SEMANA 13. CLASE 14. MARTES 20/09/16

Transcripción

1 SEMAA 3. CLASE. MARTES 20/09/6. Defncones de nterés.. Estadístca descrptva. Es la parte de la Estadístca que se encarga de reunr nformacón cuanttatva concernente a ndvduos, grupos, seres de hechos, etc..2. Muestra aleatora. Grupo de resultados que se obtenen al repetr varas veces un expermento aleatoro, bajo las msmas condcones..3. Clase. Es cada uno de los ntervalos que se consguen al realzar una partcón dentro del conjunto de los números reales. 2. Ejemplo lustratvo para datos agrupados por valor. Tabla de dstrbucón de frecuencas de la nota obtenda en un examen de Cálculo Clase Dato (x) f F h H Ejemplo lustratvo para datos agrupados por ntervalos. Tabla de dstrbucón de frecuencas del pago en mles de bolívares (MBs.) del uso del servco telefónco (x) efectuado por los usuaros en un año Clase Inco Fn Marca de clase (x) f F h H Meddas de tendenca central.. Meda de una muestra... otacón. M..2. Defncón. Promedo de los valores de la muestra. José Lus Quntero

2 ..3. Fórmula y ejemplo para datos agrupados por valor otacón x = dato que pertenece a la clase f = frecuenca del dato que pertenece a la clase n = número de clases = tamaño de la muestra n M = xf Ejemplo de las calfcacones obtendas M = = = Fórmula y ejemplo para datos agrupados por ntervalos otacón x = marca de clase que pertenece a la clase = f = frecuenca de la clase n = número de clases = tamaño de la muestra n M = xf Usando la expresón anteror se tendrá entonces una estmacón de la meda de la muestra para datos agrupados por ntervalos o uso de clases contnuas. Ejemplo del pago del uso del servco telefónco anual M = = = Medana de una muestra.2.. otacón. Me.2.2. Defncón. Valor que ocupa la poscón ntermeda de la muestra ya ordenada prevamente Fórmula y ejemplo para datos agrupados por valor otacón x = dato que ocupa la poscón después de estar ordenada la muestra = tamaño de la muestra + x = sesmpar 2 Me = x + x+ = sespar 2 2 Ejemplo de las calfcacones obtendas = 2 es par, por lo tanto = 2 y x2 + x Me = = = = José Lus Quntero 2

3 .2.. Fórmula y ejemplo para datos agrupados por ntervalos En prmer lugar se dentfca la clase donde se encuentra el dato que ocupa la poscón /2. Esta clase es denomnada clase medanal. Una vez ubcada la clase se procede a estmar la medana de la muestra usando la expresón F 2 Me = LI + (LS LI) f otacón LI = Límte nferor de la clase (clase medanal) LS = Límte superor de la clase (clase medanal) F = Frecuenca absoluta acumulada de la clase anteror a la clase medanal f = Frecuenca absoluta de la clase medanal Ejemplo del pago del uso del servco telefónco anual = 50 por lo tanto /2 = 25 y la clase medanal dentfcada es la clase Calculando ahora la estmacón para la medana se tene Me =.56 + ( ) =.56 + (0.032) = Moda de una muestra.3.. otacón. Mo.3.2. Defncón. Es el valor del dato que ocurre con más frecuenca Fórmula y ejemplo para datos agrupados por valor Ejemplo de las calfcacones obtendas El dato de mayor frecuenca (gual a 5) es.2, por lo tanto la moda de la muestra es Fórmula y ejemplo para datos agrupados por ntervalos En prmer lugar se dentfca la clase con mayor frecuenca. Esta clase es denomnada clase modal. Esta clase pudera no ser únca, y ese caso se estará en presenca de una muestra con dstrbucón de frecuenca multmodal. Una vez ubcada la clase se procede a estmar la moda de la muestra usando la expresón d Mo = LI + (LS LI) d + d 2 otacón LI = Límte nferor de la clase (clase modal) LS = Límte superor de la clase (clase modal) d = f f = Dferenca de la frecuenca de la clase modal y la frecuenca de la clase premodal d = f f + = Dferenca de la frecuenca de la clase modal y la frecuenca de la 2 clase postmodal Ejemplo del pago del uso del servco telefónco anual La clase modal dentfcada es la clase 3. Las clases premodal y postmodal serán respectvamente las clases 2 y. Calculando ahora la estmacón para la moda se tene d 5 Mo = LI + (LS LI) = ( ).55 d + d José Lus Quntero 3

4 5. Percentles 5.. otacón. P 5.2. Defncón. El -ésmo percentl de una muestra aleatora se defne como el valor que ocupa una poscón tal en la muestra ordenada que aproxmadamente el % de los datos es menor o gual que él Fórmula y ejemplo para datos agrupados por valor El percentl -ésmo (P) será gual a x m +, es decr P = x m +, sempre y cuando se verfque que m < m +, con m Ejemplo de las calfcacones obtendas Se desean encontrar los percentles 25, 30 y 75, es decr P 25, P 30 y P 75 respectvamente. Para P 25 Para P 30 Para P m < 2 m + m < 6 m + m = 5 P = x = m < 2 m + m < 7.2 m + m = 7 P30 = x8 = m < 2 m + m < 8 m + m = 7 P75 = x8 = Fórmula y ejemplo para datos agrupados por ntervalos El percentl -ésmo (P) será gual a x m +, es decr P = x m +, sempre y cuando se verfque que m < m +, con m. En prmer lugar se dentfca la clase j donde está el dato que ocupa la poscón encontrada anterormente. Una vez ubcada la clase se procede a estmar el percentl - ésmo de la muestra usando la expresón F j = j + j j fj P LI (LS LI) La fórmula utlzada para la estmacón del percentl se obtene tambén por nterpolacón lneal, con el msmo basamento empleado para la fórmula de estmacón de la medana dscutdo anterormente. Ejemplo del pago del uso del servco telefónco anual Se desean encontrar los percentles 25, 30 y 75, es decr P 25, P 30 y P 75 respectvamente. Para P m < 50 m + m < 2.5 m + m = 2 P25 = x3 La clase donde se encuentra P 25 es la clase 3. Calculando ahora la estmacón para P 25 se tene P25 = ( ) = (0.032) = José Lus Quntero

5 Para P m < 50 m + m < 5 m + m = P30 = x5 La clase donde se encuentra P 30 es la clase 3. Calculando ahora la estmacón para P 30 se tene P30 = ( ) = (0.032) = Para P m < 50 m + m < 37.5 m + m = 37 P75 = x38 La clase donde se encuentra P 75 es la clase 5. Calculando ahora la estmacón para P 75 se tene P75 = ( ) = (0.032) = Consderacones acerca de las meddas de localzacón El percentl -ésmo tambén es llamado medda de localzacón La medana es consderada como el percentl 50 es decr P 50 = Me El cuartl -ésmo (Q ) es una medda de localzacón tal que Q = P25, Q2 = P50, Q3 = P75, Q = P El decl -ésmo (D) es una medda de localzacón tal que D P 0,..., D9 P 90, = D0 = P = 2 = 20 D P, 6. Intervalo ntercuartl 6.. otacón. I Q 6.2. Defncón. Es el ntervalo de la muestra que resulta al consderar solamente aquellos datos que están entre el prmer cuartl y el tercero Fórmula y ejemplo para datos agrupados por valor Intervalo ntercuartl de la muestra. I Q = Q 3 Q Ejemplo de las calfcacones obtendas I Q = Q 3 Q = = Fórmula y ejemplo para datos agrupados por ntervalos Intervalo ntercuartl de la muestra. I Q = Q 3 Q Ejemplo del pago del uso del servco telefónco anual I = Q Q = = Q 3 José Lus Quntero 5

6 SEMAA 3. CLASE 5. MIÉRCOLES 2/09/6 7. Varanza y desvacón estándar de una muestra otacón. S (Varanza) S (Desvacón estándar) 7.2. Defncón (Varanza). Promedo artmétco de los cuadrados de las dferencas de cada valor en la muestra y la meda de la muestra Defncón (Desvacón estándar). Raíz cuadrada postva del promedo artmétco de los cuadrados de las dferencas de cada valor en la muestra y la meda de la muestra. 7.. Fórmula y ejemplo para datos agrupados por valor n S = f(x M), S = + S = Otra fórmula para su cálculo n n n S = f(x M) = f(x 2xM + M) = (fx 2fxM + fm) = = = n n n n fx fxm fm fx 2M M M M = = = = n n Sc = f(x M) =. f(x M) =.S = = 2 = + = + = Ejemplo de las calfcacones obtendas n = 7, = 2, M =.558 Prmera forma para su cálculo S = ( ) + ( ) ( ) + (6.558) = = Segunda forma para su cálculo S = (2.8) + (3.2) (5.6) + (6) (.558) = (.558) = S = + S Fórmula y ejemplo para datos agrupados por ntervalos Ejemplo del pago del uso del servco telefónco anual n = 7, = 50, M = Prmera forma de cálculo S = ( ) ( )... ( ) = Segunda forma de cálculo S = M M = (.56868) = S = + S = José Lus Quntero 6

7 8. Dagrama de caja y bgotes 8.. Defncón. Un dagrama de caja y bgotes busca representar los tres cuartles y los valores mínmo y máxmo de la muestra con la fnaldad de defnr la ubcacón de algunos valores de la muestra que no tenen un comportamento típco o esperado y perfectamente podrían deberse a errores en la recoleccón y manpulacón de la muestra Fgura lustratva. Fgura. Dagrama de caja y bgotes 8.3. Ejemplo lustratvo. Suponga que de una muestra dada se tene la sguente nformacón Q = 9.586, Q = 0.825, Q = Construya el dagrama de caja y bgotes correspondente. Solucón. Cálculo del rango ntercuartl I Q = Q 3 Q = = Cálculo de la dstanca.5iq = =.293 Cálculo de los límtes nferor y superor de los bgotes Límte nferor a = L = Q.5IQ = = Límte superor d = Ls = Q3 +.5IQ = =.7 José Lus Quntero 7

8 9. Problemas resueltos. PROBLEMA. Halle la dstrbucón de frecuencas de 60 datos agrupados en 6 clases de gual ampltud. Se dspone de la sguente nformacón acerca de esa dstrbucón de frecuencas Me = 26 El 20% de los datos es superor a 38 H3 = 0.3 h3 = 0. F 8 SOLUCIÓ. f h = 0. = 0. f = 6. F H = 0.3 = 0.3 F = 8. = f = f5 = f 2 6 F3 = F2 + f3 = 8 F2 + 6 = 8 F2 = 2. F = F3 + f = f = 8 f = 30. Clase medanal clase F Me = LI + (LS LI ) 26 = LI + (LS LI ) 26 = LI + 0.(LS LI ) f m < 60 m + m = 7 P = x = 38 P F 60 8 P LI (LS LI ) 38 LI (LS LI ) = + = + f = LI + (LS LI ) LI + 0.(LS LI ) = LI + 0.LS = 26 LI = 8 LI + (LS LI ) = 38 LS = 38 LS = 38 f + f + f + f + f + f = 60 f + f f + f = 60 f + f f + f = f + f + f + f = 2 f + f = 2 f + F f = f + F = 2 3f = 2 f = f = f = Fnalmente f + f 2 = F 2 f 2 = F 2 f = 2 = 8. Dstrbucón de frecuencas de los datos Clase Inco Fn Marca f F h H /60 / /60 2/ /60 8/ /60 8/ /60 52/ /60 PROBLEMA 2. Para estudar la cantdad de errores ortográfcos cometdos por un conjunto de 60 estudantes al tomar un dctado, se organzaron los datos en una tabla de dstrbucón de frecuencas de ses clases de gual ampltud. De dcha dstrbucón solo se conoce la sguente nformacón a. en la cuarta clase se tene el doble de datos que en la sexta clase b. las clases uno y cnco tenen gual número de datos c. la clase tres tene la mayor cantdad de datos gual a 25 d. la medana de los datos es gual a 0.2 e. el extremo nferor de la clase 6 es 20 f. por encma de la clase tres hay 9 datos g. el número de datos de la clase dos trplca al número de datos de la clase uno Construya la dstrbucón de frecuencas para esos datos. José Lus Quntero 8

9 SOLUCIÓ. Informacón sumnstrada f = 2f, f = f, f = 25, f + f + f = 9, f = 3f, LI = 20 Se sabe que Por lo tanto Por otro lado f + f2 + f3 + f + f5 + f6 = 60 f + 3f = 60 f = 6 f = Hasta ahora se tene la sguente nformacón f2 = 2, f5 =. f + f5 + f6 = 9 3f6 + = 9 f6 = 5 f = 0 Clase Inco Fn f F h H a a + d /60 /60 2 a + d a + 2d 2 6 2/60 6/60 3 a + 2d a + 3d 25 25/60 /60 a + 3d a + d 0 5 0/60 5/60 5 a + d /60 55/ a + 6d /60 Informacón sumnstrada medana = 0.2 Clase medanal 3. Entonces F 30 6 medana = LI + (LS LI) = a + 2d + d = 0.2 f 25 Por otro lado se tene que a + 5d = a + d = a + 6d = Construyendo y resolvendo el sstema se obtene 25a + 6d = 256 a = 0,d = a + 5d = 20 Fnalmente la tabla de dstrbucón de frecuencas de los datos se muestra a contnuacón Clase Inco Fn f F h H 0 /60 / /60 6/ /60 / /60 5/ /60 55/ /60 José Lus Quntero 9