lím lím lím lím f(x) TP N LÍMITES Notación: lím "el límite de la función f cuando x tiende al valor a es igual a L"

Transcripción

1 TP N LÍMITES Notación: f( Se lee: "ite de la función f cuando tiende al valor a por la derecha" f( Se lee: "ite de la función f cuando tiende al valor a por la izquierda" Cuando f( f( decimos directamente: a a "el ite de la función f cuando tiende al valor a es igual a L" f( L y lo notamos como: a Miren los gráficos de las funciones y calculen, si eiste, lo que se indica f( Y X - - a f( f( f( f( b f( f( f( f( c f( f( f( f( d f(7 f( f( f( 7 e f(9 f( f( f( 9 f f( f( f( f( Matemática año, TP "Límites",

2 g( Y X a g( g( g( g( b g( g( g( g( c g( g( g( g( d g(7 g( g( g( 7 e g(9 g( g( g( 9 f g( g( g( g( Hagan un gráfico de una función para cada caso que verifique simultáneamente las tres condiciones indicadas a f( 6 f( 6 f( b g( g( 6 g( 6 c h( h( h( d j( j( j( 6 e k( k( 6 k( 6 Dado los dominios de las funciones, hagan un gráfico para cada caso que verifique simultáneamente las tres condiciones indicadas a ( ; U ( ; D f f( b ( ; U ( ; D g g( D h U h( c ; ( ; f( f( g( g( h( h( Matemática año, TP "Límites",

3 Función partida Se llama "función partida" a aquella que presenta más de una fórmula para distintas regiones de su dominio. Éstas pueden estar dadas por intervalos o por puntos. Luego, cada una de esas regiones estará definida por una fórmula en particular. fórmula dominio. y f( si < si - < si si >... su gráfico será: Dadas las funciones partidas, tracen el gráfico y determinen -si es que eisten- los valores funcionales y los ites indicados - f ( - f( f( si si < < si f( f( f( f( f( f( g( - si si si < > g( g( g( g( g( g( g( Continuidad de una función en un punto Diremos que una función f es continua en un punto a si se cumplen tres condiciones simultáneamente Si esto ocurre para todos los valores del dominio de f diremos que la función f es continua f(a a f(a a Matemática año, TP "Límites",

4 Propiedades de los ites (completen los ejemplos * Límite cuando tiende a un valor a tal que f es continua en algún E(a; δ a f(a f(a * Límite de una constante k k * Límite de una constante distinta de cero por una función [ k.f( ] sik k. f( * Límite de la suma o diferencia de dos funciones [ f( ± g( ] [ f( ] ± [ g( ] siempre queno quede - * Límite del producto entre dos funciones [ f(.g( ] [ f( ] [ g( ] siempre queno quede.. * Límite del cociente entre dos funciones g( a [ f( : g( ] [ f( ]: [ g( ] siempre queno quede * Límite de una función elevada a otra función, ambas continuas en todo su dominio f( g( [ g( ] [ f( ] a siempre queno quede con f( > * Límite de función de otra función, ambas continuas en todo su dominio f { } [ g( ] f [ ] g( Matemática año, TP "Límites",

5 * Límite de una función acotada superior e inferiormente por otras dos funciones de ites conocidos (Ley del "sanguchito" f( g( h( en un Si f( h( L a E (a; r g( L a Calculen los siguientes ites determinados a ( - f ( - b ( - - g c h sen( d i cos ( π e log( j tg( π 6 Calculen los siguientes ites aplicando propiedades a [ sen( tg( ] π d [ cos(. π ] b [ log( 8 7 ] e g ( π sen - - c [. ] 6 f h i 8 log j ( ( k ( - l 7 Calculen los ites de las siguientes funciones conociendo el de otra función; apliquen propiedades f( -g( f( a Si f( 6 a a f( b Si [ g( ] a f( a Calcular g( a a g( Calcular Para todo número real "a" positivo se tiene que: Límites notables a a a a a ± Matemática año, TP "Límites",

6 Indeterminación 6 Cuando calculamos el cociente entre dos números enteros a y b sabemos que el resultado debe obedecer dos reglas muy simples: a c b.c a c debe ser el único número que verifique la primera condición b Por ejemplo: porque. y es el único número que verifica esta igualdad, no hay otro Sin embargo, cuando se trata de dividir un número positivo o negativo por cero no es posible hallar un número que verifique las dos condiciones. Por ejemplo, si tenemos y suponemos que eiste cierto número desconocido "" que verifica la primera condición debería ser que. pero esto es un absurdo porque: "todo número multiplicado por cero da cero" ( no! Sin importar cuán grande elijamos a "",. nunca va a dar (va dar, como ya dijimos: cero. Es decir: No es posible dividir un número positivo o negativo por cero Por otra parte, si tratamos de dividir cero por cero nos encontramos con una sorprendente situación: el divisor Parecería que puesto que. el "resultado" El dividendo Y se estaría cumpliendo así, la primera condición. Sin embargo, cualquier observador notará que se podría afirmar: puesto que. Y del mismo modo, podría decirse que el "resultado" es ;;7;-; ;... o cualquiera de los infinitos números reales, es decir, el resultado no está determinado, por eso decimos que: es una indeterminación Nota: Afirmar que es como simplificar así. que conduce a contradicciones del tipo.. Absurdo! Matemática año, TP "Límites",

7 Casos básicos de factorización de polinomios: recordatorio 7 Factor común: es la operación que invierte los efectos de aplicar la propiedad distributiva a(bc ab ac en el miembro de la derecha podemos ver que el factor a es común a ambos términos Para etraer el factor común de una epresión del tipo ab ac primero debemos ver cuál es el que está repetido en todos los términos. Luego, para hallar el factor que va dentro del paréntesis, debemos dividimos cada uno de los términos dados por el o los factores comunes considerados 6 6 ( Diferencia de cuadrados: ( a.( a a a a a Es decir, cuando tenemos una diferencia entre dos potencias cuadradas es posible epresarlas como el producto entre la suma de las bases por la diferencia de las mismas: a ( a.( a ( ( ( ( Gauss- Ruffini: Si un número a es raíz de un polinomio (P (a, entonces a divide al polinomio (teorema de Gauss. Luego, como - a es un divisor de la forma Ruffini, es posible aplicar su algoritmo ("tablita" para hacer dicha división, con lo cual el polinomio quedará factorizado de la siguiente forma: P P ( (-a.c ( siendo C ( el polinomio cociente vemos que P. por lo tanto es raíz, ( con lo cual ( divide a P ( y es posible aplicar Ruffini: raíz Coeficientes ordenados y completos del dividendo Resto: si lo hicimos bien SIEMPRE debe dar CERO Coeficientes ordenados y completos del polinomio cociente, es decir: C ( : - - Entonces podemos epresar el polinomio original como: P ( (-.(- que es el polinomio ya factorizado por una de sus raíces Matemática año, TP "Límites",

8 Cálculo de ites que presentan una indeterminación / 8 En algunos casos es posible usar la factorización de las epresiones para "salvar" la indeterminación. dado así, no es posible determinar su valor, por eso vamos a factorizar numerador y denominador de la siguiente forma: ( ( ( ( [ ] Fíjense que - NO ES CERO porque estamos considerando que tiende a, NO QUE SEA. Esto ocurre porque estamos trabajando en un entorno reducido de centro y radio muy pequeño, con lo cual la simplificación es VÁLIDA. Es posible que al factorizar y simplificar una vez, aún se mantenga la indeterminación. Si éste es el caso, sólo debemos volver a factorizar la epresión resultante (numerador y denominador para hacer una nueva simplificación a fin de salvar la indeterminación y calcular el ite pedido. 8 Calculen los siguientes ites. Si hay una indeterminación / sálvenla factorizando la epresión b Rta: d Rta:- f Rta: 6 9 h Rta: j Rta: c Rta: e Rta:- 8 g Rta: i Rta:- a Rta: l Rta:- 8 n Rta: 6 k Rta: 7 6 m Rta:- Abuso de notación: Cuando los ites laterales dan infinitos de distintos signos, decimos que el ite para ese valor de "" de f( es infinito, sin anteponerle ningún signo, es decir: (ojo!, no se trata de un número sino de un concepto a Rta: b Rta: Matemática año, TP "Límites",

9 Operaciones con infinito (ojo! 9 Algunas operaciones que incluyen al infinito pueda prestarse a confusión si las tratamos como si fueran finitas. En general tendemos a pensar que: y Eso ocurre sólo porque lo asimilamos al hecho conocido de que para cualquier NÚMERO a: a a a y si a a lo cual, por supuesto, es CIERTO Sin embargo, veremos que suceden cosas sorprendentes al tratar con "bichos" infinitos. Caso - f( g( Si son infinitos de igual signo, se tiene que [ f( g( ] es una indeterminación Veamos: Dada una función f( siempre es posible reescribirla como otra función h( del siguiente modo: f ( con lo cual resulta, por simple despeje: h( y lo mismo para g(, es decir: g ( y t( Reescribiendo tendremos: [ f( g( ] Por otra parte, es relevante observar que: h( t( t ( h ( g( f( h( h( y lo mismo para g(: t( t( Trabajemos ahora la última epresión con denominador común como suma de fracciones: [ f( g( ] h( t( t( h( h(.t(. INDETERMINACIÓN Por lo visto, - NO ES CERO, sino que se trata de una indeterminación Ejemplos: ( ( ( [( ] ( INDETERMINACIÓN pues puede dar cualquier cosa según el caso Matemática año, TP "Límites",

10 9 Calculen los siguientes ites. Si hay una indeterminación - sálvenla trabajando la epresión a ( d ( 7 g ( j ( 7 b ( e ( h ( k ( c [( ] f i [( ] l Caso Es posible trabajarlo con las mismas funciones y condiciones que el caso anterior f( h( y por división de fracciones: g( t( Ejemplos: h( t( t( h( INDETERMINACIÓN pues puede dar cualquier cosa según el caso INDETERMINACIÓN Límite de variables tendiendo a infinito entre cocientes de funciones polinómicas Son casos como el siguiente Si tratásemos de calcular el ite por reemplazo directo nos encontraríamos ante una indeterminación del tipo: Para salvar la indeterminación vamos a usar un viejo truco: multiplicar y dividir por un mismo número. En nuestro caso lo adaptaremos usando como "número" a la máima potencia con la que aparezca "", ya sea en el numerador o en el denominador. Esto lo podemos hacer porque tiende a infinito y, por lo tanto, nunca es cero. En nuestro ejemplo es Matemática año, TP "Límites",

11 Regla práctica Si el grado de f( grado de g( entonces el ite da infinito y su signo es el del coeficiente principal de f( Si el grado de f( < grado de g( entonces el ite da cero Si el grado de f( grado de g( entonces el ite da el cociente entre los coeficientes principales de ambas funciones polinómicas Ejemplos: 8 8 Calculen los siguientes ites. Si hay una indeterminación sálvenla usando las reglas vistas 6 a 7 d g 6 j 7 b e 7 6 h 8 k 8 c f 6 9 i l f ( g( Cálculo de ites de variable infinita de funciones del tipo: [ ] Bastará aplicar la siguiente regla de los ites: f( g( siempre queno quede [ g( ] [ f( ] a Calculen los siguientes ites. Usen las reglas vistas 6 9 a Rta: 6 9 c Rta: e Rta: g Rta: b Rta: d Rta: f 6 9 Rta: h Rta: Matemática año, TP "Límites",