tabla 3.4 repte parte de la nformacón de la Tabla 3.3 con el cálculo de los dámetros promedos artmétcos. Tabla 3.4. Cálculo de dámetros artmétcos promedos Rango de medda, μm úmero, # dp promedo, μm (4+)/ (5+35)/4.5 > 5 Total 1 En la Fgura 3.8 se muestra como se construye y queda fnalmente la curva contnua de número de partículas vs. dámetro. n n 15 úmero, # Dámetro promedo,mm Fgura 3.8.a. Obtencón curva contnua. Fgura 3.8.b. Curva contnua obtenda. Cuando las dstrbucones de tamaño de partículas son angostas se recomenda el uso de una progresón artmétca para representar la poblacón, determnándose el dámetro promedo del ntervalo de tamaño como un promedo artmétco. En cambo cuando la dstrbucón de tamaños es ampla, se prefere usualmente una progresón de tamaños geométrca.

10 Tabla 3.5. Fraccones acumulatvas Rango de tamaño, μm Apertura de mayor tamaño, μm úmero, # úmero, % Fraccón acumulatva pasante, % Fraccón acumulatva retenda, % > 5 Total 1 1 F,1/μm acumulatva pasante,% acumulatva retenda, % , μm Cego Fgura 3.9. Curvas acumulatvas contnuas retendas y pasantes. La funcón F está epresada en porcentaje. La Tabla 3.5 muestra como calcular las fraccones acumulatvas retendas y pasantes, estas fraccones se grafcan como puede observarse en la Fgura 3.9.versus la mayor apertura de los tamces. El símbolo representa el número de partículas acumuladas pasantes ncluyendo todas las partículas de la clase Hstograma de la dstrbucón de frecuenca o funcón densdad. Las dstrbucones de tamaño de partícula epresadas como masa vs. dámetro no son adecuadas para la comparacón de dstrbucones (tema que será dscutdo en más detalle en la seccón 3.3.7). Por esta razón surge una funcón denomnada dstrbucón de frecuenca o densdad, la cual se calcula como sgue:

11 n n (3.) Δdp donde n es la funcón densdad epresada de manera dscreta, esta nueva varable tene undades en este caso de número/undad de dámetro (e.g. #/μm). Tabla 3.6. Funcón densdad Rango de tamaño, μm úmero, # n úmero/δd p, #/μm > 5. Total 1 En la Tabla 3.6 se ejemplfca como se calcula la funcón densdad de una manera dscreta, mentras que en la Fgura 3.1 se grafca el hstograma de esta funcón. La funcón densdad, como su nombre lo ndca, representa la el número de partículas o masa (o cualquer otra propedad selecconada) por undad de tamaño. Esta varable se ndependza de cuán grande o pequeña sea, por ejemplo, la dstanca entre dos tamces consecutvos. n Fgura 3.1. Hstograma de la funcón densdad. El símbolo n representa la dstrbucón de frecuenca o densdad de partículas en la clase. Sus undades son número (o masa, volumen)/ undad de longtud (o cualquer otra magntud con la cual se desee caracterzar el tamaño de las partículas).

12 Hstograma de la dstrbucón de frecuenca normalzada La dstrbucón de frecuenca normalzada se calcula dvdendo la funcón densdad por el número total de partículas de la poblacón, es decr: n f (3.3) T donde f es la funcón de densdad normalzada y tene undades de (undad de longtud) -1. T representa el número de partículas totales de la poblacón. La Tabla 3.7, ejemplfca el cálculo de esta nueva funcón, mentras que la Fgura 3.11 muestra el hstograma de la funcón densdad normalzada. Tabla 3.7. Funcón densdad Rango de tamaño, μm úmero, # Fraccón en número n úmero/δd p, #/μm fn / T, 1/μm > 5.. Total 1 f Fgura Hstograma de la funcón densdad normalzada. El símbolo f representa la frecuenca o densdad de partículas normalzada en la clase. Sus undades son 1/ undad de longtud (o cualquer otra magntud con la cual se desee caracterzar el tamaño de las partículas). El símbolo T representa el número total de partículas.

13 Dstrbucón de frecuenca contnua De acuerdo a la defncón de la funcón densdad (ecuacón 3.), la sguente gualdad debe satsfacerse: n Δdp n T (3.4) 1 1 Tenendo en cuenta la defncón de la funcón densdad normalzada (ecuacón 3.3), la sguente relacón tambén debe satsfacerse: Δdp 1 1 f (3.5) La ecuacón 3.5 ndca que el área debajo del hstograma presentado en la Fgura 3.11 debe ser gual a 1. La Fgura 3.1 muestra que la funcón densdad normalzada contnua puede obtenerse sempre y cuando se tenga la precaucón que el área debajo de la curva satsfaga la condcón (3.5). Con el objeto de mantener el área debajo de la curva puede observarse que la funcón contnua debe bsectar a los rectángulos del hstograma. Esta es la razón por la cual las dstrbucones contnuas se grafcan habtualmente en funcón del dámetro promedo de los etremos del rango de análss. f f Fgura 3.1.a. Obtencón de la funcón dstrbucón normalzada contnua. Fgura 3.1.b. Funcón dstrbucón normalzada contnua Dstrbucones contnuas Las ecuacones (3.) a (3.5) representan cálculos de funcones de dstrbucón de manera dscreta, sn embargo esten tambén epresones para las funcones contnuas. Comenzaremos con algunas defncones báscas: () número acumulado de partículas (3.5) Las undades de () son número. Cuando epresamos funcones contnuas desaparecen los subíndces que señalan las clases y descrbmos que la varable es

14 funcón de (). representa cualquer varable con la cual se desea caracterzar el tamaño de la poblacón, puede ser dámetro, volumen, superfce, etc. La funcón densdad contnua vene dada por la sguente defncón: d() n () (3.6) d Donde las undades de n() son # / μ m s por ejemplo representara el dámetro. De acuerdo a las defncones anterores, el número de partículas acumuladas hasta el tamaño puede calcularse como sgue: () n()d (3.7) La funcón () representa el número de partículas acumuladas, esta funcón puede ser normalzada como sgue: () F () (3.8) T F() representa la funcón acumulatva normalzada. Hasta este punto hemos defndo funcones acumulatvas, y densdades en funcón del número de partículas, sn embargo tambén pueden ser defndas por ejemplo en masa. La Fgura 3.13 resume las conversones entre dstrbucones acumulatvas (no normalzadas y normalzadas) y dstrbucones de frecuenca.

15 Dstrbucón de frecuenca n() f() Area T Dstrbucón de frecuenca normalzada Area 1 () n()d d ( ) n ( ) d F ( ) f ( ) d df ( ) f ( ) d Dstrbucón acumulatva T () Dstrbucón acumulatva normalzada F() 1. Fgura Conversones entre curvas acumulatvas y funcones densdad Resumen de relacones entre funcones contnuas y dscontnuas Tabla 3.8. Funcones contnuas. Tpo de dstrbucón Defncón Relacones entre varables Contnua sn normalzar () n ()d úmero de partículas totales (o acumuladas) menores que la medda, # úmero de partículas entre las meddas y +d, # ( ) n( )d T n( )d n( ) d ( ) d Contnua normalzada F () f ()d Fraccón en número de partículas totales (o acumuladas) menores que la medda, admensonal Fraccón en número de partículas entre las meddas y +d, admensonal () n() F() f() T T F() f()d f()d 1 f() df() d

16 Tabla 3.9. Funcones dscontnuas. Tpo de dstrbucón Defncón Relacones entre varables Dscreta sn normalzar n Δ n úmero de partículas totales (o acumuladas) en todos los ntervalos menores o guales a la clase, # úmero de partículas en el ntervalo, # Medda máma de las partículas en el ntervalo, μm o μm 3 ( ); n n( ) n j njδ j j 1 j 1 nδ n 1 T n j njδ j j 1 j 1 n 1 Δ Δ 1 Ancho o medda del ntervalo, μm o μm 3 Dscreta normalzada F fδ Fraccón en número de partículas totales (o acumuladas) en todos los ntervalos menores o guales a la clase, admensonal Fraccón en número de partículas en el ntervalo, admensonal F F( ) T fδ F F 1 fδ 1 j 1 F F f 1 Δ n f T f() Comparacón de dstrbucones La Tabla 3.1 muestra los datos epermentales de una msma muestra de partículas que fue tamzada tres veces. En prmer lugar se utlzó un gran número de tamces (datos de Fne Grd ), luego se retraron algunos tamces del tren (datos de Coarse Grd 1). Por últmo se resttuyeron los tamces retrados en la prmera etapa y se qutaron otros (datos de Coarse Grd ). Con los datos obtendos y presentados en la Tabla 3.1 se construyeron los hstogramas que se presentan en la Fgura Es claro que aún sendo la msma muestra, los gráfcos son muy dstntos no ndcando la smlardad de la muestra. Esto se debe a que los hstogramas tenen formas que dependen del ancho y número de los ntervalos de medda. Por su parte la Fgura 3.15 muestra el hstograma de la funcón densdad y la obtencón de la funcón contnua. La Fgura 3.16 compara las funcones densdad obtendas para los datos correspondentes a las tres grllas usadas. En este gráfco se observa que se trata de

17 la msma muestra. Por lo tanto, debe quedar claro que s se desean comparar poblacones debe utlzarse la funcón densdad o ben (datos no mostrados) las curvas acumulatvas. Cualquera de las dos representacones resultan adecuadas. Tabla 3.1. Análss de una msma muestra con dferentes trenes de tamces. Fgura Hstogramas de una msma muestra analzadas con dstntos trenes de tamces. Fgura Hstograma de la funcón densdad y obtencón de la curva contnua.

18 Fgura Comparacón entre las funcones densdad obtendas con dstntas grllas Dámetros promedos La defncón de una dstrbucón de tamaño de partículas en forma completa requere mucha nformacón, como por ejemplo los datos dados en la Tabla Sería convenente poder apromar las dstrbucones con alguna funcón matemátca. Esten varas representacones, en general ellas requeren nformacón acerca de donde se localza la dstrbucón y cuan ancha es. La localzacón de la curva puede referencarse adecuadamente con algún dámetro promedo. A contnuacón veremos las defncones de los tamaños promedos más usados. Para ejemplfcar los cálculos utlzaremos los datos del sguente ejemplo: Tabla Ejemplo para el cálculo de dámetros promedo. d nf, μm d sup, μm úmero, # n(dp), #/μm f(dp), %/μm F(dp), % d prom, μm Moda La moda es el punto de mayor frecuenca, se refere al valor mámo de la curva n() o f() (funcón densdad o dstrbucón de frecuenca) vs.. Este valor se puede observar en la Fgura La moda para el ejemplo de la Tabla 3.11 es apromadamente 11 μm. La moda es el mámo de la curva n() o f() vs, o dcho de otra manera corresponde al valor de tamaño para el cual la curva acumulatva alcanza su punto e nfleón. En otras palabras en la moda a se verfca que:

19 La condcón de punto de nfleón es: df() (3.9) d a df(), y (3.1) d a d F() df() (3.11) d d a a F(dp), % Medana F(dp), % (acumulatva) f(dp), %/um f(dp), %/um 3 Medo artmétco Moda dp, um Fgura Moda,medana y medo artmétco Medana La medana es el tamaño de partículas que dvde la curva de la funcón dstrbucón o densdad en dos partes de gual área, y a la vez es el dámetro donde la curva acumulatva alcanza el 5% de su valor. En térmnos matemátcos puede decrse que la medana verfca la sguente condcón: a 5% f()d y F(a) 5% (3.1) Para que se verfque la ecuacón (3.1), f() debe estar epresada en porcentajes por undad de tamaño de partícula. La medana tambén suele denomnarse 5. Para el ejemplo de la Tabla la medana es 14 μm.

20 Dámetro medo artmétco en número (meda) La meda es el centro de gravedad de la dstrbucón. Para una dstrbucón en número el dámetro medo artmétco ( a : aartmétco; : número) (o genércamente tamaño medo artmétco) se calcula como sgue: n()d n a f() d (3.13) n n()d Para el ejemplo planteado el dámetro medo artmétco es alrededor de 4 mcrones y tambén se muestra en la Fgura Es mportante tener en cuenta que el valor del usado en la ecuacón 3.13 corresponde al valor medo artmétco de los etremos del ntervalo de medcón. S la dstrbucón es smétrca las tres medas antes vstas (moda, medana y meda artmétca) son concdentes. En cambo s la dstrbucón está sesgada haca los tamaños más grandes (que resulta común para una gran número de sstemas partculados, ver ejemplo de la Fgura 3.17) resulta que meda>medana> moda. Los tamaños medos sólo pueden representar dos de las propedades de un sstema partculado. Entre las propedades de la poblacón cabe menconar: número total, longtud total, volumen (o masa) total. En otras palabras un sstema de partículas de dferentes tamaños puede ser representado por un sstema de partículas unformes que tene dos y sólo dos característcas déntcas a la dstrbucón orgnal. Por ejemplo para el dámetro medo artmétco en número se conservan sólo el número total de partículas y la longtud total de la poblacón orgnal, en térmnos matemátcos: úmero total: n T (3.14) Longtud total: a T n (3.15) sgue: Como a mantene el número y la longtud, tambén se suele escrbr como a L (3.16)

21 Otras defncones de tamaños medos Hay muchas defncones de tamaños medos, debe usarse la meda que refleje la propedad más mportante para la aplcacón en la cual se usará el tamaño promedo calculado. Esto es mportante ya que dependendo de la meda que se elja la poblacón será caracterzada por un valor promedo numércamente muy dferente. En la Tabla 3.1 se resumen tamaños medos comúnmente calculados. Para entender las propedades que se mantenen de la dstrbucón orgnal, se tomará el ejemplo de LS presentado en la Tabla 3.1. Este tamaño medo debe verfcar que la poblacón de partículas unformes que posea ese tamaño mantenga la longtud y la superfce de la poblacón orgnal, esto es: Longtud total: Superfce total: LS T LS T n (3.17) n (3.18) Dvdendo (3.18) por (3.17) resulta: n LS (3.19) n

22 Tabla 3.1. Tamaños medos. Propedades de la dstrbucón orgnal que se mantenen Epresón dscreta Epresón contnua úmero, Longtud (Medo artmétco en número o longtud meda) n()d n L f L n n()d () d úmero, Superfce (Medo Cuadrátco o de superfce meda) S 1/ n n n()d S n()d f () d úmero, Volumen (Medo Cúbco o de volumen/masa medo) V 1/ 3 3 n n 3 V 3 n()d n()d 3 f () d Longtud, Superfce (Medo artmétco en longtud) LS L L n n LS n()d n()d Longtud, Volumen LV 1/ 3 n n LV 3 n()d n()d Superfce, Volumen (Medo artmétco en superfce - Sauter) SV s s 3 n n SV 3 n()d n()d Medo artmétco en volumen o masa VM v v 3 n 3 n n n n()d VM 3 n()d

23 Para el ejemplo de la Tabla 3.11, el dámetro promedo en masa o volumen es de 4 μm, el que mantene superfce y volumen 66 μm, y el dámetro de peso medo (o artmétco en volumen) 94 μm. Algunos tamaños medos para este ejemplo han sdo presentados en la Fgura El tamaño VM puede calcularse s el equpo mde dstrbucones de tamaño epresadas en masa, ya que para el cálculo no se requere el número de partículas, por esta razón muchas veces este dámetro es utlzado. Surface- volume Fgura Tamaños medos para el ej. de Tabla Fuente: Sevlle et al., Tamaño medo geométrco El tamaño promedo geométrco (base número) de una dstrbucón ( g ) es la raíz enésma (n T ) del producto de los tamaños elevados al número de partículas que poseen dchos tamaño. 1/T n g (3.) S aplcamos logartmos a ambos membros, resulta: n ln ln g (3.1) T Tamaño medo armónco La meda armónca, en base número, se defne como sgue:

24 n H (3.) n La meda armónca en base masa o volumen está relaconada con el área específca (se mantene la relacón S/V) Observacones respecto al uso de dámetros promedos S medmos nuestras partículas con mcroscopa electrónca, es posble medr los dámetros de las partículas y s dvdmos la suma por el número de partículas, esta técnca nos proveerá el tamaño medo L. Las técncas de análss de mágenes nos permten obtener el área de las partículas, con esta nformacón es muy fácl calcular el tamaño medo S. El método de dfraccón láser permte el cálculo del tamaño medo en volumen (o masa s la densdad es constante) VM. Supongamos que para nuestra aplcacón queremos conocer el tamaño medo en volumen o masa, y hemos analzado la muestra medante mcroscopa. En este caso tendríamos que convertr nuestra meda en número a una meda en masa. Matemátcamente esto es factble, pero debemos eamnar las consecuencas de éste tpo de conversón. Imagnemos que nuestra técnca de medda electrónca está sujeta a un error de +/- 3% sobre el tamaño medo artmétco en número. Cuando convertmos el tamaño medo en número, a tamaño medo en masa, como la meda en masa es una funcón cúbca del dámetro, el error estará elevado al cubo. Es decr, será del +/- 7% de varacón del resultado fnal. Veamos la sguente ecuacón para entender mejor el problema, asumendo que las partículas son esfércas y que el dámetro promedo de ellas es dp, resulta que el volumen promedo es: π 3 ρ dp V (3.3) 6 Sn embargo, s calculamos la dstrbucón de volumen o masa a través de la técnca de dfraccón láser, la stuacón es dferente. Con esta técnca se podría consegur generar una reproducbldad de la meda en volumen del +/-.5%. S ahora convertmos esta meda en volumen en meda en número, el error sería la raíz cúbca de.5%.

25 3.5. Modelos matemátcos para representar dstrbucones El tamaño de partículas tende a segur dstrbucones matemátcas ben defndas. Esto es convenente ya que es mucho más fácl manejar una descrpcón que pueda ser descrpta por una ley matemátca. Los datos epermentales de sstemas partculados tenden a segur una dstrbucón de frecuenca gaussana. Sn embargo, la ley log-normal se verfca con mayor frecuenca. Las desventajas del uso de estas leyes es que no pueden ser lmtadas por tamaños mámos o mínmos, lo cual hace que las colas de las dstrbucones sean mal predchas por estas funcones matemátcas Dstrbucón normal artmétca La ecuacón de dstrbucón de frecuenca gaussana (o normal artmétca) posee la conocda forma de campana y se defne como sgue: ( ) dφ 1 y ep (3.4) d σ π σ donde φ representa un térmno general para la frecuenca normalzada acumulatva, (puede ser número, longtud, superfce, volumen/masa acumulatvos); σ es la desvacón estándar y es el tamaño medo. S escrbmos la ecuacón (3.4) como una dstrbucón de frecuenca en número normalzada resulta: ( ) df 1 y f ep (3.5) d σ π σ donde, σ n (3.6) n n ( ) n (3.7) Para obtener la curva acumulatva en número se necesta ntegrar la ecuacón (3.5), consderemos para ello los sguentes cambos de varables: t σ (3.8) σ dt d (3.9)

26 Reemplazando las ecuacones (3.8) y (3.9) en (3.5) resulta: σ f df dt 1 t ep π (3.3) La funcón densdad normal (dada por la ecuacón 3.3) se grafca en la Fgura 3.19, donde puede observarse la típca forma de campana f n,, #/undad 1/undad de de longtud longtud % t Fgura Curva de probabldad normal. S se quere conocer la curva acumulatva pasante en número, se debe ntegrar la ecuacón 3.3: F 1 t t df ep dt (3.31) π La solucón de la ecuacón (3.31) se presenta de manera tabular en la Tabla 3.13, y en forma gráfca en la Fgura 3.. Tabla Solucón tabular de la ecuacón (3.31) de probabldad normal. t F Integral de la ecuacón (3.3)

27 f, 1/undad de longtud F, admensonal t Fgura 3.. f y F en funcón de la varable t. La fraccón de área debajo de la curva entre el tamaño medo (t) y una desvacón estándar de la meda (t1; + σ ), según la Tabla 3.13, es gual a Por lo tanto el 68.6% de la dstrbucón cae dentro de ± σ. Este valor tambén puede calcularse fáclmente de la Fgura 3.. Del msmo modo, la fraccón de área debajo de la curva entre el tamaño medo (t) y dos desvacones estándares de la meda (t; ( + σ) ), según la Tabla 3.13, es gual a Entonces el 99.74% de la dstrbucón cae dentro de ± σ. S queremos calcular la desvacón estándar y conocemos el tamaño medo, podemos hacerlo del sguente modo: σ 84.13% ; sendo en este caso.8413 el valor de tamaño donde se verfca que F alcanza el valor de 84.13% (ver Fgura 3.). La Fgura 3. muestra las curvas campanas para dstntas poblacones que comparten la msma meda artmétca y dferentes desvacones estándares. Una propedad fundamental de la dstrbucón normal es que este gual probabldad de hallar partícula a ambos lados del valor medo. Por lo tanto cuando

28 una dstrbucón normal se grafca en ejes de probabldad, todos los valores deben caer en una línea recta, tal como puede observarse en la Fgura f, 1/mm Sgma. Sgma. Sgma , mm Fgura 3.. f en funcón del tamaño para dstntas desvacones. Tamaño medo artmétco en número1mm. La Fgura 3.3 ndca que cuanto más angosta sea la dstrbucón se tenderá a obtener una recta vertcal en gráfcos F (coordenada y) vs (coordenada ). La dstrbucón gaussana no es muy común en los sstemas partculados, generalmente se verfca cuando las dstrbucones son muy angostas. Las dstrbucones más comunes están sesgadas haca los dámetros mayores, por lo tanto las poblacones se adecuan mejor a las dstrbucones log-normales; las cuales veremos a contnuacón.

29 Sgma Sgma. Sgma Fgura 3.3. F (en escala de probabldad normal porcentual) vs tamaño (en escala lneal) Dstrbucón log-normal Para que la funcón log-normal luzca con forma de campana es necesaro utlzar como eje una progresón geométrca, que la cumple la escala logarítmca. Para obtener la funcón log-normal hay que reemplazar en la ecuacón (3.5) por zln: ( z z) dφ 1 y ep (3.3) dz σ π z σ z En otros térmnos, la ley log-normal para la dstrbucón en número puede epresarse como: ( z z) df 1 f ep (3.33) dz σ π z σ z donde σ z es la desvacón estándar en térmnos de la varable z. La ecuacón (3.33) es totalmente análoga a la (3.5), de manera que con una reconversón de varables como:

30 z z t (3.34) σz la curva campana de la Fgura 3.19 representa adecuadamente a la dstrbucón lognormal. La ecuacón (3.33) puede epresarse como: f ( ln ln ) ( ) g lnσ g df 1 ep d ln lnσ g π (3.35) donde la meda geométrca es: n ln ln g (3.36) T La Fgura 3.4 muestra la funcón densdad normalzada con el eje epresado en escala artmétca. Como allí puede observarse la curva campana, usando escala artmétca, esta sesgada haca la zona de mayores tamaños. Sn embargo, s se repte la fgura (Fgura 3.5) utlzando una escala logarítmca para el eje, resulta que la f, 1/mm , mm curva recupera su forma de campana orgnal. Fgura 3.4. f (en escala lneal) vs tamaño (en escala lneal). X g 1mm, σ g 3mm.

31 f, 1/mm , mm Fgura 3.5. f (en escala lneal) vs tamaño (en escala logarítmca). X g 1mm, σ g 3mm. S se grafca la curva acumulatva pasante normalzada en un eje de probabldad normal versus el tamaño en escala logarítmca, se obtendrá una línea recta s la dstrbucón satsface la curva log-normal, tal como puede observarse en la Fgura 3.6. Fgura 3.6. F (en escala de probabldad normal porcentual) vs tamaño (en escala logarítmca). X g 18 μm, σ g 1.4 μm. Fuente: Allen (3).

32 Para las dstrbucones log-normales, la moda, meda y medana geométrcas concden. La desvacón estándar σ g puede calcularse por dferenca de las varables z, o en térmnos de, del sguente modo (ver Fgura 3.6): ln σ g ln 5 ln 16; σg g / 16 (3.37) o, ln σ g ln 84 ln 5 ln(84 / 5 ) σg 84 / g (3.38) S para las dstntas dstrbucones vstas determnamos el valor medo y la desvacón correspondente, es posble calcular la dstrbucón contnua Conversones entre dstrbucones Como se dscutó en la seccón 3.4.7, en certas oportundades se conoce la dstrbucón de tamaño de partículas en número y por ejemplo se desea conocer la dstrbucón en volumen (en dcha seccón sólo vmos la conversón de medas). Es posble convertr dstrbucones, sn embargo hay que realzar suposcones, y ellas pueden ntroducr errores de mportanca que se suman a los errores epermentales Conversón de f () a f V () Tenemos en prmer lugar que suponer una forma de partícula, por ejemplo s asummos esfercdad, se satsfacen las sguentes relacones: π 3 v (3.39) 6 Recordemos que la funcón densdad no normalzada en volumen se defnría de manera análoga a lo que vmos para la funcón en número: v v (3.4) Δ V La pregunta es: s conocemos f (), cómo calculamos f ()?. La funcón normalzada en volumen se puede calcular como sgue:

33 π Δ π Δ m 1 j 3 j j 3 T T V 6 n 6 n V v V v f (3.41) De la ecuacón (3.) sabemos que: n n Δ (3.4) Además de la ecuacón (3.3) conocemos la sguente relacón: T f n (3.43) Combnando (3.4) y (3.43) resulta: T f n Δ (3.44) Reemplazando (3.44) en (3.41) se obtene: Δ Δ π Δ Δ π 1 j 3 j j j 3 1 j 3 j j T j 3 T V f f 6 f 6 f f (3.45) Los de esta ecuacón son los valores promedos (artmétcos) del ntervalo de medda Conversón de f () a f S () Tenemos en prmer lugar que suponer una forma de partícula, por ejemplo s asummos esfercdad, se satsfacen las sguentes relacones: s π (3.46) La funcón densdad no normalzada en superfce sería: s s Δ (3.47) La funcón normalzada en superfce se puede calcular como sgue: π Δ π Δ 1 j j j T T S n n S s S s f (3.48)

34 Reemplazando la ecuacón (3.44) en (3.48) resulta: S πf TΔ f f (3.49) Δ π f j TΔ j j f j Δ j j j 1 j 1 Ejemplo: Tabla Conversón de funcones densdad d nf, um d sup, um d prom, um úmero, # n, #/um f, 1/um fv(numerador) fv(denomnador) fv,1/um fs(numerador) fs(denomnador) fs,1/um E E En la Tabla 3.14 se presenta un ejemplo para realzar conversones entre funcones densdad. La Fgura 3.7 compara las dstntas dstrbucones. Resulta claro que los tamaños medos serán mayores para las dstrbucones en volumen respecto a las epresadas en superfce y en número f.3 fs.5 fv dp, um Fgura 3.7. Conversones entre dstrbucones.