Integrales Elipticas. Longitud de una Curva

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1 Unidd 3 Función Logritmo y Exponencil 3. Logritmo trvés de l integrl. Integrles Eliptics Longitud de un Curv Se f un función continu en [, b]. Si {t, t,..., t n } es un prtición de [, b] tenemos que en el intervlo [t i, t i ] l plicr f, l distnci entre ellos es: dx i, fx i )), x i, fx i ))) t i t i ) ft i ) ft i )) Ahor bien si plicmos el Teorem del Vlor medio l intervlo t i, t i ) se tiene que existe c t i t i ) tl que ft i ) ft i ) t i t i f c) ft i ) ft i ) f c)t i t i ) se tiene entonces que ti t i ) ft i ) ft i )) t i t i ) f c)t i t i )) t i t i ) f c)) este proceso plicble l prtición P nos d un proximción l longitud de l grc de l función, esto es n lf, P ) t i t i ) f c i )) c i x i, x i ) i por lo tnto lf, P ) lím n i n t i t i ) f c i )) c i x i, x i ) Fcultd de Ciencis UNAM Cálculo Diferencil e Integrl II Prof. Estebn Rubén Hurtdo Cruz

2 Unidd 3 Función Logritmo y Exponencil 3. Logritmo trvés de l integrl. este término corresponde un sum de Riemnn, por lo tnto lf, P ) f x)) dx Longitud de l Elipse Tenemos que dd l elipse x y b y b x y bx x Por lo que su logitud en un intervlo de [, ] ser: bx x }{{} x sen t dx cos t π b c sen t b sen t sen cos t) t) b ) sen }{{} e c b e b e b cos t e sen Si hcemos k e se obtiene Denición. A ls integrles t cos t) e ) sen t) e sen x b x x dx ) k sen t) se les conoce como integrl eliptic de segund especie t k sen t) < k < b ) sen sen t) b ) sen e sen t e sen t t t cos t) t Fcultd de Ciencis UNAM Cálculo Diferencil e Integrl II Prof. Estebn Rubén Hurtdo Cruz

3 Unidd 3 Función Logritmo y Exponencil 3. Logritmo trvés de l integrl. Vmos ver un método pr proximr ls integrles eliptics de segund especie ddo el binomio de Newton b) n n n n b tenemos que x) x) por lo tnto nn ) n b! )! x ) x x x nn )n ) n3 b 3 x) ) ) 3 x) 3 3 ) x 3 3 ) x nn )n )n 3) n b! ) x 3 ) x 3 3 ) x ) x 5 8 ) ) 3) n x)! ) x 5 si hcemos x k sen t) se obtiene k sen t) k sen ) t) k sen t)) 3 ) k sen t)) 3 3 ) k sen t)) 8 por lo tnto 3 7 ) k sen t)) 5 8 k sen t) k sen t) k sen ) t) k sen t)) 3 7 ) k sen t)) 5 8 ) k sen t)) 3 7 ) k sen t)) 5 8 vmos clculr por seprdo el vlor de cd integrl 3 ) k sen t)) 3 3 ) k sen t)) 8 3 ) k sen t)) 3 3 ) k sen t)) 8 π, k sen t) k π, k sen t)) 3 πk, k sen t)) πk por lo tnto k sen t)) 35 5 πk8, k sen t)) πk k sen t) π ) k π ) 3 πk 3 ) 5 3 πk 3 ) πk8 Fcultd de Ciencis UNAM Cálculo Diferencil e Integrl II Prof. Estebn Rubén Hurtdo Cruz 3

4 Unidd 3 Función Logritmo y Exponencil 3. Logritmo trvés de l integrl. π ) ) 3 5 πk ) k 3 ) k 3 3 ) k ) k Ejemplo Clcul l longitud de l grác de l función senx) en [, π Solución tenemos que según l fórmul se tiene cosx)) dx lf, P ) sen x))dx f x)) dx ] sen x)dx ) sen x)dx en este cso k ) ) k ) sen x) dx y usmos nuestr fórmul y tenemos que ) ) cosx)) dx π ) ) ) 3 ) 3 3 ) 5 ) ) ) 8 ),355 Fcultd de Ciencis UNAM Cálculo Diferencil e Integrl II Prof. Estebn Rubén Hurtdo Cruz

5 Unidd 3 Función Logritmo y Exponencil 3. Logritmo trvés de l integrl. Longitud de l Lemnisct Dd un ecución de un curv en coordends polres Tenemos que su longitud será fθ) cos θ, fθ) sen θ) [fθ) cos θ] ) [fθ) sen θ] ) dθ Ahor bien dd l ecución de l lemnisct r cos t f θ) f θ) dθ Tenemos que su longitud será b cos t sen t cos t cos t sen t cos t cos t de donde Denición. A ls integrles cos t sen k sen t) se les conoce como integrl eliptic de primer especie < k < t Fcultd de Ciencis UNAM Cálculo Diferencil e Integrl II Prof. Estebn Rubén Hurtdo Cruz 5

6 Unidd 3 Función Logritmo y Exponencil 3. Logritmo trvés de l integrl. Vmos mostrr un método pr proximr ests integrles Ejercicio Demuestr que si < k < k sen t) π ) ) k 3 ) k 3 ) k 3 7 ) k ) ) 8 k Demostrción. ddo el binomio de Newton b) n n n n b tenemos que nn ) n b! x) ) x) nn )n ) n3 b 3 ) ) ) x)! ) ) ) 3)! x 3 por lo tnto si hcemos x k sen t) se obtiene k sen t) ) k sen t) por lo tnto k sen t) π ) nn )n )n 3) n b! ) x) ) x 3 ) x 3 ) ) 3 x) 3 3 ) k sen t)) 3 ) k sen t)) 3 k sen t) 3 ) k sen t)) 3 ) ) k sen t)) 3 ) k 3 ) k 3 ) k 3 7 ) k ) ) k Ejemplo Clculr dx x ) x ) Solución tenemos que hciendo el cmbio x sent) obtenemos dx x ) x ) }{{} x sent) dx cost) cost) sen t)) sen t)) cost) sen t)) sen t)) Fcultd de Ciencis UNAM Cálculo Diferencil e Integrl II Prof. Estebn Rubén Hurtdo Cruz

7 Unidd 3 Función Logritmo y Exponencil 3. Logritmo trvés de l integrl. cost) sen t) sen t)) en este cso k ) 3 sen t) k 3 3 y usndo nuestr fórmul ) π ) cost) cos t) sen t)) ) ) 3 3 ) 3 ) ) 3 3 sen t) ) ) ),883 3 Fcultd de Ciencis UNAM Cálculo Diferencil e Integrl II Prof. Estebn Rubén Hurtdo Cruz 7

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