RESUMEN DE APLICACIONES DE LA DERIVADA

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1 U U N E X P O UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL POLITÉCNICA ANTONIO JOSÉ DE SUCRE VICE-RECTORADO PUERTO ORDAZ DEPARTAMENTO DE ESTUDIOS GENERALES SECCIÓN DE MATEMÁTICA RESUMEN DE APLICACIONES DE LA DERIVADA Introducción: Utilizando el concepto de derivada se estudiaran algunas propiedades específicas de las funciones. El estudio de estas características facilitará la representación gráfica de las mismas. Se trata aquí de obtener información de las funciones a partir de su derivada. Objetivos: La presente guía fue elaborada con el propósito de que sea utilizada por los estudiantes de Matemática I, como guía resumen, para optimizar el desarrollo de las clases donde se trate el tema de aplicaciones de la derivada, así como también con la finalidad de responder al objetivo general número 5 del programa de dicha asignatura, el cual indica que el estudiante debe: Aplicar el concepto de derivada a la solución de problemas vinculados con la ingeniería. Para ello se trata de dar respuesta a los siguientes objetivos específicos: o Comprender y aplicar los teoremas relativos a la derivabilidad. o Utilizar la regla de L'Hopital de una función para calcular límites indeterminados. o Conocer y comprender el concepto e interpretación geométrica de la diferencial de una función en un punto. o Estudiar el comportamiento de una función. o Analizar y obtener la representación gráfica aproimada de una curva. o Aplicar las derivadas a problemas de optimización y a la gráfica de funciones. o Resolver problemas con aplicaciones a la ingeniería. ALGUNAS PROPIEDADES DE LA DERIVADA: Teorema de Rolle Sea una función tal que: i. f es continua en [a,b] ii. f es derivable en (a,b) iii. f (a) = f (b) Entonces eiste un c (a,b), tal que f (c) = 0 Prof. Esther Morales (006) 1

2 NOTA: Pueden eistir más de un punto en (a,b) que cumplan la condición. El Teorema de Rolle garantiza la eistencia de una recta tangente horizontal. Ejercicios: Verifique que la función f satisface las condiciones del Teorema de Rolle en el intervalo dado. Encuentre el valor de c (o valores de c). 1.. f ( 4 3 9, ,0, 0,,,.. f ( sen(, 0, 3.. f ( 3cos (, Teorema de Valor Medio, 3 Sea una función tal que: i) f es continua en [a,b] ii) f es derivable en (a,b) Entonces eiste un c (a,b) tal que: f ( c) f ( a) a f ( b) b Verifique que se satisfagan las condiciones del Teorema de Valor medio para la función f, en el intervalo dado. Luego encuentre todos los valores de c: 3 1. f ( 5 3, 1,3. f ( 3,, COROLARIO: Si f es una función tal que, f ( = 0, para todo (a,b), entonces f es constante en (a,b). Prof. Esther Morales (006)

3 Si f ( sen cos. Demuestre que f es constante en, COROLARIO: Funciones con Derivadas iguales. Suponga que f y g son continuas en [a,b] y derivables en (a,b) tal que: f ( = g ( para toda (a,b), entonces f y g difieren en una constante. Es decir, eiste un k R tal que f ( - g ( = k para todo a, b. REGLA DE L HOPITAL: Sean f( y g( dos funciones derivables en un entorno (vecindad) del número a y f ( f ( lim f ( lim g( 0 entonces si eiste lim, eistirá lim a a a g( a g( y además f ( f ( f '( a) lim lim a g( a g( g'( a) siempre que g'( a) 0 En los siguientes casos calcule el límite aplicando las reglas de L hopital cuando sea posible. a) 3 Lim b) (1 ) sen( Lim 1 ( 1) c) Lim 0 Arcsen Arctg d) Lim. 1 tg( ). tg( Nota: La Regla L'Hópital también se puede aplicar cuando las funciones son derivables en R, y el límite es con tendiendo a infinito, y también en los casos de límites laterales. DIFERENCIAL DE UNA FUNCIÓN Sean una función y = f( derivable en 0 y el punto P( 0,f( 0 )). Como f es derivable en 0 f ( ) ( ) entonces 0 f 0 lim f ( 0 ). Así, si es pequeña el cociente 0 f ( ) f ( 0 ) 0 será aproimadamente f ( 0 ), de manera que f( f( 0 ).f ( 0 ) La epresión f( f( 0 ) se denota y y representa el cambio real en la variable y cuando cambia de 0 a 0 +. la epresión.f ( 0 ) se denota por dy y se le llama diferencial de la variable dependiente y. Diferencial de una función en un punto: Se define diferencial de una función y=f( en un punto, y se simboliza por dy ó df(, al producto f'( d donde d representa un incremento arbitrario de (diferencial de Por tanto, dy = df( = f'( d (ver figura). Prof. Esther Morales (006) 3

4 Propiedades de la diferencial 1) La diferencial de una función en un punto depende de dos variables: el punto elegido y el incremento d que se ha tomado. ) Al ser dy = f (d, la diferencial de una función en un punto es el incremento de la ordenada de la recta tangente al aumentar en d la abscisa. 3) Si se considera la función y = f(, entonces dy = f'(d. Así, se puede escribir dy f ( d dy La epresión se utiliza para indicar la derivada de la variable y con respecto a la variable d, en este caso no se le trata como un cociente de diferenciales, sino como un símbolo 4) Cuando h es infinitamente pequeño, el diferencial dy es prácticamente igual a f(+h)-f( Es decir, dy f ( h) f (. Esta propiedad permitirá sustituir dy por f ( h) f ( cuando h es muy pequeño, con la seguridad de que el error cometido será mínimo. TEOREMA (puntos críticos): Sea f definida en un intervalo I que contiene al número c. Si f(c) es un valor etremo, entonces c tiene que ser un punto crítico; es decir c satisface una de las siguientes condiciones: i) Es punto frontera de I ii) f (c) = 0 iii) f (c) no eiste Este teorema nos garantiza que los valores etremos se alcanzan solamente en puntos (números) críticos. Veamos una aplicación. Encontrar los etremos absolutos de la función f( = en el intervalo 1, TEOREMA (monotonía): Sea f una función continua en el intervalo [a,b] y derivable en el intervalo abierto (a,b) Si f ( > 0 para toda en (a,b), entonces f es creciente en [a,b]. Si f ( < 0 para toda en (a,b), entonces f es decreciente en [a,b] TEOREMA (Prueba de la primera derivada para etremos relativos): Sea f una función real definida en un intervalo abierto (a,b) y c Є (a,b) tal que: Prof. Esther Morales (006) 4

5 i. f es continua en c ii. Eiste un r > 0 tal que: Si f ( < 0 para toda en (c - r, c) y si f ( > 0 para toda en (c, c + r ) entonces f tiene un mínimo local en c. Si f ( < 0 para toda en (c - r, c) y si f ( < 0 para toda en (c, c + r ), entonces f tiene un máimo local en c. Si f ( < 0 para toda en (c - r, c + r) y si f ( > 0 para toda en (c - r, c + r ), entonces f no tiene un etremo relativo en c. Dada f ( encontrar los intervalos de crecimiento y decrecimiento, y los valores 1 máimos y mínimos relativos. TEOREMA (Prueba de la segunda derivada para etremos relativos): Sea c un número critico de una función f en la cual f (c) = 0, y supongamos que f ( eiste para toda en (c - r, c + r). Si f (c) eiste y Si f ( < 0, entonces f tiene un valor máimo local en c. Si f ( > 0, entonces f tiene un valor mínimo local en c. TEOREMA (etremo absoluto y relativo): Sea f una función continua en un intervalo I que contiene al número c. Si f (c) es un etremo relativo de f en I, y c es el único número en I para lo cual f tiene un etremo relativo, entonces f (c) es un etremo absoluto de f en I. CONCAVIDAD Y PUNTO DE INFLEXION Se dice que la representación gráfica de un afunción f es cóncava hacia arriba en el intervalo abierto (a,b) si para todo en (a,b) la representación gráfica queda por encima de la recta tangente en (, f ( ). En forma análoga se define cóncava hacia abajo. El punto (c, f (c)) del gráfico de una función f continua en = c es un punto de infleión si y sólo si en él se produce un cambio de concavidad. TEOREMA (punto de infleión): Sea f una función cuya derivada segunda eiste en el intervalo abierto (a,b) Si f ( > 0 para toda en (a,b), la representación gráfica de f es cóncava hacia arriba en (a,b) Si f ( < 0 para toda en (a,b), la representación gráfica de f es cóncava hacia abajo en (a,b) Si la función f es derivable en algún intervalo abierto que contenga a c, (c, f (c)) es un punto de infleión de la representación gráfica de f, y f (c) eiste, entonces f (c) = 0. Ejerccios: Trazar la representación gráfica de las funciones: 1 ( 1) a) f ( b) f ( c) ( 3) 3 f ( 4 4 Prof. Esther Morales (006) 5

6 PROBLEMAS COMPLEMENTARIOS: Ln( 4) 1.- Usando la regla de L`hopital, calcular lim Dada la función f ( halle: a) Dominio y puntos de cortes con los ejes coordenados b) Asíntotas ( si es que eisten) c) Primera y segunda derivada d) Puntos críticos e) Intervalos de crecimiento y de decrecimiento f) Valores etremos g) Concavidad h) Puntos de infleión i) Gráfico de la función 3. Problemas de optimización: a) Calcula dos números cuya suma sea 15 y el producto de uno de ello por el cuadrado del otro sea máimo. b) Obtener dos número cuyo producto sea 88 y la suma del doble del primero más el segundo sea mínimo c) Calcula las dimensiones de un rectángulo con perímetro de 40 metros, de manera que el rectángulo sea el área máima. d) En el costado de un terreno una barda de piedra y se disponen de 600 metros de malla de acero de la misma altura que la barda; se desea hacer un corral rectangular utilizando el muro de piedra como uno de sus costados. Calcula las dimensiones que debe tener el corral para encerrar la mayor área posible. e) En una imprenta se decide que un volante debe incluir 4 centímetros cuadrados de tetos, los márgenes superior e inferior deben tener 15 centímetro de ancho y los laterales 1 centímetro. Calcula las dimensiones mínimas de la hoja de cada impreso. f) Se quiere construir un recipiente cilíndrico, sin tapa, de base circular y de 60 centímetros cúbicos de volumen. Calcula las dimensiones que debe tener para que la cantidad de metal sea mínima. BIBLIOGRAFÍA COMLEMENTARIA: Barnett, Ziegler y Byleen (1999). Precalculo. Funciones y gráficas. McGRAW-HILL. Cuarta edición Edwards y Penney (1994). Cálculo con Geometría Analítica. PRENTICE HALL. 4ta edición. Leithol, L. (1984). El cálculo con geometría analítica. Núñez, L. (004) Derivadas y aplicaciones. Guía teórica práctica. UNEXPO. Stein, S. y Barcellos A. (1994). Cálculo y geometría analítica. Volumen 1. Prof. Esther Morales (006) 6