MATEMÁTICAS Y CULTURA B O L E T Í N No. 273 COORDINACIÓN DE MATEMÁTICAS APLICACIONES DEL DETERMINANTE DE VANDERMONDE

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1 MATEMÁTICAS Y CULTURA B O L E T Í N No. 273 COORDINACIÓN DE MATEMÁTICAS MATEMÁTICAS MATEMÁTICAS APLICACIONES DEL DETERMINANTE DE VANDERMONDE E l Boltí Matmáticas Y Cultura No. 257 dl 23 d abril d 2009 s dmostró qu l dtrmiat d Vadrmod d ord 2 stá dado por dod i j y V a, a2,..., a s la matriz dt V a, a2,..., a a j a i i j a a a a a a a a a a a a a a j i a a a , 2,..., 2 V a a a a a a a a a 2 coocida como matriz d Vadrmod. Admás, qu si ai a j para i j, tocs dt[ V ( a, a2,, a )] 0 Eist divrsas aplicacios d st dtrmiat, si mbargo, st artículo sólo s prstará dos qu s cosidra importats. INTERPOLACIÓN LINEAL. Dados putos P (, y ), P (, y ),..., P (, y ) dod s asum d mara atural qu las tradas 0,,..., so distitas, l objtivo s obtr ua fució poliomial d la forma

2 2 p( ) a 0 a... a a tal qu los putos prtzca a la gráfica, s dcir, dtrmiar los valors d los coficits a0, a,..., a tals qu y a a... a a y a a... a a 0 y a a... a a 0 El atrior s u sistma d cuacios co icógitas (prcisamt los coficits buscados), l cual al scribirs forma matricial toma la forma y y y a a a D acurdo co la rgla d Cramr l sistma tdrá solució úica si l dtrmiat d la matriz d coficits s distito d cro, s dcir, si 0 0 dt 0 lo cual s cirto porqu sta matriz s la traspusta d la matriz d Vadrmod d ord y sto o hac qu cambi l valor dl dtrmiat. D sta mara s mustra qu l poliomio buscado s úico. CONJUNTO FUNDAMENTAL DE SOLUCIONES. Para obtr la solució gral d ua cuació difrcial lial d ord co coficits costats d la forma P( D) y 0 dod PD ( ) s l oprador difrcial lial d ord

3 D D I 3 s ti qu cotrar u cojuto d solucios d la cuació difrcial qu sa lialmt idpdits coocido como cojuto fudamtal d solucios. S pud probar qu las solucios so d la forma yi i dod las i so las solucios d la cuació 0 coocida como cuació caractrística. Asumido qu stas solucios so todas distitas, para probar qu l cojuto 2 S,,, s lialmt idpdit s rquir qu su Wroskiao sa distito d cro, s dcir qu WS ( ) 0, dod W( S) dt

4 4 D las propidads d los dtrmiats s ti qu W ( S) Nuvamt aparc l dtrmiat d Vadrmod d ord, l cual s distito d cro, y como las fucios pocials simpr so distitas d cro, s ti lo qu s quría dmostrar. Es itrsat prgutars cómo dmostrar sto mismo cuado s tga solucios rptidas d la cuació caractrística. MATEMÁTICAS JUAN AGUILAR PASCUAL PROFESOR DE LA FACULTAD DE INGENIERÍA, UNAM MATEMÁTICAS PIXELES LINEALES Las imágs movimito aprciadas los dispositivos modros so ua ilusió óptica, grada por ua sucsió d imágs fijas, cada ua d las cuals so otra ilusió óptica. La razó por la qu osotros vmos claramt movimito stá dada por asutos biológicos, l crbro humao ti ua rsolució d 24 imágs u sgudo, d tal mara qu si sta catidad s cd lo qu s aprcia s ua imag movimito si distició tr cada ua d las imágs fijas d trasició. A su vz cada imag fija s compo d millos d putos qu la vista humaa o llga a distiguir si s stá lo suficitmt ljos. D sguro otras spcis aimals o aprcia co toda la claridad u programa d tlvisió porqu o stá hcho para sus stidos. Bi, cada imag pud sr rprstada como ua matriz d pils, y para darl movimito habrá qu tr 24 d stas matrics u sgudo. Cada pil s rprsta co u úmro ( su forma más básica) d 0 a 255 sgú su color.

5 Qué ti comú todas stas matrics? 5 Está hchas por azar, y d so obtdrmos provcho. Hagamos ua partició para formar vctors digamos qu si l cojuto { } s lialmt dpdit sigifica qu ist scalars o todos cro tals qu así qu toría sólo csitamos dos d stos vctors y los trs scalars para coocr co crtza l trcr vctor. Su uso práctico vi cuado hablamos d la bas, si a ustro cojuto { } l aplicamos las trasformacios lmtals para hacrlo lialmt idpdit tocs tdrmos ua bas y podrmos prsar cualquir vctor dl cojuto origial como ua combiació lial d los lmtos d la bas, para lo cual sólo m itrsa la bas y los scalars d sta combiació lial. Como jmplo ilustrativo l siguit: Si s cosidra: Es vidt qu Por lo qu s ua bas co dimsió, sólo csitamos tocs rcordar, y los scalars, 4 y 3 para compltar todos los primros rglos dl cojuto d matrics atrior. E cambio si s cosidra: Vmos qu algo similar ocurr, st caso: Así qu solo co rcordar l matrics dl cojuto. y los scalars, 8, 5 tdrmos sta otra scció d las

6 D los lmtos rstats podmos vr qu 6 Dl jmplo atrior tuvimos cotramos qu csitamos rcordar trs vctors bas d trs dimsios cada uo hac 9 úmros, y trs scalars por las trs imágs qu tmos, hac 9 scalars, sumado hac u total d 8 úmros co los qu dfiimos todo ustro cojuto d trs imágs. Mitras qu guardar cada ua d las imágs como ua matriz csitaríamos rcordar 27 úmros. Si bi l jmplo fu dscaradamt maipulado para obtr rsultados favorabls l ahorro d mmoria varía: sgú s cutr los vctors lialmt dpdits co mayor úmro d compots para prsar más pils, bass co mor dimsió para tr la mor catidad d scalars, y todo sto itrvalos d timpo más grads. Las imprsios ssorials s cra 2 sgudos, o mos, lo cual s u bu motivo para matr por s timpo ua imag casi stática por s timpo las plículas, lo qu os cra 48 matrics d las cuals podmos obtr iguals vctors y por lo tato lialmt dpdits. Icluso si st procdimito s rfia pud sr aplicado a cualquir tipo t iformació y o sólo imágs, para ahorrar spacio mmoria comprimido archivos, y porqué o? Ua vz comprimido tmos otro archivo llo d vctors dtro d los cuals pud habr alguos lialmt dpdits, tocs s pud comprimir ritradamt. Lo itrsat stá la programació qu localic stos vctors dod quira qu sté. D. ALEJANDRO A. ÁNGELES ESTUDIANTE DE LA FACULTAD DE INGENIERÍA, UNAM Por razos d austridad, l tiraj dl Boltí s sigu matido a la mitad d lo qu s acostumbraba

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