Ideas para tus asesorías de Matemáticas Secundaria

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1 Ideas para tus asesorías de Matemáticas Secundaria Estrategias didácticas 1

2 Matemáticas Clave del tema SEC.1.M Material Objetivo Cartulina Plumones Tijeras Identificar el mínimo común múltiplo de dos números. Tema: Los números naturales y sus operaciones: potenciación, múltiplos, conteo, divisores y criterios de divisibilidad. Actividad didáctica Los múltiplos 1. Previamente es necesario llevar unas tarjetas de 3 x 3 cm (anexo) cada una de ellas tendrá un múltiplo de un número (por ej. 0, 5, 10, 15, etc.). Trabajarán en equipos de máximo tres personas, a cada equipo proporcionar dos juegos de tarjetas (en desorden), por ejemplo los múltiplos del 8 y del 5, en donde las tarjetas de los múltiplos en común sean de color diferente al resto. 2. La instrucción será colocar de forma ascendente los múltiplos de los números que se les haya asignado. En seguida hacer la reflexión del por qué algunos están de otro color, en ese momento se introducir el concepto de mínimo común múltiplo. 3. Pedir que resuelvan algunos ejercicios sobre este tema en su cuaderno, primero encontrarán los múltiplos de cada uno de los números, señalarán con un color los que estén en ambas tablas y luego encontrarán el mínimo común múltiplo. Consejos (tips) El tema propuesto para realizar la dinámica de Los múltiplos se puede correlacionar con el tema: SEC.2.M Los números naturales (factorización prima, m.c.m.) y fraccionarios (operaciones básicas). 2

3 Esquemas / cuadro sinópticos / mapas mentales / anexos Tarjetas para obtener el mínimo común múltiplo de 5 y 8. Tarjetas para obtener el mínimo común múltiplo de 15 y 10. 3

4 Números naturales Son infinitos Se pueden ordenar Todos tienen un sucesor Todos tienen un antecesor, excepto el cero Múltiplo: se obtiene al multiplicar el número por otro cualquiera. Divisor: se obtiene al dividir el número se obtiene residuo cero. Mínimo común múltiplo (m.c.m.) de dos números: es el menor número que es múltiplo de los dos, diferente de cero. Un número es divisible por: 2 si termina en 0, 2, 4, 6 u 8. 3 si la suma de sus cifras es múltiplo de 3. 4 si sus dos últimas cifras son múltiplos de 4. 5 si termina en 5 ó si termina en 0. 4

5 Clave del tema SEC.1.M Material Objetivo Cartulina Realizar sumas y restas de fracciones Tijeras con diferente denominador. Tema: Los números decimales y fraccionarios: clasificación de fracciones y operaciones básicas. Actividad didáctica Las fracciones 1. Para esta actividad usar círculos y rectángulos divididos en medios, tercios, cuartos, quintos, sextos, etc. (anexo) pueden estar elaborados de cartón, cartulina o fomi. Dividir al grupo en parejas, entregar el material y pedir que escojan una fracción, por ejemplo 1/2, para que busquen con que otra se puede obtener la misma medida (2/4, 3/6, etc.), en ese momento se introducir el concepto de fracción equivalente. 2. Los mismos equipos realizarán sumas de fracciones con diferente denominador empleando el material anterior, empezarán por encontrar un denominador común y así formar fracciones equivalentes que se puedan sumar fácilmente: 3. Los alumnos copiarán los ejercicios en su cuaderno y resolverán otros propuestos por el asesor. Consejos (tips) El tema propuesto para realizar la dinámica de Las fracciones se puede correlacionar con el tema: SEC.2.M Los números naturales (factorización prima, m.c.m.) y fraccionarios (operaciones básicas). 5

6 Esquemas / cuadro sinópticos / mapas mentales / anexos Figuras para realizar las operaciones. 6

7 Elementos: 6 numerador (núm. de partes que se toman de la unidad) 9 denominador (núm. de partes en que se divide la unidad) Multiplicación: multiplicar los numeradores y multiplicar los denominadores. División: - numerador: producto del numerador de la primera y el denominador de la segunda. - denominador: producto del denominador de la primera y el numerador de la segunda. Fracción Parte de una unidad Propia: 1/3 Impropia: 5/4 Mixta: Las fracciones equivalentes son aquellas que representan el mismo valor. Suma o resta con: -mismo denominador: sumar o restar los numeradores; el denominador es el mismo. -diferente denominador: buscar fracciones equivalentes para tener mismo denominador. 7

8 Clave del tema SEC.1.M Material Objetivo Cuadrículas de 10 x 10 Obtener el porcentaje de un valor dado. cuadritos Colores Tema: Razones y proporciones: porcentajes y variación proporcional. Actividad didáctica El porcentaje 1. Se necesitarán unas cuadrículas de 10 x 10 cuadritos (anexo), los alumnos podrán trabajar de manera individual, a cada uno dar una o varias cuadrículas, en ellas colorearán los cuadritos necesarios para indicar el porcentaje indicado por el asesor. 2. En seguida, cada uno expresará el porcentaje en decimales y llenarán una tabla en donde se indique el porcentaje, su representación en fracción y en decimal. Porcentaje 56% Representación fraccional Representación decimal Proporcionar un listado de ejercicios, para que los realicen en su cuaderno, de cálculo de porcentajes. Consejos (tips) El tema propuesto para realizar la dinámica de El porcentaje se puede correlacionar con varios temas de geografía y ciencias naturales donde se hable de porcentajes. 8

9 Esquemas / cuadro sinópticos / mapas mentales / anexos Cuadrículas de 10 x 10 cuadritos. Variación proporcional Directa: las cantidades aumentan o disminuyen al mismo tiempo. Inversa: cuando una de las cantidades aumenta o disminuye, la otra disminuye o aumenta respectivamente. Porcentaje: expresa un número como una fracción con denominador 100, se representa con el signo %. 9

10 Clave del tema SEC.1.M Material Objetivo Regla de fomi con orificios Canicas Reducir expresiones aritméticas que impliquen números con signos. Tema: Números con signo, patrones y fórmulas: sucesiones de números y expresiones generales. Actividad didáctica Salto de la rana 1. Mediante ilustraciones explicar la existencia y aplicación de los números negativos. 2. Formar al grupo en parejas, entregar una regla graduada de fomi con orificios (anexo) y una canica (que simbolizará una rana). Con el material realizarán operaciones sencillas de suma y resta de números negativos, moviendo la canica de posición, dando saltos a la derecha o a la izquierda simbolizando el valor positivo o negativo. 3. Proporcionar un listado de ejercicios, para que los realicen en su cuaderno. Consejos (tips) En el lugar de canicas se puede utilizar botones. Esquemas / cuadro sinópticos / mapas mentales / anexos Regla graduada con orificios. 10

11 Establecer la operación a realizar. Colocar la rana en la posición del -3. Realizar dos saltos hacia la derecha (+2), la respuesta es el lugar en donde cayó la rana. Suma de dos números con signo Caso I. Los sumandos son positivos: la suma se realiza como se conoce. Caso II. Los sumandos son negativos: la suma se realiza como se conoce, sólo que el signo es negativo. Caso III. Los sumandos son de diferente signo: el valor es igual al valor absoluto del número mayor menos el valor absoluto del número menor. La suma de dos números positivos es un número positivo. Ejemplo: = 89 La suma de dos números negativos es un número negativo. Ejemplo: = -89 El signo del resultado es igual al del número con mayor valor absoluto. Ejemplo: = 11, =

12 Clave del tema SEC.1.M Material Objetivo Dibujos de balanzas y pesas Hojas de rotafolio Resolver ecuaciones de primer grado. Tema: Conceptos generales de álgebra y ecuaciones de primer grado. Actividad didáctica La balanza 1. Formar equipos de máximo tres personas y entregar el material para esta actividad (anexo). Dibujar en hojas de rotafolio los ejercicios a resolver: Cuál es el peso del objeto representado por el rectángulo? 2. Para llegar al resultado podrán cambiar objetos de mayor valor, por ejemplo 500, por la cantidad de objetos de menor valor que sea equivalente, por ejemplo cinco de a Explicar la relación de la balanza con una ecuación lineal y la forma de resolverse, proporcionar individualmente ejercicios para que los resuelvan en su cuaderno. Consejos (tips) Se pueden simbolizar dos camiones de carga en vez de balanzas, pensando en que los dos lleven siempre la misma carga Se puede relacionar con despejes de fórmulas en Física, en SEC.2.N y SEC.2.N

13 Esquemas / cuadro sinópticos / mapas mentales / anexos Material para la balanza. Ejemplos de ejercicios. 1. Cuál es el peso del objeto representado por el rectángulo en cada caso? 2. Cuál es el peso de los rectángulos que se encuentran en las balanzas? 13

14 3. Cuál es el peso de los rectángulos que se encuentran en la balanza? a) b) Expresión algebraica: números, símbolos (literales o variables), signos de operaciones aritméticas y paréntesis. Ejemplos: a) x + y -3, b) 5x 2 + 3x 3 y 3 z. Ecuación: igualdad entre expresiones algebraicas. Ejemplos: 5x + 8 = 22, 7x = 3x Valor numérico: resultado de sustituir valores en cada una de las variables. Ejemplo: Sea 7p + 8, si p = 45, 7p + 8 = 7(45) + 8 = = 323 Ecuación de primer grado: ax + b = c Ejemplo: 4x - 12 = 4 4x = x = 16 x = 4 14

15 Clave del tema SEC.1.M Material Objetivo Imágenes de Identificar algunas propiedades de cuadriláteros los cuadriláteros. Hojas de rotafolio Plumones Tema: Propiedades de las figuras geométricas y tipos de líneas (paralelas, perpendiculares, oblicuas, mediatrices y bisectrices) y ángulos. Actividad didáctica Los cuadriláteros 1. Integrar equipos de máximo tres personas, proporcionar a los equipos imágenes en las que se muestren cuadriláteros en contextos de la vida cotidiana. 2. Pedirás que llenen una tabla con las siguientes casillas: Dibujo Nombre Número de lados Sus lados son iguales? Sus lados opuestos son iguales? Sus ángulos son iguales? Sus ángulos opuestos son iguales? Cuántos ángulos rectos tiene? 3. Grupalmente compararán los resultados, explicarás las propiedades generales de los cuadriláteros al mismo tiempo que mostrarás una tabla o esquema en una hoja de rotafolio. Consejos (tips) Este tema se puede relacionar con SEC.1.M

16 Esquemas / cuadro sinópticos / mapas mentales / anexos Cuadriláteros Paralelogramos: Tienen dos pares de lados paralelos. Trapecios: Tienen dos lados paralelos y los otros dos no. Trapezoides: No tienen lados paralelos. Rectángulo: Tiene cuatro ángulos iguales (son rectos). Cuadrado: Tiene lados iguales y ángulos iguales. Rombo: Tiene cuatro lados iguales. Escaleno: Tiene lados no paralelos de diferente tamaño y ninguno es perpendicular a las bases. Rectángulo: Tiene un lado perpendicular a las bases, tiene dos ángulos rectos. Isósceles: Tiene lados no paralelos iguales. 16

17 Clave del tema SEC.1.M Material Objetivo Papel de china Identificar los ejes de simetría de Tijeras figuras y conocer las propiedades de figuras simétricas axialmente. Tema: Ejes de simetría y simetría axial. Actividad didáctica Papel picado 1. Para esta actividad se necesitará cuadrados de papel de china con una medida de 30 cm de lado. Se puede aplicar individualmente o en parejas. Pedir que doblen a la mitad los cuadrados y recorten el papel, para realizar figuras como cuadrados, rombos, etc. 2. Solicitar que encuentren los ejes de simetría de las figuras. 3. Encaminar a los alumnos a formar también figuras simétricas axialmete, mediante una imagen explicar grupalmente las propiedades generales de las figuras que tienen simetría axial. Consejos (tips) Se pueden generar más figuras doblando el papel diagonalmente. En lugar de papel de china se pueden usar hojas de máquina e inclusive periódico. 17

18 Esquemas / cuadro sinópticos / mapas mentales / anexos SIMETRÍA Figura simétrica: se puede encontrar una línea imaginaria que la corte en dos partes iguales. Simetría axial: transformación en el plano, un cambio que hace corresponder a cada punto C con otro punto C, de tal manera estos estén a la misma distancia de la recta E. Eje de simetría: línea imaginaria que divide una figura en dos partes iguales, en donde al hacer un doblez cada punto de un lado coincida con otro del otro lado. El eje E es la línea en la que hay qué basarse para reproducir la figura con simetría axial. 18

19 Clave del tema SEC.1.M Material Objetivo Calcular el perímetro y superficie de figuras geométricas. Tema: Perímetro y superficie: unidades de longitud. Actividad didáctica Perímetros y áreas Tarjetas con ejercicios de cálculo de perímetros y áreas 1. A cada alumno asignar una tarjeta, en ella se mostraran figuras geométricas de preferencia tres o cuatro diferentes. Pedir que calculen el perímetro y el área de cada una de las figuras. Deberán de realizar en ellas todas las operaciones. 2. Cuando ellos terminen la intercambiarán con uno de sus compañeros para revisar las fórmulas y operaciones. Al finalizar la regresaran al compañero. 3. Dar a conocer el perímetro y área de cada figura para que comprueben los resultados, observar cuales son los errores más frecuentes que cometen para corregirlos. Consejos (tips) En las tarjetas se podrán colocar sólo una figura o varias. Este tema lo puedes relacionar con SEC.2.M , el cálculo del área y perímetro es esencial para calcular volumen. 19

20 Esquemas / cuadro sinópticos / mapas mentales / anexos Ejercicios de cálculo de perímetros y áreas. SUPERFICIE Triángulo Pentágono Cuadrado Paralelogramo y rectángulo 2 b h 2 b = base, h = altura. p a 2 p = perímetro, a = apotema l l = lado b h b = base, h = altura. Trapecio B b 2 h h = altura, B = base mayor, b = base menor. longitud o perímetro de la circunferencia área o superficie de un círculo L 2 r 2 A r

21 Clave del tema Objetivo SEC.1.M y SEC.1.M Material Caja de zapatos Canicas de colores Obtener la frecuencia absoluta y relativa de una serie de datos. Obtener la probabilidad de un evento aleatorio. Tema: Gráficas y tablas. Probabilidad: escala entre 0 y 1, mayor o menor ocurrencia. Actividad didáctica Frecuencia y probabilidad 1. Formar equipos de máximo cuatro participantes, cada uno de ellos deberán tener el siguiente material: una caja de zapatos, cuatro canicas rojas, dos verdes, diez blancas y cuatro azules. Realizarán una tabla en la que se exprese la frecuencia absoluta. Al finalizar expresarán en fracción el número de canicas que hay de cada color con respecto a la unidad, por ejemplo: existen 4 canicas rojas de 20, 4/20. Hacer notar que lo que acaban de calcular es la frecuencia relativa. 2. Aumentarán en la tabla dos columnas, una para la frecuencia relativa y otra para el porcentaje (4/20 equivale a 20%), llenarán las columnas. 3. A cada equipo proporcionar una hoja (anexo) donde se indique las actividades a seguir y las preguntas a responder respecto a la probabilidad, pedir que contesten y realicen las actividades señaladas. Grupalmente se compararán resultados. Dar a resolver problemas que impliquen el cálculo de probabilidades. Consejos (tips) Se pueden utilizar lunetas o dulces en lugar de las canicas. Este tema se relaciona con SEC.3.M

22 Esquemas / cuadro sinópticos / mapas mentales / anexos Actividades de la hoja: - Pongan las canicas en la caja y revuélvanlas. - Si se saca una canica sin ver, de cuál color es más probable que salga? - Si se saca una canica sin ver, de cuál color es menos probable que salga? - Uno de ustedes saque una canica sin ver. - Cuál es el color de la canica? - El color de la canica es del color qué se esperaba? - Si se saca una canica sin ver, cuál es la probabilidad de obtener una blanca? - Si se saca una canica sin ver, cuál es la probabilidad de obtener una verde? FRECUENCIA absoluta: número de veces que aparece el valor correspondiente en los datos. relativa: frecuencia absoluta entre el número total de datos. La suma de las frecuencias absolutas es igual al número total de datos. La suma de las frecuencias relativas es igual a uno. 22

23 Gráficas de variación: imágenes que permiten visualizar las semejanzas y diferencias que existen entre los datos. Sectores circulares Barras Pictograma Evento determinista: se sabe lo que va suceder Evento imposible: nunca sucede Evento seguro: siempre sucede Evento al azar: no se sabe lo que va a suceder Probabilidad: Número de eventos probables Número de casos totales Evento muy probable: su probabilidad muy cercana a 1 (100%) Evento poco probable: su probabilidad muy cercana a 0 (0%) 23

24 Clave del tema SEC.2.M Material Objetivo Tarjetas con los números primos Obtener la factorización prima de un número dado. Tema: Los números naturales (factorización prima, m.c.m.) y fraccionarios (operaciones básicas). Actividad didáctica Los múltiplos 1. Dividir al grupo en parejas y repartir un paquete de tarjetas (anexo) con los números primos y el signo x ( por ), deberán ser varias de cada una. Anotar varios números en el pizarrón o en hojas de rotafolio y le pedir que expresen los números como producto sólo de los que tienen en las tarjetas. 2. Tal vez algunos se den cuenta que sólo se usaron números primos, enfatizar el por qué a la descomposición se le llama factorización prima. Pedir que pasen a su cuaderno los ejercicios. 3. Explicar cómo obtener la factorización prima de un número de acuerdo al algoritmo que se encuentra en el material educativo. Colocar una línea al lado derecho del número, en este caso el 36, buscar un número primo que lo divida; el residuo se coloca debajo del número. Se sigue el procedimiento hasta que el residuo sea uno. 36 = = Consejos (tips) Este tema se puede manejar como antecedente del la factorización SEC.3.M

25 Esquemas / cuadro sinópticos / mapas mentales / Anexos Tarjetas con los números primos. Números naturales Número compuesto: se expresa como el producto de dos números. Número primo: solamente es divisible de manera exacta por la unidad y él mismo. Factor primo: cada uno de los primos que pertenecen a la factorización prima. Factorización prima: expresión como producto de números primos. Cálculo del mínimo común naturales. múltiplo (m.c.m.) de dos o más números ejemplo: m.c.m. de 12, 40 y 42 Paso 1. Descomposición prima de cada uno de los números naturales. Paso 2. Cada primo que aparezca al menos en una descomposición con su mayor exponente. Paso 3. Multiplicación de los números anteriores. 12 = 3 x 4= 2 x = 5 x 8 = 5 x = 6 x 7 = 2 x 3 x 7 2 3, 3, 5, y 7 m.c.m. (12, 40, 42) = 2 3 x 3 x 5 x 7 =

26 Clave del tema SEC.2.M Material Objetivo Utilizar las leyes de la potenciación en la realización de ejercicios. Tema: Potenciación, radicación y notación científica. Actividad didáctica Las potencias Tablas de potencias Cuadros de multiplicación 1. Introducir el concepto de potenciación mediante el cálculo de áreas y de volúmenes, por ejemplo: Se tiene un cuadrado cuyo lado mide 2 cm, el área es igual a 2 x 2 = 2 2. Si ahora se tiene un cubo cuyas aristas miden 2 cm su volumen es 2 x 2 x 2 = Pedir que completen unas tablas de potencias (anexo) de los números 2 y 3, luego utilizando los resultados solicitar que realicen multiplicaciones como 2 2 x 2 3, de este modo se puede llegar a generalizar que: 2 n x 2 m = 2 n + m y a n x a m = a n + m. Utilizar los cuadros de multiplicación de los números 2 y 3 (anexo) para reafirmar lo aprendido. 3. De forma similar se puede llegar a la generalización de b n n m b, (an) m = a (n)(m) y (ab) n = an bn. Puede facilitar la m b aplicación de las reglas un organizador gráfico en el que se relacione el producto y la división de las potencias con la suma y resta de los exponentes respectivamente, así como se relacionar la multiplicación de los exponentes en la potencia de una potencia. Consejos (tips) Se puede relacionar con la obtención de volúmenes cuando los lados sean monomios, SEC.2.M

27 Esquemas / cuadro sinópticos / mapas mentales / Anexos Tablas de potencias. Potencia Producto Resultado Potencia Producto Resultado x x Cuadros de multiplicación. x x x + - ( ) x a 2 x a 3 = a = a 5 a 7 a 4 = a 7-4 = a 3 (a 2 ) 3 = a 2 x 3 = a 6 27

28 Clave del tema SEC.2.M Material Objetivo Resolver problemas de variación proporcional directa, así como indirecta. Problemas de variación proporcional: - directa - indirecta Tablas y gráficas Tema: Razones y proporciones directas e inversas: factor de proporcionalidad. Actividad didáctica La velocidad 1. En problemas sencillos de proporcionalidad se puede encontrar el factor de proporcionalidad por medio de tablas, un ejemplo de proporcionalidad directa es: Un automóvil recorre 120 km por hora. Si mantiene una velocidad constante, cuál es la distancia kilómetros que recorrerá pasado 6 horas? Proporcionar problemas similares al anterior y pedir que los resuelvan por medio de la realización de sus tablas y sus gráficas correspondientes: Tiempo Distancia Por medio de las tablas anteriores explicar cómo identificar el factor de proporcionalidad, en el caso anterior es la razón 1/120, y así resolver por medio de la igualación de razones (método de los productos cruzados, regla de tres). 3. Para el caso de la proporcionalidad inversa explicar que el producto entre las dos cantidades siempre es igual, aplicando esta propiedad se resuelven los problemas (anexo). 28

29 Consejos (tips) Este tema se puede relacionar con Física, SEC.2.N Esquemas / cuadro sinópticos / mapas mentales / Anexos Problema ejemplo de proporcionalidad inversa. Dos obreros tardan seis días en construir una barda, cuántos días tardarán tres obreros? La tabla es: Número de obreros Días para realizar la obra 12 6? Al ser inversa entonces los productos son iguales: 1 x 12 = 12, 2 x 6 = 12 3 x? = 12, el factor de proporcionalidad es 12. Entonces 2 x 6 = 3 x?, 12 = 3 x?,? = 4. Tres obreros tardan 4 días en construir la barda. Tablas Proporcionalidad directa inversa Si una cantidad aumenta o disminuye la otra aumenta o disminuye respectivamente Si una cantidad aumenta o disminuye la otra disminuye o aumenta respectivamente Cantidades Y X Y = factor de proporcionalidad X y x = factor de proporcionalidad 29

30 Clave del tema SEC.2.M Material Objetivo Construir una sucesión de números negativos a partir de una regla dada y obtener la regla que genera una sucesión de números negativos. Tema: Tarjetas con una regla para completar una sucesión Tarjetas con los términos de una sucesión Operaciones de números con signo: operaciones básicas y sucesiones. Actividad didáctica Sucesiones 1. Formar equipos, con no más de tres integrantes, cada equipo nombrará un representante. De una urna, sin ver, el representante tomará una tarjeta (anexo), éstas indican una regla (-2n, -3n, etc.), a partir de ella construirán una sucesión de mínimo diez números. 2. Al terminar el representante tomará otra tarjeta y harán lo mismo. Al finalizar pedir que pasen a completar una tabla en donde se indicará la regla y los primeros diez términos de la sucesión. 3. De igual manera la urna contendrá tarjetas en las que se indiquen los primeros números de una sucesión y los equipos encontrarán la regla que ésta sigue. Consejos (tips) Se pude comenzar con sucesiones sencillas y figurativas. 30

31 Esquemas / cuadro sinópticos / mapas mentales / Anexos Tarjetas con una regla para completar una sucesión. Tarjetas con los términos de una sucesión. Jerarquía de operaciones Primer paso. Operaciones dentro de los paréntesis Segundo paso. Operaciones dentro los corchetes Tercer paso. Operaciones dentro las llaves ( ) [ ] { } 31

32 Clave del tema SEC.2.M Material Objetivo 32 Hojas con ejercicios propuestos Reducir términos semejantes en una expresión algebraica. Tema: Lenguaje algebraico y ecuaciones de primer grado: operaciones elementales, función lineal y sistema de ecuaciones. Actividad didáctica Perímetros 1. Pedir al grupo que forme parejas, entregar una hoja con ejercicios que impliquen el cálculo del perímetro de polinomios, la medida de los lados de estos serán monomios o binomios (anexo). 2. Grupalmente verificarán los resultados obtenidos en los ejercicios anteriores. 3. Gráficamente generalizar la igualdad ax + bx = (a + b)x por medio de ejemplos (3x+ 2x = 5x)(anexo). Consejos (tips) Este tema se relaciona con SEC.3.M Esquemas / cuadro sinópticos / mapas mentales / Anexos Ejercicios ejemplo: 1. a) Cuál es el perímetro de un gallinero cuadrado que mide un metro por lado? b) Cuál es el perímetro de un gallinero cuadrado que mide: - a metros por lado? - a + 2 metros por lado? 2. a) Cuál es el perímetro para cada uno de los siguientes polígonos regulares? b) Cuál es el perímetro para cada uno de los siguientes polígonos irregulares?

33 Generalización gráfica de ax + bx = (a + b)x Expresión algebraica: combinación de letras y números que representan las operaciones: suma, resta, multiplicación y división. Ecuación: igualdad de dos expresiones algebraicas. Ecuaciones de primer grado: igualdades algebraicas con incógnitas cuyo exponente es 1. Sistemas de ecuaciones de primer grado Método de sustitución Método grafico 1. Se despeja una variable de cualquier ecuación (la más fácil). 2. Se sustituye la variable en la otra ecuación. 3. Se determina el valor de la variable. 4. El valor encontrado se sustituye en cualquiera de las ecuaciones. 5. Se determina el valor de la variable que falta. 1. Se despeja una incógnita (y) de las dos ecuaciones. 2. Se construye para cada ecuación una tabla de valores. 3. Se representan gráficamente en el plano cartesiano. 4. El punto de corte es el valor solución de las incógnitas (x, y). Si las rectas son paralelas, el sistema no tiene solución. 33

34 Clave del tema SEC.2.M Material Objetivo Obtener la suma de los ángulos interiores de un polígono. Polígonos regulares Transportador Tijeras Colores Tema: Clasificación de triángulos y ángulos, rectas de un triángulo y suma de los ángulos interiores de un polígono. Actividad didáctica Los cuadriláteros 1. Facilitar a los alumnos algunos triángulos, cuadriláteros, pentágonos (regulares o irregulares, siempre convexos) para que marquen con un color cada uno los ángulos y los recorten como se muestra en el anexo. 2. Pedir que acomoden los ángulos en forma adyacente. Lo anterior con el fin de que obtener la suma de las medidas de los ángulos interiores (anexo). 3. Comparar, grupalmente, los resultados e introducir la fórmula para calcular la suma de las medidas de los ángulos de un polígono de N lados: 180 (N - 2). Consejos (tips) También se puede dividir a los polígonos en triángulos, según la cantidad de triángulos en que se divida se puede saber la suma de los ángulos interiores del polígono. 34

35 Esquemas / cuadro sinópticos / mapas mentales / Anexos Corte y acomodo en forma adyacente de los ángulos. El punto donde se intersecan es llamado incentro. Línea recta que pasa por uno de sus vértices y es perpendicular a la recta que pasa por los otros dos vértices. El punto donde se intersecan es llamado ortocentro. Altura Línea recta que divide a un ángulo en dos iguales. Bisectriz Triángulo Mediatriz El punto donde se intersecan es llamado circuncentro. Línea recta perpendicular trazada en el punto medio de uno de sus lados. 35

36 Clave del tema SEC.2.M Material Objetivo Identificarán las relaciones entre los ángulos que se forman al cortar dos rectas paralelas por una transversal. Tema: Imagen de dos rectas paralelas cortadas por una transversal Plástico transparente Dos rectas paralelas cortadas por una transversal: relaciones entre los ángulos. Actividad didáctica Transparencia 1. Formar equipos, a cada uno entregar una imagen de dos rectas paralelas cortadas por una transversal (anexo). Los ángulos deberán estar enumerados al contrario del sentido de las manecillas de reloj. 2. Solicitar a los alumnos que a) marquen en un plástico transparente (pueden recortar una bolsa de plástico) un cruce. b) coloquen encima del otro cruce el cruce marcado. Lo anterior con el fin de que puedan observar qué ángulos tienen las mismas medidas, por ejemplo: el ángulo 1 coincidirá exactamente con el ángulo 5 (ángulos correspondientes). 3. Luego pedir que contesten algunas preguntas como: Cómo son entre si las medidas de los ángulos 1 y 5?, cómo son entre si las medidas de los ángulos 2 y 6?, cuáles ángulos son opuestos por el vértice?, cuál es la suma de los ángulos 1, 2, 3, y 4?, etc. de esa manera explicar las relaciones entre los ángulos que se forman al cortarse dos rectas paralelas por una transversal. Consejos (tips) Sería mejor el uso de un acetato o mica transparente, pero la bolsa de plástico es suficiente. 36

37 Esquemas / cuadro sinópticos / mapas mentales / Anexos Imagen de dos rectas paralelas cortadas por una transversal. complementarios: su suma es igual a 90 0 Ángulos suplementarios: su suma es igual a conjugados: su suma es igual a

38 Clave del tema SEC.2.M Material Objetivo Calcular el volumen de prismas y pirámides. Redes de una pirámide y un prisma con la misma base y altura Tijeras, pegamento Arroz Tema: Simetría central y volumen (unidades de volumen, capacidad, desarrollos planos). Actividad didáctica Volumen de pirámides y prismas 1. Para que los alumnos hagan la comprobación de que el volumen de una pirámide es la tercera parte de un prisma con la misma base y altura, usarán un prisma y una pirámide que cumplan con las condiciones y trasvasarán arena, arroz o algún otro material. 2. Formar equipos y entregar en cartón para recortar y pegar, formando un prisma y una pirámide, que tengan igual base y misma altura. Por ejemplo: el prisma con 12 cm de altura y por base un cuadrado cuyos lados midan de 8 cm, los lados de la pirámide serán triángulos con 12.6 cm de altura y base de 8 cm (anexo). Solicitar que los alumnos llenen la pirámide de arena, arroz o fríjol y vacíen su contenido en el prisma y repetirán la operación hasta que el prisma se llene. 3. Al finalizar la actividad hacer preguntas como: Una pirámide y un prisma con la misma base pueden tener igual volumen?, por qué?; cómo es el volumen del prisma en relación con la pirámide? etc. Pedir que calculen el volumen de cada cuerpo geométrico y comparen sus resultados. Consejos (tips) En vez de arena o arroz se puede usar frijol o maíz. 38

39 Esquemas / cuadro sinópticos / mapas mentales / Anexos Redes de una pirámide y un prisma con la misma base y altura. Cuerpo geométrico Bases Caras laterales Prisma son dos, iguales y paralelas entre sí son cuadrados o rectángulos Pirámide sólo una y es un polígono regular son triángulos y se unen en un punto común llamado cúspide 39

40 Clave del tema SEC.2.M Material Objetivo Plástico transparente Plumones Calcular la probabilidad de un evento por medio de un diagrama de árbol. Tema: Conteo (principios multiplicativos) y cálculo de probabilidades. Actividad didáctica Diagrama de árbol 1. Formar equipos, solicitar anoten los posibles resultados del lanzamiento de una moneda en dos ocasiones, puede ser que anoten (águila, águila), (águila, sol), etc., pedir entonces que realicen el diagrama de árbol (anexo). 2. En cada una de las ramas deberán colocar la fracción correspondiente, si se divide en dos es 1/2, si se divide en tres es 1/3, etc. Pedir que coloquen un plástico transparente sobre el diagrama de árbol, marquen con un plumón las ramas para seguir el camino de un evento, por ejemplo para (águila, sol), marcar la rama que llega a águila, luego la rama que llega a sol. Al final multiplicarán las fracciones por las que tuvieron que pasar, de esta manera estarán calculando la probabilidad de que al lanzar una moneda dos veces caiga (águila, sol). 3. Solicitar más probabilidades del mismo ejercicio e inclusive usar otro como: María tiene cinco blusas de color rojo, azul, verde, naranja y amarillo, además dos pantalones de color blanco y negro. Si tomó al azar una blusa y un pantalón cuál es la probabilidad de la combinación sea blusa roja, pantalón negro? Consejos (tips) Este tema se relaciona con SEC.3.M

41 Esquemas / cuadro sinópticos / mapas mentales / Anexos Diagramas de árbol águila sol águila sol águila sol blusas pantalones rojo azul verde blanco negro blanco negro blanco negro naranja amarillo blanco negro blanco negro 41

42 Clave del tema SEC.2.M Material Objetivo Cinta métrica Obtener las medidas de tendencia central de un conjunto de datos. Tema: Representación gráfica de la información y medidas de tendencia central. Actividad didáctica Estaturas del grupo 1. Para llevar a cabo esta actividad es necesario medir o calcular las estaturas de cada uno de los alumnos. Pedir que, por parejas, calculen el promedio de las estaturas. Compararán el resultado con otros equipos. En caso que se presente un resultado erróneo diagnosticar el problema y ayudar a resolverlo. 2. Al finalizar pedir que calculen la mediana y al terminar verificarán resultados. 3. De igual manera solicitar que encuentren la moda. Consejos (tips) Con esta misma actividad se puede ver frecuencia absoluta y relativa, así como las gráficas. En lugar de las estaturas se puede usar los datos de la edad, número de hijos, etc. Esquemas / cuadro sinópticos / mapas mentales / Anexos valor que más se repite Moda valor central de la sucesión ordenada de menor a mayor. Mediana Medidas de tendencia central Suma de los valores entre el número total. Promedio o media 42

43 Clave del tema SEC.3.M Material Objetivo Tarjetas de x 2, x y 1 Realizar productos notables y factorizar trinomios. Tema: Productos notables y factorización. Actividad didáctica Rompecabezas 1. Para esta actividad se necesitan tarjetas de: x 2, x y 1. La tarjeta x 2 : es un cuadrado, La tarjeta x : es un rectángulo cuyo lado mayor mide lo mismo que uno de los lados del cuadrado x 2 y la medida del lado menor no debe ser un divisor de la del mayor. La tarjeta 1 es un cuadrado cuyas medidas son iguales al lado menor del rectángulo x (anexo). Un juego de tarjetas debe contener mínimo cuatro de x 2, ocho de x y ocho de Dividir al grupo en equipos, a cada equipo proporcionar un jugo de tarjetas. Pedir que formen un cuadrado de con una de x 2, cuatro de x y cuatro de 1. Ellos podrán generar el cuadrado como la imagen de la izquierda, en donde podrán observar que: (x + 2)(x + 2) = x 2 + 4x Los ejercicios propuestos al principio deben ser fáciles, es importante informar qué fichas exactamente tienen que usar y si van a formar un cuadrado (factores iguales) o un rectángulo (factores diferentes). En esta estrategia sólo se pueden usar factores que tengan signo positivo. Algunos ejercicios propuestos: x 2 + 2x + 1, x 2 + 4x + 4, x 2 + 3x + 3, x 2 + 2x + 1, x 2 + 5x + 4, 2x 2 + 3x + 1, 3x 2 + 4x + 3, 4x 2 + 4x

44 Consejos (tips) Deberás de realizar los ejercicios antes de proponérselos a los alumnos. Esquemas / cuadro sinópticos / mapas mentales / Anexos Tarjetas para la actividad. Álgebra: rama de las matemáticas, en ella se usan símbolos para representar relaciones aritméticas. Símbolos algebraicos: se representan por números, letras y signos que constituyen las diversas operaciones aritméticas. Variable: representa cualquier número: x, y, s, t, etc. Constante: representan un único número, éste no cambia. Expresión algebraica: consta de símbolos algebraicos. Monomio o término: expresión algebraica en la que no aparecen sumas ni restas. BInomio: consta de dos términos. Polinomio: consta de dos o más términos. 44

45 Clave del tema SEC.3.M Material Objetivo Resolver ecuaciones cuadráticas por medio de la factorización. Tema: Ecuaciones cuadráticas. Actividad didáctica La cuadráticas Problemas que impliquen cuadráticas para su solución 1. Es necesario indicar primero las diferencias y similitudes de una ecuación cuadrática y una lineal. Introducir la forma de resolver ecuaciones cuadráticas a partir de problemas. 2. Un primer problema será para resolver una cuadrática de la forma x 2 = a 2 (anexo). Los siguientes problemas deben implicar resolver ecuaciones de la forma (x + a) 2 = b 2 (anexo). 3. Luego plantear problemas en que la cuadrática se pueda resolver por medio de la factorización, enfatizando que cuando el producto de dos números es cero, uno de ellos debe ser igual a cero. Consejos (tips) En cada uno de los problemas es necesario utilizar imágenes para que los alumnos puedan relacionar los datos visualmente. 45

46 Esquemas / cuadro sinópticos / mapas mentales / Anexos Forma x 2 = a 2 1) Un terreno cuadrado mide 225 metros cuadrados de área, cuál es la medida de sus lados? 2) Luisa tiene un pedazo de cartón cuadrangular que mide 25 cm 2 de área. Cuánto medirá de lado? Forma (x + a) 2 = b 2 1) Un terreno cuadrado mide 225 metros cuadrados de área, de lado mide x + 3, cuál es la medida de sus lados? 2) Pepe tiene un pedazo de cartón cuadrangular que mide 36 cm 2 de área. Si de lado mide x + 1, cuánto medirá de lado? Forma factorización 1) Sea la ecuación (x + 3) (x - 5) = 0 R. Cuando el producto de dos números es cero, uno de ellos debe ser igual a cero. Así que x + 3 = 0 ó x 5 = 0; entonces x = -2 ó x = 4. 2) El área de un terreno es de 120 m 2, sus dimensiones están dadas en la figura de la izquierda, cuánto mide su ancho y su largo? R. La ecuación del área es x (x - 2) = 120, es decir, x 2 2x 120 = 0, (x 10)(x + 12) = 0, x = 10 ó x = -12. Al sustituir 12 ó 13 el resultado es el mismo, el rectángulo mide 12 cm y 13 cm de lado. 46

47 Ecuaciones cuadráticas ax 2 bx c 0 Tienen dos soluciones iguales o diferentes Solución por medio de la factorización Solución por medio de la fórmula general Pasos: - igualar la ecuación a cero, - factorizar como productos de binomios, - igualar cada binomio a cero y - despejar la variable. Sustituir los valores a, b y c en: x b 2 b 2a 4ac 47

48 Clave del tema SEC.3.M Material Objetivo Resolver un sistema de dos ecuaciones lineales. Tema: Modelización. Problemas de sistemas de ecuaciones lineales Actividad didáctica Acertijos 1. Empezar la sesión con un problema: Juan y Pedro son hermanos, la suma de sus edades es de 30 años, cuál será su edad? Pedir a los alumnos que den las posibles soluciones, para este problema existen varias soluciones. Se puede denotar la expresión anterior algebraicamente como P + J = Dar otra condición para el problema: La edad de Juan es dos veces la edad de Pedro. Se puede denotar algebraicamente como J = 2P, es decir 2P J = 0. Solicitar que de las soluciones propuestas anteriormente busquen las que cumplan ésta nueva condición. 3. Con la introducción anterior y con el mismo problema explicar los pasos del método de suma y resta. Asimismo representar gráficamente varios sistemas de dos ecuaciones lineales para representar un sistema con solución, uno sin solución y con una infinidad de soluciones. Consejos (tips) Este tema se relaciona con SEC.2.M Se puede relacionar las soluciones con la forma gráfica. 48

49 Esquemas / cuadro sinópticos / mapas mentales / Anexos tiene solución si las rectas se cruzan en un punto, donde éste representa la solución. Un sistema de dos ecuaciones lineales: no tiene solución si las rectas son paralelas, no tienen puntos en común. tiene una infinidad de soluciones si las rectas coinciden en todos sus puntos. 49

50 Clave del tema SEC.3.M Material Objetivo Verificar que un ángulo central mide el doble que el ángulo inscrito donde los dos abarcan el mismo arco. Tema: Imágenes de ángulos centrales y sus inscritos Transportador Tijeras Congruencia de triángulos, circunferencia y rectas. Actividad didáctica Los ángulos 1. Grupalmente dar a conocer, por medio de imágenes, los tres tipos de ángulos que se forman dentro de una circunferencia: ángulo inscrito, ángulo central, ángulo semi-inscrito. 2. Formar equipos, a cada uno de ellos proporcionar una o varias imágenes de ángulos centrales y ángulos inscritos donde los dos abarcan el mismo arco. Pedir que corten el ángulo central, lo doblen a la mitad y esta mitad la coloquen en el ángulo inscrito (anexo), esto lo harán con cada una de las imágenes. Lo anterior con la finalidad de que observen que el ángulo central mide el doble del ángulo inscrito. Para mayor exactitud pueden hacer uso del transportador 3. En seguida dar a resolver problemas geométricos: a) Cuál es la medida del ángulo BAC? b) Cuál es la medida de y? Consejos (tips) Se puede introducir expresiones algebraicas en estos ejercicios. 50

51 Esquemas / cuadro sinópticos / mapas mentales / Anexos Imágenes de ángulos centrales y sus inscritos. Pasos 51

52 Criterios de congruencia de triángulos Figuras congruentes: tienen la misma forma y las mismas dimensiones, es decir son idénticas. ALA ángulo, lado, ángulo LLL lado, lado, lado LAL lado, ángulo, lado Regiones de la circunferencia exterior Interior frontera Un punto está a mayor distancia del centro que lo que mide el radio. Un punto está a menor distancia del centro que lo que mide el radio. Un punto está a igual distancia del centro que lo que mide el radio. 52

53 Clave del tema SEC.3.M Material Objetivo Resolver problemas que impliquen el teorema de Pitágoras. Dibujo-Esquema del triángulo de Pitágoras recortable Tijeras Tema: Semejanza (criterios de triángulos, teorema de Tales) y trigonometría (teorema de Pitágoras, razones trigonométricas). Actividad didáctica Pitágoras 1. Formar equipos de no más de cuatro personas, a cada uno proporcionar un dibujo (anexo) para que recorten las áreas numeradas del I al IV y el cuadrado pequeño, luego solicitar que los recortes los sobrepongan al cuadrado grande, llenando el área, todo con el fin de comprobar el teorema de Pitágoras. 2. Enseguida dar a conocer el teorema de Pitágoras, enfatizando que sólo se cumple éste en triángulos rectángulos. 3. Dar algunos ejemplos y luego pedir que realicen ejercicios similares. Consejos (tips) El despejar la fórmula del teorema de Pitágoras se les puede complicar, para ello es mejor dar las fórmulas despejadas y que comprendan en qué casos usarlas. 53

54 Esquemas / cuadro sinópticos / mapas mentales / Anexos Dibujo-Esquema del triángulo de Pitágoras recortable. 1. Recortar Pasos: 2. Rellenar el área del cuadrado grande Dos figuras son semejantes si cada uno de sus lados correspondientes son proporcionales y sus ángulos correspondientes son iguales. Si en un triángulo una recta es paralela a uno de sus lados, ésta divide a los otros dos lados en segmentos proporcionales y los triángulos formados son semejantes. Criterios de semejanza de triángulos - Los tres lados de uno son proporcionales a los tres lados del otro. - Dos ángulos de uno son iguales a dos ángulos del otro. - Dos lados de uno son proporcionales a dos lados del otro y el ángulo comprendido entre éstos es igual. 54

55 Clave del tema SEC.3.M Material Objetivo Hojas con figuras geométricas Popotes Pagamento Plastilina Palillo o regla Describir los cuerpos geométricos que se generarían al girar algunas figuras planas, así como Identificar las figuras planas que se forman al realizar cortes de cuerpos geométricos. Tema: Poliedros, cónicas y esferas: características, secciones y volumen de cilindros y conos. Actividad didáctica Secciones de cuerpos geométricos 1. A cada uno de los alumnos proporcionar una hoja con un triángulo, un rectángulo y un círculo. Pedir que recorten cada figura y la peguen por el centro a un popote (anexo). En seguida girarán el popote y describirán lo que se forma, dibujarán en su cuaderno la imagen de la figura y a un lado lo que se obtiene al girar. 2. Pedir que realicen algunos cuerpos geométricos con plastilina, como un cilindro, un cono, un prisma cuadrangular, una pirámide triangular y una esfera. Usando un palillo o una regla realizarán varios cortes paralelos a las bases y en caso de la esfera cortes paralelos al primero que realicen. 3. De acuerdo a lo que observaron anteriormente llenarán una tabla cuyas entradas serán: el cuerpo geométrico, qué figura se obtuvo en cada corte y si al variar el lugar del corte se observó algún cambio en el tamaño de las figuras resultantes. 55

56 Consejos (tips) Para los cortes se puede usar las tijeras o un cuchillo, teniendo cuidado para no cortarse. Esquemas / cuadro sinópticos / mapas mentales / Anexos Cuerpos geométricos de plastilina. El volumen de un cuerpo geométrico es la cantidad de unidades cúbicas que hay en el espacio que ocupa. Cuerpos geométricos Prisma Pirámide Fórmulas V = AbH V = AbH/3 Volumen = Área de la base x altura Cilindro Cono V = AbH = πr 2 H V = AbH/3 = πr 2 H/3 Ab = área del polígono de la base, H = altura del prisma 56

57 Clave del tema SEC.3.M Material Objetivo Interpretar y elaborar gráficas formadas por secciones rectas y curvas que modelan situaciones de movimiento, llenado de recipientes, etcétera. Tema: Funciones lineales y no lineales. Actividad didáctica Gráficas Gráficas formadas por secciones rectas y curvas que modelan situaciones de movimiento y llenado de recipientes. 1. Por medio de uno o varios ejemplos explicar cómo trazar las gráficas correspondientes de tiempo y distancia de situaciones como: velocidad constante, sin movimiento, movimiento acelerado (ir cada vez más aprisa), movimiento desacelerado (ir cada vez más lento). 2. Un problema ejemplo es: Luis para trasladarse del círculo de estudio a su casa salió caminando a velocidad constante, luego descansó un tiempo, después caminó cada vez más despacio. 3. Proporcionar unos ejercicios para que realicen las respectivas gráficas. Consejos (tips) Es necesario además explicar ejemplos que impliquen el llenado de recipientes. Puede ser que en parejas trabajen mejor. 57

58 Esquemas / cuadro sinópticos / mapas mentales / Anexos Función: relación en la que a cada elemento del eje de las X (dominio) le corresponde un único elemento del eje de las Y (contradominio). Si al trazar rectas paralelas al eje de las Y, sólo cortan la gráfica en un punto, ésta sí es función. Ejemplos de funciones: Recta. Su ecuación tiene la forma y = mx + b donde m y b son constantes. Dos puntos distintos en el plano determinan una sola recta. Parábola. Su ecuación es de la forma y = ax 2 + b, donde a y b son constantes. Al punto de coordenadas donde la gráfica de la parábola exactamente da la vuelta" se le llama vértice. Hipérbola. Su ecuación tiene la forma y = a/x donde a es una constante. 58

59 Clave del tema SEC.3.M Material Objetivo Calcular la moda, la mediana y la media de una población. Tablas en de consumo de agua, de gas, de energía eléctrica, de despensa, etc. Tema: Probabilidad y medidas de tendencia central. Actividad didáctica Medidas de tendencia central 1. Formar equipos, entregar tablas en donde estén los datos como: consumo de agua, de gas, de energía eléctrica, de despensa, etc., de uno o dos bimestres. Pedir que obtengan la moda, la mediana y la media (promedio). 2. Pedir que intercambien las respuestas por equipos para su revisión. 3. En plenaria se verificar los resultados obtenidos, si alguno es equivocado se debe de corregir. Consejos (tips) Este tema se relaciona con SEC.2.M

60 Esquemas / cuadro sinópticos / mapas mentales / Anexos Valor que más se repite. Moda Valor central de la sucesión ordenada de menor a mayor. Medidas de tendencia central Suma de los valores entre el número total. Promedio o media Evento determinista: se conoce el resultado aún antes de realizarlo. Evento aleatorio: no se conoce de antemano el resultado que se obtendrá. Espacio muestral: conjunto de posibles resultados. Cada uno de esos resultados recibe el nombre de muestra o valor muestral. número de casos favorables Probabilidad clásica = número total de resultados posibles Probabilidad empírica o experimental clásica: es la frecuencia relativa de repetir un experimento muchas veces. 60

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