2. FUNCIONES REALES DE UNA VARIABLE REAL 2.2. LÍMITES

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1 Águed Mt Miguel Rees, Dpto. de Mtemátic Aplicd, FI-UPM. 2. FUNCINES REALES DE UNA VARIABLE REAL Límite de un unción en un punto 2.2. LÍMITES Se = () un unción deinid en un entorno del punto R (unque no, necesrimente, en el punto). Deinición intuitiv: Se dice que tiene límite l en el punto si () tiende l cundo tiende, se indic: () l ó () = l Como se ilustr en l siguiente igur, l eistenci de límite su vlor son independientes de que l unción esté deinid en el punto de su vlor en dicho punto. () l = () l l () = l = () () = l () () = l no eiste () Deinición orml: Se dice que tiene límite l en el punto si pr culquier ε > 0 eiste δ > 0 tl que si 0 < < δ entonces () l < ε. Es decir: () = l ( ε > 0 δ > 0 tl que: 0 < < δ = () l < ε) l+ε l l ε δ +δ Si dist de menos que δ, () dist de l menos que ε. δ depende de ε: mientrs más pequeño se ε, más pequeño será δ Ejemplos. Demuestr, intuitivmente ormlmente, los siguientes límites: () 2 (2 ) = 3 2. Demuestr que l unción () = (b) 4 = 2 0, si Q, si / Q (c) 3 3 = 27 no tiene límite en ningún punto Límites lterles Se = () un unción deinid en un entorno del punto R, unque no necesrimente en el punto. Al hllr el límite de en h que considerr, si es posible, vlores de que tienden l punto tnto por su derech como por su izquierd. Eisten muchs unciones, como ls deinids trozos, en que estos vlores (por l derech por l izquierd) h que considerrlos por seprdo, obteniendo lo que se conoce como límites lterles:

2 Águed Mt Miguel Rees, Dpto. de Mtemátic Aplicd, FI-UPM. 2 Se dice que l es el límite por l izquierd de en el punto si () tiende l cundo tiende por su izquierd (con vlores menores que ). Formlmente: () = l ( ε > 0 δ > 0 tl que: δ < < = () l < ε ) Se dice que l + es el límite por l derech de en el punto si () tiende l + cundo tiende por su derech (con vlores mores que ). Formlmente: () = l+ ( ε > 0 δ > 0 tl que: < < + δ = () l + ) < ε + bvimente, eiste el límite de un unción en un punto si sólo si eisten los límites lterles coinciden. Cundo l unción sólo está deinid uno de los ldos del punto, se deine el límite como el límite lterl correspondiente. l = l + () = l = l + l + l () = l () = l+ + Los límites lterles coinciden, por tnto, eiste el límite de l unción en el punto. Los límites lterles son distintos, por tnto, no eiste el límite de l unción en el punto Límites ininitos Se = () un unción deinid en un entorno del punto R, unque no necesrimente en el punto. Se dice que tiene límite + en el punto si () se hce mor que culquier número positivo cundo tiende. Formlmente: () = + ( M > 0 δ > 0 tl que: 0 < < δ = () > M) Se dice que tiene límite en el punto si () se hce menor que culquier número negtivo cundo tiende. Formlmente: () = ( M > 0 δ > 0 tl que: 0 < < δ = () < M) Análogmente, se deinen los límites lterles ininitos. Estos límites ininitos se presentn con recuenci en puntos donde l unción no está deinid. M () = + M () = + () = Ejemplos () = () Clcul demuestr los siguientes límites: () ; (b) 2.

3 Águed Mt Miguel Rees, Dpto. de Mtemátic Aplicd, FI-UPM Límites en el ininito Si = () es un unción deinid en un entorno de + (es decir, en un intervlo de l orm (R, + )), se deine su límite en +, según el cso, como: () = l ( ε > 0 k > 0 tl que: > k = () l < ε) () = + ( M > 0 k > 0 tl que: > k = () > M) () = ( M > 0 k > 0 tl que: > k = () < M) Análogmente, si = () es un unción deinid en un entorno de (es decir, en un intervlo de l orm (, R)), se deine su límite en, según el cso, como: () = l ( ε > 0 k > 0 tl que: < k = () l < ε) () = + ( M > 0 k > 0 tl que: < k = () > M) () = ( M > 0 k > 0 tl que: < k = () < M) () = 0 () = + () = () = Ejemplos Clcul demuestr los siguientes límites: () Propieddes de los límites 2 + ; (b) (2 + ). Si g son dos unciones deinids en un entorno de (que puede ser un número rel, + o ), entonces: k() = k () (() ± g()) = () ± g() (() g()) = () g() () () g() = g() (())g() = ( ) () g() siempre que no se presente lgun de ls siguientes indeterminciones: que, en cd cso, hbrá que resolver medinte técnics decuds de cálculo de límites. No son indeterminciones, siendo su vlor el indicdo en cd cso, ls siguientes: l + = l = ±, si l 0 + = = l = 0 l 0 = ±, si l 0 l = 0, si 0 l < = ± 0 = 0 l =, si l > l

4 Águed Mt Miguel Rees, Dpto. de Mtemátic Aplicd, FI-UPM Tres teorems sobre límites Unicidd: Si eiste el límite de un unción en un punto (inito o ininito), su vlor es único. Regl del sndwich: El límite de un unción comprendid entre dos que tienen el mismo límite coincide con este, es decir: () g() h() en un entorno de () = h() = l = g() = l Teorem: El producto de un unción cotd por otr con límite cero tmbién tiene límite cero, es decir: cotd en un entorno de g() = 0 = ()g() = 0 En los tres resultdos nteriores, puede ser un número rel, + o. Los dos primeros se pueden demostrr usndo l deinición orml de límite, mientrs que el tercero es un consecuenci de l regl del sndwich Cálculo elementl de límites Usndo l deinición orml de límite se pueden demostrr los siguientes límites:. Si P () = n n + n n es un polinomio de grdo n, entonces: P () = P () P () = n n = ± ± ± donde n n es el sumndo de mor grdo del polinomio, que se llm término director. En los límites en el ininito, el signo depende del signo del ininito, del signo de n de que n se pr o impr. 2. El límite de un unción rcionl es: P () Q() = P () Q() P () ± Q() =, si Q() 0 n n ± b m m = b + b 0 ± n n b m m = 0, si n < m n /b m, si n = m ±, si n > m 3. El límite de un unción eponencil es: c = c +, si > = 0, si 0 < < 4. El límite de un unción logrítmic es: = 0, si > +, si 0 < < log c = log c, si c > 0 log +, si > =, si 0 < < log =, si > +, si 0 < < 5. Límites de l orm el número e: ( + ) = e ± como se justiicrá más delnte: ( + ) α() = e, si α() α() ± ()g() = ( ± ) = e λ donde λ = g()[() ]

5 Águed Mt Miguel Rees, Dpto. de Mtemátic Aplicd, FI-UPM Ejemplos. Clcul los siguientes límites: () (e) + (b) ( ) 2 () 2 + (c) 3 3 (d) 2. Clcul los límites: ( ) ( 2 + ) (h) cosh (i) (j) (g) sinh (k) tnh ( ( (l) ) 3 + ( ) ) () e / (b) e /2 (c) ( + ) / recurriendo, si es necesrio, los límites lterles correspondientes Límites de unciones trigonométrics Usndo l regl del sndwich ls propieddes de los límites, se puede probr que: sin = sin cos = cos tn = tn si π 2 + kπ no eiste si = π 2 + kπ siendo distintos ( + ) los límites lterles de l tngente en los ángulos π 2 + kπ. Puesto que ls unciones trigonométrics son periódics no constntes, l cercrse ininito repiten un mismo ciclo de vlores indeinidmente no se cercn un vlor ijo. Por tnto, no eiste el límite en el ininito pr ningun de ells. Un límite interesnte es el de l unción = sin en = 0 que present un indeterminción de l orm 0/0. Si 0 < < π/2, observndo l igur: Q P tn sin A Aplicndo l regl del sndwich: áre( AP ) < áre( AP ) < áre( AQ) = = 2 sin < 2 < 2 tn = sin < < tn = = < sin < tn sin = cos sin = > > cos siendo est órmul tmbién ciert pr vlores negtivos de. cos < sin <, si 0 < < π/2 = cos = = sin =, en generl: sin α() =, si α() 0 α()

6 Águed Mt Miguel Rees, Dpto. de Mtemátic Aplicd, FI-UPM Ejemplos. Clcul los límites: () sin 2 (b) tn (c) cos (d) cos 2 2. Estudi l eistenci clcul el vlor, si es posible, de los siguientes límites: () cos Ininitésimos (b) cos (c) p cos, p > 0 Se dice que un unción es un ininitésimo en = si () = 0. Dos ininitésimos, g, en un mismo punto se dicen comprbles cundo eiste el límite de su cociente, entonces si: () g() = ( ) 0 = 0 0, se dice que es un ininitésimo de orden mor que g en = l 0, se dice que g son ininitésimos del mismo orden en = ±, se dice que es un ininitésimo de orden menor que g en = En el cso prticulr de que el cociente se los ininitésimos, que son del mismo orden, se llmn equivlentes: ( ) () 0 g son ininitésimos equivlentes en = g() = = 0 se indic: g. Es ácil comprobr, hllndo los límites pertinentes, que los siguientes ininitésimos son equivlentes: sin rcsin sin α() α() rcsin α() tn rctn tn α() α() rctn α() cos 2 en = 0 cos α() α()2 cundo α() ln( + ) ln( + α()) α() ln, > 0, α() α() ln, > 0, Hciendo un cmbio de vrible decudo, se puede ver que tmbién son equivlentes: ln en = ln α() α() cundo α() 0 En el cálculo de límites, en productos cocientes se pueden sustituir ininitésimos por otros equivlentes Ejemplos. Clcul, usndo ininitésimos equivlentes, los siguientes límites: () n m (b) (cos ) sin tn sin (c) 3 α (d) rcsin( ) ( ) 2 (e) sin 2 cos () (2 + 3 ) ln ( + ) 3 2. Demuestr que () = /2 g() = + son ininitésimos equivlentes cundo Encuentr ininitésimos equivlentes : () 3 ln( + ), en = 0 (b) 3 2, en + (c), en =

7 Águed Mt Miguel Rees, Dpto. de Mtemátic Aplicd, FI-UPM Ininitos Se dice que un unción es un ininito en = si () = +, lo que es equivlente que / se un ininitésimo en dicho punto. Los polinomios ls unciones eponenciles logrítmics, de bse mor que uno, son ininitos en +. Al comprrlos, se obtiene: P () = log b = P () log b = + pr culesquier, b >, como más delnte se podrá justiicr ácilmente Asíntots Se llm síntot de un unción culquier rect l que se cerc indeinidmente su gráic en el ininito. Ls síntots, como ls rects, pueden ser verticles, horizontles u oblicus. L rect = es síntot verticl de l unción si lguno de sus límites lterles en = es + o, es decir, si: () = ± o () = ± + L rect = l es síntot horizontl de l unción si lguno de sus límites en el ininito es l, es decir, si: () = l o () = l L rect = m + n, m 0, es síntot oblicu de l unción si: [() (m + n)] = 0 o [() (m + n)] = 0 bvimente, un unción no puede tener en un mismo ldo (+ o ) síntot horizontl oblicu. Por tnto, sólo se buscn síntots oblicus cundo no ls h horizontles. Pr hllr l síntot oblicu = m + n en + se procede como sigue: m = () = n = [() m] siendo necesrio, pr que eist, que m, n R m 0. Análogmente se procede en. L rect = 0 es síntot verticl por l izquierd. L rect = es síntot verticl por mbos ldos. L rect = es síntot horizontl en. L rect = es síntot oblicu en Ejemplos. Qué condiciones se deben veriicr pr que un unción rcionl teng síntots horizontles u oblicus? Cuáles son ls síntots? 2. Encuentr ls síntots de ls siguientes unciones: () () = ln( 2 ) (b) () = (c) () = ( ) 2 (d) () = e /

8 Águed Mt Miguel Rees, Dpto. de Mtemátic Aplicd, FI-UPM. 8 PRBLEMAS RESUELTS. Un operrio trt de determinr el áre de un cudrdo midiendo su ldo. Si el ldo mide 2m, cuál es el máimo error que puede cometer en su medición si quiere clculr el áre con un error menor que 0 6 m 2? 2. Se dispone de un jrr de orm cilíndric con dos litros de cpcidd, cu bse es un círculo de 6 cm de de rdio, se dese imprimir un mrc en el lterl pr medir un litro. Cuál debe ser el grosor de ls mrcs si se quiere medir el litro con un error inerior l %? 3. Hll el límite de () cundo en cd uno de los dos csos siguientes: () 5 () () = (b) 3 ( ) 2 = 4. Hll los vlores de b pr que eistn los límites en = = de l unción: 2 2, si () =, si < < be + 2, si > 5. Encuentr los vlores de m pr los que eiste el límite de l unción () = 62 + m m 2. Hll el límite en esos csos cundo 6. Hll los límites lterles, el límite si eiste, de ls siguientes unciones en los puntos que se indicn: () = ( + ), = 0 ; (b) = e 2, = 2 ; (c) = sinh, = 0 ; (d) = e/ + e /, = 0 7. Hll los siguientes límites: sin 3 () 2 sin 2 (b) 8. Hll los siguientes límites: () sin (c) tn (d) sec tn 3 (e) sin () π π (b) π ( π) cos 2 π sin(2 2) (g) 3 sin( + ) (h) 2 (c) sin ( ) 2 9. Hll los límites en + en de l unción = Hll los siguientes límites: ( 2 () 3 + ) (b). Hll los límites en + en de l unción = tnh. ( ) ( 2 (c) (d) + ) ( 2 ) Hll los siguientes límites: () sin (b) sin 2 sin (c) sin 2 (d) cos 3. Hll los siguientes límites: () 2 + sin (b) 2 + (c) (d) (e) ( cos 2 ) /2

9 Águed Mt Miguel Rees, Dpto. de Mtemátic Aplicd, FI-UPM. 9 CUESTINES. Contest rzondmente si son cierts o lss ls siguientes irmciones: () El límite de un unción en un punto es siempre el vlor de l unción en el punto. (b) Si un unción no est deinid en un punto no puede eistir el límite en dicho punto. (c) El límite de un unción en un punto no coincide necesrimente con el vlor de l unción en el punto. (d) El límite de un unción en un punto eiste siempre que eistn los límites lterles. (e) Si no eisten los límites de g en un punto, no puede eistir el límite de + g en dicho punto. () El límite del producto de un unción con límite cero por otr con límite ininito es un número distinto de cero e ininito. (g) Un unción con síntot horizontl no puede tener síntot oblicu. (h) Un unción no puede tener dos síntots horizontles. (i) Un unción no puede tener más de dos síntots horizontles u oblicus. (j) Un unción puede tener culquier número de síntots verticles (incluso ininits). 2. Pon un ejemplo de un unción cotd sin límite ni límites lterles en un punto. 3. Justiic, medinte ejemplos decudos, que 0 es un indeterminción. 4. Justiic, medinte ejemplos decudos que es un indeterminción. 5. Demuestr l siguiente órmul pr límites de unciones eponenciles: ()g() = ( ± ) = e λ donde λ = g()[() ] 6. Si () = 2 +, encuentr un epresión pr g() de tl mner que, cundo +, ()/g() teng límite: () 3; (b) 0; (c) + ; (d) crezc de límite. 7. Si g son ininitésimos en =, justiic rzondmente si tmbién lo son ls siguientes unciones: + g, g, /g g. PRBLEMAS PRPUESTS. Indic el mrgen de precisión con que se h de medir l longitud del rdio en un círculo pr que su áre se 6π ± Usndo l deinición orml de límite, prueb que: () (5 2) = 3; (b) + =. 3. Usndo l deinición orml de límite, prueb que: () c 2 = c 2 (b) c = c, si c 0 (c) = c, si c > 0 c 4. Hll los límites lterles, el límite si eiste, de ls siguientes unciones en los puntos que se indicn: () =, = 0 ; (b) = e 2, = 2 ; (c) = tnh, = 0 ; (d) = 2 2, = 2

10 Águed Mt Miguel Rees, Dpto. de Mtemátic Aplicd, FI-UPM Hll los siguientes límites: 2 () sin sin 2 (b) 2 (c) sin (d) cos Hll los límites en + en de l unción = Hll los siguientes límites: () ( ) 3 + ( ) 2 (b) (c) Hll los límites en + en de l unción = cosh. 9. Hll los siguientes límites: () sin ; (d) sin. ( ) + (d) ( 2 ) Encuentr ininitésimos equivlentes, cundo 0, () = 2 + g() = tn sin.. Hll tods ls síntots de ls siguientes unciones: () = (b) = ln ( ) (c) = 0