Tema 1 Límites 1.0.Definición de límite de una función

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1 Tema 1 Límites 1.0.Definición de límite de una función L es el límite de de la función f(x) cuando la variable x tiende (se acerca) al valor x p. El límite de una función es el valor que toma la función cuando la x toma valores muy muy cercanos a x p, pero sin llegar a ser x p. Nota.1: El límite de una función, si existe, es único. Existen también los límites laterales, que indican a cuanto tiende la función cuando nos acercamos por la izquierda o por la derecha L i es el límite de f(x) cuando x tiende a x p. por la izq. (valores un poco más pequeños que x p ) L d es el límite de f(x) cuando x tiende a x p. por la der. (valores un poco más grandes que x p ) Para que un límite exista, han de coincidir los límites laterales, entonces ese valor es el límite. Si L i = L d L = L i = L d Si L i L d L En puntos no problemáticos, el límite coincide con el valor de la función en ese punto. Es decir, si x p no es problemático entonces: Un punto x p es problemático: si intentamos evaluar en x p y obtenemos: 1.1.Calculo numérico de límites por aproximación: si es una función a trozos y justo en x p la función cambia de trozo Cuando x1 - entonces f(x)3 Cuando x se acerca a 1 por la izquierda entonces f(x) se acerca a 3 Observad que aunque la función no está definida en x=1, resulta que sí tiene límite ahí Cuando x1 + entonces f(x)3 Cuando x se acerca a 1 por la derecha entonces f(x) se acerca a 3 f(x) se aproxima a 3 cuando x se aproxima a 1 desde ambos lados

2 Ejercicio: Calcular directamente si se puede o por aproximación numérica (si hay problemas) Ejemplos de límites que no existen: Los límites laterales no coinciden 1e) hallar si existe 1f) hallar si existe 2. Calculo analítico de límites 2.1.Puntos no problemáticos (ver pág. anterior): 2.2.Caso en el caso de cociente de polinomios. Imaginad que tenemos y al evaluar sale Eso es porque al factorizar f(x) hay un factor que es (x-x p ) y al factorizar g(x) también está el factor (x-x p ). Por eso al sustituir x por x p sale cero Al estar el mismo factor en numerador y denominador podre simplificar para obtener una expresión equivalente que ya no tendrá problemas y su expresión simplificada representan la misma función SALVO en el PTO PROBLEMÁTICO no existe en el punto problemático, tiene un hueco. La expresión simplificada de es continua en el punto problemático. Calcular (Utilizar Ruffini): Si algún polinomio no está expandido, expándelo: Si aparece el factor cambiado de signo, hacer un doble cambio de signo: Ejemplo: 3 = - (-3) por eso (1-x)=- (x-1) Si hay un castillo de fracciones primero convertirlo en una única fracción: Si hubiera parámetros (letras) actuar como si fueran números:

3 2.3.Caso con una raíz cuadrada en una resta, ya sea en numerador o denominador El problema es que esa resta da cero Lo que haremos es multiplicar y dividir por la expresión conjugada (no afecta) Entonces donde la raíz aplicaremos: Suma por diferencia = Diferencia de cuadrados (a+b) (a-b)=a 2 -b 2 Ejemplos de expresiones conjugadas: expresión conjugada expresión conjugada expresión conjugada expresión conjugada Cómo se simplifica? Consejo mío: Cuidado al cambiar el signo, mejor poned siempre paréntesis. 2.3.Ejercicio: Calcular (Larson pag.64, pdf.82) Repaso.Ejercicios fáciles para vosotros:

4 2.4.Caso Asíntotas verticales y huecos Vamos a calcular x f(x)=1/x Al acercamos al 0 desde la derecha salen valores cada vez más grandes Es decir, deducimos que No estoy diciendo que exista este límite lateral, el infinito es un símbolo, no es un número No es ningún valor en concreto, es algo inimaginablemente grande e inalcanzable Ahora hago lo mismo con x /x Al acercamos al 0 desde la izquierda salen valores cada vez más grandes pero negativos Es decir, deducimos que Como salen distintos los límites laterales concluimos que En general puedo concluir que si a es un nº positivo y que NOTA: En los puntos en el que sale los límites laterales salen allí hay una Asínt. Vertic. es decir, si entonces x=c es una asíntota vertical PROCESO PARA CALCULAR LOS HUECOS y A.V. 1ºHago denominador = 0 y despejo la x obtengo x c1, x c2, x c3, 2º Hare para cada uno de los x c1, Si queda que Si queda que debo seguir y hacer el límite. seguro que sale una A.V. con ecuación x=x ci Si (donde n es un número) entonces en x i hay un hueco de coordenadas (xi, n) Si pero al simplificar evoluciona a entonces hay una A.V. con ecuación x=x ci 3º Sólo si piden graficar al lado de las AV, debo calcular los límites laterales en cada A.V. EJERCICIO: 2.4.d: Calcula las AV y huecos de. Graficar cerca de las AV

5 Límites cuando x A veces querremos saber qué pasa con f(x) cuando el valor de x se hace muy muy grande. Esto se ve calculando el siguiente límite: Al igual que los otros límites, sustituimos la x por, y observamos las siguientes reglas: a+ = donde a es cualquier nº real a = Si a>0 a = - Si a<0 0 = indeterminado puede salir cualquier cosa, ya estudiaremos como saberlo = 0 a =, si a>1 a = 0, si 0 a<1 Recordar: 1 = indeterminado = - = indeterminado, puede salir cualquier cosa, ya estudiaremos como saberlo. = = indeterminado, puede salir cualquier cosa, ya estudiaremos como saberlo. Límite cuando x de un polinomio f(x) = a k x k + a k-1 x k a 2 x 2 + a 1 x +a 0 f(x) = 3 x 3-4 x 2-5 x+ 9 f(x) = Para ver el comportamiento veamos qué ocurre con términos de diferentes grados si x x x 2 x 3 x= x= Si x=10000 la contribución de x 2 es veces menor que la de x 3 Si en vez de x=10000 tomo x su contribución es despreciable. Por tanto puedo sustituir un polinomio por su término de mayor grado. a k x k + a k-1 x k a 2 x 2 + a 1 x +a 0 a k x k cuando x Excepción: Cuando tengo: 1) una resta de polinomios, 2) tienen el mismo grado 3) y los términos de mayor grado tienen los mismos coeficientes SI SE CUMPLEN LAS 3 A LA VEZ NO PODRÉ SUSTITUIR EL POLINOMIO POR SU TÉRMINO DE MAYOR GRADO Ejemplo: = = = = - Caso de Sustituiremos cada uno de los polinomios por su término de mayor grado. Luego simplificaremos, y ya podremos hallar el límite Ejemplos:

6 Conclusión: 1.- Si (grado num.) = (grado den.) entonces el límite es el cociente de los coeficientes del término de mayor grado Ejemplo: = 2.- Si (grado num.) < (grado den.) entonces el límite es cero Ejemplo: = Si (grado num.) > (grado den.) entonces el límite es, según los signos de los coeficientes de mayor grado (Poned explicación de que (grado num.) > (grado den.) para que dé bueno hacerlo directo Ejemplos: = = - = Si aparecen raíces se haría igual, solo hay que tener cuidado que no sea la excepción Ejemplo: c) Casos en que aparezcan otras funciones. Vamos a comparar para hacernos una idea: Log 10 x x 2 2 x x x x= Grandísimo Aún mayor que (ni cabe en la calculadora) el anterior Conclusión: (Logaritmos) << (Polinomios) << (Potencias de nº) << (Potencias de polinomio) Ejemplos: Caso de - Es indeterminado, Ejemplos: puede salir un número si son s comparables o puede que el resultado sea ó - según quien sea más grande. El caso complicado aparece cuando hay una resta y están implicadas raíces, de forma que el grado y los coeficientes del término de mayor grado del minuendo y sustraendo son iguales Ejemplo: Aquí multiplicamos y dividimos por el conjugado, lo mismo que ya hicimos el otro día Caso de seno y coseno en el En el seno y coseno van saliendo valores entre 1 y -1, repitiéndose cada 2 Es decir que cuando x no está convergiendo a ningún valor, sino que sigue oscilando entre -1 y 1. Por tanto: Propiedad cuando tengo una función acotada por otra que tiende a cero Si tengo lim [f(x) g(x)], y resulta que f(x) 0 y g(x) acotada entonces lim [f(x) g(x)]=0 Ejemplo:

7 Propiedades para el cálculo de límites: Sea L 1 =lim f(x) y L 2= lim g(x) lim [ f(x)+ g(x)]= L 1 + L 2 (las funciones con límites son un subesp.vectorial). lim f(x) g(x)=l 1 L 2 lim = con g(x)0 y L 2 0 lim = con K>0 lim = con L 1 >0 Caso 1 : Recordar que e = = Si lim =1 entonces L= Otras equivalencias: Infinitésimos equivalentes, (Un infinitésimo es un valor próximo a cero) Si f(x)0 ln[1 + f(x)] f(x) con x>-1 Si f(x)0 [1 + f(x)] n 1+ f(x) con x>-1 Si f(x)0 sin [f(x)] tan [f(x)] arcsen [f(x)] arctg [f(x)] f(x) Si f(x)0 cos [f(x)] 1 si hace falta: sen x = x, cos x= 1 Si f(x)0 e f(x) 1 + f(x) Asíntotas horizontales Son rectas horizontales a las que tiende una función cuando x y cuando x - Si (nº) entonces existe una A.H. por la derecha de ec: y=l 1 Si (nº) entonces existe una A.H. por la izquierda de ec: y=l 2 Cuando hay un cociente de polinomios y en el caso de que haya A.H entonces es la misma por la izquierda que por la derecha. Ej.1: Ej.2: + Si es cociente de polinomios sólo habrá A.H. si (grado num) (grado den.) Si hay exponenciales a f(x) en caso de que haya A.H. puede que sólo sea por un lado Si hay raíces en caso de que haya A.H. podría salir diferente la A.H. por la izquierda que la AH por la derecha. Ej.1: Asíntotas oblicuas Son rectas oblicuas y=m x+b a las que tiende la función y=f(x) en el infinito Las calcularemos sólo en el caso de cociente de polinomios. + En ese caso, para que existan Asint.Oblicuas: (grado num) = (grado den) Podría hacerse como división larga en el caso de cociente de polinomios, pero + Pero técnicamente se hacen así: pero si m= ó m= entonces no habría Asínt.Oblicua

8 Ejercicios adicionales Halla y dibuja la gráfica cerca de las asíntotas verticales

9 Continuidad Una función f(x) es continua en un punto x=c si =f(c) Lo cual implica: Existe f(c) Existe, es decir, que existen los límites laterales y coinciden = f(c) Una función f(x) es continua en un intervalo si lo es en todos sus puntos. Basta con saber la continuidad de las funciones elementales y estudiar los puntos problemáticos. Podríamos decir que una función f(x) es continua en un intervalo si la puedo dibujar sin levantar el lápiz en ese intervalo Discontinuidad evitable en x=c pero o bien Discontinuidad inevitable con salto pero Pero =1 Puede ser discontinua con salto finito o discontinua con salto infinito Discontinuidad inevitable de segunda especie Algún límite lateral no existe (a un lado la función no existe) Ocurre con raíces pares y con logaritmos. El ejemplo de la izquierda es con una raíz Ver al final el repaso de los logaritmos No existe para valores menores de 2, en x=2 es discont. Inev. De 2ª especie Ejercicios de Continuidad.

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11 Funciones trigonométricas f(x) = sen x Dom[f] = = (-,) Recorrido=[-1,1] (acotada) Periódica con periodo T =2 Impar porque sen(-x) = -sen(x) f(x) = cos x Dom[f] = = (-,) Recorrido=[-1,1] (acotada) Periódica con periodo T =2 Par porque cos(-x) = cos(x) f(x) = tan x = Dom[f] = - Recorrido(-,) Periódica con periodo T = Impar porque tan(-x) = -tan(x) Si x0 sin x tan x arcsen x arctg x x Si f(x)0 sin f(x) tan f(x) arcsen f(x) arctg x f(x) Si x0 cos x = 1 - Si f(x)0 cos f(x) = 1

12 f(x) = arctan x Dom[f] = AH der y= Recorrido=[-1,1] AH izq y= Impar porque arctan(-x) = -arctan(x) Comparar una función racional con su equivalente simplificado Qué diferencia hay entre f(x) = y la versión simplificada f s (x) = x-3? Es casi lo mismo, sólo que f(x) no está definida en x=-3 pero f s (x) sí que está definida Por tanto son iguales salvo en x=-3, donde f(x) tiene un huequito, pero f s (x) es continua. Funciones exponenciales f(x) = a x, Dom[f] = = (-,) Recorrido=(0,) Si a>1, por tanto Asínt. Horiz. por la izquierda de ecuación y=0 Si a<1, por tanto Asínt. Horiz. por la derecha de ecuación y=0 Funciones logarítmicas f(x) = log a x, Dom[f] = (0,) Recorrido=(-,) Si a>1, Discontinua inevitable de 2ª especie en x=0 por tanto Asínt. Vertical de ecuación x=0