Matemáticas II TEMA 8 Derivadas. Teoremas de las funciones derivables. Regla de L Hôpital
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- Mariano Macías Mora
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1 Aálisis Drivds Mtmátics II TEMA 8 Drivds Torms d ls fucios drivbls Rgl d L Hôpitl Drivd d u fució u puto Dfiició U fució f () s drivbl l puto f ( ) f ( ) si ist l límit: lím 0 Est límit s dot por f (), y ist cudo rsult u úmro rl fiito L drivd s l límit d u cocit d dos ctidds ifiitsimls El umrdor mid l vrició d l vribl dpdit (l f () ) cudo l vribl dpdit (l ) ps d El cocit mid l ts d vrició mdi d u vribl rspcto l otr Cudo s impo qu l vribl idpdit vrí u ctidd ifiitsiml (so idic qu 0), lo qu s stá clculdo s l ts d vrició isttá d l fució f () u puto dtrmido Esto s, qué l ps f () cudo vrí los lrddors d u puto Ejmplo: Dd l fució f ( ), su drivd l puto s f ( ) f () f () lím 0 Como f ( ) ( ) ( ) y f ( ), s tdrá: f () lím lím 0 0 ( ) lím lím( ) 0 0 Lugo, f ( ) (Est úmro idic qu l puto, l fució stá dcrcido l proporció : l rzó qu prs l rlció tr mbs vribls vl ) Itrprtció gométric d l drivd L drivd, f (), s u úmro qu d l vlor d l pdit d l rct tgt l curv f () l puto P (, f ( )) Esto s, l rct y m s ti qu m f () ; como dmás l rct ps por P (, f ( )), s obti qu l cució d dic rct tgt srá: y f ( ) f ( )( ) Obsrvcios: L tgt u curv u puto s l rct qu mjor proim l curv s puto cocrto L drivd idic lo qu vrirí l fució si s comportr lilmt (como l rct tgt) u toro d s puto L drivd, como l rct tgt, v cmbido sgú cmbi l puto d rfrci wwwmtmticsjmmmcom José Mrí Mrtíz Mdio
2 Aálisis Drivds El lctor tto rcordrá qu l pdit d u rct idic lo qu l rct umt (si s positiv) o dismiuy (si s gtiv) por cd icrmto uitrio d l vribl Ejmplo: L rct tgt l fució f ( ) l puto d bscis, srá: y f () f ()( ) Y como f ( ) y f ( ), s obti: y ( ) y 9 Drivbilidd, cotiuidd y drivds ltrls Pr qu u fució s drivbl u puto so prciss dos codicios: ) Qu l fució s cotiu dico puto ) Qu ls drivds ltrls ist y coicid s puto Drivds ltrls f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) Izquird: f ( ) lím Drc: f ( ) lím 0 0 L drivd, f (), ist cudo f ( ) f ( ) Gométricmt sigific qu l tgt l curv l puto (, f ( )) s l mism tto si s trz por l izquird como por l drc Ls drivds ltrls o coicid los putos gulosos, los picos d ls fucios Por tto, sos putos o ist l drivd Est codició s prticulrmt importt ls fucios dfiids trozos Pr ss fucios rsult obligdo studir ls drivds ltrls los putos d sprció d los distitos trozos Cotiuidd y drivbilidd L rlció tr drivbilidd y cotiuidd s l siguit: si f () s drivbl f () s cotiu Comprobr qu st rsultdo s cirto s rltivmt scillo, pus si f () s drivbl f ( ) f ( ), tocs ist lím 0 D l istci d s límit pud dducirs qu lím f ( ) f ( ) ; o lo qu s lo mismo, qu lím( f ( ) f ( ) ) 0 Pr llo, s c Por tto: lím, y s obsrv qu si, tocs 0; y l rvés ( f ( ) f ( ) ) lím( f ( ) f ( ) ) 0 ( f ( ) f ( ) ) lím 0 ( f ( ) f ( ) ) lím lím f ( ) 0 0 lím f ( ) f ( ) 0 0 E coscuci, si l fució s drivbl s dduc qu s cotiu El rcíproco o s cirto: si f () s cotiu f () s drivbl Pr comprobr st rsultdo bst co dr u cotrjmplo El más scillo s cosidrr l fució f ( ), qu s cotiu 0 pro o drivbl (El lctor itrsdo pud ittr dmostrrlo) wwwmtmticsjmmmcom José Mrí Mrtíz Mdio
3 Aálisis Drivds, ) L fució f ( ) s cotiu y drivbl 9 > l puto dod s u ls fucios trozos, Esto implic qu s pud psr d u fució otr si cmbios bruscos (Rcurd qu y 9 s l rct tgt f ( ) ), < 0 b) L fució f ( ) s cotiu 0, pro o 0 s drivbl s puto (E l puto 0, l fució c u cmbio brusco, ti u pico) Fució drivd L fució drivd d u fució f () s u uv fució qu soci cd úmro rl su drivd S dot por f () Su dfiició s l siguit: f ( ) f ( ) f ( ) lím 0 df ( ) dy Si y f (), s scrib y f ( ) Tmbié s frcut scribir f ( ) o y d d Drivd d lgus fucios Pr obtr l fució drivd d culquir fució covi sguir l procso siguit: ) Dd y f (), llr f ( ) ) Hllr y simplificr l difrci f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) ) Escribir y simplificr l cocit f ( ) f ( ) ) Rsolvr l límit f ( ) lím E l cálculo d st límit sul str l 0 dificultd myor Pr ls fucios usuls ist u sri d fórmuls qu d su fució drivd Más dlt s drá u brv tbl co ls más frcuts Aquí, pr qu s prci l método sguir (y quizás l dificultd d llo) s obtdrá ls dos más fácils: l d l fució potcil, f ( ) ; y l dl logritmo, f ( ) log ( ) Pro ts, u jmplo cocrto Ejmplo: L fució drivd d f ( ) pud obtrs sí: ) S clcul f ( ) : f ( ) ( ) ( ) ) S ll f ( ) f ( ) : f ( ) f ( ) ( ) wwwmtmticsjmmmcom José Mrí Mrtíz Mdio
4 Aálisis Drivds f ( ) f ( ) ) S form l cocit: ) S rsulv l límit: ( ) f ( ) lím lím lím( ) Por tto, l fució drivd d f ( ) s f ( ) Si or s ds llr l drivd culquir puto, bst co sustituir Así: f ( 0) 0 ; f ( ) ( ) 0 ; f ( ) ( ) Drivd d l fució y f ( ) ( ) ) f ( ) ( ) (Est prsió s obti! utilizdo l fórmul d l potci d u biomio) ( ) ) f ( ) f ( ) ( )! ( ) f ( ) f ( ) ( ) )!! f ( ) f ( ) ( ) ) f ( ) lím lím 0 0! Por tto, si: f ( ) f ( ) Est rgl s válid pr culquir vlor d, positivo, gtivo, frcciorio Ejmplo: ) Si f ( ) f ( ) b) Si f ( ) f ( ) c) Si f ( ) f ( ) f ( ) / d) Si f ( ) f ( ) f ( ) ( ) / Drivd d l fució f ( ) log ( ) ) f ( ) log ( ) ) f ( ) f ( ) log ( ) log ( ) log log f ( ) f ( ) ) log log Rcurd: log ( ) log wwwmtmticsjmmmcom José Mrí Mrtíz Mdio
5 Aálisis Drivds ) Pr dtrmir f () s trsformrá l prsió pr buscr u límit qu dé lugr l úmro Así: f ( ) f ( ) f ( ) lím lím log log lím log lím log lím log lím log lím log Como log z log, s ti qu l drivd d f ( ) log ( ) s f ( ) log Por tto, si: f ( ) log ( ) f ( ) log U cso prticulrmt importt s l d prio d Si f ( ) l f ( ) ) Si f ( ) log f ( ) log b) Si f ( ) log f ( ) log Obsrvció: Ls fucios drivds d otrs fucios usuls, como f ( ), f ( ) si, f ( ) rcsi s drá por dmostrds (El lctor itrsdo ls pud cotrr lguos libros d Mtmátics II d sgudo d Bcillrto) Rgls d drivció pr ls oprcios co fucios Cudo ls fucios o przc su form más simpl o cudo itrvg más d u fució s plicrá ls siguits propidds Drivd d u costt por u fució: F ( ) k f ( ) F ( ) k f ( ) k f ( ( ) ( ) ) ) Si y k c) Si y y k b) Si d) Si y y ( ) y 7 7 Drivd d u sum o difrci d fucios: F ( ) f ( ) ± ) F ( ) f ( ) ± ) f ( ) ± g ( ( ) ( ) ) 6 ) Si f ( ) y ) ( f ( ) ) ) b) Si y wwwmtmticsjmmmcom José Mrí Mrtíz Mdio
6 Aálisis Drivds 6 Drivd d u producto d fucios: F ( ) f g) ( ) f ( ) F ( ) f ( ) ) f ( ) ) f ( ) g ( ( ) ) ( ) ( ) ) Ejmplo: Si f ( ) y g ( ) ( f ( ) ) ) (8 ) ( ) ( ) ( 0 8 ) Si s multiplic ts ls dos fucios y s driv dspués, s obti: 6 f ( ) ) ( ) ( ) ( f ( ) ) ) Nturlmt, l rsultdo s l mismo Drivd d u cocit d fucios: f ( ) f ( ) F ( ) F( ) ) ) f ( ) ) f ( ) g ( ) ( )) ( ) Ejmplo: (6 ) ( ) ( ) Si y y y ( ) ( ) Drivd d l opust d u fució: F ( ) ( ) f f ( ) F( ) ( ) f ( ) f ( ) ( f ( )) Ejmplo: (6 ) Pr l fució f ( ) s tdrá: f ( ) ( ) Evidtmt, st fució tmbié s podrí drivr como u cocit Así: ( ) y 0 ( 6 ) ( 6 ) y ( ) ( ) 6 Drivd d l fució compust: ( ) f ( )) F ( ) f ( ) F ( ) ( ) f ( )) g ( ) Obsrvció: L dmostrció d sts propidds o s difícil A cotiució, y sólo como botó d mustr, s obti l fórmul d l drivd d u producto d fucios Dmostrció d l fórmul d l drivd d u producto d fucios Si F ( ) ( f g) ( ) f ( ) ), pr obtr su drivd pud crs lo qu sigu: Cocit icrmtl F( ) F( ) ( f g) ( ) ( f g) ( ) f ( ) ) f ( ) ) wwwmtmticsjmmmcom José Mrí Mrtíz Mdio
7 Aálisis Drivds 7 f ( ) ) f ( ) ) f ( ) ) f ( ) ) ( f ( ) f ( ) ) ) f ( ) ( ) ) ) f ( ) f ( ) ) ) ) f ( ) Psdo l límit s obti l drivd: f ( ) f ( ) ) ) F ( ) lím ) lím f ( ) 0 0 f ( ) f ( ) ) ) lím lím ) lím f ( ) lím f ( ) ) f ( ) g ( ) Por tto: ( F ( ) ) ( f ( ) ) ) f ( ) ) f ( ) g ( ) Fórmul d l fució drivd d ls fucios usuls Drivd d potcis y rícs So dos csos prticulrs d fucios compusts: y ( f ( ) ) y f ( ) Sus drivds so: y ( f ( ) ) f ( ) y ( f ( ) ) f ( ) y f ( ) ( f ( ) ) f ( ) El cso prticulr d l ríz cudrd s: y f () y f ( ) Obsrvció: Ls rícs pud cosidrrs como potcis d pot rciol Por tto, pr llr l drivd d u ríz pud utilizrs l fórmul d l drivd d u y / fució potcil Así, si f ( ) ( f ( ) ) / ( f ( ) ) f ( ) ) Si F( ) ( ) F ( ) ( ) (6 ) F F( ) ( ) / b) Si ( ) F ( ) / ( ) ( ) Drivd d ls fucios logrítmics Logritmo bs : f ( ) log f ( ) log f ( ) Pr l fució compust: y log f ( ) log f ( ) Logritmo prio: f ( ) l, co > 0 f ( ) f ( ) Pr l fució compust: y l f ( ) y f ( ) wwwmtmticsjmmmcom José Mrí Mrtíz Mdio
8 Aálisis Drivds 8 6 ) Si y lo ) log b) Si y l( ) 8 Drivd d ls fucios pocils Epocil d bs : f ( ) f ( ) l Pr l fució compust: f () f ( ) y, > 0 f ( ) l Epocil d bs : f ( ) f () Pr l fució compust: y f ( ) y f ( ) f ( ) ) y 0 y 0 l0 b) y ( ) l c) Si y (6 ) Potcil-pocil: Drivció logrítmic S plic cudo l vribl prc tto l bs como l pot d u potci: g ( F ( ) f ( ) ( ) ) El cso más scillo s F ( ) Pr llr su drivd s plic logritmos y dspués s driv Así: F ( ) l F( ) l l l F ( ) F( ) ( l ) ) F( ) F ( ) l Pr l cso grl l procdimito s l mismo Tomdo logritmos prios mbos g ( ) mimbros d l fució F ( ) ( f ( ) ), qud: g ( ) ( f ( ) ) l F ( ) l l F ( ) ) l f ( ) Drivdo mimbro mimbro s ti: F ( ) f ( ) g ( ) l f ( ) ) F( ) f ( ) Dspjdo: ) f ( ) F ( ) F( ) g ( ) l f ( ) f ( ) g ( ) g F ( ) f ( ) g ( ) l f ( ) ) f ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Obsrvció: ) Est técic d drivció, cosistt plicr logritmos y drivr dspués, rcib l ombr d drivció logrítmic ) Los logritmos pud plicrs tmbié pr simplificr los cálculos f wwwmtmticsjmmmcom José Mrí Mrtíz Mdio
9 Aálisis Drivds 9 ( ) ) Pr drivr l fució f ( ) ( ) s c lo siguit: ( ) ) S plic logritmos: l f ( ) l( ) l ( ) ( ) l( ) f ( ) 6 ) S driv mbos ldos d l iguldd: l( ) ( ) f ( ) 6 f ( ) f ( ) l ( ) 6 f ( ) l ( ) ( ) ( ) ( ) f b) Pr drivr l fució ( ) l( ) ) S plic l propidd dl logritmo d u potci ( A l A) f ( ) l( ) l( ) ) S driv: f s pud cr lo siguit: l Así s obti: 60 0 f ( ) c) E l cso d u cocit s más ficz Así, pr f ( ) l, s ti: f ( ) l l( ) l( ) l( ) l f ( ) 6 Drivd d ls fucios trigoométrics Ls rgls d drivció d ls fucios trigoométrics s obti plicdo ls fórmuls trigoométrics y ls propidds d l drivd d ls oprcios co fucios Fució so: f ( ) s f ( ) cos Pr l fució compust s ti: y s f ( ) y f ( )cos f ( ) ) f ( ) si b) ( ) cos f ( ) si si f ( ) si cos c) si f ( ) cos y Fució coso: f ( ) cos f ( ) s Est fórmul pud obtrs tido cut qu: π π f ( ) cos si f ( ) cos si Pr l fució compust: y cos f ( ) f ( ) s f ( ) wwwmtmticsjmmmcom José Mrí Mrtíz Mdio
10 Aálisis Drivds 0 Fució tgt: y t t cos Ests fórmuls pud obtrs tido cut qu: si f ( ) t (drivdo como u cocit) cos cos cos si ( si ) cos si f ( ) cos cos cos f ( ) Pr l fució compust: y tg f ( ) y cos f ( ) ) y cos ( ) y cos( ) si( ) ( ) b) y l cos ( si ) t cos c) y t( ) y t( ) ( t ( ) ) 7 Drivd d ls fucios trigoométrics ivrss L fórmul d l drivd d cd u d sts fucios pud obtrs prtir d su dfiició Aquí s rá sólo l dl rcoso Fució rcoso: f ( ) rcs Por dfiició: f ( ) rcs s f ( ) Drivdo mimbro mimbro s obti: ( cos f ( ) ) f ( ) f ( ) f ( ) cos f ( ) si f ( ) Por tto: f ( ) rcs f ( ) Pr l fució compust: y rcs f ( ) f ( ) ( f ( )) Fució rcocoso: f ( ) rccos f ( ) f ( ) Pr l fució compust: y rccos f ( ) ( f ( )) Fució rcotgt: f ( ) rctg f ( ) f ( ) Pr l fució compust: y rctg f ( ) ( f ( )) f ( ) ) y rcs ( ) ( ) wwwmtmticsjmmmcom José Mrí Mrtíz Mdio
11 Aálisis Drivds / b) y rcs c) y rccos( ) ( ) d) y rctg ( ) ( ) 8 Tbl d l drivd d ls fucios usuls Rsumido todo lo trior pud formrs l siguit tbl E ll: c,, y so úmros; dsig l vribl idpdit y o f rprst fucios d TABLA DE FUNCIONES DERIVADAS Fució simpl Drivd Fució compust Drivd y c y 0 y y y, R y y ( f ( )), ( f ( )) f ( ) y f ( ) y f () y f ( ) y, > 0 l f () y, > 0 f ( ) f ( ) l y y f () y f ( ) y f ( ) f ( ) y log log y log f ( ) log f ( ) y l f ( ) y l f ( ) y f ( ) y s cos y s f ( ) y f ( )cos f ( ) y cos s y cos f ( ) f ( ) s f ( ) y t t tf ( ) y f ( ) t f ( ) cos y rcs f ( ) y rcs f ( ) ( f ( )) y rccos f ( ) y rccos f ( ) ( f ( )) y rct f ( ) y rct f( ) ( f ( )) y ( ) 9 Drivds sucsivs A l fució drivd d f () s l llm drivd sgud; s scrib f () D mr álog s pud dfiir l drivd trcr: f (), qu s l drivd d l drivd sgud Y tmbié l drivd d ord : f ) ( ) ) A l drivd d ord s l llm drivd ésim; y s scrib f ( ) wwwmtmticsjmmmcom José Mrí Mrtíz Mdio
12 Aálisis Drivds f ( ) f ( ) L drivd sgud s f ( ) f ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( ) f ( ) f ( ) f ( ) ( ) ( ) L drivd sgud s: 6 ( ) ( ) ( ) 6 ( ) ( ) f ( ) 6 f ( ) ( ) ( ) ( ) 90 f ( ) ( ) ( ) ( ) (6 ) f ( ) 6 f f ( ) f ( ) ( ) ( ) / f / ( ) ( ) ( ) f 7 y 7 ( ) ) y ( ) l b) y 9 y 0, 0, ( ) l 0, ( ) 0 6 (6 ) 0 ) y l( ) b) y lo ) y 6 log y l( ( )( ) ) l( ) l( ) y si cos s cos ) y s y s cos b) y y y s cos tg cos s ( tg ) y cos ( ) y cos( ) si( ) ( ) 6 y l cos ( si ) t cos 7 y rcs ( ) ( ) ( ) 8 y rcs ( ) rccos( ) y 0 ( ) ( ) 9 y rctg ( ) ( ) wwwmtmticsjmmmcom José Mrí Mrtíz Mdio
13 Aálisis Drivds Id d difrcil d u fució Como s idicó triormt, l cució d l rct tgt l curv y f (), l puto P (, f ( )), vi dd por y f ( ) f ( )( ) Est rct, cuy pdit s f (), s l fució lil qu mjor proim f () u toro dl puto S llm difrcil d f () l puto l producto f ( ) d Esto s, dy df ( ) f ( ) d E grl, si y f () dy df ( ) f ( ) d ) Pr y dy ( 6 ) d b) Si y l dy d c) Si cost d si tdt Cutittivmt, l difrcil d l difrci d los vlors qu tom l rct tgt los putos y d ( grl, putos: y d) Gométricmt, l difrcil s l icrmto sobr l rct tgt, como pud vrs l triágulo PQR, d l figur djut: RQ dy t α f ( ) dy f ( ) d PQ d Prc vidt qu si d s u vlor pquño, tmbié srá pquño l vlor d dy, y más pquñ ú, l difrci tr l vlor sobr l curv f () y l vlor sobr l rct tgt (E l figur s idic s difrci co l ombr d rror) Esto prmit cocluir qu, u toro dl puto, l fució y f () y l rct tgt, y f ( ) f ( )( ), tom vlors proimdos: [ y f ()] [ y f ( ) f ( )( ) ] Esto s: f ( ) f ( ) f ( ), pr pquño Ejmplo: Pr llr l cució d l tgt l curv y l puto d bscis, s procd sí: y si, y(), y () / Lugo, l tgt s: y ( ) y Por tto, l puto, l fució y pud proimrs por l rct y Así, l ríz cudrd d,,,,,0 Obsrvció: Lo qu s c s utilizr u fució lil, fácil d mjr, pr clculr u ríz cudrd wwwmtmticsjmmmcom José Mrí Mrtíz Mdio
14 Aálisis Drivds 6 Drivció implícit U fució stá dfiid implícitmt cudo l vribl dpdit o stá dspjd Así, l prsió y 0, co < y > 0, dfi y como fució d d form implícit E st cso, pud dspjrs fácilmt, pus y 0 y y f ( ) Prs d st fució (putos d l curv) so, por jmplo, (, ), (, ) o ( 6, ) L prsió y y y 0 tmbié dfi y como fució d, pro difrci dl cso trior, o pud dspjrs y (Prs d st fució so, por j, (0, 0) o (, )) E l primr cso, l obtció d l drivd d y s muy fácil: f ( ) ( ) Tmbié podrí clculrs l drivd si csidd d dspjr, pus si y f (), l prsió y 0 ( f ( ) ) 0 Si s driv, mimbro mimbro, plicdo l rgl d l cd, s ti: ( f ( ) ) f ( ) 0 f ( ) f ( ) Normlmt o s sustituy y por f (), pudido drivr dirctmt sí: y 0 y 0 y Co sto, por jmplo, l drivd l puto (, ) vl y Aplicdo l mismo procdimito l prsió y y y 0, s ti: y y 0 y ( y y ) 0 y y y Lugo, l vlor d l drivd l puto (, ) srá: y Ejrcicio: Si y s u fució d, drivbl, qu vrific l cució 6y y 8 0, ll y por drivció implícit Comprub qu l puto (, ) prtc l gráfic d l cució y ll y s puto Drivdo dirctmt l prsió 6y y 8 0 s ti: y 6y 6 yy` 0 y ( y) ( y) y Obsrv qu l sumdo y 6y 6y 6y 6 s driv implícitmt como u producto: ( ) El puto (, ) s d l curv, pus L drivd s puto vldrá: y (, ) Est vlor d l pdit d l rct tgt l curv socid 6y y 8 0, 8 l puto (, ); sido l cució d s rct tgt: y ( ) wwwmtmticsjmmmcom José Mrí Mrtíz Mdio
15 Aálisis Drivds 7 Propidds d ls fucios drivbls Torms d Roll y dl vlor mdio 7 Torm dl máimo Torm d Roll S dic qu f () ti u máimo locl (o rltivo) u puto si f ( ) f ( ), pr todo d u toro d S dic qu f () ti u míimo locl (o rltivo) u puto si f ( ) f (, pr todo d u toro d ) Torm dl máimo S f () u fució dfiid u itrvlo birto (, b) Si s u máimo d f () dico itrvlo y si f ( ) ist, tocs f ( ) 0 El rcíproco dl torm o s cirto Esto s, qu l drivd s 0 o sgur qu l puto s máimo Tmbié bst co obsrvr l figur djut, l qu s dibuj l gráfic d f ( ) Pr st fució l drivd s ul 0 y, si mbrgo, s puto o y máimo i míimo Torm d Roll (Frcés, 6/79) Si f () s cotiu [, b] y drivbl (, b), y si f ( ) f ( b), tocs ist lgú puto c (, b) tl qu f ( c) 0 Gométricmt, l comprobció s vidt: ist u puto l mos d s itrvlo, l qu l tgt l curv s orizotl E s puto c s d l máimo o l míimo d f () s itrvlo ) L fució f ( ) vrific ls ipótsis dl torm d Roll l itrvlo [, ], pus: s cotiu y drivbl todo R; prticulr l itrvlo [, ] f ( ) y f ( ) Esto s, tom l mismo vlor los trmos dl itrvlo E coscuci, ist u puto c (, ) l qu su drivd vl 0: f ( ) 0 / El vlor c / s l qu sgur l torm: f ( / ) 0 b) L fució f ( ) o stisfc ls codicios dl torm d Roll l itrvlo [, ], pus o s drivbl l puto 0 d s itrvlo Por so, uqu tg máimo 0, o s cumpl qu f ( 0) 0 wwwmtmticsjmmmcom José Mrí Mrtíz Mdio
16 Aálisis Drivds 6 7 Torm dl vlor mdio d Lgrg (Itlio, 76/8) Si f () s cotiu [, b] y drivbl (, b), tocs ist lgú puto c (, b) tl f ( b) f ( ) qu f ( c) b Itrprtció gométric: ist u puto prtcit l itrvlo l qu l tgt f () s prll l sct qu ps por los putos d bscis y b D otro modo: ist u puto dl itrvlo l qu l ts d vrició isttá coicid co l ts d vrició mdi d todo l itrvlo Rcurd qu l ts d vrició mdi d u fució u itrvlo vi dd por l f ( b) f ( ) prsió: TVM[, b] b Itrprtció físic: si s rliz u trycto vlocidd mdi v, lgú istt d s trycto s llvdo s vlocidd v Ejmplo: L fució f ( ) 6 s cotiu y drivbl l itrvlo [, ] c, < c < f () f ( ) tl qu f ( c) ( ) E fcto: 6 6, ( ) El vlor qu cumpl l torm s, l úmro qu prtc (, ) U plicció Co ls misms ipótsis, si (, b), pud scribirs: f ( ) f ( ) f ( c) f ( ) f ( ) f ( c)( ), co c (, ) Y si s tom, s tdrá: f ( ) f ( ) f ( θ), 0 < θ <, c (, ) Cudo s suficitmt pquño, como s puso d mifisto l dfiir l difrci, pud cptrs l proimció f ( ) f ( ) f ( ) Ejmplo: Aplicdo lo trior pud drs u vlor proimdo d 0 Vés: Si s tom f ( ), pr 0, 00 y, s ti: f ( 0) f (00) f (00 θ) 0 00, pus f ( ) 00 θ Como f ( 00 θ) 0, 0, l vlor proimdo pdido srá: 00 θ ,0 0, 00 θ Nots: El vlor obtido co l clculdor s: 0 0,099 L proimció s muy bu Pud obsrvrs qu plicdo l difrcil (vés) s llg l mismo rsultdo wwwmtmticsjmmmcom José Mrí Mrtíz Mdio
17 Aálisis Drivds 7 7 Torm d Cucy (Frcés, 789/87) Si f () y g () so fucios cotius [, b] y drivbls (, b), y si b) ), y f () y g () o so cros l vz, tocs, ist u puto c (, b) tl qu f ( b) f ( ) f ( c) b) ) g ( c) Co ls misms ipótsis, si s tom < < b, istirá u puto c (, ) tl qu f ( ) f ( ) f ( c) [ f ( ) f ( ) ] g ( c) [ ) ) ] f ( c) ) ) g ( c) Ejmplo: Ls fucios f ( ) y g ( ) so cotius y drivbls todo R, prticulr l itrvlo [0, ] Pr llr l vlor c (0, ) qu cumpl l torm s f () f (0) f ( ) procd sí: ) 0) g ( ) ( ) Es s l vlor d c buscdo: c / 8 Aplicció l cálculo d límits Rgl d L Hôpitl (Frcés, 66/70) Idtrmicios: E l cálculo d límits pud prcr sit prsios (forms) idtrmids So: 0 0 [0 ] [ ] [ ] [0 0 ] [ 0 ] Hst or, cudo s prstb lgu d ss idtrmicios, s rsolví, si r posibl, mdit trsformcios lgbrics Sirv como rcordtorio l siguit jmplo: 0 ( ) lím 0 lím lím ( )( ) A prtir d or pud mplrs otro procdimito más ficz y qu, dmás, prmit studir u myor vridd d fucios Est procdimito s sirv d ls drivds y rcib l ombr d rgl d L Hôpitl 0 8 Rgl d L Hôpitl pr rsolvr l idtrmició 0 f ( ) 0 E l cso d qu lím ) 0 y d qu f () y g () s fucios drivbls u toro d, s cumpl: f ( ) Si lím f ( ) 0 y lím ) 0, sido ) 0 u toro d, si ist lím, g ( ) f ( ) f ( ) f ( ) tocs tmbié ist lím, y s cumpl qu: lím lím ) ) g ( ) (Esto s igulmt válido pr los límits ltrls o l ifiito: si,, o ) Esto s, l límit d u cocit dl tipo 0 s igul l límit dl cocit d ls drivds 0 wwwmtmticsjmmmcom José Mrí Mrtíz Mdio
18 Aálisis Drivds 8 si 0 si 0 cos ) lím 0 0 Aplicdo l rgl d L Hôpitl: lím 0 0 lím 0 si 0 cos si ERROR: lím (?) 0 0 lím OJO: NO s c l drivd dl 0 cocit b) L rgl tmbié s pud plicr fucios rciols Así, por jmplo, 0 lím ( L H ) lím 0 Obsrvció: L rgl d L Hôpitl pud ritrrs Así, l jmplo: cos 0 c) lím 0 0 (L H) si 0 cos lím ( L H ) lím Ifiitésimos Cudo lím f ( ) 0 s dic qu f () s u ifiitésimo l puto Por tto, l 0 idtrmició 0 s l cocit d dos ifiitésimos Surg cudo s plt u límit f ( ) lím f ( ) 0 como l siguit: lím ) lím ) 0 ; sto s, cudo f () y g () so ifiitésimos l puto Comprció d ifiitésimos Los ifiitésimos pud comprrs como sigu Si f () y g () so ifiitésimos l puto, tocs: f ( ) ) Si lím 0 s dic qu f () s u ifiitésimo d myor ord qu g () Esto ) sigific qu f () tid 0 myor vlocidd qu g () cudo O d otr mr más prcis: f () s ifiitmt más pquño qu g () cudo f ( ) ) Si lím s dic qu g () s u ifiitésimo d myor ord qu f () ) f ( ) ) Si lím l s dic qu f () y g () so ifiitésimos dl mismo ord ) f ( ) ) Si lím s dic qu f () y g () so ifiitésimos quivlts ) ) f ( ) y g ( ) ( ) so ifiitésimos 0 ( )( ) Como l lím lím lím ( ) 0 ( ) 0, s cocluy qu g () s u ifiitésimo d myor ord qu f () wwwmtmticsjmmmcom José Mrí Mrtíz Mdio
19 Aálisis Drivds 9 si b) E 0, los ifiitésimos f ( ) si y g ( ) so quivlts, pus lím 0 c) Ls fucios f ( ) y g ( ) cos( ) so ifiitésimos dl mismo ord 0 l puto, pus lím ( ) 0 L H lím / cos( ) si( ) 8 Rgl d L Hôpitl pr rsolvr l idtrmició f ( ) E l cso d qu lím ) l rgl pud formulrs como sigu: f ( ) f ( ) Si lím f () y lím ), si ist lím, tocs tmbié ist lím g ( ) ) f ( ) f ( ) cumpl qu lím lím ) g ( ) (Es igulmt válido pr los límits ltrls o l ifiito: si,, o ) y s ) lím l Aplicdo L Hôpitl: lím lím l / 0 b) lím ( L H ) lím lím 0 c) Tmbié s pud plicr pr fucios rciols: 6 lím ( ) ( ) L H lím 8 L H lím 8 Rsolució d ls forms [0 ] [ ] Pr rsolvr ls idtrmicios dl tipo [0 ] [ ] y qu trsformrls, 0 oprdo prvimt, lgu d ls forms o 0 Si s propósito s cosigu, tocs s plic l rgl d L Hôpitl lím ( cos )cot ) ( ) [ 0 ] 0 (Rcurd qu cot 0 /t 0 /0 ) Sustituydo cot por /t s ti: cos 0 si lím ( cos )cot 0 lím ( ) 0 0 t 0 L H lím 0 t ( ) [ ] wwwmtmticsjmmmcom José Mrí Mrtíz Mdio
20 Aálisis Drivds 0 b) lím [ ] Hcido l rst idicd s ti: lím 0 lím 0 ( ) 0 (L H) lím 0 0 (L H) lím 0 8 Rsolució d ls forms [ ], [0 0 ] y [ 0 ] Si l ittr clculr f () lím f ( ) lím prc lgu d sts forms (sto s: lím f () [ ] 0 0 [ 0 ], o lím f ( ) [ ]) s clculrá, si s pud, l límit lím( l( f ( ) )) Co sto, l idtrmició iicil s trsform otr dl tipo [0 ], qu s rsolvrá como s idicdo ts L lím l f ( ), s ti qu l límit buscdo vl lím f ( ) U vz rsulto, si ( ( )) L Rcurd: ) Los límits cumpl l siguit propidd: lím l[ f ( ) ] l lím f ( ) ) Por dfiició: l A L A L l ( B p ) p lb ; y tmbié: ) lím [ ] Aplicdo logritmos: lím l lím l [ 0 ] l / (trsformdo) 0 lím 0 (L H) lím / lím Por tto, lím (Est rsultdo sul tomrs como dfiició d ) 0 b) [ 0 ] lím Aplicdo logritmos: lím l lím l [ 0 ( ) ] l / (trsformdo) lím ( ) ( ) 0 0 / L H lím lím 0 / 0 0 Por tto, lím 0 c) ( ) / l 0 lím [ ] Aplicdo logritmos: / l l ( ) ( ) ( ) lím l lím l lím l /( ) lím lím / / l lím Por tto, ( ) (L H) l (L H) lím, o wwwmtmticsjmmmcom José Mrí Mrtíz Mdio
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