Estadística Aplicada a las Licenciaturas: Administración, Contaduría e Informática Administrativa. Tema II.

Transcripción

1 Notas de Estadístca Aplcada a la Admnstracón, Contaduría e Inormátca Admnstratva I. Estadístca Aplcada a las Lcencaturas: Admnstracón, Contaduría e Inormátca Admnstratva. Tema II. Por Dr. Francsco Javer Tapa Moreno Departamento de Matemátcas 1 Unversdad de Sonora. Tema II: Semestre 010-

2 Notas de Estadístca Aplcada a la Admnstracón, Contaduría e Inormátca Admnstratva I. Prólogo. Este es el segundo olleto correspondente al Tema II de Estadístca Aplcada a las Lcencaturas: Admnstracón, Contaduría e Inormátca Admnstratva que se orecen de la Unversdad de Sonora. Los temas presentados aquí son congruentes con el programa vgente de la matera de Estadístca I del área económco- admnstratvo. En el segundo tema del programa ttulado Estadístca descrptva, el alumno conocerá y utlzará adecuadamente las herramentas de la estadístca descrptva para recoplar, organzar y analzar adecuadamente la normacón, construrá e nterpretará correctamente normacón gráca y tabular (ver seccones.1-.5). Calculará e nterpretará adecuadamente las meddas estadístcas de localzacón y dspersón; utlzará adecuadamente las meddas de tendenca central ante dversas stuacones presentadas; ntegrará las meddas de localzacón y dspersón en problemas relaconados con la toma de decsones; conocerá, utlzará e nterpretará un dagrama de dspersón y sobre la base del msmo, podrá decr s dos varables están correlaconadas o no (ver seccones.6-.8). Calculará el coecente de correlacón lneal smple y la recta de regresón en varables correlaconadas e Interpretará, sobre la base del problema a analzar, el sgncado del análss eectuado (ver seccón.9). Nuestro propósto al elaborar este segundo olleto, es dotar al alumno de las herramentas necesaras, apegada al programa vgente, para que el alumno por sí msmo, recople, organce, represente de manera gráca, analce e nterprete la normacón recabada ya sea por medo de una muestra o de un censo, y la utlce para la realzacón de toma de decsones. Además, de estudar, explorar y cuantcar la relacón entre varables cuanttatvas para desarrollar una ecuacón lneal smple con nes predctvos. Este trabajo se stúa en el marco de un esuerzo colectvo realzado por el Departamento de Matemátcas por dotar al alumno del materal ddáctco necesaro para que éste optmce su proceso de enseñanza/aprendzaje/ormacón de las matemátcas. Hermosllo, Sonora, Méxco. Agosto de 010. Departamento de Matemátcas Unversdad de Sonora. Tema II: Semestre 010-

3 Notas de Estadístca Aplcada a la Admnstracón, Contaduría e Inormátca Admnstratva I. Tema Pag. Tema II. Estadístca Descrptva..1. Introduccón... Clases de datos..3. Agrupamento en ntervalos..4. Descrpcón de datos de una varable Tabulacón y representacón gráca. Tablas de recuencas. Datos Agrupados..5. Representacones Grácas Dagramas de recuenca medante puntos. Grácas de línea. Dagrama de barras. Hstogramas. Polígono de recuencas. Dagramas de tallo y hojas. Dagramas de pastel o crculares. Otras dstrbucones de recuencas y otros grácos. Dstrbucones acumulatvas y polígonos acumulatvos. Polígonos acumulatvos u Ojvas. Dagramas de caja..6. Meddas descrptvas de localzacón y dstrbucón..6.1 Meddas de poscón o centralzacón. La meda artmétca. La medana. Cuantles. Cálculo de los cuartles a) Para datos agrupados. b) Para datos no agrupados. Cálculo de Decles a) Para datos agrupados. b) Para datos no agrupados Cálculo de percentles. a) Para datos agrupados. b) Para datos no agrupados La moda..6.. Relacón entre la Meda, la Medana y la moda..7. Meddas de Dspersón. Coecente de varacón. Departamento de Matemátcas 3 Unversdad de Sonora. Tema II: Semestre 010-

4 Notas de Estadístca Aplcada a la Admnstracón, Contaduría e Inormátca Admnstratva I..8. Meddas de orma. Coecente de dsmetría de Pearson. Coecente de Asmetría de Fsher. Curtoss o apuntamento. Coecente de curtoss de Fsher..9. Análss de regresón y correlacón lneal smple Introduccón al análss de regresón y correlacón lneal. Regresón lneal. Correlacón lneal..9.. Grácos de dspersón Coecente de correlacón lneal Modelo de regresón lneal smple..10. Ejerccos teórcos..11. Ejerccos práctcos..1. Lecturas recomendadas..13. Bblograía recomendada para reorzar este tema..11. Reerencas. Departamento de Matemátcas 4 Unversdad de Sonora. Tema II: Semestre 010-

5 Notas de Estadístca Aplcada a la Admnstracón, Contaduría e Inormátca Admnstratva I. Tema II. Estadístca Descrptva..1. Introduccón. Habtualmente el propósto de la Estadístca Aplcada es el de sacar conclusones de una poblacón en estudo, examnando solamente una parte de ella denomnada muestra. Este proceso, denomnado Inerenca Estadístca, suele venr preceddo de otro, denomnado Estadístca Descrptva (ver el olleto 1), en el que los datos son ordenados, resumdos y clascados con objeto de tener una vsón más precsa y conjunta de las observacones, ntentando descubrr de esta manera posbles relacones entre los datos, vendo cuales toman valores parecdos, cuales deren grandemente del resto, destacando hechos de posble nterés, etc. Al hablar de estadístca descrptva, uno se reere a cualquer tratamento de datos que esté dseñado para resumr o descrbr algunas de sus característcas más mportantes sn ntentar deducr nada que escape al alcance de los datos. Tambén, entre los objetvos de la Estadístca Descrptva, está el presentar los datos de tal modo que permtan sugerr o aventurar cuestones a analzar en mayor prounddad, así como estudar s pueden mantenerse algunas suposcones necesaras en determnadas nerencas como la de smetría, normaldad, homocedastcdad (propedad undamental del modelo de regresón lneal), etc. El propósto de este tema es el de orecer los conceptos de la estadístca descrptva y explcar las técncas que permtan realzar ambos procesos a los cuales, de orma conjunta, se les suele denomnar Análss de Datos... Clases de datos. Como se menconó en el tema I (ver olleto 1), es habtual denomnar a los caracteres varables estadístcas o smplemente varables, calcándolas de cualtatvas o cuanttatvas según sea el correspondente carácter, y hablar de los valores de la varable al reerrnos a sus modaldades, aunque de hecho solamente tendremos verdaderos valores numércos cuando analcemos varables cuanttatvas. En ocasones, con objeto de acltar la toma de los datos, el nvestgador los agrupa en ntervalos. Así por ejemplo, resulta más sencllo averguar cuántos ndvduos hay en una muestra con una estatura, por ejemplo, entre 1.70 y 1.80 metros que medrlos a todos, en especal s tenemos marcas en la pared cada 10 cm. Note que sempre se producrá una pérdda de normacón al agrupar los datos en ntervalos y, dado que hoy en día la utlzacón de la computadora suele ser de uso común, un agrupamento en ntervalos es en general no aconsejable. Sn embargo, por razones docentes admtremos esta posbldad, ya que precsamente el agrupamento en ntervalos traerá complcacones adconales en el cálculo de algunas meddas representatvas de los datos. En este tema consderaremos, por tanto, tres tpos posbles de datos: 1) Datos correspondentes a un carácter cualtatvo ) Datos sn agrupar correspondentes a un carácter cuanttatvo y 3) Datos agrupados en ntervalos correspondentes a un carácter cuanttatvo. Departamento de Matemátcas 5 Unversdad de Sonora. Tema II: Semestre 010-

6 Notas de Estadístca Aplcada a la Admnstracón, Contaduría e Inormátca Admnstratva I..3. Agrupamento en ntervalos. S tenemos la opcón de poder agrupar los datos en ntervalos, lo prmero que debemos plantearnos (ndependentemente de lo que más arrba comentábamos) es la cuestón de cuántos y cuáles ntervalos elegr. Prevamente daremos algunas dencones mportantes. S los ntervalos que a menudo se le denomnan clases, son:, x, x, x,, x,,, x, x j-1 x j k- x k. Llamaremos ampltud del ntervalo j-ésmo a x -x j j-1, j 1,, k, hablando de ntervalos de ampltud constante o varable, según tengan o no todos la msma ampltud. Llamaremos extremos de la clase j-ésma a x j-1 y a x j, y por últmo, llamaremos centro o marca de clase correspondente al ntervalo j-ésmo al punto medo del ntervalo, es decr, a En todo este seccón, consderaremos que el dato c j x j x j-1. j x pertenece al ntervalo j 1, j 1,...,k -1, sendo el x k el k-ésmo dato. Hacemos notar tambén, que el prmer ntervalo y el últmo generalmente tenen, respectvamente, el extremo neror y el extremo superor ndetermnados con el propósto de nclur observacones poco recuentes. Respecto a la cuestón que nos planteábamos al comenzo de este apartado, podemos consderar como regla general la de construr, sempre que sea posble, ntervalos de ampltud constante o gual, sugrendo sobre el número k de ntervalos a consderar el propuesto por Sturges k log sendo n el número total de datos. Una vez determnado el número k de ntervalos a consderar, y s es posble tomarlos de gual ampltud, esta será: n Ampltud ( n ) ( 1) k en donde x(n) es el dato mayor y x( 1 ) el menor..4. Descrpcón de datos de una varable. Durante el proceso de un expermento estadístco, por lo regular obtenemos una sucesón de observacones o datos (normalmente números) los cuales anotamos en el orden en que aparecen. Por ejemplo, las ventas realzadas por la tenda departamental Mazón los sábados y domngos durante el año pasado. Estos datos representan un ejemplo de una muestra tomada de una poblacón de los montos de todas las ventas realzadas durante el año. La muestra consste de 31 montos de ventas derentes, llamados valores de la muestra, aunque el tamaño de la muestra es de n 104. Departamento de Matemátcas 6 Unversdad de Sonora. Tema II: Semestre 010-

7 Notas de Estadístca Aplcada a la Admnstracón, Contaduría e Inormátca Admnstratva I. Antes de entrar en detalle, es mportante menconar que s en un expermento estadístco observamos al msmo tempo dos cantdades, por ejemplo las ventas realzadas durante el día y el número de personas que vstó la tenda durante ese día o, el peso y la estatura de las personas adultas, obtendremos una muestra en la que cada valor de la msma es una pareja ordenada de números. De la msma manera, s observamos o medmos tres cantdades, se obtendrán muestras que conssten de ternas ordenadas de números, generalzándose esta stuacón para más de tres cantdades. Cuando se tene un expermento estadístco donde exste una sola varable de nterés para ser observada, decmos que este expermento es un-varado. S en el expermento se tene nterés en observar más de una varable, decmos que el expermento es mult-varado. En esta seccón manejaremos sólo expermentos en donde se nvolucra una sola varable para ser observada Tabulacón y representacón gráca. En esta seccón se dscuten algunos métodos para obtener representacones tabulares y grácas de una sere de datos. Se muestra como grandes cantdades de datos pueden ser organzados y presentados de manera más ecaz en ormas de tablas y dagramas con el propósto de ntenscar el análss e nterpretacón de los datos, aspectos claves en la toma de decsones. Además, se dan a conocer los conceptos de recuencas absoluta, relatva y porcentual. Tablas de recuencas. El prmer paso al recoplar los datos, es determnar el número de veces con que se presentan los valores en la muestra y, resumrlos en una tabla llamada tabla de recuencas o dstrbucón de recuencas de tal manera que podamos dentcar su comportamento. Al número de veces que se presenta un valor recbe el nombre de recuenca absoluta o, más brevemente recuenca. Ejemplo.1 En una sucursal bancara de la localdad, se ha tomado el tempo de atencón en ventanlla a 0 clentes, durante sus operacones bancaras. Los regstros de los tempos y el número de clente en el orden en que éste llegó aparecen en la Tabla.1. TABLA.1.TIEMPOS DE ESPERA DE 0 CLIENTES EN UNA SUCURSAL BANCARIA. Clente Mnutos Podemos resumr los datos de la Tabla.1 como se muestran en la Tabla.. TABLA.. DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS ABSOLUTAS. Mnutos Frecuenca S dvdmos la recuenca entre el tamaño de la muestra n, obtenemos la recuenca relatva para esta cantdad observada en la muestra. Obtener las recuencas relatvas es muy útl cuando la cantdad de los datos observados es muy grande. Formalmente podemos denr la recuenca relatva de un valor dado, como la proporcón de ese valor. Ejemplo. En la Tabla.3 aparecen las recuencas relatvas para cada uno de los valores observados del Ejemplo.1. Departamento de Matemátcas 7 Unversdad de Sonora. Tema II: Semestre 010-

8 Notas de Estadístca Aplcada a la Admnstracón, Contaduría e Inormátca Admnstratva I. TABLA.3. DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS RELATIVAS. Mnutos Frecuenca Relatva S las recuencas relatvas se multplcan por 100% se obtenen las recuencas porcentuales para cada uno de los valores observados. Ejemplo.3 Las recuencas porcentuales de los valores observados en el Ejemplo. aparecen en la Tabla.4. TABLA.4. DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS PORCENTUALES Mnutos Frecuenca 5% 15% 30% 15% 0% 10% 5% Porcentual Datos Agrupados. Cuando en una muestra se tenen demasados datos es recomendable juntarlos en grupos o clases. A los datos resultantes se les llama datos agrupados. Cada grupo recbe el nombre de clase o ntervalo de clase y la seleccón de estas clases es regularmente arbtrara además, su eleccón debe ajustarse a la exgenca de que no exstan clases vacías, de que cada observacón caga en una y sólo una clase y que su longtud o ampltud sea gual. Exsten órmulas para determnar el número recomendable de clases el cual depende del tamaño de la muestra. Ejemplo.4. La Tabla.5 presenta la cantdad de dnero gastada en electrcdad durante el mes de julo de 010, de 30 amlas de bajos recursos de una colona stuada al sur de la cudad de Hermosllo. TABLA.5. CANTIDAD DE DINERO GASTADA EN ELECTRICIDAD ($) Utlzaremos estos datos para construr una tabla de recuencas con clases o ntervalos adecuados. Como se tene una muestra con pocos datos podemos elegr pocas clases. Por ejemplo, 5. Podemos observar de la Tabla.5 que: 1) el monto menor es de $8 y ) el monto mayor es de $13. S realzamos la derenca entre estos dos montos obtenemos la ampltud o rango de los datos dados. Así, el rango = 13-8 = 131 pesos; como se desean 5 clases, dvdmos el rango entre 5 y obtenemos que la ampltud de cada clase debe 131 de ser de 6. 0 pesos. Podemos escoger clases de $7 de ampltud y elegr el valor mínmo de $80 con 5 el propósto de que el valor menor, y el valor mayor observados, no queden en el extremo de su respectva clase. Así, las clases con sus respectvas recuencas son las que se muestran en la Tabla.6. Departamento de Matemátcas 8 Unversdad de Sonora. Tema II: Semestre 010-

9 Mnutos Notas de Estadístca Aplcada a la Admnstracón, Contaduría e Inormátca Admnstratva I. TABLA.6. DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS PARA LOS DATOS DE LA TABLA.5. Clase o Intervalo de clase Marcas de clase Frecuenca Absoluta Frecuenca Relatva Frecuenca Porcentual De $80 a menos de % De107 a menos de % De 134 a menos de % De 161 a menos de % De 188 a menos de $ % TOTALES % Note que cada monto observado cae en una sola clase, y que las clases tenen la msma ampltud..5. Representacones Grácas Como se pudo observar en la seccón anteror, las tablas de recuenca son útles para la presentacón de los datos. Las grácas que de ellas surgen lo son aún más, ya que en ellas es muy ácl observar la dstrbucón de la normacón. Exsten varas ormas de representar grácamente las muestras y es sucente presentar estos métodos en térmnos de los ejemplos usados en la seccón.4. Dagramas de recuenca medante puntos. La Fgura.1 presenta el dagrama de puntos para la tabla de recuenca del Ejemplo.1. Este dagrama da una mejor dea del comportamento de los datos obtendos en la muestra. Tempo de atencón a clentes Número de clente Fgura.1 Dagrama de puntos de la muestra dada en la Tabla.1 Grácas de línea. La Fgura. presenta la gráca de línea para los datos de la Tabla.. Estos dos tpos de grácas nos srven para echar un vstazo rápdo a los datos, con el propósto de observar su tendenca. Cuando se requere una gráca más detallada y ormal uno echa mano de los dagramas de barras y de los hstogramas. Departamento de Matemátcas 9 Unversdad de Sonora. Tema II: Semestre 010-

10 Mnutos de atencón Número de clentes Notas de Estadístca Aplcada a la Admnstracón, Contaduría e Inormátca Admnstratva I. Tempo de atencón a clentes Mnutos de atencón Fgura.. Dagrama de línea de los datos de la Tabla. Dagrama de barras. En los dagramas de barras se utlzan rectángulos para representar grácamente los datos. La base de cada rectángulo del dagrama de barras representa una característca de los datos obtendos en la muestra y la altura del rectángulo sgnca la recuenca con que se do esta característca. Para dbujar un dagrama de barras, se marca en el eje horzontal las dstntas característcas que se encontraron en los datos obtendos y en el eje vertcal se marca la recuenca con que se do esa observacón y se trazan rectángulos separados por cada valor con la altura correspondente a cada recuenca. En el dagrama de la Fgura.3 podemos observar, por ejemplo, que un 0% de los clentes ueron atenddos en mnutos o menos, o que el 50% de los clentes realzaron sus operacones en 4 mnutos o más. Tempo de atencón a clentes % 5% 10% 15% 0% 5% 30% Porcentaje de clentes Fgura.3. Dagrama de barras para los datos de la Tabla.4. Hstogramas. Al gual que en los dagramas de barras, en un hstograma la base de cada rectángulo representa una clase o ntervalo de clase de los datos agrupados y la altura del rectángulo representa la recuenca o número de datos agrupados en esa clase. La únca derenca exstente entre estas dos grácas es que en el dagrama de barras los rectángulos están separados mentras que en el hstograma los rectángulos se unen. Los hstogramas son usados recuentemente cuando se trata de datos agrupados, y su presentacón puede varar un poco ya que el Departamento de Matemátcas 10 Unversdad de Sonora. Tema II: Semestre 010-

11 Frecuencas relatvas Porcentaaje de amlas Notas de Estadístca Aplcada a la Admnstracón, Contaduría e Inormátca Admnstratva I. eje horzontal se puede marcar con los puntos extremos de cada una de las clases tal como se muestra en la Fgura.4 o ben con los puntos medos de cada una de las clases como se puede ver en la Fgura.5. Consumo de electrcdad $ $15 Cantdad de dnero en consumo Fgura.4. Hstograma para los datos de la Tabla.6. Note que tanto el hstograma con recuencas absolutas como el de recuencas relatvas tenen la msma orma, esto se debe a que las recuencas relatvas son proporconales a las recuencas absolutas y la eleccón de una u otra orma depende esencalmente del gusto personal. La derenca entre grácas de barras e hstogramas se basa en dstngur entre varables cuanttatvas y cualtatvas menconadas en la seccón 3. del Folleto 1. Consumo de electrcdad $ $15 Cantdad de dnero en consumo Fgura.5. Hstograma con recuencas relatvas para los datos de la Tabla.6. Polígono de recuencas. Un polígono de recuenca es el gráco lneal de una tabla de recuencas. Los ejes de este gráco son smlares a los del hstograma excepto que el punto medo de cada clase se dentca de manera característca a lo largo del eje horzontal (ver Tabla.6). El número de observacones o recuenca de cada clase es representado por un punto arrba del punto medo de esa clase y estos puntos son undos por una sere de segmentos de línea para ormar un polígono. En la Fgura.6 se muestra el polígono de recuencas porcentuales para los datos dados en la Tabla.4. Departamento de Matemátcas 11 Unversdad de Sonora. Tema II: Semestre 010-

12 Porcentaje de amlas Notas de Estadístca Aplcada a la Admnstracón, Contaduría e Inormátca Admnstratva I. Consumo de electrcdad 30% 5% 0% 15% 10% 5% 0% Cantdad de dnero en consumo Fgura.6. Polígono de recuencas porcentuales para los datos de la Tabla.6. Dagramas de tallo y hojas. Un dagrama de tallo y hojas es un ngenoso artco el cual orece una representacón parecda a un hstograma. La ventaja de estos dagramas es que no sólo revelan las recuencas, sno que contenen los datos reales. En la Fgura.7 aparece el dagrama de tallo y hojas para los datos de la Tabla.5. Tallo Hojas Fgura.7. Dagrama de tallo y hojas para los datos de la Tabla.5. Este dagrama podría hacerse un poco más claro s se ordenan los datos de menor a menor pero, cuando este mecansmo se hace a mano puede resultar demasado tedoso dependendo del tamaño de la muestra. Dagramas de pastel o crculares. Cuando en una tabla de recuenca, los datos están separados en categorías o por cualdades, recuentemente se utlza un dagrama crcular conocdo como dagrama de pastel el cual consste de un círculo dvddo en sectores que son proporconales en tamaño a las recuencas o porcentajes correspondentes. Para construr un dagrama de pastel se utlzan las recuencas porcentuales. La Fgura.6 muestra un dagrama de pastel para los datos de la Tabla.4. Departamento de Matemátcas 1 Unversdad de Sonora. Tema II: Semestre 010-

13 Notas de Estadístca Aplcada a la Admnstracón, Contaduría e Inormátca Admnstratva I. 6 mnutos, 10% 7 mnuto, 5% 1 mnuto, 5% mnutos, 15% 5 mnutos, 0% 4 mnutos, 15% 3 mnutos, 30% Tempo de atencón a clentes Fgura.7. Dagrama de pastel para los datos de la Tabla.4. Otras dstrbucones de recuencas y otros grácos. Otros dos métodos útles para representar datos, los cuales acltan el análss y la nterpretacón, son las tablas de dstrbucón acumulatvas y los dagramas de polígonos acumulatvos mejor conocdos como ojvas. Estos grácos los podemos generar a partr de las tablas de dstrbucón de recuencas: 1) absolutas, ) relatvas, o 3) porcentuales, menconadas en la seccón.4. Dstrbucones acumulatvas y polígonos acumulatvos. Para construr una tabla de dstrbucón de recuenca acumulada, prmeramente decdmos s se desea construrla con recuencas absolutas, o con proporcones, o ben con porcentajes. Después escogemos el tpo de dstrbucón acumulatva, ya sea la "menor que" o la dstrbucón acumulatva "mayor que" y por últmo, nos basamos en la tabla de recuencas para r determnando la recuenca acumulada de cada clase tal como lo ndca el Ejemplo.4. Ejemplo.4. En la Tabla.8 aparece la dstrbucón acumulada "menor que" con recuencas relatvas usando los datos de la Tabla.6. TABLA.8. DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS RELATIVAS ACUMULATIVA "MENOR QUE" Clase o Frecuenca Frecuenca Relatva Operacón Intervalo Relatva Acumulada "menor que" eectuada menos de $ nnguna a menos de menos de a menos de menos de menos de Como se puede observar, esta tabla se construyó regstrando prmero los límtes nerores de cada clase a partr de la dstrbucón de recuencas relatvas, luego se nsertó un límte extra al nal. Se calcularon las Departamento de Matemátcas 13 Unversdad de Sonora. Tema II: Semestre 010-

14 Frecuenca relatva acumulada Notas de Estadístca Aplcada a la Admnstracón, Contaduría e Inormátca Admnstratva I. recuencas relatvas acumulatvas en la columna "menor que" determnando la recuenca relatva de observacones menores que de cada uno de los valores de los límtes establecdos. Es decr, tomamos en cuenta prmero sólo datos menores de $80, después sólo datos menores de $107 y así sucesvamente hasta llegar al últmo límte neror. Ejemplo.5 Smlarmente se puede construr una tabla acumulatva "mayor que" determnando la recuenca relatva de observacones mayores que de cada uno de los valores de los límtes nerores establecdos. Es decr, tomamos en cuenta prmero sólo datos mayores de $80, después sólo datos mayores que $107 y así sucesvamente hasta llegar al últmo límte neror. Operando de esta orma obtenemos la tabla de dstrbucón acumulatva sguente. TABLA.9.DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS ACUMULATIVA PORCENTUAL "MAYOR QUE" DE LOS DATOS DE LA TABLA.4.6 Clase o Intervalo Frecuenca porcentual Frecuenca Acumulada "mayor que" Operacón eectuada mayor que $107 13% 100% Nnguna mayor que 134 3% 87% mayor que 161 3% 64% 100 (13 + 3) mayor que 188 7% 41% 100 ( ) mayor que 15 14% 14% 100 ( ) mayor que 4 0% 0% 100 ( ). Note que se nsertó el límte neror de la séptma clase con el propósto de ndcar en la gráca, la ausenca de observacones en esa clase y en las clases sguentes. Polígonos acumulatvos u Ojvas. Para construr un polígono acumulatvo u ojva se colocan los límtes nerores de clase en el eje horzontal y las recuencas acumulatvas (absolutas, relatvas o porcentuales) en el eje vertcal. En la Fgura.8 aparece la ojva "menor que" basándose en los datos obtendos en la Tabla Consumo de electrcdad 0 menor que $107 menor que 134 menor que 161 menor que 188 menor que 15 menor que $4 Cantdad de dnero en consumo Fgura.8. Ojva "menor que" de los datos de la Tabla.8. La ojva "mayor que" surgda a partr de los datos obtendos en la Tabla.9 se muestra en la Fgura.9. Departamento de Matemátcas 14 Unversdad de Sonora. Tema II: Semestre 010-

15 Frecuenca acumulada porcentual Notas de Estadístca Aplcada a la Admnstracón, Contaduría e Inormátca Admnstratva I. 10% 100% 80% 60% 40% 0% Consumo de electrcdad 0% mayor que $107 mayor que 134 mayor que 161 mayor que 188 mayor que 15 mayor que $4 Cantdad de dnero en consumo Fgura.9. Ojva mayor que de los datos de la Tabla.9. Dagramas de caja. Los dagramas de caja es un medo muy útl para representar datos. En dcho dagrama, los valores mínmo y máxmo, los cuartles neror (prmer 5% de todos los datos) y superor (tercer 5% de todos los datos (tambén llamados percentles 5 y 75) respectvamente, y la medana (prmer 50% de todos los datos o percentl 50) se representan en una caja rectangular alneada ya sea horzontal o vertcalmente. La caja se extende del cuartl neror al superor, y es atravesada de un lado al otro por la medana. A partr de los extremos de la caja se extenden líneas ( bgotes ) hasta los valores mínmo y máxmo. Por ejemplo, un gerente de ventas está nteresado en comparar las ventas mensuales realzadas en el año 008 con las ventas mensuales realzadas en el año 009. El gerente ha recolectado las 1 observacones de cada año. Los datos aparecen en la Tabla.10 TABLA.10. VENTAS MENSUALES DE LOS AÑOS 008 Y 009. Mes Venta realzada en el año 008. (mles de pesos) Venta realzada en el año 009 (mles de pesos) Enero Febrero Marzo Abrl Mayo Juno Julo Agosto Septembre Octubre Novembre Dcembre La medana de las ventas realzadas en el año 008 es mentras que los percentles 5 y 75 son respectvamente y 18.. La medana de las ventas realzadas en el año 009 es y los percentles 5 y 75 son 15.0 y 18.5 respectvamente. La venta mínma Departamento de Matemátcas 15 Unversdad de Sonora. Tema II: Semestre 010-

16 Notas de Estadístca Aplcada a la Admnstracón, Contaduría e Inormátca Admnstratva I. mensual en el año 008 ue de 1.15 mles de pesos y la máxma de 0.5, mentras que la venta mensual mínma realzada en el año 009 ue de mles de pesos y la venta mensual máxma ue de 19.9 mles de pesos. En la Fgura.10 se muestran los dagramas de caja para las ventas realzadas en los dos años. V e n t a s e n m l e s $ Año Año Fgura.10. Dagramas de caja para las ventas mensuales de los años 008 y 009. La representacón de la Fgura.10 revela claramente la derenca en las ventas entre los dos años. Tambén ndca que ambos años producen dstrbucones razonablemente smétrcas de ventas mensuales con smlar varabldad o dspersón..6. Meddas descrptvas de localzacón y dstrbucón. En la seccón anteror, los datos en bruto se recoplaron y se resumeron en orma apropada en tablas y grácas. En esta seccón se desarrollará una ampla varedad de meddas de resumen descrptvas, las cuales son útles para analzar e nterpretar datos cuanttatvos, ya sea recolectados en orma bruta (datos no agrupados) o resumdos en dstrbucones de recuenca (datos agrupados). Para ambos casos, se desarrollarán órmulas smlares para obtener estas meddas de resumen descrptvas y cuando sea posble se mostrará un planteamento gráco utlzando las grácas construdas en las seccones anterores. En orden descendente de mportanca, las tres propedades o característcas mayores que descrben un conjunto de datos pertenecentes a alguna varable numérca o a un enómeno de nterés son: 1) Poscón, ) Dspersón y 3) Forma. En cualquer análss o nterpretacón de datos numércos, se puede utlzar una gran varedad de meddas descrptvas que representan las propedades de poscón, dspersón y orma, para esquematzar y resumr las característcas salentes del conjunto de datos. S estas meddas de resumen descrptvas se calculan con una muestra de datos se llaman estadístcos; s estas meddas descrptvas se calculan a partr de toda la poblacón de datos se llaman parámetros..6.1 Meddas de poscón o centralzacón. La característca más mportante que descrbe o resume un grupo de datos es su poscón. La mayor parte de los datos muestran una tendenca denda a reunrse en torno de un certo punto. Exsten tres meddas prmaras de poscón o de tendenca central estas son en orden de mportanca, la meda artmétca, la medana y la moda. Departamento de Matemátcas 16 Unversdad de Sonora. Tema II: Semestre 010-

17 Notas de Estadístca Aplcada a la Admnstracón, Contaduría e Inormátca Admnstratva I. La meda artmétca. La meda artmétca mejor conocda como promedo es la medda de tendenca central más conocda y de mayor uso. Esta medda es muy ácl de calcular a partr de los datos ya sea recoplados en orma bruta o dstrbudos en una tabla. Esta medda de tendenca central se ndca medante el símbolo y se calcula sumando todos los datos de la muestra y, se dvden entre el número total de datos recoplados en la muestra. Así, s 1,, 3, n son los datos recoplados en la muestra, entonces, 1 n 3 En donde: es la meda artmétca o promedo de la muestra, n es el tamaño de la muestra, es el dato número de la muestra tomada, n n 1 n. (.1) Ejemplo.6. La meda artmétca para los datos de la Tabla.4.1 es: mnutos. 0 0 S los datos se encuentran resumdos como los de la Tabla. entonces utlzamos la órmula (.) En donde: es la meda artmétca o promedo de la muestra, es el dato número de la muestra tomada, es la recuenca con que se repte el dato. k es el número de datos derentes que aparecen en la muestra. k k k k 1 k 1. (.) Ejemplo.7. La meda artmétca para los datos de la Tabla. es: (1)(1) (3)() (6)(3) (3)(4) (4)(5) ()(6) (1)(7) mnutos Como se puede observar en los ejerccos anterores el número 3.8 obtendo, no pertenece a la muestra pero, podemos observar que en la muestra exsten 10 valores menores que 3.8 y 10 valores mayores que 3.8. Por lo tanto, la meda actúa como un punto de equlbro o como una balanza, de tal manera que las observacones que son mayores equlbran a las que son menores. De una manera smlar se puede calcular la meda artmétca para los datos que aparecen en las Tablas.3 y.4. S los datos de la muestra ueron agrupados en una tabla de dstrbucón, para calcular la meda utlzamos la órmula (.3). Departamento de Matemátcas 17 Unversdad de Sonora. Tema II: Semestre 010-

18 Notas de Estadístca Aplcada a la Admnstracón, Contaduría e Inormátca Admnstratva I. m m m m k k k k 1 k 1 m. (.3) En donde: es la meda artmétca o promedo de la muestra, m es el punto medo o marca de clase de la clase de la dstrbucón de recuenca, es la recuenca de la clase de la dstrbucón k es el número de marcas de clase en la dstrbucón. sgnca aproxmadamente gual. Ejemplo.8. Para calcular la meda artmétca de los datos de la Tabla.4.6, prmeramente debemos calcular los puntos medos o marcas de clase de la dstrbucón, colocarlos en una tabla (ver tabla.11.) acompañados con sus respectvas recuencas y se aplca la órmula (.3). TABLA.11. TABLA PARA CALCULAR LA MEDIA A PARTIR DE UNA TABLA DATOS AGRUPADOS Puntos Medos Frecuencas absolutas (4)(93.5) (7)(10.5) (7)(147.5) (8)(174.5) (4)(01.5) $ La meda artmétca para los datos no agrupados de la Tabla.5 es observe la smltud 30 del valor calculado para los datos agrupados. Además, en los datos no agrupados, exsten 15 datos de la muestra que son menores que la meda calculada y 15 valores mayores que la meda. S el valor calculado de la meda para los datos agrupados lo marcamos en el hstograma o en el polígono de recuencas, este valor será el centro de gravedad de estos grácos. Es decr, un eje que pase por el valor representatvo de la meda artmétca dvdrá al hstograma o al polígono de recuencas en dos partes, cada una contenendo aproxmadamente el msmo número de observacones. La medana. La medana es la segunda medda de tendenca central en mportanca después de la meda artmétca y es utlzada cuando el (o los) valor(es) extremo(s) en un conjunto de datos aecta tanto a la meda artmétca que ésta no es una buena medda de tendenca central en esas crcunstancas. Por eso cuando uno de los valores extremos (o ambos) aecta consderablemente, es más apropado utlzar la medana como medda de tendenca central, la medana no se aecta con cualquera valores extremos en un conjunto de datos. La medana es una medda de tendenca central que aparece en el medo de la sere de datos ordenada. Es decr, la mtad de las observacones en el conjunto de datos son menores que ella y la otra mtad son mayores que ella. Para calcular la medana de un conjunto de datos los cuales se encuentran en su orma bruta, prmeramente los ordenamos ya sea de menor a mayor o ben de mayor a menor. S el número de observacones es mpar se toma el valor que esté en la mtad de los datos ordenados. S el número de datos es par, se toma la meda artmétca de los dos datos ntermedos. Departamento de Matemátcas 18 Unversdad de Sonora. Tema II: Semestre 010-

19 Notas de Estadístca Aplcada a la Admnstracón, Contaduría e Inormátca Admnstratva I. Ejemplo.9. Para calcular la medana de los datos que aparecen en la Tabla.5, prmeramente los ordenamos en orma crecente (pueden ordenarse tambén en orma decrecente) tal como se muestra en la Tabla.1. TABLA.1. DATOS ORDENADOS DE MENOR A MAYOR DE LA TABLA Como el número de datos es par, n 30, localzamos las dos observacones ntermedas, en este caso las observacones que se encuentran en el lugar 15 y 16. Esto es, la últma observacón de la prmera mtad y la prmera observacón de la segunda mtad en los datos ordenados. Así, Medana = $ S los datos observados en la muestra están resumdos en una tabla de dstrbucón, el valor aproxmado de la medana se puede calcular medante la órmula (.4). n B M Medana B M M (.4) En donde, B M rontera neror del ntervalo de clase que contene a la medana. número de observacones en el ntervalo de clase que contene a la medana. M B M número total de observacones antes ancho del ntervalo de clase que contene a la medana. n observacón medana. del ntervalo de clase que contene a la medana. Ejemplo.10. Para los datos resumdos en la Tabla.5, se tene que el ntervalo de clase que contene a la n 30 medana es el ntervalo de clase que contene al dato número 15. Este ntervalo es "De 134 a menos de 161", su rontera neror es 134, el número de observacones que tene este ntervalo son 7, el número de observacones antes de este ntervalo son 11 y el ancho de este ntervalo es = 7. Así, se tene que: n 30 B M 134; M 7; B M 11; 7 y 15 Susttuyendo estos valores en la órmula (.4) obtenemos: Medana B M n M BM Departamento de Matemátcas 19 Unversdad de Sonora. Tema II: Semestre 010-

20 Notas de Estadístca Aplcada a la Admnstracón, Contaduría e Inormátca Admnstratva I. Se puede conclur que 15 de las 30 amlas muestreadas tuveron montos menores de $ y las otras 15 amlas tuveron montos mayores que $ Cuantles. Los cuantles son meddas de poscón que se determnan medante un método que determna la ubcacón de los valores que dvden un conjunto de observacones en partes guales. Cuando se trata de datos agrupados en una dstrbucón de recuencas, los cuantles son los valores de la dstrbucón que la dvden en partes guales, es decr, en ntervalos que comprenden el msmo número de valores. Cuando la dstrbucón contene un número alto de ntervalos o de marcas y se requere obtener un promedo de una parte de ella, se puede dvdr la dstrbucón en cuatro, en dez o en cen partes guales. Los cuantles más usados son los cuartles, cuando dvden la dstrbucón en cuatro partes; los decles, cuando dvden la dstrbucón en dez partes y los percentles o porcentles, cuando dvden la dstrbucón en cen partes. Los cuartles, como los decles y los percentles, son en certa orma una extensón de la medana. Cálculo de los cuartles a) Para datos agrupados. Para calcular los Cuartles Q 1, Q, Q 3 y Q 4 desde una tabla de dstrbucón de recuencas, se aplca la órmula Donde, k-ésmo cuartl de la muestra, k = 1,, 3, 4 n = tamaño de la muestra = suma de todas las recuencas de clase hasta, pero sn nclur la clase del k-ésmo cuartl. recuenca de la clase que contene al k-esmo cuartl. w = ancho del ntervalo de clase. límte neror del ntervalo de la clase que contene al k-esmo cuartl. b) Para datos no agrupados. S se tenen una sere de valores 1,, 3,..., n, los cuartles se localzan medante las órmulas, dependendo de s el número de datos, n, es par o mpar, respectvamente. Sendo k el número del cuartl deseado; (k = 1,, 3, 4). Nota mportante: El resultado que se obtene al aplcar la órmula (.6) o (.7), nos ndca el número de dato en la tabla de datos ordenados, donde se encuentra el cuartl deseado. Por lo tanto, una vez aplcada una de las órmulas, debemos dentcar al dato que representa a dcho cuartl. S el resultado que se obtene al aplcar la órmula contene decmales, debemos calcular la parte proporconal usando la derenca entre los dos números enteros consecutvos de la tabla de datos ordenados y sumársela al dato menor. Ver ejemplo.1. Departamento de Matemátcas 0 Unversdad de Sonora. Tema II: Semestre 010-

21 Notas de Estadístca Aplcada a la Admnstracón, Contaduría e Inormátca Admnstratva I. Cálculo de Decles a) Para datos agrupados. Para calcular los Decles D 1, D, D 3,, D 10 desde una tabla de dstrbucón de recuencas, se aplca la órmula (.8). Donde, k-ésmo decl de la muestra, k = 1,, 3, 4,, 10 n = tamaño de la muestra = suma de todas las recuencas de clase hasta, pero sn nclur la clase del k-ésmo decl. recuenca de la clase que contene al k-ésmo decl. w = ancho del ntervalo de clase. límte neror del ntervalo de la clase que contene al k-ésmo decl. b) Para datos no agrupados S se tenen una muestra 1,, 3..., n de valores, los decles pueden ser localzados usando las órmulas, dependendo de s el número de datos de la muestra, n, es par o mpar, respectvamente. Donde k el número del decl deseado; (k = 1,,, 10). Nota mportante: El resultado que se obtene al aplcar la órmula (.6) o (.7), nos ndca el número de dato en la tabla de datos ordenados, donde se encuentra el decl deseado. Por lo tanto, una vez aplcada una de las órmulas, debemos dentcar al dato que representa a dcho decl. S el resultado que se obtene al aplcar la órmula contene decmales, debemos calcular la parte proporconal usando la derenca entre los dos números enteros consecutvos de la tabla de datos ordenados y sumársela al dato menor. Ver ejemplo.1. Cálculo de percentles. a) Para datos agrupados. Para calcular los percentles P 1, P,, P 100 desde una tabla de dstrbucón de recuencas, se aplca la órmula (.11). Donde, k-ésmo percentl de la muestra, k = 1,, 3, 4,, 100. n = tamaño de la muestra = suma de todas las recuencas de clase hasta, pero sn nclur la clase del k-ésmo percentl. recuenca de la clase que contene al k-esmo percentl. w = ancho del ntervalo de clase. límte neror del ntervalo de la clase que contene al k-esmo percentl. Departamento de Matemátcas 1 Unversdad de Sonora. Tema II: Semestre 010-

22 Notas de Estadístca Aplcada a la Admnstracón, Contaduría e Inormátca Admnstratva I. b) Para datos no agrupados S se tenen una muestra de valores 1,,..., n, los percentles pueden ser calculados por medo de las, dependendo de s el número de datos de la muestra, n, es par o mpar, respectvamente. donde k el número del percentl deseado; (k = 1,,, 100). Nota mportante: El resultado que se obtene al aplcar la órmula (.6) o (.7), nos ndca el número de dato en la tabla de datos ordenados, donde se encuentra el percentl deseado. Por lo tanto, una vez aplcada una de las órmulas, debemos dentcar al dato que representa a dcho percentl. S el resultado que se obtene al aplcar la órmula contene decmales, debemos calcular la parte proporconal usando la derenca entre los dos números enteros consecutvos de la tabla de datos ordenados y sumársela al dato menor. Ver ejemplo.1. Es ácl observar que: el prmer cuartl concde con el percentl 5; el segundo cuartl con el decl 5; el percentl 50 y el tercer cuartl con el percentl 75. Ejemplo.11. Para los datos agrupados de la Tabla.6, el tercer cuartl se calcula usando la órmula (.5), donde k = 3; n = 30; puesto que el 75% de los datos de la muestra se encuentra en la cuarta clase, = = 18; ; w = ( ) = 7 y. Susttuyendo estos valores en la órmula menconada arrba se tene que: Para calcular los cuantles de datos no agrupados, prmero debemos ordenar los datos de la muestra de menor a mayor y después aplcar las órmulas (.6) o (.7); (.9) o (.10); (.1) o (.13) para cuartles, decles y percentles respectvamente, según sea el caso del tamaño de la muestra (par o mpar). Ejemplo.1. Para los datos no agrupados y ordenados de menor a mayor de la Tabla.1, el séptmo decl se calcula usando la órmula (.9) ya que n es par, con k = 7. Así: El resultado obtendo desde la órmula (.9) nos ndca que el decl 7 se encuentra en el dato 168. Smlarmente, para calcular el percentl 85 usamos la órmula (.1) ya que n es par, con k = 65. Así, Departamento de Matemátcas Unversdad de Sonora. Tema II: Semestre 010-

23 Notas de Estadístca Aplcada a la Admnstracón, Contaduría e Inormátca Admnstratva I. El resultado obtendo desde la órmula, nos ndca que el percentl 85 se encuentra en la mtad de los datos 5 y 6 de la Tabla.1. Los datos requerdos para realzar la ponderacón son respectvamente, 178 y 185. Ahora calculamos la parte proporconal de la derenca entre estos dos números (Es decr, la parte decmal del resultado obtendo en la órmula). Esto es: Por lo tanto, el percentl 85 es La moda. La moda es la tercera medda de centralzacón en mportanca, es el valor que ocurre con más recuenca en un conjunto de observacones. S en una muestra de valores exste un solo valor que se repte un número determnado de veces, se dce que esa muestra es unmodal. Cuando dos valores no adjuntos son cas guales al tener recuencas máxmas asocadas a ellos, la dstrbucón se descrbe como bmodal. Las dstrbucones de medcones con varas modas se denomnan multmodales. S en una muestra pequeña no se repten valores observados, no hay moda. Ejemplo.13. Para los datos que aparecen en la Tabla.1 se observa que esta muestra es unmodal y que su moda es 3 ya que el 3 es el número que aparece con mayor recuenca en la muestra tomada. Esto sgnca que regularmente, el mayor número de personas que sean atenddas en las ventanllas de ese banco tendrán un tempo de atencón de 3 mnutos. Para los datos agrupados en una dstrbucón de recuencas con ntervalos de clase guales, prmeramente se determna la clase que contene a la moda, dentcando la clase con el número mayor de observacones. En algunos textos desgnan la moda como el punto medo de la clase modal. Sn embargo en la mayor parte de los textos se realza una nterpolacón dentro de la clase modal basándose en la órmula (.14). En donde B M d Moda 1 B M d1 d rontera neror de la clase que contene a la moda. (.14) d 1 derencaentrela recuencaen la clase modaly la recuencaen la clase anteror. d derencaentrela recuencaen la clase modaly la recuencaen la clasesguente. tamaño del ntervalo de clase. Ejemplo.14. Reréndose a la dstrbucón de recuenca de la Tabla.6. La clase modal es la clase con límtes de clase $161 a menos de $188 debdo a que de todas las clases en la dstrbucón, ésta es la que tene mayor recuenca. Así, y, B M 161; d ; d 8 4 4; 1 Moda Departamento de Matemátcas 3 Unversdad de Sonora. Tema II: Semestre 010-

24 Frecuenca Frecuenca Notas de Estadístca Aplcada a la Admnstracón, Contaduría e Inormátca Admnstratva I. El valor encontrado de es el valor representatvo que orece la órmula y puede ser propuesto como el dato que ocurrrá con mayor recuenca. Es evdente que este dato no se encuentra en la muestra obtenda pero sería una buena aproxmacón en caso de que los datos tuveran una moda. Por {ultmo, s marcamos el valor encontrado de la moda en el hstograma o en el polígono de recuencas, este valor ndcará la cantdad que aparece con mayor recuenca. Una dstrbucón de recuencas puede carecer de moda o ben tener varas modas..6.. Relacón entre la Meda, la Medana y la moda. Las derentes meddas de centralzacón, tenen ventajas y desventajas una con respecto de las otras, depende mucho de la orma en que estén dstrbudos los datos y el propósto de la normacón que se obtenga. El únco caso en que se puede asegurar que las tres meddas concden es cuando la moda exste y es únca y, además, los valores de la muestra están dstrbudos smétrcamente alrededor de un punto como lo muestra la Fgura.11. Fgura.11. Una dstrbucón smétrca donde las meddas de centralzacón son guales. Puede darse el caso en que la dstrbucón sea smétrca con respecto a un punto y las meddas de centralzacón sean dstntas como se puede observar en la Fgura.1. En esta dstrbucón, se da el caso en que la Meda y la Medana son guales pero exsten o más Modas. Fgura.1. Una dstrbucón smétrca donde las meddas de centralzacón son derentes. La stuacón más común se presenta cuando la dstrbucón de valores de la muestra es asmétrca o dsmétrca. Puede presentarse una dstrbucón que sea dsmétrca postva o dsmétrca negatva tales como las que se pueden observar en la Fguras.13. a) y.13. b). Departamento de Matemátcas 4 Unversdad de Sonora. Tema II: Semestre 010-

25 Frecuenca Frecuenca Notas de Estadístca Aplcada a la Admnstracón, Contaduría e Inormátca Admnstratva I. a) Dstrbucón Asmétrca Postva b) Dstrbucón Asmétrca Negatva. Fgura.13. Dstrbucones asmétrcas o dsmétrcas. Basándose en las meddas de centralzacón Meda, Medana y Moda, podemos saber el tpo de dstrbucón de recuencas de acuerdo a las relacones que aparecen la Tabla.13. TABLA.13. RELACIÓN ENTRE LA MEDIA, MEDIANA Y MODA. Condcones Tpo de dstrbucón S Meda = Medana = Moda Smétrca S Meda Medana Moda Dsmétrca postva S Moda Medana Meda Dsmétrca negatva.7. Meddas de Dspersón. Como se menconó en la seccón.6, la segunda característca que descrbe un conjunto de datos es la dspersón. La dspersón es la cantdad de varacón o de dsemnacón de los datos. Exsten varas ormas para medr el grado de dspersón en los conjuntos de datos. En esta seccón se descrben las más mportantes, éstas son la Varanza, la Desvacón estándar y el Coecente de Varacón. Varanza y Desvacón Estándar. Dos meddas que tenen en cuenta cómo se dstrbuyen todas las observacones en los datos, son la varanza y la raíz cuadrada postva de ésta, llamada desvacón estándar. Su cálculo varía dependendo de s se trata de la poblacón o de una muestra de ésta. Para una poblacón, la varanza se representa por la letra grega mnúscula la cual se lee "sgma cuadrado", la órmula para su cálculo es: N 1 (.15) N varanza de la muestra se representa por s, su órmula es: Departamento de Matemátcas 5 Unversdad de Sonora. Tema II: Semestre 010- en donde es la meda poblaconal, N es el tamaño y es cada uno de las observacones de la poblacón. Cuando se calcula la varanza para una muestra, resulta que regularmente no es exactamente equvalente a la varanza para la poblacón de donde se tomó la muestra, esto se debe a actores de sesgo, lo cual se explcará en seccones posterores. Para el cálculo de la varanza de la muestra, se ncluye un actor de correccón ya que la varanza de la muestra, es un estmador no sesgado de la varanza de la poblacón. La

26 Notas de Estadístca Aplcada a la Admnstracón, Contaduría e Inormátca Admnstratva I. s N 1 n 1 (.16) en donde es la meda, n es el tamaño y es cada uno de las observacones de la muestra. Interpretar el sgncado del valor de la varanza, resulta regularmente dícl porque las undades en que se expresa no son las msmas de las observacones del conjunto de datos. Por este motvo, la raíz cuadrada de la varanza, la cual se representa por la letra grega o por s s se trata de una muestra y, llamada desvacón estándar, se utlza con mayor recuenca y las órmulas para calcularla son: para la poblacón y, N 1 (.17) N para la muestra. s n 1 n 1 (.18) Esta desvacón estándar será partcularmente muy útl para el desarrollo del tema de dstrbucones de probabldad. Ejemplo.15. Para los datos no agrupados de la Tabla.1, la meda artmétca resultó ser 3.8 mnutos (ver ejemplo.6). Consderando que estos datos ueron extraídos de una poblacón nnta, la desvacón estándar se calcula medante la órmula (.18). Los cálculos aparecen en la Tabla.14: TABLA.14. TABLA PARA CALCULAR DE LA DESVIACIÓN ESTÁNDAR DE DATOS NO AGRUPADOS. ( ) Total 47. Departamento de Matemátcas 6 Unversdad de Sonora. Tema II: Semestre 010-