Capítulo 2: Introducción al método de los Elementos Finitos 2. CAPÍTULO 2 INTRODUCCIÓN AL MÉTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS

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1 Capítulo 2: Introduccón al método de los Elementos Fntos 2. CAPÍTULO 2 ITRODUCCIÓ AL MÉTODO DE LOS ELEMETOS FIITOS 2.. ITRODUCCIÓ Vrtualmente cada fenómeno en la naturaleza, sea bológco, geológco o mecánco puede ser descrto con la ayuda de las leyes físcas, en térmnos de ecuacones algebracas, dferencales o ntegrales que relaconan varos parámetros de nterés. Para su modelamento, los ngeneros y centífcos que estudan estos fenómenos, están famlarzados con dos pasos prncpales: a) Formulacón matemátca del proceso físco. b) Análss numérco del modelo matemátco. La formulacón matemátca de un proceso físco requere del conocmento de los prncpos físcos en general y de la prevalenca de unos fenómenos sobre otros, en partcular. Adconalmente, se requere del maneo de certas herramentas matemátcas como las ecuacones dferencales. El desarrollo de un modelo matemátco de un proceso se logra a través de supuestos sobre el cómo opera el proceso. En una smulacón numérca se usa un método numérco y un computador para evaluar el modelo matemátco y estmar las característcas del proceso. Mentras que la dervacón de las ecuacones que gobernan la mayoría de los fenómenos, no es tan dfícl, su solucón por métodos de análss exactos es una tarea formdable y en muchos casos mposble a la fecha. En tales casos los métodos aproxmados de análss representan una alternatva valosa para encontrar las solucones. Algunos de estos métodos son las dferencas fntas y los métodos varaconales. En la aproxmacón por dferencas fntas de una ecuacón dferencal, las dervadas se reemplazan por cocentes de dferencas que envuelven los valores de la solucón en una 3

2 Capítulo 2: Introduccón al método de los Elementos Fntos malla dscreta de puntos del domno. El resultado de este proceso es un sstema de ecuacones algebracas después de la mposcón de las condcones de frontera de la malla de puntos. En la solucón de una ecuacón dferencal por un método varaconal, la ecuacón se converte a una forma ntegral-ponderada equvalente y entonces la solucón aproxmada sobre el domno se asume como una combnacón lneal ( c ) aproxmacón elegdas apropadamente y coefcentes ndetermnados de funcones de. Estos coefcentes se calculan de modo que el estado ntegral equvalente satsfaga la ecuacón dferencal orgnal. Varos métodos varaconales, como por eemplo, Raylegh-Rtz, Galerkn y Mínmos cuadrados, dferen unos de otros en la eleccón de la forma ntegral, las funcones de ponderacón y/o las funcones de aproxmacón. Todos ellos tenen la desventaa de que las funcones de aproxmacón para problemas con domno arbtraro son de dfícl construccón. c El método de los elementos fntos vence la desventaa de los métodos varaconales tradconales por medo de un proceso sstemátco para la dervacón de las funcones de aproxmacón sobre subregones del domno. Tambén está dotado con tres característcas báscas que explcan su superordad sobre los otros métodos con los que compte. Prmero, un problema de domno geométrcamente compleo se representa como una coleccón de subdomnos geométrcamente smples, llamados elementos fntos. Segundo, las funcones de aproxmacón se defnen sobre cada elemento fnto usando la dea básca de que cualquer funcón contnua puede ser representada por una combnacón lneal de polnomos algebracos. Tercero, las relacones algebracas entre los coefcentes ndetermnados se obtenen luego de que se hacen cumplr (Por eemplo valores en nudos) ecuacones que gobernan, comúnmente en el sentdo ntegral-ponderado, sobre cada elemento. En el método de los elementos fntos las funcones de aproxmacón se obtenen usando conceptos de la teoría de la nterpolacón y por ende son llamadas funcones de nterpolacón. Se ha encontrado que el grado de las funcones de nterpolacón depende del número de nudos en el elemento y del orden de la ecuacón dferencal a ser resuelta. 4

3 Capítulo 2: Introduccón al método de los Elementos Fntos 2.2. FORMULACIOES ITEGRALES Y MÉTODOS VARIACIOALES En el método de los elementos fntos se usa un estado ntegral para desarrollar relacones algebracas entre los coefcentes = c de la aproxmacón: u U = c (2.) donde u representa la solucón aproxmada de una ecuacón dferencal, c son los coefcentes a ser determnados, son funcones de aproxmacón preselecconadas tales que las condcones de frontera específcas sean satsfechas por los parámetros de la solucón aproxmada U. El uso de un estado ntegral equvalente a la ecuacón dferencal gobernante es necesaro por el hecho de que la susttucón de u en la ecuacón dferencal gobernante no sempre da como resultado el número de ecuacones algebracas lnealmente ndependentes para el número de coefcentes desconocdos. Una forma de asegurar que hay exactamente el msmo número de ecuacones como de ncógntas es usar ntegrales ponderadas donde el error en la ecuacón sea cero. c Por tanto se puede colocar la solucón aproxmada u U = c = a satsfacer la ecuacón dferencal en una forma de ntegral-ponderada o forma débl así: wrdx = 0 (2.2) 0 donde R se conoce como el resdual, y se obtene de reemplazar u en la ecuacón dferencal y w se conoce como la funcón de peso o de ponderacón. De la anteror ecuacón ntegral se pueden obtener tantas ecuacones lnealmente ndependentes como funcones ndependentes para w y por lo tanto gual número de coefcentes desconocdos. A contnuacón se verán los dstntos tpos de construccón de los estados ntegrales usados en dferentes métodos varaconales. Un método varaconal es aquel en el que se 5

4 Capítulo 2: Introduccón al método de los Elementos Fntos buscan las solucones aproxmadas del tpo u U = c y los coefcentes c se determnan usando un estado ntegral. Los métodos varaconales dferen el uno del otro en la eleccón de las funcones de ponderacón w y el estado ntegral usado, el cual a su vez dcta la eleccón de las funcones de aproxmacón. = En el método de los elementos fntos, un domno dado se ve como un ensamble de subdomnos y una solucón aproxmada se coloca en cada subdomno de la msma manera que los métodos varaconales. Por lo anteror se hace necesaro estudar los métodos varaconales antes del método de elementos fntos MÉTODOS VARIACIOALES DE APROXIMACIÓ Lo métodos varaconales de aproxmacón más comunes son: Raylegh-Rtz y el de los Resduos Ponderados en cualquera de sus casos: Galerkn, Petrov-Galerkn, Mínmos Cuadrados y el Método de Colocacón. En todos ellos se puede ver una solucón aproxmada en la forma de una combnacón lneal de funcones de aproxmacón apropadas y parámetros ndetermnados c. Los parámetros c se determnan tal que la solucón aproxmada satsface la forma ntegral-ponderada. Varos métodos dferen unos de otros en la eleccón de las funcones de ponderacón w y las funcones de aproxmacón. El método de los elementos fntos retoma el uso de los métodos varaconales para formular las ecuacones dscretas sobre cada elemento. Para efectos práctcos se explcarán sólo el método varaconal de los Resduos Ponderados y en su caso específco el método Galerkn. El método de los resduos ponderados se descrbe en sus generaldades por la ecuacón operador: 6

5 Capítulo 2: Introduccón al método de los Elementos Fntos A ( u) = f (2.3) donde A es un operador (lneal o no-lneal), comúnmente un operador dferencal, que actúa sobre una varable dependente u, y f es una funcón conocda de la varable ndependente. Algunos eemplos de dcho operador son: d du A u = a + dx dx ( ) cu d A ( u) = b 2 dx dx d u La funcón u no solo requere satsfacer la ecuacón operador, sno tambén requere satsfacer las condcones de frontera asocadas con la ecuacón operador. En el método de los resduos ponderados, la solucón u se aproxma por la expresón: u U = c. (2.) = La susttucón de la solucón aproxmada ( U en el lado zquerdo de la ecuacón operador da una funcón f = A U ) que, en general, no es gual a la funcón específca f. La dferenca A( U ) f, llamado el resdual de la aproxmacón, es dstnto de cero: R ( ) A U f = A c f 0 (2.4) = = ote que el resduo R es una funcón de poscón tanto como los parámetros método de los resduos ponderados, como su nombre lo ndca, los parámetros. En el determnan con el obetvo de hacer nulo el resduo R en el estado de la ntegralponderada: c c se Ω ( x, y) R( x, y, c ) dxdy 0, ( ψ = =,2,..., ) (2.5) 7

6 Capítulo 2: Introduccón al método de los Elementos Fntos donde Ω es un domno bdmensonal y ψ son las funcones de peso o de ponderacón, las cuales, en general, no son las msmas que las funcones de aproxmacón. Exsten varos casos especales del método de los resduos ponderados tales como: Petrov-Galerkn, Galerkn, Mínmos cuadrados y el de colocacón. El que se utlza en este trabao es el método Galerkn. En el método de Galerkn, para la seleccón de la funcón de peso ψ, ésta se guala a la funcón de aproxmacón, o sea ψ = = Las ecuacones algebracas de la aproxmacón Galerkn son: A c = F = (2.6) donde A ( ) = A dxdy Ω y F Ω = fdxdy (2.7) 2.4. EL MÉTODO DE LOS ELEMETOS FIITOS El método de los elementos fntos es una técnca en la cual un domno dado se representa como una coleccón de domnos smples, llamados elementos fntos, tales que de ellos es posble construr sstemátcamente las funcones de aproxmacón necesaras en una aproxmacón varaconal o de resduos ponderados de la solucón de un problema sobre cada elemento. Así, el método de los elementos fntos dfere de los métodos de resduos ponderados tradconales en la forma como se construyen las funcones de aproxmacón. Pero esta dferenca es responsable de las sguentes tres característcas báscas del método de los elementos fntos: Dvsón del todo en sus partes: Lo que permte la representacón de domnos geométrcamente compleos como coleccones de domnos geométrcamente smples que tenen la capacdad de una dervacón sstemátca de las funcones de aproxmacón. REDDY, J.. An ntroducton to the fnte element method. 2da Ed

7 Capítulo 2: Introduccón al método de los Elementos Fntos Dervacón de las funcones de aproxmacón sobre cada elemento: Las funcones de aproxmacón son comúnmente polnomos algebracos que son dervados de la teoría de nterpolacón. Ensamble de elementos: Lo cual se basa en la contnudad de la solucón; el ensamble de los elementos representa una forma dscreta análoga con el domno orgnal, y el sstema asocado de ecuacones algebracas representa una forma numérca análoga con el modelo matemátco del problema que está sendo analzado. Estas tres característcas están estrechamente relaconadas. La geometría de los elementos usados para representar el domno de un problema serían tales que las funcones de aproxmacón puedan ser dervadas unívocamente. Las funcones de aproxmacón dependen no sólo de la geometría sno tambén del número y localzacón de puntos, llamados nodos, en el elemento y de las cantdades a ser nterpoladas. Una vez las funcones de aproxmacón se han determnado, el procedmento para obtener las relacones algebracas entre los coefcentes desconocdos (Los cuales satsfacen los valores de la solucón en los nodos de los elementos fntos) es el msmo que el usado en los métodos de resduos ponderados. El método de los elementos fntos no sólo compensa las defcencas de los métodos varaconales tradconales, sno que tambén está dotado de las característcas de una técnca computaconal efectva. Los pasos báscos nvolucrados en el análss de elementos fntos de un problema están dados en el sguente procedmento: ) Dscretzacón (o representacón) del domno dado en una coleccón de elementos fntos preselecconados. a. Construr la malla de elementos fntos con los elementos preselecconados. b. Enumerar los nodos y elementos. c. Generar las propedades geométrcas (Por eemplo: coordenadas y área de la seccón transversal ) necesaras para el problema. 2) Dervacón de las ecuacones para todos los elementos típcos en la malla. 9

8 Capítulo 2: Introduccón al método de los Elementos Fntos a. Construr la formulacón varaconal de la ecuacón dferencal dada sobre el elemento típco de la malla. b. Asumr que una varable típca dependente u es de la forma: u c = (2.8) y susttur en el paso anteror para obtener las ecuacones del elemento en la forma: ( e) [ ] ( e c ) ( e) { } { F } K = (2.9) c. Dervar o selecconar, s ya están dsponbles en la lteratura, las funcones de nterpolacón ψ y computar las matrces del elemento. 3) Ensamblar las ecuacones del elemento para obtener las ecuacones del problema completo. a. Identfque las condcones de contnudad nterelementos entre las varables relaconando los nodos del elemento y los nodos globales. b. Ensamble las ecuacones del elemento usando el paso anteror. 4) Imposcón de las condcones de frontera del problema. 5) Solucón de las ecuacones ensambladas 6) Post-procesamento de los resultados. 20