Capítulo 3. Postulados de la mecánica cuántica

Transcripción

1 Cpítulo 3 Postuldos de l mecáic cuátic 3 Postuldos 3 Medició 33 Form de los operdores 34 Iterpretció de l fució de od 35 cució de Schrödiger

2 3 Postuldos de l mecáic cuátic L mecáic cuátic se puede costruir prtir de u cojuto de ioms o postuldos que permite obteer ctiddes que so comprbles directmete co ls medicioes eperimetles 3 Postuldos Todo observble físico ( p L tiee socido u operdor hermitio L medició de este observble result ser u miembro del cojuto de vlores propios del operdor Cd sistem está crcterizdo por u fució de od Ψ = Ψ( r t cotiee tod l iformció cerc del sistem l cul Normlmete se elige Ψ de tl form que Ψ Ψ = e este cso se dice que l fució está ormlizd 3 Medició Se { u } el cojuto de fucioes propis del operdor socido co el observble A y { } su espectro Si Ψ es l fució de od del sistem se tiee lguo de los csos siguietes: cudo l fució de od coicide co u fució propi Ψ = u etoces l medir el observble A sólo se obtiee el vlor propio correspodiete ; b cudo l fució de od o coicide co igu fució propi Ψ u etoces l medir el observble A se obtiee todos los vlores propios pero l probbilidd de medir el vlor es igul P( = Ψ Pr que ls ctiddes P( puede iterpretrse como probbiliddes bst co demostrr que so positivo defiids y que sum uo A prtir de su defiició es clro que se cumple l primer codició mietrs que l segud se obtiee 3-

3 cotiució Al desrrollr Ψ e térmios de l fucioes propis de A se tiee que Ψ = b e dode b = Ψ Pero como l fució Ψ está ormlizd m m * * Ψ Ψ = b b m = δ b b = b = m etoces P( = b = m m Cudo l fució de od o es u fució propi del operdor A e l medició del observble A se obtiee diferetes vlores co diferetes probbiliddes reltivs l promedio de ests medicioes result ser ( A = P = b = Ψ Ψ pero provechdo l propiedd de hermiticidd del operdor se obtiee que A = Ψ u Ψ = Ψ Au Ψ = Ψ A Ψ = Ψ A Ψ = Ψ A Ψ Por lo tto el promedio de ls medicioes del observble A e u sistem descrito por l fució de od Ψ puede clculrse medite el bret que icluye su operdor socido Ψ A Ψ 33 Form de los operdores iste vris forms de costruir el operdor socido co u observble pero sólo presetremos l más usd Primero es ecesrio escribir l observble como fució de posicioes y mometos l igul que e l formulció de Hmilto de l mecáic 3-3

4 clásic A A( p operdores y p = Posteriormete se remplz ls posicioes y mometos por los d = p = i d e dode [ p] = i sí d A A( p = A i d s importte verificr que el operdor resultte se hermitio Teorem: Si dos operdores comut etoces tiee fucioes propis comues Demostrció Se A y B dos operdores que comut Cosidere l ecució de vlores propios del operdor A Au = u l plicr el operdor B e mbos ldos se tiee que BAu ( ( ( = Bu A Bu = B u por lo tto Bu es fució propi de A co vlor propio igul Cso (estdo o degeerdo Cudo sólo hy u fució propi de A co vlor propio igul l fució Bu debe ser proporciol u etoces Bu = bu sto demuestr el teorem Cso (estdo degeerdo Cudo eiste M fucioes propis de A co vlor propio igul A j = j j = M l fució B es u combició liel de ls fucioes propis que tiee el mismo vlor propio(fucioes degeerds 3-4

5 M B = c j j= j e dode c j = j B sto tmbié ocurre co culquier combició liel de ls fucioes degeerds B β = β c j j j Los coeficietes β se puede elegir de tl form que l combició liel se u fució propi del operdor B etoces se debe cumplir l codició o bie j β c j = b β j j c j β = bβ j j j otció mtricil l ecució terior tom l form siguiete C β = b β e dode los vectores β so los M vectores propios de l mtriz hermiti C co elemetos c j = j B Así ls fucioes β so simultáemete fucioes propis de los operdores A y B De quí que cudo dos operdores comut etoces los observbles correspodietes puede determirse simultemete A u b 34 Iterpretció de l fució de od Cosidere u cso secillo e dode es posible socirle u sigificdo l fució de od Pr el vlor promedio de l posició se tiee que 3-5

6 = Ψ Ψd = Ψ d * e dode l fució de od está ormlizd = Ψ d De l ecució del vlor promedio es posible idetificr Ψ * Ψd como l probbilidd de ecotrr l sistem etre y + d Así Ψ es u desidd de probbilidd s importte mecior que l fució de od o se puede determir eperimetlmete y que sólo su módulo cudrdo se puede iterpretr e form probbilístic 35 cució de Schrödiger Los eperimetos más comues que se reliz pr hcer medicioes e sistems microscópicos correspode l bsorció o emisió de eergí (espectroscopí estos csos se mide diferecis etre los vlores propios (espectro del operdor de l eergí (operdor hmiltoio Por est rzó es importte coocer el espectro del operdor hmiltoio pr el sistem e estudio L costrucció de este operdor requiere del hmiltoio clásico del sistem por ejemplo pr u prtícul = p m + V( r H( r p l operdor se obtiee remplzdo l mometo por su operdor correspodiete sí H = ( m + V r Filmete el espectro se ecuetr resolviedo l ecució de vlores propios del operdor hmiltoio tmbié deomid ecució de Schrödiger idepediete del tiempo Hu ( ( ( m u V u u = r + r r = s importte hcer otr que pr cd form del potecil se tiee u ecució diferecil diferete co su propio espectro y fucioes propis crcterístics De igul 3-6

7 form tto el úmero de prtículs como l dimesiolidd tiee u efecto e l ecució resolver 36 Pricipio de icertidumbre s importte cometr que u cosecueci direct de l o comuttividd de los operdores de posició y mometo es el pricipio de icertidumbre A cotiució se ejemplific l relció etre ls distribucioes de probbilidd socids co l medició de mbos operdores pr u cso prticulr Otros csos se muestr e el mteril uilir Pricipio de icertidumbre l igul que u trtmieto más elbordo Cosidere u sistem descrito por u fució de od que d orige u desidd de probbilidd de tipo gussio crterizd por u dispersió por ejemplo Ψ ( ( = ( π e ( P ( = e = P e ( 0 π L probbilidd de medir u vlor del mometo igul p está dd por o bie ( ip Π p p Ψ = e e d P( π 0 Π( p p = e = π e p π p p Observe que l distribució de mometos tmbié es gussi y que su cho depede de p = Por lo tto p = es decir ls dispersioes e y e p está relciods de form ivers geerl es posible demostrr que el producto de mbs dispersioes tiee u cot iferior p 3-7