2. ALGEBRA LINEAL (2.1_AL_T_062, Revisión: , C12)

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1 . ALGEBRA LINEAL (._AL_T_06, Rvisió: , C). CONCEPTOS FUNDAMENTALES: ESPACIOS VECTORIALES, BASES, DIMENSIONES... INTRODUCCIÓN. Notació: utilizamos abcdario latio para vctors, grigo para scalars (úmros). x x= ˆi+ ˆ s u vctor -D, so rals (podría sr complos) î ˆi& ˆ so vctors bas Esto s úicamt u sistma d tiqutas para distiguir a d. x =,, i.., como u par ordado d D mara altrativa, podmos dfiir al vctor ( ) úmros. E gral, si tmos u sistma co -grados d librtad, podmos xtdr sta dscripció a -adas. Cosidrmos, por mplo, l siguit problma: ĵ F x = ( ), = (,,, ),,... fc st mplo, x = (,, 3, 4 ), s u vctor qu os da los úmros ordados,... qu os prmit dscribir l stado dl sistma. E álgbra lial os itrsa dfiir 4 opracios fudamtals co los vctors: Si = ( ) x,,...,, = ( η η y,, η ), tocs dfiimos: Suma d vctors: x+ y (, + η, + η, + η) Multiplicació d u vctor por u scalar: αx ( α α α ) Producto Itro (producto puto): (, ),,..., xy = xy = xy i η cougado 8

2 Logitud d u vctor (orma): x Notas: ) Los scalars α, ηprtc, a u campo qu podrá sr l campo d los rals ( αη,, R), o bi, l campo d los complos ( αη,, ). ) Para prmitir qu α, η, utilizamos η l producto itro y la logitud, i..: = si = si 3) No s ha dfiido la multiplicació d vctors, sólo multiplicació por u scalar. 4) S pud dfiir l águlo tr vctors a través dl producto itro & logitud:,, η, η η y x= (, ), y = ( η, η ) θ x ( xy, ) = η+ η β = x cosα y cos β + x sα y s β α = x y ( cosα cos β + sαs β) = x y cos( β α) = x y cosθ (, ) η cosθ x y x y Si dmostramos qu ( xy, ) x y tocs tmos ua dfiició para l águlo tr dos vctors. Esta dsigualdad s la dsigualdad d Schwarz y s vrá postriormt. D xy, 0. cualquir mara, llamamos a dos vctors ortogoals si ( ) Emplo. Si dfiimos los vctors (,, 3, 0) (, 3, 3, ) (,, 0,5) x = y = z = x y ( ) ( ) + = 3, 4, 0,, 3x = 6,3, 9,0, x = 4, y = 3, π ( xy, ) = 4 ( xz, ) x z θ xz = ; 4 cosθxy = 0.3, θxy º 83

3 .. ESPACIOS VECTORIALES. U couto d vctors S s u spacio vctorial si los vctors S cumpl co 4 codicios: (i) Está dfiida la suma d vctors tal qu: Si xy, S x+ y S (cirr bao suma) admás x + y = y+ x (suma s comutativa) ( x+y) + z= x+ ( y+ z ) (suma s asociativa) (ii) S coti l vctor cro 0, tal qu x+ 0= x, x S (iii) Para cada x S " x" x+ ( x), ( x-y x+(-y) ) (iv) Está dfiida la multiplicació por u scalar dl campo F, i.., x, y S, α, β F, αx S. Admás : α ( βx) = ( αβ) ( + ) x= x+ x α β α βx α( x+ y) = αx + αy x= x, 0x= 0 Si F = spacio vctorial spacio vctorial ral Si F = spacio vctorial complo Emplo. Cosidrmos l spacio d las -adas : = (,..., ), = ( η,..., ) dfiimos: x+y (,..., + η + η) 0 ( 0,...,0) ( ) -x,..., x y η. Si tmos u spacio vctorial. Admás s pud dmostrar qu x+y=y+x, pus + η = η + para cualquir úmro ral o complo. El rsto d las codicios pud dmostrars d mara similar. Si dfiimos ahora x+y ( + η,..., + η), o tmos u spacio vctorial ya qu x+y= y+ x, i.., x+y y+x...3 ESPACIOS EUCLIDEANOS. Para podr hablar d logituds d vctors y águlos tr vctors, dfiimos l producto itro (producto puto o producto scalar). DEFINICIÓN. El producto itro cumpl co las siguits propidads: (i) ( x, y) = ( y, x) Simtría cougada. 84

4 (ii) (iii) ( ) ( ) ( ( x, x) > 0, x 0 ( x, x) x αx+ βy, z = α x,z + β y,z) Lialidad. Nóts qu ( x, αy) = ( αyx, ) = α( yx, ) = α( yx, ) = α( xy, ) E la otació d Dirac (Físicos): zαx+ βy = α z x + β z y DEFINICIÓN. U spacio vctorial s u ESPACIO EUCLIDIANO si ti dfiido u producto itro. DEFINICIÓN. La LONGITUD o NORMA d u vctor, x, cumpl co: (i) α x = α x x+y (ii) x > 0, x 0 x x= 0 x (iii) x+ y x + y Dsigualdad dl triágulo (d Mikowsky) Emplo 3. Para l spacio vctorial d -adas (-tuplos) s pud cosidrar ormas dl tipo: Comúmt s utiliza: p = x x p = x = NORMA EUCLIDIANA P = x = max i p / p / y DEFINICIÓN. Distacia tr dos vctors: d( xy, ) x-y DEFINICIÓN. Ua scucia x, =,,... covrg a x si ε > 0 N ( ε ) tal qu x x < ε, > N, lim x = x, o bi: x x. DESIGUALDAD DE SCHWARZ. Esta dsigualdad stablc qu: ( x, y) ( x, x) ( y, y ) 85

5 La dmostració pud hacrs utilizado las propidads dl producto itro: Sabmos qu ( x αy x αy) +, + 0 ( x αy, x αy) ( x, x αy) α( y,x αy) ( x αy,x) α( x αy,y ) = ( x, x) + α( y,x) + α( x,y) + αα( y,y ) + + = = ( x,x) α( x,y) α( y,x) αα( y,y ) 0 = E gral α = a+ bi. Nóts qu sta dsigualdad s cumpl para cualquir α, auqu st úmro pud optimizars, i.., podmos cosidrar ua fució d (a,b) y miimizar la fució. Dfiamos tocs: f( a, b) = ( x,x) + ( a ib)( x,y) + ( a+ ib)( y,x) + ( a + b )( y,y ) 0 f ( x, y) + ( y, x) = ( xy, ) + ( yx, ) + a( yy, ) a = a ( yy, ) f i[ (, ) (, )] = i(, ) + i(, ) + b(, ) x y y x xy yx yy b = b ( yy, ) f f Nóts qu = = ( yy, ) > 0, por lo qu f(a,b) s u míimo. a b ( x, y) ( y, x) ( x, y) + ( y, x) ( x, y) α = a+ ib= = ( yy, ) ( yy, ) ( xy, ) ( yx, ) + ( xy, ) + ( yx, ) ( yx, ) α = a ib= = ( yy, ) ( yy, ) (, ) (, ) (, ) yx xy ( xy, )( yx, ) xx ( xy, ) ( yx, ) + ( yy, ) ( yy, ) ( yy, ) ( xx, )( yy, ) ( yx, )( xy, ) ( xx, )( yy, ) ( yx, )( x, y) = ( x, y)( x, y) = ( x, y ) ( xy, ) ( xx, ) ( yy, ) ( yy, ) 0..4 DEPENDENCIA LINEAL, DIMENSIÓN Y BASES. DEFINICIÓN. Los vctors x, x, x so LINEALMENTE DEPENDIENTES (LD) si scalars α, o todos cro, tal qu: αx+ αx+ α3x α x D otra mara, so LINEALMENTE INDEPENDIENTES (LI). Si so LD, al mos u x pud xprsars como ua combiació lial d los dmás. α α 3 α Emplo 4. Si α 0 x = x x3... x α α α 86

6 DEFINICIÓN. U spacio vctorial ti DIMENSION, si coti u couto d vctors LI. Cualquir couto d + vctors s LD. DEFINICIÓN. Ua BASE para u spacio vctorial s u couto d vctors LI,,,...,, tal qu cualquir x al spacio pud sr xprsado como ua combiació lial d llos, i..: x= α + α + + α... La rprstació térmios d la bas s ÚNICA: supogamos por mplo qu rprstamos x= β+ β β. Sustraydo ambas rprstacios obtmos: ( α β ) ( α β ) ( α β ) Sabmos qu los vctors bas so LI α β, α = β Obsrvació: Si ua bas para l spacio ti vctors, tocs su dimsió db sr, y vicvrsa. Emplo 5. Para l spacio d las -adas: = (,0,...0) Vctors LI l spacio dado: = (0,,...0) α+ α α ( α, α,..., α ) = ( 0,0,...,0) = (0,0,...,) α = α =... = α ( Admás: x =,,..., ) al spacio, pud xprsars como: x= , l couto s ua bas. El spacio s -dimsioal (hay vctors bas). Est s l caso -dimsioal d la bas ˆˆ ik,, ˆ, auqu NO ES LA ÚNICA BASE POSIBLE l spacio d las -adas. La lcció d la bas apropiada surg d mara atural a partir dl problma studio (solució dl problma d autovalors). Ua coscucia importat d stos cocptos s qu, dada ua bas,,..., algú spacio -dimsioal, podmos xprsar x al spacio como Los scalars α s obti proyctado x co la bas, i..: x= α α. 87

7 ( x, ) (, ) α... (, ) ( ) ( ) ( ) ( x, ) (, ) α... (, ) = + + α x, =, α , α ( x, ) = (, ) α, i =,,..., k i k k = = + + α i La solució dl sistma proporcioa los valors para los scalars α i. Ecotrar la solució d sto pud sr complicado y/o tdioso cuado s grad. Afortuadamt, gralmt trabaamos co bass ortogoals, i.., ( i, ), i. El sistma s rduc tocs a: ) α ( x,) (, ) α ( x, ) ( ) ( ) ( x, ) ) ( x, ) ( ) = α = = α x=, = x, =, BASE ORTOGONAL Cuado los vctors stá ormalizados (i.., so uitarios), s dic qu la bas s, = δ ). ORTONORMAL ( st caso ( ) i i..5 Ortogoalizació d Gram-Schmidt Supogamos qu qurmos obtr ua bas ORTOGONAL a partir d ua bas dada,.g., g,g,...,g dod g 0. Para sto, podmos utilizar l procso d la bas { }, ORTOGONALIZACION DE GRAM-SCHMIDT:.- = g.- = g αg = g α Para qu y sa LI y ortogoals: ) (,) = ( g α,) = ( g,) α(, ) ( g,) ( g,) α =, ( = ) ( g,,) = g3 α β 3 ) = ( g3 α β, ) = ( g, 3 ) α ) β ) ( g 3,) α = ) (, ) = ( g α β, ) = ( g, ) α (, ) β )

8 β = ( g,) ) ( g 3,) ) ( g,) ) 3 3 = g 3 3 Gralizado: ( k) ) = g, k k = k k g ORTOGONALIZACIÓN DE GRAM-SCHMIDT. 89

9 EJERCICIOS (Scció.).- Usado la dsigualdad dl triágulo dmostrar qu x + +x x + + x.- Mustr qu la orma x = max satisfac la dsigualdad dl triágulo. 3.- Expadir (αω + βx,γy+δz), dod α, β, γ, δ so scalars. 4.- Expadir x=(3, - i, 0), por cualquir método, térmios d: a) = (,0,0), = (,,0), 3 = (,,) b) = (,0,0), = (0,,0), 3 = (0,0,) c) = (i,0,0), = (0,i,), 3 = (0,0,i) 5.- Dmostrar qu los siguits vctors so bass para l spacio d los pars ordados (i.., l spacio d dimsió dos). a) = (,), = (,-) b) = (,0), = (,) 6.- Obtr bass ortoormals a partir d los siguits vctors LI por mdio dl procso d Gram-Schmidt. = (0,,0), = (,0,), 3 = (,,) 90

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