Variedades diferenciables

Transcripción

1 Capítulo 10 Variedades diferenciables 1. Variedades diferenciables en R n A grandes rasgos, una variedad diferenciable es un conjunto que, localmente, es difeomorfo al espacio euclideano. En este capítulo estudiaremos las variedades diferenciables dadas como subconjuntos de R n, y generalizaremos la teoría de campos vectoriales, formas diferenciales e integración a tales objetos. En esta sección empezaremos por las definiciones básicas. Definición Un subconjunto M R n es una variedad diferenciable de dimensión k si, para cada x M, existen conjuntos abiertos U R k y V R n y una función continuamente diferenciable f : U V tales que 1. x V ; 2. f(u) = V M, f es inyectiva y f 1 : V M U es continua; y 3. para cada y U, el Jacobiano f (y) tiene rango k. A la función f se le llama un sistema de coordenadas alrededor de x. La definición 10.1 implica entonces que una variedad diferenciable de dimensión k es un conjunto tal que, localmente, es la imagen de una función definida en un conjunto abierto U en R k y con valores en R m (figura 1). La condición que la imagen f(u) es un conjunto de la forma V M alrededor de cada punto de M establece una cubierta natural para M de conjuntos abiertos, los cuales forman lo que comúnmente se llama un atlas. 187

2 Variedades diferenciables Notemos que, como el Jacobiano f (y) es una matriz de n k para cada y U, entonces la tercer condición de la definición 10.1 es equivalente a decir que las columnas de f son linealmente independientes, o que generan un subespacio de dimensión k en R n. y2 U. ( y 1, y2 ) y 1 f M V V M f( y 1, y 2 ) Figura 1. Sistema local de coordenadas alrededor de f(y) M, donde M es una variedad de dimensión 2 en R 3. La imagen de U R 2 bajo f es un conjunto de la forma V M, donde V es abierto en R 3. Ejemplo 10.2 (La esfera S k ). Consideremos la esfera S k en R k+1 dada por S k = {x R k+1 : x = 1}. Sea x S k, y tomamos i tal que x i 0. Sin pérdida de generalidad, suponemos que x i > 0. Definimos los conjuntos U R k y V R k+1 como U = {y R k : y < 1} y V = {z R k+1 : z i > 0}, y definimos la función f : U V como: f(y) = ( y 1,...,y i 1, 1 y 2,y i+1,...,y k), donde y = (y 1 ) (y k ) 2. Entonces f(u) = V S k y f 1 : V S k U está dada por Véase la figura 2. f 1 (z) = (z 1,...,z i 1,z i+1,...,z k+1 ). Observación El conjunto S k es el conjunto solución de la ecuación x 2 = 1 en R k+1. Es decir, si definimos g : R k+1 R por g(x) = x 2 1, entonces S k = g 1 ({0}). Observamos que g es continuamente diferenciable y que Dg(x) 0 para todo x R k+1. Esta observación se puede generalizar en el siguiente teorema.

3 1. Variedades diferenciables en R n 189 z (x,y,z) x y Figura 2. La esfera S 2 R 3. Si (x 0, y 0, z 0) S 3, y z 0 > 0, podemos tomar U = {(x, y) R 2 : x 2 + y 2 < 1} y V = R 3 +. Entonces un sistema local de coordenadas alrededor de (x 0, y 0, z 0) está dado por (x,y) (x, y, z), con z = p 1 (x 2 + y 2 ). Teorema Sea A R n abierto, p < n, g : A R p continuamente diferenciable tal que g (x) tiene rango p para toda x A tal que g(x) = 0. Entonces M = g 1 ({0}) es una variedad diferenciable en R n de dimensión n p. Demostración. Sea x 0 M. Por el Teorema del Rango (teorema 3.29), existen abiertos V,W R n, x 0 V, y una biyección Ψ : W V continuamente diferenciable, con Ψ 1 : V W diferenciable, tales que g Ψ(x) = (x n p+1,...,x n ). Sea π : R n R n p dada por π(x) = (x 1,...,x n p ), y U = π(w). Entonces, si definimos f : U V por (10.1) f(y) = Ψ(y,0), f es un sistema de coordenadas alrededor de x en M. Para verificar esto, notamos que claramente f es diferenciable, porque Ψ lo es, y, si y U, f(y) V y g(f(y)) = g(ψ(y,0)) = 0, por lo que f(y) M. Además, f 1 = π Ψ 1 V M es continua (de hecho diferenciable). Por último, el Jacobiano f (y) = (D j Ψ i (y,0)) 1 i n,1 j n p tiene rango n p porque Ψ (y,0) es no singular, y por lo tanto sus primeras n p columnas nos linealmente independientes. Si M es una variedad diferenciable en R n de dimensión k, escribiremos conmúnmente M k. Definición Si f : A B es una biyección continua tal que f 1 : B A es continua, entonces f es llamada un homeomorfismo.

4 Variedades diferenciables Si U,V R n son abiertos, y f : U V es una biyección continuamente diferenciable tal que f 1 : V U es continuamente diferenciable, entonces f es un difeomorfismo. El siguiente teorema clasifica una variedad M k en términos de sus difeomorfismos locales. Teorema Sea M k R n una variedad diferenciable y f 1 : U 1 M, f 2 : U 2 M dos sistemas de coordenadas tales que f 1 (U 1 ) f 2 (U 2 ). Entonces f2 1 f 1 : f1 1 (f 2(U 2 )) f2 1 (f 1(U 1 )) es un difeomorfismo. Demostración. Sean V 1 = f 1 (U 1 ), V 2 = f 2 (U 2 ), V = V 1 V 2 y f1 1 (V ) = U. Demostraremos que f2 1 f 1 es continuamente diferenciable y, para cada x U, det(f2 1 f 1 ) (x) 0. Esto es suficiente para mostrar el teorema 10.6, por el teorema de la función inversa. Sea x U. Entonces f 1 (x) V, y existe y U 2 tal que f 1 (x) = f 2 (y). Véase la figura 3. Los Jacobianos f 1 (x) y f 2 (y) tienen rango k. Sin pérdida de generalidad, asumiremos que los primeros k renglones de f 1 (x) son linealmente independientes. Ahora bien, como f 2 (y) tiene rango k, podemos escoger k renglones linealmente independientes, digamos los renglones l 1,l 2,...,l k. Entonces la matriz ( ) D j f l i 2 (y) 1 i,j k es no singular, es decir Definimos F : U 2 R n k R n como ( ) det D j f l i 2 (y) 0. F(z,w) = f 2 (z)+(w 1,...,w l1 1,0,w l1,...,w l2 2,0,...,w lk k,0,...,w n k ), es decir, sumamos a f 2 (z) R n el vector en R n formado por el vector w R n k y k ceros en las coordenadas l 1,...,l k. Entonces F (z,w) = ( f 2 (z) J), donde J es la matrix de n (n k) formada por la identidad I n k y 0-vectores en los renglones l 1,...,l k. Entonces det ( F (y,0) ) = ± det ( D i f l i 2 (y) ) 0,

5 1. Variedades diferenciables en R n 191 f 1 2 f 1 U 1 x U y U 2 f 1 f 1 (x) f 2 M V 1 V 2 V Figura 3. Diagrama del la demostración del teorema y por el Teorema de la Función Inversa, existen abiertos W 1,W 2 R n, (y,0) W 1 U 2 R n k, tales que es un difeomorfismo. Además F : W 1 W 2 F(y,0) = f 2 (y) = f 1 (x), por lo que (y,0) = F 1 (f 1 (x)). Si π : R n R k es la proyección π(z) = (z 1,...,z k ), entonces para todo (z,0) W 1, y entonces F(z,0) = f 2 π(z,0) f 1 2 f 1 = π F 1 f 1, en una vecindad de x (en el conjunto abierto f1 1 (F(π(W 1)))). Por lo tanto f2 1 f 1 es diferenciable alrededor de x. Por la regla de la cadena, el Jacobiano de (f2 1 f 1 ) (x) está dado por π (F 1 ) (f 1 (x)) f 1 (x),

6 Variedades diferenciables la cual es una matriz de k k cuyos renglones son los primeros k renglones de la matriz (F 1 ) (f 1 (x)) f 1 (x). Como, por la hipótesis inicial, los primeros k renglones de f 1 (x) son linealmente independientes y (F 1 ) (f 1 (x)) es no singular, entonces los primeros k renglones de (F 1 ) (f 1 (x)) f 1 (x), y entonces los de (f2 1 f 1 ) (x), son linealmente independientes. Por lo tanto (f2 1 f 1 ) (x) es no singular. 2. Espacio tangente En esta sección estudiaremos el espacio tangente en un punto de una variedad diferenciable, la cual generalizará la definición de R n p para p R n estudiada anteriormente. Como nuestras variedades M son subconjuntos de R n, es natural definir el espacio M p como un subespacio de R n p Definición Sea M k una variedad diferenciable en R n y f : U M un sistema de coordenadas alrededor de p = f(a). Definimos la transformación lineal f : R k a R n p como f (v a ) = Df(a)(v) p. Como f (a) tiene rango k, f (R k a ) es un subespacio de dimensión k en R n p. A f (R k a ) le llamaremos el espacio tangente en p. R k a U v a M Df(a)(v) p Figura 4. El espacio tangente en p M k está definido como el subespacio f (R k a) de dimensión k en R n p. Si g : V M es otro sistema de coordenadas alrededor de p = g(b), entonces g (R k b ) = (f f 1 g) (R k b ) = f ( (f 1 g) (R k b )) = f (R k a ), porque (f 1 g) es un isomorfismo, por el teorema Entonces podemos garantizar que el espacio tangente es independiente del sistema de coordenadas. Ejemplo 10.8 (Recta tangente). Sea γ R 2 una variedad diferenciable de dimensión 1 en R 2 (a las que comúnmente llamaremos curvas, al igual que los 1-cubos), y sea f : ( δ,δ) V, V R 2, un sistema de coordenadas alrededor del punto f(0) = p γ.

7 2. Espacio tangente 193 Entonces f : R 1 0 R2 p, f (λ 0 ) = Df(0)(λ) p = λf (0) p R 2 p. Si f(t) = (x(t),y(t)), t ( δ,δ), entonces por lo que f (t) = ( x ) (t) y, (t) ( f (R 1 x 0 ) = gen{ ) (0) y } R 2 (0) p. p Así que el espacio tangente en p es la recta tangente a γ en p, como se observa en la figura 5. γ p f ( R 1 * 0 ) Figura 5 Ejemplo 10.9 (La esfera en R 3 ). Consideramos un punto (x 0,y 0,z 0 ) S 2 en la esfera en R 3, con z 0 > 0. Sea f : U R 3 +, donde U = {(x,y) R 2 : x 2 + y 2 < 1}, el sistema de coordenadas alrededor de (x 0,y 0,z 0 ) dado por f(x,y) = (x,y, 1 x 2 y 2 ). Entonces (x 0,y 0,z 0 ) = f(x 0,y 0 ). El Jacobiano de f en (x 0,y 0 ) está dado por la matriz de f (x 0,y 0 ) = 0 1 x 0 y 0 = x 2 0 y0 2 1 x 2 0 y0 2 x 0 y 0 z 0 z 0

8 Variedades diferenciables Entonces im f (x 0,y 0 ) = ( ker(f (x 0,y 0 )) t) = (ker 1 0 x 0 z 0 1 y 0 z 0 ( Entonces, = gen { x 0 y 0 z 0 }). f (R 2 (x 0,y 0 ) ) = {(x,y,z) R3 (x 0,y 0,z 0 ) : xx 0 + yy 0 + zz 0 = 0}, el cual puede ser identificado como el plano tangente a S 2, es decir, el plano x 0 normal al vector y 0 y que pasa por el punto (x 0,y 0,z 0 ), como se muestra z 0 en la figura 6. ) (x 0, y 0, z 0 ) Figura 6 De hecho, no es muy difícil verificar que, si la variedad M está definida por M = g 1 ({0}), donde g : A R satisface las hipótesis del teorema 10.4, entonces el espacio tangente M p está dado por ker g = {x R n p : Dg(p)(x) = 0}, es decir, el hiperplano en p de vectores ortogonales a grad g(p) (ejercicio 8). Al espacio tangente en x M k lo denotamos por M x (ó T x M). El haz tangente de M es el conjunto TM = M x, x M es decir, la unión de los espacios tangentes en cada punto de M.

9 3. Variedades con frontera Variedades con frontera En esta sección introduciremos las variedades diferenciables con frontera, donde generalizaremos el concepto de frontera de un cubo o un complejo. En general, una variedades diferencial no tiene caras, por lo que la definición tendrá que llevarse a cabo localmente, al igual que la definición original de variedad diferenciable. Consideremos el semiespacio superior cerrado H k = {x R k : x k 0}. Es decir, H k es la cerradura del semiespacio R k +. Definición El conjunto M R n es una variedad diferenciable con frontera de dimensión k si, para cada x M, existen abiertos U R k, V R n y una función continuamente diferenciable f : U V tales que 1. x V ; 2. f : U H k V M es un homeomorfismo; y 3. f (y) es de rango k para todo y U H k. De nuevo, a la función f le llamaremos un sistema coordenado alrededor de x. Es decir, no requerimos que, localmente, M sea la imagen diferenciable de un abierto en R k, sino de un abierto en H k (la intersección de un abierto con H k ). Véase la figura 7. f M U U H k V M V Figura 7. En M, el conjunto V M es ahora la imagen de un conjunto del tipo U H k, con U abierto en R k. Observemos que esta definición cumple con las mismas propiedades que una variedad diferenciable; es decir, si tenemos dos sistemas coordenados f 1 : U 1 V 1 y f 2 : U 2 V 2, entonces f 1 2 f 1 : f 1 1 (f 2(U 2 )) f 1 2 (f 1(U 1 ))

10 Variedades diferenciables es un difeomorfismo (aunque los conjuntos f1 1 (f 2(U 2 )) y f2 1 (f 1(U 1 )) no son necesariamente abiertos en R k ). De nuevo, si M es una variedad diferenciable con frontera de dimensión k, la denotaremos como M k. Definición Sea M k R n una variedad diferenciable con frontera. Decimos que x M está en la frontera de M si existe un sistema coordenado f : U V tal que x = f(a) y a k = 0. Denotamos como M al conjunto de puntos en la frontera de M, y nos referimos a M como la frontera de M. Observación La definición de la frontera M de M es independiente del sistema de coordenadas elegido. Es decir, si f : U 1 V 1 y g : U 2 V 2 son dos sistemas coordenados alrededor de x M y, si x = f(a) = g(b) y a k = 0, entonces necesariamente b k = 0. Supongamos que b k > 0. Entonces podemos suponer que U 2 R k +. En tal caso, U 2 H k = U 2, así que g(u 2 ) = V 2 M. Si V = V 1 V 2, entonces f 1 g : g 1 (V ) f 1 (V ) es un difeomorfismo. Por el teorema de la función inversa, como g 1 (V ) es abierto, entonces f 1 (V ) = (f 1 g)(g 1 (V )) es abierto. Pero esto implica que f 1 (V ) R k +, lo cual contradice que ak = 0. Ejemplo (El disco D 2 R 2 ). Consideremos el conjunto D 2 dado por D 2 = {(x,y) R 2 : x 2 + y 2 1}, el disco en R 2 (en particular, D 2 = B 2 ). Verificaremos que D 2 es una variedad de dimensión 2 con frontera D 2 = S 1. δd = S 2 1 D 2 Figura 8. La frontera del disco D 2 es igual a S 1.

11 3. Variedades con frontera 197 Sea (x 0,y 0 ) D 2. Si x y2 0 < 1, entonces podemos tomar U = V = {(x,y) R 2 : x 2 + (y 1) 2 < 1}, y f : U V la función dada por f(x,y) = (x,y 1) como sistema coordenado alrededor de (x 0,y 0 ). (Notemos que (x 0,y 0 ) = f(x 0,y 0 + 1).) Supongamos ahora que x y2 0 = 1. Sin pérdida de generalidad suponemos que y 0 > 0. Sea U = {(x,y) R 2 : x 2 + y 2 < 1}, V = R 2 +, y f : U V la función f(x,y) = (x, 1 x 2 y). Como x 2 + y 2 < 1 en U, y < 1 x 2, por lo que f(x,y) V para todo (x, y) U. Además, f es continuamente diferenciable en U. Ahora bien, si (x,y) U H 2, entonces y 0, por lo que 0 < 1 x 2 y 1 x 2, y entonces f(x,y) V D 2. Ahora bien, si (x,y) V D 2, entonces (x,y) = f(x, 1 x 2 y), por lo que entonces f(u H 2 ) = V D 2. Su inversa está dada por sí misma, así que es continua (de hecho C 1 ). Finalmente, verificamos que (x 0,y 0 ) D 2. Sólo es suficiente con verificar que (x 0,y 0 ) = f(x 0,0), porque x y2 0 = 1 y y 0 > 0. Este ejemplo se puede generalizar a la bola B n en R n (ejercicio 13). Observamos que, como D 2 = S 1, entonces D 2 es una variedad de dimensión 1, mientras que D 2 es una variedad de dimensión 2. En general, tenemos el siguiente resultado. Proposición Si M k R n es una variedad diferenciable con frontera y M, entonces M es una variedad diferenciable de dimensión k 1. Demostración. Sea x M, y sea f : U V, U R k, V R n, un sistema coordenado alrededor de x. Entonces x = f(a), donde a U y a k = 0. Sea ψ : R k 1 R k la función y sea U R k 1 el conjunto ψ(y) = (y 1,...,y k 1,0), y R k 1, U = {y R k 1 : (y,0) U} = ψ 1 (U).

12 Variedades diferenciables Verificaremos que g : U V, donde g = f ψ, es un sistema de coordenadas alrededor de x M. Primero, es claro que U es abierto en R k 1 y que x V. Ahora bien, como f y ψ son continuamente diferenciables, f ψ es continuamente diferenciable, por la regla de la cadena. Si y U entonces f(ψ(y)) M, por la definición de M. Como V M f(u), por la observación anterior, V M f(ψ(u )). Así que f ψ(u ) = V M. Además, es claro que (f ψ) 1 : V M U es continua, porque (f ψ) 1 es la restricción de f 1 a V M. Por último, tenemos que verificar que, para cada y U, el Jacobiano (f ψ) (y) tiene rango k. Ahora bien, por la regla de la cadena, la matriz (f ψ) (y) es igual al producto f (y,0) ψ (y). La matriz ψ (y) es una matriz de k (k 1), cuyos primeros k 1 renglones forman la matriz identidad I k 1, así que sus k 1 columnas son linealmente independientes. Por otro lado, las k columnas de f (y,0) son linealmente independientes, lo cual implica que k de sus renglones lo son. El resultado de multiplicar estos k renglones por la matriz ψ (y) da como resultado una matriz de k (k 1) con sus k 1 columnas linealmente independientes. Por lo tanto, la matriz, de tamaño n (k 1), f (y,0) ψ (y) tiene rango k 1. Ejercicios 1. Demuestra que un subespacio de dimensión k de R n es una variedad diferenciable de dimensión k. 2. Muestra que un conjunto abierto U R n es una variedad diferenciable de dimensión n en R n. 3. De manera inversa al ejercicio anterior, muestra que, si M es una variedad diferenciable en R n de dimensión n, entonces es un conjunto abierto en R n. 4. Si M k R n es una variedad diferenciable y x M, muestra que existe un abierto V R n, x V, y una función g : V R n k tal que V M = g 1 ({0}) y g (y) tiene rango k para todo y V M. 5. Sea g : R 2 R dada por g(x,y) = x 2 y 2. Explica por qué el conjunto g 1 ({0}) no es una variedad diferenciable en dimensión 1 en R 2.

13 Ejercicios Si M k una variedad diferenciable en R n, k < n, muestra que M tiene medida Sea M k una variedad diferenciable en R n tal que M {x R n : x 1 = 0,x i > 0,i = 2,...,n}. Sea N el conjunto que resulta al revolver M alrededor del eje x n. Muestra que N es una variedad diferenciable de dimensión k + 1. (Ve como ejemplo la figura 1.) Figura 9. El toro T 2 es el resultado de revolver un círculo en el plano yz alrededor del eje z. 8. Sea A R n un conjunto abierto y g : A R diferenciable, g (x) 0 para x A y M = g 1 ({0}). Muestra que el espacio tangente en p M es igual a {x R n p : x grad g(p) = 0}. Es decir, M p es el hiperplano en R n p normal a grad g(p), el gradiente de g en p. 9. Sea f : R n R m y considera su gráfica G = {(x,y) R n+m : y = f(x)}. Muestra que G es una variedad diferenciable de dimensión n si, y sólo si, f es diferenciable. 10. Sea G R 3 la gráfica de la función diferenciable f : R 2 R. Calcula el espacio (plano) tangente en (x 0,y 0,z 0 ) G. 11. En general, muestra que si G R n+1 es la gráfica de la función diferenciable f : R n R, entonces el espacio tangente en x 0 G está dado por el hiperplano en R n+1 x 0 normal al vector n = ( grad f(x 1 0,...,xn 0 ),1). 12. Muestra que el cilindro C R 3 dado por C = {(x,y,z) R 3 : x 2 + y 2 = 1,0 z 1}, es una variedad diferenciable con frontera de dimensión Muestra que la bola B n R n es una variedad diferenciable con frontera de dimensión n, y B n = S n 1.

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