Trabajo Práctico N 9: APLICACIONES A LA GEOMETRÍA

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1 Fultd Regionl Mendo. UTN Álger Geometrí Anlíti 6 Trjo Prátio N 9: APLICACIONES A LA GEOMETRÍA Ejeriio : Hlle l euión norml generl de l irunfereni siendo que el segmento de etremos (- ; 3) (4; -) es diámetro de l mism. Represente gráfimente. Ejeriio : Anlie l deduión de ls epresiones que figurn en el udro prtir de l gráfi dd. L ECUACIÓN CANÓNICA p ( ) = ( k)² DIRECTRIZ p V k p F R EJE FOCAL EJE FOCAL VÉRTICE V( ; k) FOCO F(+p; k) Euión de l EJE X DIRECTRIZ = p LADO RECTO LR = p. EJE FOCAL L DIRECTRIZ F p V p k R ECUACIÓN CANÓNICA EJE FOCAL VÉRTICE V( ; k) FOCO F(; k+p) p ( k ) = ( )² Euión de l EJE Y DIRECTRIZ = k p LADO RECTO LR = p. Ejeriio 3: Hlle l euión norml generl de l práol uo foo es F(- 4, 3) su diretri es l ret de euión =. Represente gráfimente.

2 Fultd Regionl Mendo. UTN Álger Geometrí Anlíti 6 Ejeriio 4: Dos postes de lmrdos uidos en ordes opuestos de un rreter, distntes 8 m entre sí on m de ltur d uno, sostienen en sus etremos superiores un le que formn un ro prólio u proeión en el suelo es perpendiulr los ordes de l rreter. A un metro de l se de d poste, el le está 7 m del suelo. Cuánto dist de l rreter el punto más jo del le? Ejeriio : Anlie l deduión de ls epresiones que figurn en el udro prtir de l gráfi dd. A` L F` R B A` C k B` EJE FOCAL A F EJE FOCAL EJE X ECUACIÓN CANÓNICA CENTRO C(, k) VÉRTICES SEMIEJES SEMIDISTANCIA FOCAL EXCENTRICIDAD MAYOR: MENOR : FOCOS: ( ) ( k ) A( + ; k ) A`( ; k ) B( ; k + ) B`( ; k ) F( + ; k ) F`( ; k ) FÓRMULA DE CÁLCULO = ²+ ² e LADO RECTO LR A F B` k L F` R EJE FOCAL B EJE FOCAL EJE Y ECUACIÓN CANÓNICA CENTRO C(, k) VÉRTICES SEMIEJES MAYOR: MENOR : FOCOS: ( ) ( k ) A( ; k + ) A`( ; k ) B( + ; k ) B`( ; k ) F( ; k + ) F`( ; k ) A` SEMIDISTANCIA FOCAL EXCENTRICIDAD FÓRMULA DE CÁLCULO = ²+ ² e LADO RECTO LR

3 Fultd Regionl Mendo. UTN Álger Geometrí Anlíti 6 Ejeriio 6: Siendo que los foos de un elipse son los puntos F(3, 8) F (3, ) l longitud de su eje menor es 8. Enuentre l euión de l elipse, ls oordends de sus vérties su eentriidd. Represente gráfimente. Ejeriio 7: Un río es rudo por un rreter por medio de un puente uo ro entrl tiene l form de medi elipse. En el entro del ro l ltur es de m. El no totl del ro elíptio es de m. ) Determine l euión de l elipse que desrie dio puente. ) A un distni de m de d uno de los pilres, se enuentrn estruturs de proteión pr los mismos. Cuál es l ltur del ro del puente en orrespondeni on estos elementos? Considerndo omo origen de oordends el entro de l elipse que desrie el puente. El semieje menor de l elipse serí m el semieje mor serí m. De est mner l euión de l elipse que desrie el puente es: ² ² ² ² ² ² Pr = m, de donde ² ² 4.² , 6 m 4.² ².² por lo tnto Por lo tnto, l ltur del puente orrespondiente l estrutur de proteión es de 6 8 m 9,6 m

4 Ejeriio 8: Fultd Regionl Mendo. UTN Álger Geometrí Anlíti 6 Anlie l deduión de ls epresiones que figurn en el udro prtir de l gráfi dd. L A F` R B B k EJE FOCAL A F EJE FOCAL EJE X ECUACIÓN CANÓNICA CENTRO C(, k) VÉRTICES SEMIEJES SEMIDISTANCIA FOCAL EXCENTRICIDAD REAL: IMAGINARIO: FOCOS: ( ) ( k) A( + ; k ) A`( ; k ) B( ; k + ) B`( ; k ) F( + ; k ) F`( ; k ) FÓRMULA DE CÁLCULO = ²+ ² e LADO LR RECTO ECUACIÓN ASÍNTOTAS ( ) k L B F A A k F` EJE FOCAL B R EJE FOCAL EJE Y ECUACIÓN CANÓNICA CENTRO C(, k) VÉRTICES SEMIEJES SEMIDISTANCIA FOCAL EXCENTRICIDAD REAL: IMAGINARIO: FOCOS: ( k) ( ) A( ; k + ) A`( ; k ) B( + ; k ) B`( ; k ) F( ; k + ) F`( ; k ) FÓRMULA DE = ²+ ² CÁLCULO LADO e LR RECTO ECUACIÓN ASÍNTOTAS ( ) k Ejeriio 9: Los vérties de un ipérol son los puntos ( 3, ) ( 3, ) l longitud de su eje onjugdo es 6. Enuentre l euión de l ipérol, ls oordends de sus foos su eentriidd. Represente gráfimente.

5 Ejeriio : Fultd Regionl Mendo. UTN Álger Geometrí Anlíti 6 Un ro enví un señl de uilio en el momento en el que se enuentr mills de l ost. Dos estiones gurdosts Q R, uids mills de distni entre sí, reien l señl. A prtir de l difereni entre los tiempos de reepión de l señl, se determin que l nve se enuentr 6 mills más er de l estión R que de l estión Q. Elij un sistem de refereni propido e indique ls oordends orrespondientes l uiión de l emrión. Represente gráfimente. Por definiión de ipérol semos que es el lugr geométrio formdo por todos los puntos del plno tles que l difereni entre sus distnis dos puntos fijos permnee onstnte est difereni es igul, siendo el semieje rel. Teniendo en uent est definiión, si onsidermos que ls gurdosts Q R son los foos que el ro es un punto uido sore l ipérol, entones, onoiendo l euión de l mism, podremos determinr ls oordends del ro. d d = D(R,Q) = = mi ( distni fol) 6 = = mi = 8 mi ² = ² + ² ² = ² - ² ² = ² - 8² ² = 36 = 6 mi Por lo tnto, l euión de l ipérol será: ² ² 8² 6² De donde si = - mi entones será: Reemplndo el vlor de en l euión despejndo otenemos =,49 mi El ro se enuentr mills l sur de l ost,49 mi l este medid desde el punto medio uido entre mos gurdosts.

6 Ejeriio : Fultd Regionl Mendo. UTN Álger Geometrí Anlíti 6 Dds ls euiones de ls siguientes ónis, enuentre su euión norml, determine sus elementos priniples grfique. Esri l euión trsldd respeto de ls oordends del nuevo sistem. ) = ) = ) + 4 = d) = Ejeriio : Dds ls siguientes euiones: i) ½ = ii) = iii) = iv) = v) - + = ) Eprese l euión en form mtriil ) Identifique l óni prtir de los vlores propios ) Enuentre l mtri que digonli ortogonlmente l mtri de l form udráti d) Verifique que l mtri lld represent un rotión e) Eprese l euión referid l nuevo sistem rotdo o rototrslddo f) Hlle el ángulo de rotión g) Grfique i) ½ = SOLUCIÓN: ) Form mtriil, siendo A = 3 ) Vlores vetores propios de A 4

7 Fultd Regionl Mendo. UTN Álger Geometrí Anlíti 6 Pr - + = = v = Pr + = = - v = 3) L mtri P pr l digonliión ortogonl es : P = L mtri digonl semejnte l mtri de l form udráti es: D = P - A P = 4) Considerndo que X = P X, l nuev euión mtriil es: = ( ) ( ) = ½ ( + ¼ - ¼ ) ( + ) = ( ½ ) ½ ( ) + = ½ ( ½ ) ( ) = - - ( ½ ) + ( ) = ) L euión norml de l óni es: ) ( ) ( Tipo de óni: Hipérol

8 Fultd Regionl Mendo. UTN Álger Geometrí Anlíti 6 Centro: C ( ½; ) [ C (; k) ] Semiejes: = = Semidistni fol: = [ = + ] Vérties: A ( ½ ; + ) A ( ½ ; - ) [ A ( ; k ) ] B ( ½ + ; ) B ( ½ - ; ) [ B ( ; k ) ] Foos: F ( ½ ; ) F( ½ ; ) [ F ( ; k )] Ldo reto: LR = [ LR = ] Ejeriio 3: Anlie ls reliones que eisten entre ls gráfis dds ls euiones indids. Hiperoloide de un oj Hiperoloide de dos ojs

9 Fultd Regionl Mendo. UTN Álger Geometrí Anlíti 6 Elipsoide Superfiie óni Proloide elíptio Proloide iperólio Cilindro elíptio Cilindro iperólio Cilindro prólio Cilindro irulr Ejeriio 4: Hlle los elementos de l siguiente uádri e identifique el nomre: 4 ² + 36 ² 9 ² = Completndo udrdos en en : 4 ² ² 6 9 ² + 34 =

10 Fultd Regionl Mendo. UTN Álger Geometrí Anlíti 6 4 ( ² 4 ) + 36 (² 6 ) 9 ² + 34 = 4 ( ² ) + 36 (² ) 9 ² + 34 = 4 [( )² 4 ] + 36 [( 3)² 9 ] 9 ² + 34 = 4 ( )² ( 3)² 34 9 ² + 34 = 4 ( )² + 36 ( 3)² 9 ² 36 = dividiendo por 36 ( )² ( 3)² ² 9 4 iperoloide de un oj Ejeriio : Dd l siguiente euión: = ) Eprese l euión en form mtriil. ) Enuentre l mtri que digonli ortogonlmente l mtri de l form udráti. ) Eprese l euión referid l nuevo sistem rotdo o rototrslddo. SOLUCIÓN: Dd l euión de l uádri: d + e + f + g + + i + j = epresmos di euión en form mtriil: X T A X + K X + [ j ] = O

11 Fultd Regionl Mendo. UTN Álger Geometrí Anlíti 6 Siendo: f e f d e d A i g K X ) Con A 7 4 K ) Busmos los vlores propios: I A ( 44 - ) ( - ) ( 8 - ) 8. ( - ) = ( - ) ( ² ) = ( - ) ( ² - ) = = = 3 = = = 34 ; = ; v = 4 3 ; 4 3 ˆ v = = = ; IR; v = ; ˆ v

12 Fultd Regionl Mendo. UTN Álger Geometrí Anlíti 6 3 = = - 43 ; = ; v3 = 3 4 ; 3 4 ˆ3 v P = P - = ) Reemplndo X por P X PARABOLOIDE ELÍPTICO