Medidas de tendencia central Media (x) 696 Aritmética Und. 10 Estadística. x = x = 160,7 cm

Transcripción

1 La altura promedo de ellos es: = = 160,7 cm A daro compramos productos e cuyos evases está dcado el peso o el volume. Por ejemplo: Arroz 750 g, café 350 g, gaseosa 500 ml. Estas meddas so eactas? Las máquas que evasa estos productos, so cofables? Para respoder estas pregutas se utlza las meddas de dspersó que os dca los veles de desvacó de las meddas o valores respecto de los esperados Meddas de tedeca cetral Ua medda de tedeca cetral, llamada també medda de poscó, es u valor que se calcula para u grupo de datos que se utlza para descrbr, de algua maera, su promdad a u valor de refereca, llamado valor cetral, costtuyédose e u represetate de estos. Para determar ua medda de tedeca cetral se aplca algua clase de promedo, que e adelate se etederá como ua medda de tedeca cetral. E este teto daremos a coocer tres meddas de tedeca cetral: meda, medaa y moda. 10..C. Para datos agrupados Decmos que los datos de ua varable estadístca está agrupados s cada uo de ellos se muestra e ua tabla de frecuecas dcádose la frecueca co que se repte. Sea 1 ; ; 3 ;... ; los valores de ua varable y f 1 ; f ; f 3 ;... ; f sus respectvas frecuecas, etoces la meda de estos valores vee dada por la sguete relacó: f veces f veces f veces 1 ( ) + (... ) (... ) = f +f +f f f1 f f3... f f 1 f f f f f Ejemplo.- Dada la sguete tabla de frecuecas, determar la edad meda de u grupo de alumos de secudara: Edades ( ) Frecueca Absoluta ( ) f 10.. Meda () 10..A. Defcó La meda, llamada també promedo artmétco, deotado como, es ua medda de tedeca cetral cuyo valor es el promedo de u cojuto de valores y que se determa sumado todos los valores de la muestra dvddo etre el úmero de ellos. Cuado aalzamos u cojuto de datos, y co fes descrptvos, podemos supoer que todos los valores de la muestra so guales a su meda. 10..B. Para datos o agrupados Sea: 1 ; ; 3 ;... ; los valores de ua varable, etoces su meda está dada por: Ejemplo.- Las sguetes so las alturas de u cojuto de alumos: {164 ; 169 ; 154 ; 158 ; 160 ; 156} cm Por tratarse de datos agrupados aplcamos la fórmula correspodete para el promedo poderado: = =13,74 años 34 S los valores de ua varable vee dados e ua tabla de frecuecas medate clases que está dcadas por tervalos umércos etoces se procede así: 1ro. Se calcula las marcas de clase (m ) de cada tervalo. do. Se aplca la fórmula del promedo de datos agrupados. m1 f1 m f... m m f f f f f... f 1 3 Obsérvese que e este caso las marcas de clase represeta los promedos de la clase correspodete. 696 Artmétca Ud. 10 Estadístca 697

2 De este modo la meda de datos agrupados cluye más de u promedo. Asmsmo la epresó f es la frecueca total que cocde co el tamaño de la muestra. Ejemplo.- Dada la sguete tabla de frecuecas para las alturas de los alumos de u aula del cetro pre, determemos la altura meda de estos: Altura e cm Marca de Altura e cm ( f ) clase ( m ) Por tratarse de datos agrupados aplcamos la fórmula del promedo poderado: =166,8 cm 30 A modo de descrpcó podemos decr que, segú el cuadro de la zquerda, hay 5 alumos de la 1ra clase cuya altura está compredda etre 158 y 16 cm. La marca de clase correspodete es m 1 = ( )/ = 160 cm. Este valor se terpreta como s se tratara de 5 alumos de la 1ra clase cuya altura promedo es de 160 cm. Esta terpretacó també es válda para las demás clases. 11..D. Propedades D1. De las muestras guales S los valores de la muestra so todos guales se cumple que la meda es gual a ellos. D. De las desvacoes S: a a S defmos la desvacó de u valor respecto de la meda como la dfereca ( - ), se cumplrá que la suma de todas las desvacoes es gual a cero. ( - )=0 Ejemplo.- Sea los valores de ua muestra: 8; 3; 5; 1; 10. Calculemos su meda: ,6 5 A cotuacó calculamos todas las desvacoes: 8-7,6 = +0,6; 3-7,6 = -4,6; 5-7,6 = -,6; 1-7,6 = +4,4; 10-7,6 = +,4. Luego: (+0,6) +(-4,6) +(-,6) +(+4,4) +(+,4)= Medaa ( m ) 10..3A. Defcó La medaa, deotada como m, es el valor que dvde al total de las observacoes, ordeados e forma ascedete o descedete, e dos grupos de gual tamaño. La medaa es u dato estadístco que permte recoocer el valor localzado al cetro de todo u grupo de datos prevamete ordeados. A dfereca de la meda, el valor de la medaa o guarda relacó co los valores de la muestra, es decr, o es gual está cerca, ecesaramete, de los valores etremos del valor medo B. Para datos o agrupados Luego de ordeados los datos, ascedete o descedetemete, se detfca: ) m = Valor cetral, s el úmero de datos es mpar. S el úmero de datos es mpar la medaa es el valor ubcado al cetro del cojuto de datos. ) m = Semsuma de los dos valores cetrales, s el úmero de datos es par. S el úmero de datos es par la medaa vee dada por el promedo de los dos valores cetrales. Ejemplo 1.- Idetfcar la medaa del sguete cojuto de valores: 5 ; 1 ; 14 ; 6 ; 9 ; ; 11 E prmer lugar ordeamos los datos e forma ascedete: ; 5 ; 6 ; 9 ; 11; 1 ; 14 3datos E este cojuto hay sete datos, y sedo mpar el úmero de estos, coclumos que el valor cetral es: m = 9 3datos Ejemplo.- Idetfcar la medaa de los sguetes valores: 9; 5 ; 4 ; 8 ; 3 ; 10 Ordeados estos úmeros e forma crecete recoocemos que hay ses datos y que so dos los valores cetrales: 5 y 8. Luego la medaa es: 5 8 m = 6, C. Para datos agrupados valores cetrales S los datos se puede agrupar e clases, se defe la clase medaa como aquella cuya frecueca absoluta acumulada guala o ecede a la mtad del total de datos y cuyo valor se obtee medate: - F m-1 m Lm W m fm 698 Artmétca Ud. 10 Estadístca 699

3 Dode: L m : Límte feror de la clase medaa. W m : Acho de clase de la clase medaa. F m - 1 : Frecueca absoluta acumulada de la clase que precede a la clase medaa. : Número total de datos. f m : Frecueca absoluta de la clase medaa. Ejemplo.- Determar la medaa de la varable cuya tabla de frecuecas es la que se muestra: Itervalo f Itervalo f F Ejemplo.- Idetfquemos la moda de los sguetes cojutos de valores: ) 3 ; 4 ; 4 ; 5 ; 7 ; 4 ; 5 ; 6 ; 6 ; 9 ; 4 Idetfcamos y marcamos el valor que más se repte: 3 ; 4 ; 4 ; 5 ; 7 ; 4 ; 5 ; 6 ; 6 ; 9 ; 4 ) ; 3 ; 5 ; 8 ; 9 ; 10 ; 11 ; 16 ; 0 M o = 4 E este cojuto o se detfca gú valor que se repta, por lo tato dremos que e este caso o este moda. ) ; 3 ; 4 ; 4 ; 4 ; 5 ; 5 ; 8 ; 8 ; 8 ; 9 ; 13 Idetfcamos los valores que más se repte: ; 3 ; 4 ; 4 ; 4 ; 5 ; 5 ; 8 ; 8 ; 8 ; 9 ; 13 Luego de calcular los valores de la frecueca acumulada (F ) establecemos que los datos so 50 y la mtad de ellos es 5. De aquí deducmos que la clase medaa correspode al valor F medato superor, esto es F m = 36, que se dca co líeas de trazos. A cotuacó recoocemos que: L m = 4 ; W m = ; F m-1 = 4 ; = 50 ; f m = 1. Luego la medaa la obteemos aplcado la fórmula dada: Moda (M o ) 10..4A. Defcó m = m = 4,17 La moda, deotada como M o, es el valor de la varable que se preseta co mayor frecueca e u grupo de datos. Para determar la moda de u grupo de datos o se requere ordear agrupar, so detfcarlos por su abudaca o repetcó. A ua dstrbucó que tee ua sola moda se le deoma umodal. Observamos que este dos grupos de valores que se repte e gual catdad, luego el cojuto de úmeros tee dos modas 4 y 8, y se llama bmodal B. Para datos agrupados M o = 4 y 8 S agrupamos los datos e tervalos de gual acho de clase se tee que la clase modal es aquella que posee la mayor catdad de datos y el valor de la moda M o se obtee medate: Dode: L o : Límte feror de la clase modal. W : Acho de la clase modal. 1 M o =L o+ W d d1 d d 1 : Dfereca etre la frecueca de la clase modal y la frecueca de la clase precedete. d : Dfereca etre la frecueca de la clase modal y la frecueca de la clase sguete. Ejemplo.- Determar la moda de los datos de la tabla de frecuecas del ejemplo ateror. Itervalo f S hubese más de dos valores co frecuecas mámas comues o smlares, la dstrbucó es multmodal: bmodal, trmodal, etc. E caso que guo se repta se dce que o este moda y la dstrbucó es amodal B. Para datos o agrupados Cuado los datos o está agrupados sólo se aplca la defcó de moda. 700 Artmétca Ud. 10 Estadístca 701

4 E prmer lugar detfcamos la clase co mayor catdad de datos (f ), llamada clase modal, que hemos resaltado co ua líea de trazos. A cotuacó recoocemos los elemetos que permte calcular el valor de la moda: L o = ; W o = ; d 1 = 15-9 = 6 ; d = 15-1 = 3 6 M o = Meddas de dspersó M o = 3,33 Se llama meddas de dspersó a aquellas meddas de dstrbucó de frecuecas que permte determar la dstaca de los valores de la varable co relacó a u certo valor cetral, o que permte detfcar la cocetracó de los datos e u certo sector del recorrdo de la varable Varaza (S ) Luego la varaza será: S () = 500,8/5 = 1040,16 Recuérdese que la meda de los valores dados se costtuye e el valor de refereca para establecer el vel de desvacó de todos los valores dados C. Para datos agrupados Cosderado a 1 ; ; 3 ;... ; las marcas de clase de cada uo de los tervalos de la dstrbucó y f 1 ; f ; f 3 ;... ; f sus respectvas frecuecas, se tee: S ( ) 1 1 ( - ) f Ejemplo.- A partr de los datos de la tabla, se pde determar su varaza. f 10..6A. Defcó Es la medda de dspersó de u cojuto de valores que epresa el grado de separacó de los datos respecto de la meda y se defe como el promedo de los cuadrados de las desvacoes de los datos respecto a la meda. Recordemos que la desvacó de u valor respecto de la meda está defda por la dfereca ( - ) B. Para datos o agrupados Dados los úmeros 1 ; ; 3 ;... ; cuya meda es, se tee: S 1 ( ) dode es u valor de la varable, es su correspodete meda y es el úmero de datos. Ejemplo.- Empleado los datos del ejemplo (a) ateror calcularemos la varaza S () : 1 ( - ) La meda de estos datos se ha calculado así: = 5 f = f A cotuacó calculamos la varaza aplcado: S () = ( - ) f 1 f = 318,47 50 = 4,48 S () = 6, Desvacó estádar o típca (S, s) 10..7A. Defcó Se defe como la raíz cuadrada de la varaza. S( ) S ( ) 70 Artmétca Ud. 10 Estadístca 703

5 S el valor de la varaza es el promedo de los cuadrados de las dspersoes de u cojuto de datos, el valor de la desvacó estádar es ua buea apromacó al promedo de todas las desvacoes. El valor de la desvacó estádar es sempre u úmero postvo y se puede terpretar como la dstaca promedo S() de todos los valores e relacó a la meda ( ). E el dagrama m y M represeta, respectvamete, los valores mímo y mámo de los datos, R es el rago, es la meda, S() es la desvacó típca y por últmo, k y j so los dos valores etre los que se ubca la mayoría de los datos de la poblacó y que se determa así: k = - S() y j = + S() Ejemplo.- Del ejemplo ateror se pde calcular la desvacó estádar. Sabemos que la varaza es: S () = 6,37 Luego la desvacó será: S () = 6,37 S () =,5 Esto sgfca que la mayoría de los valores está compreddos etre: k = 4,48 -,5 = 1,96 y j = 4,48 +,5 = 7, lo cual es certo s observas la tabla de frecuecas de arrba B. Propedades B1. De la varacó de los datos S cada uo de los valores de la varable epermeta u msmo cambo, sea para aumetar o para dsmur, se cumplrá que el valor de la varaza y de la desvacó típca o se altera respecto de su valor cal. E efecto, sabemos que al aumetar o dsmur los valores de la varable e ua msma catdad etoces la meda també aumeta o dsmuye e la msma catdad. Luego, es prevsble que la dfereca - se matega costate e dcho proceso. B. De la multplcacó de los datos S cada uo de los valores de la varable se multplca por u factor o ulo, se cumplrá que el valor de la varaza queda multplcado por el cuadrado de dcho factor y la desvacó típca queda multplcado por el factor. E efecto, al multplcar los valores de la varable por u factor o ulo «k» la meda també se multplca por el msmo factor. Luego, es prevsble que la dfereca - quede multplcada por el msmo factor. ' f f f f f k k f k f f S S k k S ( ) ( ) ( ) 01.- Determe la moda y la medaa de los sguetes datos referdos a la ecuesta «tu color preferdo», sedo: rojo = R; azul = A; verde = V Moda:... Medaa: Determe la meda artmétca de cada uo de los sguetes cojutos. a. A = {1; 14; 15; 17; 19; 0; } b. B = {14; 14; 14; 14; 14; 14; 14} c. C = {17; 17; 15; 15; 15; 14; 13; 1} d. D = {9; 9; 9; 9; 9; 11; 13; 15} e. E = {16; 16; 16; 18; 14; 14; 18; 18} 03.- Los gastos e soles de u jove uverstaro durate los últmos 10 días fuero: a. Elabora la tabla de frecuecas b. Calcula el promedo poderado de los gastos Oscar ha cursado cuatro materas e su últmo cclo de uversdad. Los crteros y otas al fal del semestre so los sguetes: Curso Crédtos Nota Cuál es el promedo poderado de Oscar? 05.- Los sguetes datos represeta las veces por año que Carltos fue al médco durate los últmos ueve años. a. Cuál es la meda? 3; ; 8; 4; ; 9; 7; 4;... b. Cuál es la medaa? E el gráfco de frecuecas absolutas se pre-seta la dstrbucó de pesos de u colego. Dode: N = úmero de alumos; Ahora respode: P = peso e kg del alumo a. Cuátos alumos pesa más de 60 kg? Artmétca Ud. 10 Estadístca 705

6 b. Cuál es la meda artmétca de los pesos?. Itervalos f c. Cuátos alumos partcpara e la muestra?. Prob. 01 (UNI 01 - I) Prob. 0 (UNALM 06 - I) Las otas de u eame de Apttud Académca está dstrbudas e el sguete hstograma de frecuecas: E el sguete arreglo crecete de úmeros eteros: ; ; 3; 3; a; 5; b; b; b. Respode: a. Cuál es la clase modal? Calcular la suma de la medaa y la moda, s se sabe que su meda es 4,7. A) 10 B) 1 C) 14 D) 8 E) De la sguete tabla de frecuecas, se sabe que: Edad f h b. A qué tervalo de clase perteece la medaa? 09.- E u saló de clases se recoplaro las otas del curso de lógca matemátca. Nota Frecueca Determa: a. La meda. Cuál es la ota promedo del eame? A) 10,1 B) 11,08 C) 1,0 D) 13,1 E) 14,06 De acuerdo a las codcoes del problema trasladamos los datos a ua tabla de frecuecas Por tratarse de 9 datos, que es u úmero mpar, dvdmos e dos grupos e detfcamos a la medaa m : ;;3;3 ; a ; 5; b; b; b 4 m 4 ) La medaa es el térmo cetral, es decr, m = a. Puesto que los datos so úmeros eteros y está ordeados se debe cumplr que: 3 < a < 5 a = 4 m = 4 b. La medaa. I f f ) Aplcado la fórmula de la meda: La moda es 30 y la frecueca es 15. Ahora respode: a. Cuátas persoas e total fuero ecuestadas? b. Cuátas persoas djero teer 5 años? 08.- Completa la sguete tabla de dstrbucó de frecueca. Sabedo que todos los tervalos tee gual acho y que: F = F F 3 = F 1 + F F 4 = F 3 + F 5 = F 4-1 c. La moda Se lazó u dado doce veces y se aotaro los sguetes resultados: ; 3; 3; 6; ; 6; 1; 1; ; 3; 1; Determe: a. Las meddas de tedeca cetral. b. Las meddas de dspersó. Se sabe que la ota promedo es: f E el cual reemplazamos los valores obtedos e la tabla = 1, b b b 9 4,7 19 3b b = 43 b = 8 ) La moda «M o» está dada por el valor más frecuete y este es: M o = b M o = 8 Nos pde la sguete suma: m + M o = m + M o = Artmétca Ud. 10 Estadístca 707

7 Prob. 03 (cepreu 08 - I) E ua ecuesta sobre los pesos de u grupo de persoas, se obtuvo la sguete formacó Peso Además, el peso promedo es 79 kg. Determe el úmero de persoas s es el meor posble. A) 5 B) 7 C) 30 D) 31 E) 33 E la tabla sertamos la columa de frecuecas asgado las varables m y para los valores correspodetes a la 3ra y 4ta clase. De este modo se puede completar a columa de los productos f, obteédose: Total de persoas: = 5 El meor úmero de persoas es 5. Prob. 04 (cepreu 07 - I) El sguete cuadro represeta el joral básco (e soles) de u grupo de obreros: Jorales Nº de obreros Debajo de qué joral (e soles) gaa el 50% de los obreros? A) 455,83 B) 465,83 C) 470 Falmete aplcamos la fórmula de la medaa para datos agrupados: m m = 455, Prob. 05 (cepreu 07 - I) Dada la tabla de frecuecas. Qué porcetaje de datos correspode al tervalo etre la meda y la medaa? A) 1,87 B) 1,95 C) D),5 E),7 Itervalos f Acho Porcetaje Para [50; 80 : Para [59,78; 61 1, 1, 46 = 1,87 30 Prob. 06 (UNCP 08 - I) Del cojuto de datos o agrupados: Compara: 10; 14; 15; 10; 11; 10; 13; 18 y 16 Columa A Columa B Medaa Meda A) A es mayor que B B) B es mayor que A C) A es gual a B D) No se puede comparar Como el peso promedo es 79 kg, aplcamos: f Etoces se tee: m Efectuado y smplfcado obteemos: 3 + 8m = 53 Esta ecuacó es dofátca y tee dos solucoes e + : ) = 15 m = 1 Total de persoas: = 30 ) = 7 m = 4 D) 475 E) 478,5 De acuerdo a las codcoes del problema debemos determar el joral de los obreros que ocupa la poscó termeda de la muestra el cual correspode a la medaa de los jorales ( m ). Para poder detfcar la clase que correspode a la medaa sertamos la columa de las frecuecas acumuladas (F ), de dode la clase de la medaa es aquella dode F = 35, pues: Jorales f F De acuerdo al problema debemos calcular la meda y la medaa (M e ), para lo cual completamos la tabla de frecuecas:.. 61 m Itervalos f F = m = 59,79. Ahora debemos calcular el porcetaje de datos correspodete al tervalo m ; es decr [59,78; 61 para lo cual aplcamos ua regla de tres smple: E) No utlce esta opcó Cotamos, ordeamos y agrupamos los datos: 10;10;10;11 ; 13 ; 14;15;16;18 4 m 4. La medaa m es el térmo cetral:. m = 13 (Columa A) La meda está dada por: Columa B A es gual a B Prob. 07 (cepreu 08 - I) A cotuacó se preseta la ojva correspodete a las otas de u eame, dode la medaa es Artmétca Ud. 10 Estadístca 709

8 Prob. 08 (cepreu 07 - I) Prob. 09 (cepreu 07 - I) Prob. 10 (cepreu 07 - I) Calcular la moda de la varable «y» sabedo que la meda es 9,45. A) 5 B) 7 y 1 f 1 F 1 El sguete dagrama muestra la ojva de la frecueca relatva acumulada de los salaros de los trabajadores de ua empresa. Etoces, se puede afrmar que la suma de la meda y la medaa es: S e el hstograma que se muestra, la meda es 60, calcular la medaa. C) 9 D) 10 Qué porcetaje de las persoas que rdero la prueba tee ua ota compredda etre 1 y 18? A) 40 B) 45 C) 50 D) 55 E) 60 Elaboramos ua tabla de dstrbucó de frecuecas relatvas y acumuladas co los datos de la gráfca: I h % H % E) 1 Segú los datos de la tabla plateamos que: f 3 = + 5 F = 0 F 3 = = + 5 Asmsmo: F 3 + f 4 = F 4 ( + 5) + ( + 10) = 75 = 0 Ahora podemos completar la tabla de dstrbucó de frecuecas, obteédose: y 1 f 1 F 1 A) 1410 B) 1415 C) 1418 D) 140 E) 1440 Utlzado los datos del dagrama costrumos ua tabla de dstrbucó de frecuecas relatvas y acumuladas, obteédose: I h % H % A) 63,4 B) 64,4 C) 65,4 D) 66,4 E) 67,4 Utlzado los datos elaboramos la sguete tabla de dstrbucó de frecuecas: I f F Sabedo que la medaa es 13, aplcamos la fórmula de la medaa para datos agrupados: m P P Despejado se obtee: P = 40 Luego el porcetaje de alumos que obtuvo otas etre 1 y 18 lo obteemos desagregado: Dode: P = E 80 P Luego: E E = 50 Dode hemos asumdo que es la frecueca de la 5ta clase. Luego, por codcó del problema propoemos que: ,45 75 Resolvedo se obtee: = 5 Falmete la moda la recoocemos por el dato «y» que tee mayor frecueca, es decr: f 4 = 30 M o = 10 Por codcó del problema debemos calcular la meda y la medaa ( m ): m 5 m = 70 Nos pde: m m = 1 40 Sabedo que la meda es 60, aplcamos la fórmula correspodete: k 70 3k 90 k k k = 1 Luego el valor de la medaa ( m ) será: m 0 5k 0 k k Reemplazado el valor de k = 1 se tee: 40 3 m m = 64, Artmétca Ud. 10 Estadístca 711

9 Prob. 11 (cepreu 07 - I) Cosderado el sguete hstograma: Supoedo que el acho de clase es «w», completamos el cuadro estadístco dado: I De acuerdo al problema debemos calcular la meda de los datos, para lo cual calculamos la marca de clase de cada tervalo: 1 = 410 ; = 430 ; 3 = 450. Asumedo que los achos de clase (w) so guales hacemos: 4 - = = 1 w = 470 ; 5 = 490 ; 6 = 510 Luego las marcas de clase se sucede de 6 e 6. 7 = 530. Asmsmo se sabe que: Se puede coclur que el valor de la moda es: A) 9,1 B) 9,6 C) 9,81 D) 10, E) 11, Elaborado ua tabla de frecuecas se tee: I h % Aplcado la fórmula de la moda (M o ) para datos agrupados, se tee: Me M 0 4 o = 9,81 Prob. 1 (cepreu 07 - I) La sguete tabla de frecuecas muestra los sueldos mesuales de u grupo de empleados. S la medaa de los sueldos es S/ , calcular la moda. A) 1560 B) 1600 C) 1650 D) 1666,6 E) 1680 Sueldos Dado que la medaa es 1500, aplcamos la fórmula para datos agrupados: 0,50 0, 40 m = 0 + w + w ,0 Despejado obteemos: w = 00 Como os pde la moda (M o ), aplcamos la fórmula correspodete: 0,10 w w 0,10 0,0 M = o Reemplazado w = 00, obteemos: 0,10 M o = ,10 0,0 M o = 1 666,6 Prob. 13 (cepreu 07 - I) Cosderado la sguete tabla de frecuecas, calcular la meda correspodete. A) 455,96 B) 456,86 C) 457,64 D) 458,97 E) 469,48 Itervalos f F Luego la meda de los datos está dada por la fórmula: f Reemplazado los datos e la formula se tee: = 458,97 Prob. 14 (cepreu 07 - I) E la sguete tabla de frecuecas se cometó el error de aotar f y h e orde vertdo. Calcule la dfereca etre la meda correcta y la meda errada. Itervalo A) 0,05 B) 0,10 C) 0,11 D) 0,15 E) 0,17 Observamos que o se cooce los tervalos de clase pero sí alguas marcas de clase. Por otro lado, s vertmos el orde de los valores de f y h, completamos el cuadro: f 4 h 4 f 0, f f 4 = 0 Y completado la tabla se tee:. Luego la meda errada será: ,93 Pero, de acuerdo al problema la meda correcta se obtee al vertr el orde de las frecuecas, co lo cual se obtee: ,08 Nos pde calcular: - 1 = 4,08-3,93 = 1, Artmétca Ud. 10 Estadístca 713

10 Prob. 15 (cepreu 07 - I) E la ojva de la fgura, la medaa es 5,4857 luego la frecueca absoluta correspodete a la clase medaa e % es: % Prob. 16 (cepreu 08 - I) Dadas estas 6 calfcacoes: 15; 13; 1; 15; 16; 17 co varaza V. Se les suma la costate 3 a cada calfcacó y se calcula la desvacó típca de los uevos valores, obteédose S. El valor de V S es: E prmer lugar calcularemos la meda de los datos, esto es: ,7 10 I h % f A) 1,1 B) 1,19 C) 1,9 D) 1,44 E) 1,96 Empezaremos calculado la meda de las otas, esto es: Como la desvacó estádar está dada por: S Reemplazamos los datos y se tee:. 3 4 = 10 A) 0 B) 5 C) 30 D) 3 E) 35 E base a la formacó dada e el gráfco elaboramos ua tabla de frecuecas relatvas y acumuladas, obteédose: I h % H %. De acuerdo co los datos sabemos que la medaa es: m = 5,4857 Aplcado la fórmula correspodete teemos: m a 4 5, a Efectuado se obtee: a = 5. Luego: De la tabla recoocemos que la frecueca relatva que correspode a la clase medaa es: h 3 h 3 = 60 - a h 3 = 60-5 h 3 = ,6 6 Luego la varaza será: V E el cual reemplazamos los datos y se obtee: 14, , , , , ,67 17 V 6 V 0,11,79 7,13 0,11 1,77 5,43 17, V =,89 Luego, s a cada dato se le suma 3, por propedad, la varaza y la desvacó típca o se altera. Falmete, por defcó se sabe que: S Co lo cual: S =,89 = 1,70 V Prob. 17 (cepreu 07 - I) Los sguetes datos muestra las calfcacoes de 10 persoas sometdas a ua prueba de apttud: 16; 19; 13; 0; 14; 16; 19; 18; 17; 15 Calcular la desvacó estádar. A),19 B) 16,34 C) 18,0 D) 18,3 E) 19,1 S 16, , , ,7 0 16, , , , , , S =,19 Prob. 18 (cepreu 07 - I) Calcule la desvacó estádar de los datos mostrados e la gráfca. A) 1,45 B) 1,5 C) 1,886 D) 1,9 E) 1,95 Los datos correspode a u grupo de ejes que se ha agrupado por el tamaño de sus dámetros. Dstrbuyedo estos datos e la tabla de có de frecuecas obteemos:. Como o coocemos la frecueca absoluta (F ); os covee trabajar co la frecueca relatva: f h h 1 % h 10 1 = 5 %. Calculamos la meda ,8 v. Ahora calculamos la desvacó estádar (S): f S S S = 1,886 14,8 1 64,8 3 84, ,8 7 14,8 9 Prob. 19 (cepreu 07 - I) Las otas de 5 alumos so úmeros de cfras cuyo promedo es 13,6. S la medaa es 15 y la moda es 16, calcular la varaza de dchas otas. A) 5,76 B) 6,4 C) 6,64 D) 6,96 E) 7,4 714 Artmétca Ud. 10 Estadístca 715

11 S el promedo de las 5 otas es 13,6, deducmos que la suma de estas otas es: 13, Como la medaa y la moda so 15 y 16 respectvamete, etoces el valor cetral es 15 hay dos datos guales a 16. Puesto que estos 3 úmeros suma = 47, los otros dos debe sumar = 1. Los úcos úmeros posbles de dos cfras so 10 y 1; es decr las 5 otas so: 10; 11; 15; 16; 16 Luego la varaza para dchas otas es: ( ) S etoces la varaza queda multplcada por el cuadrado de dcho factor; co lo cual la ueva varaza será: V' ,5 Asmsmo s cada uo de los datos se cremeta o dsmuye e ua msma catdad el valor de la varaza o se altera; co lo cual el valor de la varaza segurá sedo V. V = 60,5 Prob. 1 (cepreu 08 - I) Dada la varable por la sguete tabla Prob. (cepreu 07 - I) E ua prueba de artmétca aplcada a 0 estudates, se obtuvo la sguete dstrbucó de putajes: Putajes Nº de alumos Determar la dfereca etre la desvacó estádar y la desvacó meda co respecto a la meda artmétca (M) (Apromar la respuesta al cetésmo). La Desvacó Meda co respecto a la meda artmétca, se defe como: M M = 11 Nos pde la dfereca de S y M: S - M = 13,3-11 S - M =,3 Prob. 3 (cepreu 07 - I) Calcular el tamaño de la muestra «N», s se cumple que: S 9,45; 817 y 16,5 A) 10 B) 15 C) 18 D) 50 E) S( ) 13, , , , , S () = 6,64 Calcule la desvacó estádar: A) 4,04 B) 4,40 C) 6,40 D) 8,80 E) 16,3 f M A),3 B),5 C),7 D),9 E),31 Para datos o clasfcados: S N Reemplazado los datos: Prob. 0 (cepreu 07 - I) Sea ua varable que represeta el sueldo de los trabajadores de ua empresa, dode se sabe que: V() = varaza de = S/. 50. S la empresa decde cremetar e 10 % el sueldo de cada empleado y luego descotar ua catdad gual a la décma parte del úmero de trabajadores e la empresa. Calcular la varaza de los uevos sueldos. (úmero de trabajadores e la empresa mayor que 0) A) 54 B) 58 C) 60 D) 60,5 E) 6 De acuerdo a la codcó del problema, s el sueldo de los trabajadores se cremeta e 10%; el uevo sueldo de c/u queda multplcado por 110 y por propedad de la varaza, s c/u de los datos se multplca por u factor Para determar la desvacó estádar, ecestamos coocer la meda ( ) de los datos. Para ello aplcamos la fórmula correspodete y obteemos: ,59 Como la desvacó estádar por formula es: Etoces: S S f 10, , , , ,59 0 S = 4,04 De acuerdo al problema debemos determar la desvacó estádar (S) y la desvacó meda (M). Para tal efecto empezamos calculado la meda de los datos Ahora determamos la desvacó estádar: S S = 13, Falmete calculamos la desvacó meda: M , ,5 N 9, ,5 N 80,7 817 N N = 10 Prob. 4 (cepreu 08 - I) Sea ua varable que represeta el sueldo de los trabajadores de ua determada empresa, dode se cooce que la meda es S/. 800 y la varaza es 50,00. S la empresa decde cremetar e 0% el sueldo de cada empleado y luego descotarles S/. 0,00 a cada uo, cuál es la meda y la varaza de los uevos sueldos? Dar como respuesta la suma de estas catdades. A) 1010 B) 1011 C) 101 D) 1013 E) Artmétca Ud. 10 Estadístca 717

12 A) 15,6 B) 0,1 C) 3,65 Por propedad del promedo artmétco, s los datos se multplca por 10 etoces su promedo orgal queda multplcado por este msmo factor. D) 46,77 E) 50,8 Completado el cuadro se tee lo sguete: Asmsmo, s todos los datos dsmuye e 0, el promedo també dsmuye e 0, co lo cual el uevo promedo es: I f h F 10 (S/. 800) S/. 0 = S/. 940 Por otro lado y por propedad de la varaza, s todos los datos se multplca por 10, la varaza queda multplcada por su cuadrado. Y s a todos los datos les dsmumos ua msma catdad, la varaza o camba, por lo cual la ueva varaza será: Falmete os pde la suma del uevo promedo y la ueva varaza: = 101 Prob. 5 (cepreu 07 - I) Completar el cuadro y calcular la varaza. I f h F Para calcular la varaza prmero calculamos la meda, esto es: ,3 Luego la varaza de los datos es: S( ) 68, , , , , ,3 38 8,3 4 0 S ( ) 46, Artmétca Ud. 10 Estadístca 719

13 70 Artmétca Ud. 10 Estadístca 01.- Idcar el valor de verdad de las sguetes proposcoes: I. La medaa es la medda promedo que depede del úmero de datos ordeados y o de los valores de estos datos. II. La moda es el promedo que se usa cuado se quere señalar el valor más comú de ua sere de datos. III. S los datos tede a dstrbur alrededor y cerca de su meda, la varaza será pequeña A) VVV B) VFV C) FFV D) VVF E) FVV 0.- Respecto a las meddas de tedeca cetral señala V o F. I. La meda tee la desvetaja de ser fluecada por valores aormalmete grades o pequeños. II. La medaa y la moda o resulta fluecadas por valores observados aormalmete grades o pequeños. III. E ua dstrbucó smétrca la meda, medaa y moda sempre cocde. A) FFV B) FVF C) VVF D) VVV E) FFV 03.- Idque verdadero (V) o falso (F): I. La suma total de valores cuya meda es, es gual a. II. S cada uo de los valores es trasformado e y = a + b, sedo a y b costates, etoces, la meda de los valores y es: y a b III. La suma algebraca de las desvacoes de datos co respecto a su meda, es gual a cero. A) VVV B) FVV C) FFV D) VVF E) FVF 04.- Dado el cojuto de datos: A = {8; 1; 15; 17; 0; } a cada uo de los datos se le suma cco udades, obteédose el cojuto de datos B. Se puede afrmar que A y B tee: I. Medas guales II. Varazas guales III. Desvacoes estádares guales A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo III D) Sólo II y III E) Todas 05.- De ua muestra de 7 datos que so eteros postvos de dos cfras, se sabe que su meda artmétca es: 0 ; su medaa es 7 y su úca moda 7 es 8. Determar su varaza. A) 59,79 B) 74,49 C) 75,4 D) 78,48 E) 78, Las otas de sete alumos so eteros postvos tales que su meda es 14, la medaa es 15, la úca moda es 17; las otas de dos de ellos so prmos de gual valor y de dos cfras, etoces la mayor varaza es: A) 8,637 B) 8,857 C) 13,48 D) 13,63 E) 13, Determe la desvacó estádar de: 4 ; 6 ; 8 ; ; 10 y 1 A) 3,4 B) 4,3 C) 5,3 D) 6,4 E) 7,5 71

14 08.- E ua muestra de 8 empleados se hzo u estudo de las varables: X : peso e kg. Valores: 69,1; 69,; 70,; 70,1; 68,8; 69,4; 69,00; 69, 11.- La tabla que se muestra a cotuacó correspode a las otas de u grupo de alumos. S la moda de las otas es 18,4. Notas h 1 f Se regstra los salaros mesuales de los empleados de la empresa RACSO. Sueldos S/. Frec. absoluta Itervalos f F f Y: greso mesual e mles de soles. Valores: 0,40; 0,60; 0,70; 3,8; 3,0; 0,50; 0,55; 0,45 Z: tempo de servcos e años Valores: 16; 18; 18; 18; 0; 17; 18; 18 Se puede frmar: I. La medda de tedeca cetral para «X» es la meda. II. La medda de tedeca cetral para «Y» es la medaa. Calcular la medaa A) 13,8 B) 17, C) 17,3 D) 17,5 E) 17,6 1.- Del sguete hstograma, calcular: + Mo + Me A) 53,56 Calcula la suma de la meda artmétca y la moda. A) 700 B) 981,08 C) 1481,08 D) 1681,08 E) 1781,08 Calcular la varaza, sabedo que la ota aprobatora es 10, el 0% de alumos aprobaro co ota meos de 14. A) 10,49 B) 11,1 C) 1,31 D) 13,4 E) 13, Se tee la sguete tabla de frecuecas: Sueldos III. La medda de tedeca cetral para «Z» es la moda. IV. S cada valor de «X» se multplca por 5; la meda o varía A) VVVV B) VVFV C) FVVV D) FVVF E) VVVF 09.- La meda y la varaza de 3 úmeros so: 3,5 y /3 respectvamete; y la meda y varaza de otros úmeros so 5 y 1/4 respectvamete. Determar la varaza de los 5 úmeros. B) 54,56 C) 54,86 D) 55,6 E) 55, A partr de la ojva: 15.- E el gráfco adjuto, el área lmtada por el polígoo de frecuecas es 70 u y la meda 1/3. Etoces, la meda artmétca del doble de los úmeros «a» y «b» es: La varaza es: A) 875 B) 1680 C) 3 D) 640 E) Cosderado el sguete hstograma de frecuecas relatvas A) 0,98 B) 1,00 C) 1,04 D) 1,1 E) 1, 10.- Cosderado el sguete gráfco. Calcule la meda artmétca. A) 14,0 B) 15,0 C) 15,65 D) 16,15 E) 17,15 Calcular la suma de la meda, la medaa y la moda. A) 38,95 B) 40,485 C) 41,40 D) 4,8 E) 43, A) 17 B) 18,5 C) D) 4 E) 3, Calcular la desvacó estádar de: 15; 18; 13; 10; 17; 1; 8; 14; 18; 7 A) 1,3 B),3 C) 3,76 D),76 E) 5, Dada la tabla completa de la dstrbucó de frecuecas de las otas de 30 alumos se pde completar la tabla, sabedo que los tervalos de clase tee ua msma logtud y su rago es gual a 1. Se cooce que la moda es 80; además: A 1 = A 3 A = 4A 4 S el acho de clase es costate; ecuetre la meda artmétca. A) 90,78 B) 91,67 C) 300 D) 30,5 E) 380, 7 Artmétca Ud. 10 Estadístca 73

15 0.- Para certa dstrbucó de frecueca, la muestra se dvdó e «m» tervalos de gual ampltud, y se observó que: 4.- E el sguete cuadro estadístco: y h f f =, = 6,6. Calcular «m». A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) Ua muestra de 70 datos de u meda de 10 y ua desvacó típca de 6, otra muestra de 30 datos da ua meda de 15 y ua desvacó típca de 5. Se reúe las dos muestras formado ua sola muestra de datos. Calcule la varaza de estos datos. A) 37,95 B) 38,9 C) 38,97 D) 39,5 E) 39,95.- La sguete tabla de gresos (cetos de soles) de los trabajadores de ua empresa. Igreso (I ) Nº de alumos Se pde calcular el promedo geométrco A) 8,03 B) 8,13 C) 8,3 D) 8,43 E) 8, Sabedo que: f Se pde calcular la meda armóca. A) 7,30 B) 7,40 C) 7,50 D) 7,60 E) 7, Dado el sguete cuadro de datos agrupados, se pde calcular f, s la meda armóca de estos es 60/9. f 1 4 f A) B) 4 C) 3 La desvacó estádar e los gresos es: A) 7,8 B) 8,1 C) 8,5 D) 8,8 E) 9,4 D) 5 E) 6 01 A 0 C 03 A 04 D 05 B 06 B 3.- Al calcular la meda y la desvacó estádar de 80 datos resultaro 30 y 4 respectvamete. U chequeo mostró que e lugar del valor 1,7 se trodujo 17; al corregr se obtuvo que la verdadera meda fue de 9,809 luego la verdadera desvacó estádar es: 07 A 16 C 08 E 17 A 09 C 18 E 10 C 19 A 11 C 0 B 1 A 1 A 13 B E 14 D 3 A 15 D 4 C A) 4,883 B) 4,936 C) 4,963 D) 4,981 E) 4,986 5 B 6 C 74 Artmétca

16