Escuela Secundaria Diurna No. 2 ANA MARÍA BERLANGA

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1 Escuela Secundaria Diurna No. 2 ANA MARÍA BERLANGA Matemáticas III Tema: Álgebra. Contenido: Factor común y factorización de polinomios de segundo grado Actividad: Obtención de binomio al cuadrado, binomio conjugado y con término común como factores de polinomios de segundo grado (trinomio cuadrado perfecto, trinomio de segundo grado y diferencia de cuadrados). Resolución de ejercicios de reforzamiento. Evaluación. PROPÓSITO DE LA ACTIVIDAD: EL ALUMNO: Pueda establecer las relaciones entre los términos algebraicos y los factores de expresiones algebraicas. Desarrolle estrategias de cálculo mental para encontrar el resultado exacto de productos o expresiones. Desarrolle habilidades operatorias. SESIÓN No. 1 FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS DE SEGUNDO GRADO. Algunos polinomios de segundo grado que sean factorizables se pueden factorizar en binomios al cuadrado, binomios conjugados o binomios con término común. Las operaciones matemáticas como adición, multiplicación y potenciación tienen sus operaciones inversas que son sustracción, división y radicación respectivamente. Los productos notables tendrán su operación inversa en la factorización de resultado como se observa a continuación.

2 PRODUCTO NOTABLE Binomio al cuadrado Binomios conjugados Binomios con término común RESULTADO Trinomio cuadrado perfecto Diferencia de cuadrados Trinomio de segundo grado ax 2 + bx + c AL FACTORIZAR Trinomio cuadrado perfecto Diferencia de cuadrados Trinomio de segundo grado ax 2 + bx + c OBTENEMOS Binomio al cuadrado Binomios conjugados Binomios con término común Es importante reconocer cada uno de ellos, esto facilitará encontrar el resultado. Al observar detenidamente los resultados de los productos notables se verá que son polinomios de segundo grado o cuadráticos, debido a que el máximo exponente es 2. algunos trinomios de la forma ax 2 + bx + c no pueden factorizarse con los números enteros. FACTORIZACIÓN DE UN TRINOMIO CUADRADO PERFECTO. Para determinar si un trinomio es cuadrado perfecto o no, se extrae raíz cuadrada al primer y tercer término, siempre y cuando este se encuentre ordenado, si son cuadrados exactos como se muestra a continuación. 4x 2 + 4xy + y 2 4x 2 = 2x si el doble producto de las raíces es igual al segundo término del trinomio entonces se trata de un trinomio cuadrado perfecto y 2 = y 2(2x)(y) = 4xy Al efectuar la factorización de un trinomio cuadrado perfecto se obtiene un binomio al cuadrado, ejemplo: 16x x 2 y 3 + 9y 6 = ( 4x 2 + 3y 3 ) 2 ó ( 4x 2 + 3y 3 ) (4x 2 + 3y 3 ) 16x 4 = 4x 2 9y 6 = 3y 3 Un trinomio cuadrado perfecto consta de tres términos en donde generalmente el primero es cuadrático, el segundo es lineal y el tercero es independiente.

3 SESIÓN No. 2 Ejercicio de clase. I. Instrucciones: Factoriza los siguientes trinomios cuadrados perfectos. 1) a 2 + 2ab + b 2 = 2) x 2 + 2xy + y 2 = 3) x 2 + 4x + 4 = 4) y 4 8y = 5) 4x x + 9 = 6) 9y 2 24y + 16 = 7) 4x x = 8) 16a 4 24a 2 b + 9b 2 = 9) 4a 4 30a 2 b b 6 = 10) 9x 2 + 2x = 11) 4a 2 + 2a =

4 SESIÓN No. 3 FACTORIZACIÓN DE UNA DIFERENCIA DE CUADRADOS Para factorizar una diferencia de cuadrados se obtiene la raíz cuadrada a cada uno de los términos que la componen. Como se muestra a continuación. X 4 y 6 = ( x 2 + y 3 ) ( x 2 y 3 ) x 4 = x 2 y 6 = y 3 Recuerda que al factorizar una diferencia de cuadrados se obtienen binomios conjugados por tal razón los factores tienen un término simétrico. Ejercicio de clase Instrucciones: Obtener los factores que corresponden a las siguientes diferencias de cuadrados. X 2 9 = y 4 1 = = 4m 4 n 6 = = 49a 2 4a 4 = y 2 64 = 16 1 = t 8 81s 4 = 100 w 10 = 1 x 2 y 4 z 6 = 36g = 9 4 j k 8 = = 9c 10 d 24 = 4 16 (x + y) 2 z 6 = (4x 2 + 5) 4 9y 6 = 25a 2 b 4 c 6 16m 8 =

5 SESIÓN No. 4 FACTORIZACIÓN DE UN TRINOMIO DE SEGUNDO GRADO ( ax 2 + bx + c). Al factorizar un trinomio de la forma ax 2 + bx + c que no sea un trinomio cuadrado perfecto y que sea factorizable se obtienen binomios con término común. Para factorizar: x 2 + 4x 12 l Se obtiene la raíz cuadrada del término cuadrático. x 2 = x l Se divide el término lineal entre la raíz obtenida. 4x x = 4 l 4 es la suma algebraica de dos números y 12 es el producto de ellos, por lo tanto buscamos los factores de 12 que sumados den 4. Estos factores son: 6, - 2 6( -2 ) = (-2) = 4 Esto quiere decir que los factores que se determinaron son los correctos por lo tanto los factores del trinomio son: ( x + 6 ) ( x 2 ) Otro ejemplo: 4x 2 12x + 8 = ( 2x -2 ) ( 2x 4 ) 4X 2 = 2X -2(-4) = 8-12x 2x = (-4) = - 6

6 SESIÓN No. 5 Ejercicio de clase Instrucciones: Factorizar los siguientes trinomios de segundo grado. x 2 + 4x + 3 = x 2-4x + 3 = x 2 + 3x 10 = x 2 2x 10 = b 2 7b + 12 = 9y 6 9y 3 28 = 4x x = a 6 7a = c 2 4c + 3 = 4m 2 18m + 18 =