1 LÍMITE FINITO DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO

Transcripción

1 Límite de funciones. Continuidd MATEMÁTICAS II 1 1 LÍMITE FINITO DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO Cómo determinr el límite de un función cundo l vrible se proim un vlor? En generl, pr tener un ide de l respuest bst evlur l función en puntos cd vez más próimos, tomndo: -Vlores inferiores, es decir, proimándonos por l izquierd. -Vlores superiores, es decir, proimándonos por l derech. Ejemplo 1 Consideremos l función y = f() =. Medinte un tbl de vlores, construimos l gráfic de est función, que es un prábol con vértice en el origen de coordends f() Nos hcemos l siguiente pregunt: Si se proim, qué vlor se proim l función? Fijándonos en l gráfic, podemos responder fácilmente l pregunt formuld. Aproimándonos por l izquierd, l función se proim f()? Diremos entonces que el límite lterl por l izquierd de l función cundo tiende es. Simbólicmente, se escribe lim f( ) = Aproimándonos por l derech, l función se proim f()? Diremos entonces que el límite lterl por l derech de l función cundo tiende es. Simbólicmente, se escribe lim f( ) = Observ que l proimrse, tnto por l derech como por l izquierd, los vlores correspondientes de l función se proimn. Por tnto, el nº se llm límite de l función f() en =. Se denot: lim f( ) =

2 Límite de funciones. Continuidd MATEMÁTICAS II Formlizmos el concepto de límite medinte el uso de entornos. Definimos: Entorno de centro y rdio r, E(, r), l intervlo bierto E(, r) = ( r, r) Entorno reducido de centro y rdio r, E*(, r), l intervlo bierto E*(, r) = ( r, r) { } Es decir; un vlor pertenece l entorno E(, r) si: E(, r) ( r, r) r < < r r < < r < r Se dice que el número L es el límite de l función f cundo tiende cundo l tomr vlores muy próimos, pero distinto de, los vlores de l función tmbién están muy próimos L, de mner que dich distnci se puede hcer tn pequeñ como se quier. Es decir, lim f ( ) = L si E(L, ε), E(, δ) / E*(, δ) f() E(L, ε) Un definición más ehustiv: lim f ( ) = L si ε >, δ > / < δ f() L < ε Si eiste el límite de l función f cundo, se dice que l función es convergente en. Ejemplo Consideremos l función y = f() = Vemos gráficmente que lim f ( ) = 4 : Tommos culquier entorno de centro =, ( λ, λ). Considerndo culquier punto de dicho entorno se verific que su imgen se encuentr muy próim 4, es decir, en un entorno de centro 4.

3 Límite de funciones. Continuidd MATEMÁTICAS II 3 1.A. LÍMITES LATERALES Definiciones: 1) Límite por l izquierd: límite de l función tomndo vlores de próimos pero inferiores. lim f( ) = lim f( ) < lim f( ) = L si ε >, δ > / δ < < f() L < ε ) Límite por l derech: límite de l función tomndo vlores de próimos pero superiores. lim f( ) = lim f( ) > lim f( ) = L si ε >, δ > / < < δ f() L < ε o Condición necesri y suficiente de convergenci. Pr que eist el límite de un función f() cundo tiende un punto ddo, tienen que eistir los dos límites lterles y ser igules: lim f( ) = L lim f( ) = lim f( ) = L o Cundo los límites por l izquierd y por l derech de un función en un punto son distintos, no eiste el límite de l función en dicho punto. Ejemplo 3 Se l función prte enter de : f() = E() Se define como el número entero inmeditmente inferior o igul que él. Pr culquier entero z se verific que no eiste el límite de l función y que se verific: lim f( ) = z z lim f( ) = z 1 z

4 Límite de funciones. Continuidd MATEMÁTICAS II 4 El vlor que tom un función en un punto no influye en el vlor del límite de l función en dicho punto. Pr que eist el límite de un función en un punto, no es necesrio que eist l imgen de l función en dicho punto. En muchs ocsiones, el vlor del límite de un función en un punto ddo,, coincide con el vlor de l función en dicho punto. En el cso de coincidir, se dice que l función es continu en. f continu en = si lim f( ) = f( ) Ejemplo 4 Se l función: Estudimos lim f ( ) f() = 1 si 1 si < Clculmos los límites lterles: lim f( ) = lim f( ) = lim 1 = 1 ( ) > lim f( ) = lim f( ) = lim ( 1 ) = 1 < Ambos límites coinciden, por tnto, eiste el límite en dicho punto: lim f ( ) = 1 Ejemplo 5 Se l función: Estudimos lim f ( ) 1 f() = 1 si > 1 3 si < 1 Clculmos los límites lterles: lim f( ) = lim f( ) = lim ( 1) = > 1 lim f( ) = lim f( ) = lim ( 3 ) = < 1 Ambos límites coinciden, por tnto, eiste el límite en dicho punto: lim f ( ) = 1

5 Límite de funciones. Continuidd MATEMÁTICAS II 5 Ejemplo 6 Dd l función f definid trozos, determinr si eiste lim f ( ) 1 3 si > 1 f( ) = 3 1 si < 1 Estudimos los límites lterles: lim f( ) = lim f( ) = lim ( 3) = < 1 lim f( ) = lim f( ) = lim ( 3 1) = > 1 Coinciden los límites lterles, por tnto, eiste lim f ( ) = 4 1 Ejemplo 7 Dd l función f( ) = determinr si eiste lim ( ) f Recordemos que si = si < Con lo cul l función f() es un función definid trozos: si f( ) = si < Estudimos los límites lterles: lim f( ) = lim f( ) = lim = lim ( 1) = 1 < lim f( ) = lim f( ) = lim = lim ( 1) = 1 > No coinciden los límites lterles, por tnto, no eiste lim f ( )

6 Límite de funciones. Continuidd MATEMÁTICAS II 6 LÍMITE INFINITO DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO Consideremos un función rel de vrible rel y = f(). Vmos estudir ls diferentes situciones que se puede presentr si f() se proim ó cundo se proim un vlor finito. Ejemplo 8 Se l función: f() = 1. Estudimos lim f ( ) En l gráfic podemos observr que medid que nos proimmos por l izquierd, los correspondientes vlores que tom l función son cd vez myores. En tl cso, diremos que: lim f( ) = Del mismo modo, si nos proimmos por l derech, los vlores que tom l función son cd vez myores. En tl cso, diremos que: lim f( ) = Al tomr vlores de próimos, su imgen f() se proim : lim f ( ) = Ejemplo 9 Se l función: f() = 1 ( ). Estudimos lim f ( ) Si nos proimmos por l izquierd, los vlores que tom l función son cd vez menores. Es decir: lim f( ) = Del mismo modo, si nos proimmos por l derech, sus imágenes correspondientes son cd vez menores. Por tnto, diremos que: lim f( ) = Al tomr vlores de próimos, su imgen f() se proim : lim f ( ) =

7 Límite de funciones. Continuidd MATEMÁTICAS II 7 Ejemplo 1 1 Consideremos l función f( ) = 3 Sbemos que un función rcionl no está definid pr los vlores de que nulen el denomindor, y que no tiene sentido l división. Sin embrgo, l función sí está definid pr los vlores próimos ellos, qué comportmiento tiene l función en esos vlores próimos? Dom(f) = { / 3 }= R {3} Vemos qué ocurre con l función cundo tom vlores próimos 3. Pr ello construimos un tbl de vlores pr estudir l proimción por l izquierd: f() Vemos que l tomr vlores próimos 3, pero inferiores él, l función se v hciendo cd vez myor en vlor bsoluto pero negtivo. Diremos que lim f( ) = 3 Del mismo modo se puede comprobr que lim f( ) = Por tnto, diremos que no eiste lim f ( ) 3 3 Gráficmente, dibujd l rect = 3 se observ: lim f( ) = : l proimrse l curv por l izquierd se dispr hci bjo, decrece indefinidmente. 3 lim f( ) = : l proimrse l curv por l derech se dispr hci rrib, crece indefinidmente. 3 En mbs situciones, l curv no cort nunc dich rect (y que l función no está definid pr = 3) Cundo se produce est situción de crecimiento o decrecimiento indefinido de l función cundo l vrible se proim un vlor, se dice que l función present un síntot verticl de ecución =. En nuestro ejemplo, l función tiene un síntot verticl en = 3.

8 Límite de funciones. Continuidd MATEMÁTICAS II 8 Se dice que el límite de un función y = f() cundo tiende es más infinito cundo l tomr vlores muy próimos, pero distinto de, los vlores de f son muy grndes y positivos, de mner que f super culquier número prefijdo ( f crece tnto como se quier). Es decir: Un definición más ehustiv: lim f ( ) = si M >, E(, δ) / E*(, δ) f() > M lim f ( ) = si M >, δ > / < δ f() > M Se dice que el límite de un función y = f() cundo tiende es menos infinito cundo l tomr vlores muy próimos, pero distinto de, los vlores de f son muy grndes en vlor bsoluto pero negtivos, de mner que f super culquier número prefijdo (f decrece tnto como se quier). Es decir: Un definición más ehustiv: lim f ( ) = si K >, E(, δ) / E*(, δ) f() < K lim f ( ) = si M >, δ > / < δ f() < K Si eiste el límite de l función f cundo, se dice que l función es divergente en. Ejemplo 11 Se l función: f() = ln. Estudimos lim f( ) Dom f = (, ) Si nos proimmos por l derech, l función tomndo vlores cd vez más pequeño. Por tnto: lim f( ) = No tiene sentido clculr el límite por l izquierd porque l función no está definid pr vlores menores que cero.

9 Límite de funciones. Continuidd MATEMÁTICAS II 9 3 LÍMITE FINITO DE UNA FUNCIÓN EN EL INFINITO En muchs ocsiones interes conocer el comportmiento de un función dd, cundo l vrible tom vlores muy grndes. Estrá l función cotd o crecerá (decrecerá) progresivmente? Ejemplo 1 1 Consideremos l función f( ) = Vemos qué ocurre con l función cundo tom vlores grndes. Pr ello construimos un tbl de vlores f() Tnto l tbl de vlores como l gráfic muestrn que cundo crece el vlor de, el vlor de l función se v proimndo 1. Eistirá lgún vlor de pr el cul f() = 1? f() = 1 1 = 1 1 = 1 =!! Luego l función no tom el vlor 1. 1 Est tendenci se justific con fcilidd, teniendo en cuent que f( ) = 1. Conforme crece, el cociente 1 proimndo 1. se hce grdulmente más pequeño y, por tnto, l función se v Por este motivo se dice que el límite de l función cundo tiende más infinito es 1. Se denot: lim f( ) = 1 Gráficmente, este tipo de límites en el infinito se preci por el cercmiento progresivo (sin tocr) de l curv un rect horizontl (en nuestro cso, y = 1) hst confundirse con ell. Cundo se present est situción se dice que l función present un síntot horizontl de ecución y = 1

10 Límite de funciones. Continuidd MATEMÁTICAS II 1 Se dice que el límite de l función f cundo tiende es el nº rel L, cundo l tomr vlores positivos suficientemente grndes, l imgen f() se proim L, tnto como se quier. lim f( ) = L ε >, podemos encontrr un nº M> tl que si > M entonces f() L < ε Se dice que el límite de l función f cundo tiende es el nº rel L, cundo l tomr vlores negtivos suficientemente pequeños, l imgen f() se proim L, tnto como se quier. lim f( ) = L ε >, podemos encontrr un nº K> tl que si < K entonces f() L < ε En culquier cso, decimos que l rect y = L es síntot horizontl de l función. Ejemplo 13 Se l función: f() = 1. Estudimos lim f( ) y lim f( ) En l gráfic podemos observr que medid que l vrible tom vlores negtivos más pequeños, los correspondientes vlores que tom l función se vn proimndo cd vez más l vlor 1. En tl cso, diremos que: lim f( ) = 1 Del mismo modo, si tommos vlores de positivos lo suficientemente grnde, los vlores que tom l función se vn proimndo 1. En tl cso, diremos que: lim f( ) = 1 Teniendo en cuent esto, l función present un síntot horizontl de ecución y = 1.

11 Límite de funciones. Continuidd MATEMÁTICAS II 11 4 LÍMITE INFINITO DE UNA FUNCIÓN EN EL INFINITO Vemos otrs situciones que se pueden presentr l estudir l función cundo l vrible tiene infinito. Ejemplo 14 Se l función: f() =. Estudimos lim f( ) En l gráfic podemos observr que medid que l vrible tom vlores positivos lo suficientemente grnde, l imgen f() tom vlores positivos tn grndes como se quier. Escribimos: lim f( ) = Ejemplo 15 Se l función: f() = 3. Estudimos lim f( ) En l gráfic podemos observr que pr vlores negtivos y muy grndes, en vlor bsoluto, de, los correspondientes vlores f() que tom l función se hce cd vez más pequeños. Escribimos: lim f( ) =

12 Límite de funciones. Continuidd MATEMÁTICAS II 1 Ejemplo 16 Se l función: f() = 1. Estudimos lim f( ) y lim f( ) lim f( ) = lim f( ) = Se dice que el límite de l función f cundo tiende es, cundo l tomr vlores positivos suficientemente grndes, los vlores que tom l función tmbién lo son. lim f( ) = K >, podemos encontrr un nº rel M> tl que si > M entonces f() > K Se dice que el límite de l función f cundo tiende es, cundo l tomr vlores positivos suficientemente grndes, los vlores que tom l función son cd vez más pequeños. lim f( ) = K >, podemos encontrr un nº M> tl que si > M entonces f() < K Se dice que el límite de l función f cundo tiende es, cundo l tomr vlores egtivos y muy grndes, en vlor bsoluto, los vlores que tom l función son cd vez más grndes. lim f( ) = K >, podemos encontrr un nº rel M> tl que si < M entonces f() > K Se dice que el límite de l función f cundo tiende es, cundo l tomr vlores negtivos y muy grndes, en vlor bsoluto, l imgen f() tmbién lo son. lim f( ) = K >, podemos encontrr un nº M> tl que si < M entonces f() < K

13 Límite de funciones. Continuidd MATEMÁTICAS II 13 5 OPERACIONES CON LÍMITES Sen f y g dos funciones convergentes en =, se verificn ls siguientes propieddes: 1) Límite de un producto de un esclr por un función: [ ] lim k f() = k lim f(), donde k es un número rel. ) Límite de un sum o un diferenci de dos funciones 3) Límite de un producto de dos funciones [ ] lim f() ± g() = lim f() ± lim g() [ ] lim f() g() = lim f() lim g() 4) Límite de un cociente de dos funciones f() lim f() lim = g() lim g() si lim g() 5) Límite de un potenci de funciones g() lim [ f() ] = lim f() lim g() 6) Límite de l ríz de un función n Si lim f() = L, entonces lim n f() = n lim f() = L ) L y n es culquier número nturl si se cumple lgun de ls condiciones siguiente: b) L y n es un número nturl impr 7) Límite del logritmo de un función: lim [ log f() ] = log b b lim f() si b> y f() > 8) Límite de funciones trigonométrics lim [ sen f() ] = sen lim f() lim [ cos f() ] = cos lim f() lim [ tg f() ] = tg lim f()

14 Límite de funciones. Continuidd MATEMÁTICAS II 14 Operciones con epresiones infinits: En el cso de límites infinitos son plicbles ls operciones nteriores siempre que no se produzc ningun de ls siguientes indeterminciones: ; ; ; ; 1 ; ; L siguiente tbl muestr los diferentes resultdos que obtenemos l operr con límites infinitos: L ( ) = L ( ) = ( ) = ( ) = ( ) = = ( ) ( )= L L = = = = L = si L > si L < = ; = SUMA Y RESTA COCIENTE L ( ) = L ( ) = PRODUCTO si L > si L < si L > si L < ( ) ( ) = ( ) ( ) = ( ) ( ) = POTENCIA L = L = ( ) = ( ) = ( ) L = si L 1 si < L < 1 si L 1 si < L < 1 si L > si L < Ejemplo ) lim = 3 1 ) lim = 3) lim = 3 4) lim ( 4) 1 = 5) lim ( ) = 6) lim ( 3) ( ) =

15 Límite de funciones. Continuidd MATEMÁTICAS II 15 6 CÁLCULO DE LÍMITES 1) Límite de un constnte: Si f() = k lim f() = k ) Límite de l función identidd: Si f() = lim f() = 3) Límite de l función potenci: Si f() = n, donde n N lim f() = n lim si n > n = 1 si n = si n < lim n si n >, n pr si n >, n impr = 1 si n = si n < 4) Límite de un función polinómic, f() = P(): lim P() = P() 5) Límite de un función eponencil: Si > 1 lim = Si < < 1 lim = Teniendo en cuent que 1 1 = =, deducimos: Si > 1 lim = Si < < 1 lim = 6) Límite de un función logrítmic: Si > 1 lim log = Si < < 1 lim log = Si > 1 lim log = Si < < 1 lim log = Ejemplo 18 1) lim 3 = ) lim 3 = 3) lim = 3 4) lim 3 = 5) lim 3 = 6) lim ln = 1 7) lim log ( 1) = 8) lim = 6) lim =

16 Límite de funciones. Continuidd MATEMÁTICAS II 16 7 RESOLUCIÓN DE INDETERMINACIONES Con ls regls dds en el prtdo nterior se nos presentn situciones más complicds en ls que no podemos dr l solución sin hcer un estudio detlldo de l función. Cundo los límites no son finitos no se puede predecir los resultdos en los siguientes csos: ; ; ; ; 1 ; ; Ls técnics necesris pr resolver estos csos indetermindos: 1) Por descomposición en fctores de un polinomio. ) Por producto y división de l myor potenci de 3) Por producto y división del conjugdo de un binomio. Pero en primer lugr, vemos con ejemplos qué signific que es un indeterminción. Si lim f() = y lim () = g f() lim? El vlor de dicho límite dependerá de ls funciones tomds. g() Ejemplo 19 1) Se f() =, g() = lim f() = y lim g() = Relizndo operciones, obtenemos: f() lim = lim = lim = g() f() lim g() = ) Se f() =, g() = 1 lim f() = y lim g() = f() lim g() = Dividiendo todo por l myor potenci de, obtenemos: 1 f() lim lim lim = = = = g() ) Se f() = 3, g() = f() lim f() = y lim g() = lim = g() Relizndo operciones, obtenemos: f() 3 lim = lim = lim 3 = 3 g()

17 Límite de funciones. Continuidd MATEMÁTICAS II Cálculo de límites Este tipo de indeterminciones prece en cocientes de funciones polinómics o de funciones irrcionles. ) Por fctorizción. Ls indeterminciones de cocientes de funciones polinómics se resuelven fctorizndo los polinomios y simplificndo l frcción. Ejemplo 4 1) lim = Fctorizmos los polinomios plicndo ls identiddes notbles: ( )( ) lim = lim( ) = ) lim 3 = 6 9 Fctorizmos los polinomios plicndo l regl de Ruffini: ( 3)( ) lim = lim, que no eiste y que: 3 ( 3) 3 3 lim 3 lim 3 = 3 = 3 ( >3 3 > ) ( < 3 3 < ) 3) lim = 6 8 Fctorizmos los polinomios del rdicndo plicndo l regl de Ruffini: ( 3)( 4) lim = lim = lim = lim = = ( 1)( 4)

18 Límite de funciones. Continuidd MATEMÁTICAS II 18 b) Por el conjugdo Ls indeterminciones de cociente de funciones irrcionles se resuelven multiplicndo el numerdor y el denomindor por el conjugdo de l epresión irrcionl. Ejemplo 1 1 1) lim = 1 1 Multiplicmos y dividimos por el conjugdo: 1 ( )( ) ( ) 1 1 ( 1) 1 1 lim = lim = lim = 1 ( 1) 1 1( 1)( 1) 1( 1) ) lim 1 1 = Multiplicmos y dividimos por el conjugdo: 1 1 ( 1 1 ) ( 1 1 ) lim lim lim ( ) ( )( ) = = 1 1 = 1 1 3) lim = Multiplicmos y dividimos por el conjugdo: 1 1 lim ( )( ) lim ( )( ) ( )( ) = = Multiplicmos y dividimos por el conjugdo: ( ) ( )( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) lim = lim = lim = = lim = 1 1 1

19 Límite de funciones. Continuidd MATEMÁTICAS II 19 c) Reduciendo ls ríces índice común En ocsiones pr resolver l indeterminción dd por el cociente de funciones irrcionles hy que reducir denomindor común pr poder descomponer los rdicndo y simplificr. Ejemplo 1) lim 3 = 6 Descomponemos los dos rdicndo: 3 3 ( ) lim = lim 6 ( )( 3 ) Descomponiendo los dos rdicndo, obtenemos fctores comunes que no podemos simplificr y que ls dos ríces son de distinto índice, por este motivo, reducimos índice común: 3 ( ) ( ) lim = lim 6 = lim 6 = ( )( 3) ( ) ( 3) ( )( 3) ) lim = 1 Reduciendo ls ríces índice común ( 1)( 1) 1 lim = lim 4 = lim 4 = lim 4 = ( 1) 1 ( 1) 1 1 3) lim 3 4 = Reduciendo ls ríces índice común ( ) lim = lim = lim 6 = lim 6 = 3 3 ( )( ) ( ) ( ) 4 ( ) 3

20 Límite de funciones. Continuidd MATEMÁTICAS II 7..- Cálculo de límites Aprece l clculr límite de cocientes de funciones polinómics o irrcionles. Se resuelven dividiendo numerdor y denomindor por l potenci de de myor grdo. En l práctic, pr clculr este tipo de límites plicmos l siguiente regl: El límite de un función rcionl cundo ±, es igul l límite del cociente de los términos de myor grdo del numerdor y denomindor. Si P() = 1 n n y Q() = b b 1 b b m m P() lim Q() n n = lim bm El vlor de este límite depende del vlor que tengn n y m: P() ± si g( P( )) > g( Q( ) n lim = si g( P( )) = g( Q( ) Q() bm si g( P( )) = g( Q( ) L regl nterior tmbién es válid cundo precen epresiones rdicles. m Ejemplo 3 3 1) lim = Dividimos por lim lim = = = ) lim = Dividimos por 3 3 lim = lim = = 1 1 3) lim lim 3 = Dividimos por = lim = = 1 1

21 Límite de funciones. Continuidd MATEMÁTICAS II Cálculo de límites Pr resolver este tipo de indeterminción suele bstr efectur ls operciones indicds. En el cso en que prezcn epresiones rdicles, se multiplic y divide por l epresión conjugd de l dd. Ejemplo 4 1 1) lim = Opermos lim 1 1 = lim = ) lim lim 1 = Opermos 1 1 = lim = 3) lim 4 = Multiplicmos y dividimos por el conjugdo de l epresión. ( )( ) ( ) ( ) ( ) lim = lim = lim = = ) lim 1 = Multiplicmos y dividimos por el conjugdo de l epresión. ( )( ) ( ) ( ) lim 1 = lim = lim = = lim = = ( 1) 1 1 5) lim lim 1 1 = Multiplicmos y dividimos por el conjugdo de l epresión. ( 1 1)( 1 1) ( ) 1 1 = lim = 1 1 = lim = lim = lim = ( ) ( ) 1 1 ( )

22 Límite de funciones. Continuidd MATEMÁTICAS II Cálculo de límites L indeterminción se resuelve efectundo l operción indicd en l epresión de l función y simplificndo. Ejemplo 5 1 1) lim = Efectundo ls operciones y simplificndo: 5 ( )( ) ( )( ) ( )( ) lim = lim = lim = = 5 ( 5)( )( 1) ( 5)( 1) ) lim 1 1 = 1 1 Efectundo ls operciones y simplificndo: lim 1 lim 1 lim 1 lim 1 = 1 1 = = = ( 1 )( 1 ) 1 = lim = 1 1( 1) ) lim = 4 Multiplicmos y dividimos por el conjugdo de l epresión 4 4 ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( ) lim = lim = lim ( ) ( 6) ( 6) 8 1 = lim = = 4 4 ( )( 4 4 ) 4 4 ( ) ( )( ) ) lim 1 = Efectundo ls operciones y simplificndo: 1 3 ( )( ) lim lim lim 1 = = Si 1-1 < 3 = ( 1)( 3) < lim f( ) = Si 1 1 > 3 > lim f( ) = Por tnto, no eiste el límite. 1 1

23 Límite de funciones. Continuidd MATEMÁTICAS II 3 8 CÁLCULO DE LÍMITES f() g() El número e Uno de los límites de myor importnci lo estudió el mtemático suizo Leonrd Euler. lim 1 1 Si psmos l límite se tiene l epresión 1, que nos hce pensr errónemente que vle 1. 1 Hy que tener en cuent que 1 1pr culquier vlor de Pr nlizr est función vmos construir un tbl de vlores: f( ) = 1,5,37,441,488,51,546,565,581,593 Según l tbl, l función es creciente pero crece lentmente, con lo cul d lugr pensr que eist lim 1 1 y se finito f( ),748,7169,7181,7186,718847, , Su límite es un número irrcionl que se design con l letr e: lim 1 1 = e =, El mismo resultdo obtenemos si sustituimos por culquier que tiend infinito: f ( ) 1 Si lim f( ) = lim 1 = e f( ) Ejemplo 6 1) lim = e 3 ) lim e = 1 3) lim 1 1 = e

24 Límite de funciones. Continuidd MATEMÁTICAS II Indeterminción 1 Si lim f( ) = 1 y lim g( ) =, entonces lim ( ) f( ) g present un indeterminción del tipo 1 Se resuelve trnsformndo l epresión en un potenci del número e. f( ) = [ 1 f( ) 1] = 1 1 f( ) 1 g( ) g( ) 1 g( ) lim f ( ) 1 1 = e f( ) 1 Hemos epresdo l bse de l form 1 h ( ) y hor vmos buscr que prezc en el eponente de l potenci l función h(), pr ello multiplicmos y dividimos por h(). g( ) [ f ( ) 1] g( ) = 1 = 1 f( ) 1 f( ) 1 f( ) 1 De est form llegmos l siguiente regl: 1 1 f( ) 1 f ( ) 1 g( ) [ f ] lim f( ) = e lim ( ) 1 g( ) [ f ] ( ) 1 g( ) Ejemplo 7 1) lim = 1 Aplicmos l regl lim [ f( ) 1] g( ) = lim 1 = lim = lim = 1 lim = e ) lim 1 = 1 Aplicmos l regl lim [ f( ) 1] g( ) = lim 1 = lim = lim = lim 1 = 3) lim 1 = 1 Aplicmos l regl 1 1 lim [ f( ) 1] g( ) = lim 1 ( ) lim ( ) lim ( ) 1 = = = 1 1 1

25 Límite de funciones. Continuidd MATEMÁTICAS II 5 9 CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN L ide intuitiv de continuidd de un función responde l ide intuitiv de que vriciones pequeñs de l vrible le corresponden vriciones pequeñs de l vrible y, es decir, no eisten sltos bruscos en l gráfic. Ejemplo 8 En el primer cso, l gráfic no present ningún slto, por tnto, es un función continu. Sin embrgo, en l gráfic de l derech se present un slto en =, diremos que l función no es continu en dicho punto. Definición de continuidd Se f un función y Dom(f) decimos que f es continu en = cundo el límite de l función en = coincide con el vlor de l función f() en dicho punto. L continuidd de l función en = implic que se cumpl ests tres condiciones: ) L función esté definid en =, es decir, eist f() b) Eist lim f ( ) c) lim f ( ) = f ( ) Ejemplo 9 Dd l función: Demuestr que es continu en =. si < g( ) = si Pr demostrr l continuidd de l función en = hy que comprobr que lim g ( ) = g ( ) = Pr determinr dicho límite clculmos los límites lterles: lim g( ) = lim = lim g ( ) = lim = lim g ( ) = g es continu en =

26 Límite de funciones. Continuidd MATEMÁTICAS II 6 1 OPERACIONES CON FUNCIONES CONTINUAS Sen f() y g() dos funciones continus en =, se tiene entonces que: ) L sum de dos funciones continus en = es tmbién un función continu en ese punto. b) L rest de dos funciones continus en = es tmbién un función continu en ese punto. c) El producto de dos funciones continus en = es tmbién un función continu en ese punto. d) El producto de un función continu en = por un número rel, es otr función continu en ese punto. e) El cociente de dos funciones continus en = es otr función continu en ese punto. (Siempre que el denomindor no se nule). f) Si f() es continu en = y g() es continu en y = f() ( g o f )() es continu en = Propiedd de ls funciones continus. Si un función es continu en un punto =, entonces eiste lim f(). Sin embrgo, el teorem recíproco no es cierto en generl. Ejemplo 31 Se l función f() = 4 Demuestr que eiste lim f() pero l función no es continu en = ) Eiste el límite cundo 4 ( )( ) lim = lim = lim ( ) = 4 b) L función no está definid pr = y que Dom (f) = R { } Por tnto no es continu en =.

27 Límite de funciones. Continuidd MATEMÁTICAS II Continuidd de funciones elementles 1) L función constnte f() = k es continu en todos los puntos. ) L función identidd f() = es continu en todos los puntos. 3) L función potencil f () = n, n N, es continu en todos sus puntos 4) L función polinómic es continu en todos sus puntos 5) L función rcionl es continu en todos sus puntos, slvo en los que se nul el denomindor. 6) L función eponencil f() =, con >, es continu en todos los puntos. 7) L función f() = log, siendo > 1, es continu en todos los puntos de su dominio: (, ) 8) L función f() = sen es continu en todos sus puntos. 9) L función f() = cos es continu en todos sus puntos. 1) L función f() = tg es continu en todos sus puntos slvo en los puntos que verifiquen cos = Ejemplo 31 Dd l siguiente función: si 1 f( ) = si 1 1 ln si > 1 ) Hllr pr que l función se continu en = -1 b) Es continu en = 1? ) Pr que l función se continu en = -1 se tiene que cumplir Pr clculr el límite pr = -1 estudimos los límites lterles: lim f() = f( 1) = 1 lim f() = lim ( ) = lim f() = lim ( ) = 1 1 Pr que eist el límite hy que imponer que = 1 = 3 b) Pr que l función se continu en = 1 se tiene que cumplir Pr clculr el límite pr = 1 estudimos los límites lterles: lim f() = f(1) = 1 1 lim f() = lim (ln ) = 1 1 lim f() = lim ( 3) = 1 1 Al no coincidir los límites lterles, no eiste el límite de l función en = 1. Por tnto, l función no es continu en = 1

28 Límite de funciones. Continuidd MATEMÁTICAS II 8 11 DISCONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN Decimos que l función es discontinu en el punto = cundo no es continu en dicho punto. Ejemplo 3 Se f() = E() Est función present puntos de discontinuidd pr todos los vlores enteros de l vrible. Estudindo el límite de l función pr culquier vlor entero z: lim E() = lim = z z z lim f() = lim ( 1) = z 1 z z Por tnto, l función no es continu en = Tipos de discontinuiddes Pr que un función y = f() es discontinu en = deberá de cumplirse lgun de ests condiciones: L función no está definid en = No eiste lim f(). Eist lim f(), pero lim f() f(). 1. Discontinuidd evitble Un función present un discontinuidd evitble en un punto = cundo, eiste el límite de l función en éste. Hy dos tipos: ) Eiste el límite de l función en éste, pero no coincide con el vlor que tom l función en el punto: b) L función no está definid pr ese punto.- Discontinuidd de slto finito = es un punto de discontinuidd evitble lim f() f() Un función present un discontinuidd de slto finito en un punto = cundo los límites lterles eisten pero son distintos, en cuyo cso no eiste el límite. = es un punto de discontinuidd de slto lim f() lim f() 3.- Discontinuidd sintótic o de slto infinito Un función present un discontinuidd sintótic en un punto = cundo l menos uno de los límites lterles es infinito. = es un punto de discontinuidd sintótic lim f() = ± y/ó lim f() = ±

29 Límite de funciones. Continuidd MATEMÁTICAS II 9 Ejemplo 33 1) Anlizr l continuidd de l función f() = 4 4 ( )( ) lim = lim = lim ( ) = 4 lim f() = 4 pero f() no eiste, por tnto, en = present un discontinuidd evitble. Pr todos los demás vlores de l función es continu por ser función rcionl. 3 si < ) Anlizr l continuidd de l función f( ) = 1 si 4 5 si 4 En = hy un cmbio en l epresión mtemátic de l función, sí que hy que considerr los límites lterles: lim f() = lim ( 1) = 1 lim f() = lim ( 3) = 1 Ambos límites lterles coinciden, luego eiste lim f() = 1 En = es continu l función y que lim f() = f( ) = 1 En = 4, no eiste el límite y que no coinciden los límites lterles: lim f() = lim ( 1) = 3 lim f() = lim ( 5) = Por tnto, en = 4 present un discontinuidd de slto finito. 4 4 Pr todos los demás vlores de l función es continu por ser función polinómic. 3) Anlizr l continuidd de l función f() = 3 Se trt de un función rcionl, luego es continu pr todos los vlores de 3 lim = (y que >) Por tnto, en = present un discontinuidd de slto infinito. 3 lim = - (y que <) 1 si 4) Hllr pr que l función f( ) = 1 si > se continu en = lim f() = lim ( 1) = 1 lim f() = lim ( 1) = 3 Pr que se continu en =, se tiene que cumplir que los dos límites lterles coincidn: 1 = 3 =