ASIGNATURA: ESTADISTICA II (II-055) Ing. César Torrez

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1 ASIGNATURA: ESTADISTICA II (II-055) Ing. César Torrez

2 Programa de Estadística II UNIDAD IV: REGRESIÓN Y CORRELACIÓN MÚLTIPLE LINEAL TANTO SIMPLE COMO OBJETIVOS ESPECÍFICOS: Identificar los términos de variable dependiente e independiente. Determinar los coeficientes de correlación y determinación. Establecer la recta de regresión lineal simple y múltiple. Realizar inferencias sobre los coeficientes de regresión. CONTENDO TEMÁTICO Definición de Regresión Lineal. Aplicaciones. Diagrama de dispersión. Regresión Lineal Simple. Método de Mínimos Cuadrados. Estimación de los coeficientes de regresión. Inferencias acerca de los coeficientes de regresión. Intervalo de confianza para β. Intervalo de confianza para α. Predicción. Intervalo de confianza para la respuesta media (µ YІXo). Intervalo de predicción. Selección de un modelo de regresión. Prueba de linealidad de la regresión. Falta de ajuste. Gráficas y transformaciones de datos. Coeficiente de determinación. Coeficientes de correlación. Coeficiente de correlación de Pearson. Factores que influencian el coeficiente de correlación. Regresión lineal múltiple. Enfoque matricial para la regresión lineal múltiple. Pruebas de hipótesis en la regresión lineal múltiple. Intervalos de confianza en la regresión lineal múltiple.

3 El fumador y el cáncer de pulmón a) qué tanta correlación hay entre las variables b) Determinar el modelo algebraico que mejor ajusta los datos para hacer inferencias sobre otros elementos.

4 REGRESION Un modelo de regresión es un modelo que permite describir como influye una variable X sobre otra variable Y. X: Variable independiente o explicativa o exogena Y: Variable dependiente o respuesta o endogena (la variable que se va a predecir) El objetivo es obtener estimaciones razonables de Y para distintos valores de X a partir de una muestra de n pares de valores (x1; y1),..,(x n ; y n ).

5 REGRESION Ejemplos Estudiar como influye la estatura del padre sobre la estatura del hijo. Estimar el precio de una vivienda en función de su superficie. Predecir el porcentaje de desempleo para cada edad.

6 Análisis de correlación Un grupo de técnicas para medir la magnitud de la relación entre dos variables. El primer paso para evaluar la correlación de dos variables es realizar un grafico de dispersión.

7 DIAGRAMA DE DISPERSIÓN El diagrama de dispersión es una representación grafica de dos variables cuantitativas que se analizan de manera simultanea, en general se denotan por x y y. La característica de estos gráficos es que los datos se presentan en forma de puntos, sin estar unidos por segmentos de recta

8 DIAGRAMA DE DISPERSIÓN

9 Diagramas de dispersión que muestran algunos patrones de la relación entre x y y. Relación lineal positiva perfecta, al aumentar x aumenta y Relación lineal negativa perfecta, al aumentar x aumenta y Falta de relación entre x y y Relación no lineal entre x y y

10 EL MODELO DE REGRESION LINEAL SIMPLE El modelo de regresión lineal simple supone que, donde: yi representa el valor de la variable respuesta para la observación i- esima. xi representa el valor de la variable explicativa para la observación i- esima. ui representa el error para la observación i-esima que se asume normal, β0 y β 1 son los coeficientes de regresión: β 0 : intercepto β 1 : pendiente Los parámetros que hay que estimar son: β0, β 1 y σ.

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19 β 0 : β 1 :

20 Estimación de una respuesta promedio Por ejemplo, en el ejercicio 4.1: 1. Cual será el precio medio del kg. de harina para los años en que se producen 30 ton. de trigo? 60 Yi = 74,115-1,3536x Yi = 74,115-1,3536 x (30) Y Precio del kilo harina Yi = 33, X producción de trigo

21 El coeficiente de correlación Es una medida de la magnitud de la relación lineal entre dos variables r = n ( XY ) ( X )( Y ) [ n( X ) ( X )( n Y ( Y )] n = número de pares de observaciones

22 El coeficiente de correlación Correlación negativa perfecta Ninguna correlación Correlación positiva perfecta Correlación negativa fuerte Correlación negativa moderada Correlación negativa débil Correlación positiva débil Correlación positiva moderada Correlación positiva fuerte - 0, Correlación negativa Correlación positiva

23 CORRELACIÓN R= 1 R= -1 R= 0,625 R= -0.84

24 CORRELACIÓN Relación lineal positiva fuerte

25 Coeficiente de determinación Es una proporción o porcentaje de la variación total de la variable dependiente Y que se explica por, o se debe a, la variación en la variable X r 2 Este factor permite una medición más cuantitativa de la relación de variables, superando la debilidad del factor de correlación que se expresa en valores, débiles, moderados y fuertes

26 COEFICIENTE DE DETERMINACION El 71% de las variaciones del precio del kilo de harina se explica por la producción de harina de los años 80.

27 Error estándar de estimación (S R ) Es una medida de la dispersión de los valores observados alrededor de la línea de dispersión. S x Y 2 β O Y) β ( ( 1 = XY ) y n 2 El error estándar de la estimación que se denota con S y-x es el mismo concepto de la desviación estándar tratada en estadística I. También se conoce como S R, desviación residual

28 Error estándar de estimación Sy-x, mide la dispersión alrededor de la línea de regresión

29 ERROR ESTÁNDAR DE ESTIMACIÓN 1S- Y + 1S comprende el 68% central de los valores 69,02 Y 79,2 comprende el 68% central de los valores

30 PRESUPUESTOS SUBYACENTES A LA REGRESIÓN LINEAL 1. Para cada valor de X hay un grupo de valores Y, estos valores Y están distribuidos normalmente. 2. Todas las medidas de estas distribuciones normales de Y están sobre la línea de regresión. 3. Las desviaciones estándar de las distribuciones normales son iguales. 4. Los valores de Y son estadísticamente independientes.

31 Intervalos de confianza e hipótesis Hasta ahora se determinó la correlación entre las variables Y y X, la cual resulto ser de 0,84, sin embargo el número de datos tomados (muestra) eran 10. Existe la posibilidad de que la correlación muestral fuera casualidad, y no corresponda a la correlación de las variables poblacionales. Podrá ser que la correlación de la población fuera cero?

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33 S 2 R = Varianza residual S 2 x = varianza de x S = 2 n n n 2 X i i= 1 i= 1 n ( n 1) X i 2

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35 S 2 R = (5,098)^2 = 25,99

36 4,509 No se rechaza Ho (no hay correlación en la población) β 1 : 2,306 Región de rechazo (hay correlación)

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40 8,434 No se rechaza Ho (no hay correlación en la población) β 0 : 2,306 Región de rechazo (hay correlación)

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42 TRABAJO Definir e indicar las formulas de cálculo: Regresión lineal múltiple. Enfoque matricial para la regresión lineal múltiple. Pruebas de hipótesis en la regresión lineal múltiple. Intervalos de confianza en la regresión lineal múltiple. Realizar el ejercicio en excel de la pagina 313 (Ejemplo 6.16) * * Gutiérrez, González, Eduardo, and Panteleeva, Olga Vladimirovna. Estadística inferencial 1 para ingeniería y ciencias, Grupo Editorial Patria, ProQuest Ebook Central

43 Resolver para cada ejercicio Realice el diagrama de dispersión. Determine si gráficamente se observa alguna relación. Determine la ecuación de regresión. Determine el coeficiente de correlación. Explique que tipo de correlación hay. Determine el coeficiente de determinación. Cómo se interpreta.? Determine el error estándar. Determine la desviación estándar. Como se interpreta? Determine los intervalos de confianza para cada coeficientes de la ecuación de regresión y realice las pruebas de hipótesis, como se interpreta cada una?

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