1.1.- LA SUMA O ADICIÓN: Sumar es añadir una cantidad a otra; juntar o reunir varias cantidades en una sola.

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1 LECCIÓN 2: OPERACIONES CON NÚMEROS ENTEROS 1.- SUMA DE NÚMEROS ENTEROS LA SUMA O ADICIÓN: Sumar es añadir una cantidad a otra; juntar o reunir varias cantidades en una sola. SIGNO DE LA SUMA: Es una cruz latina (+) y lee más. TÉRMINOS DE LA SUMA: Sumandos, que son las cantidades que se suman. Suma o total, que es el resultado de la suma. La operación de sumar se puede hacer mentalmente o utilizando un método de cálculo escrito (algoritmo) específico para la suma. En cualquier caso, además hay que indicarla siempre en forma de igualdad con su resultado = ALGORITMO DE LA SUMA: EL algoritmo de una operación es el método de cálculo para hallar el resultado de la operación. El algoritmo de la suma consiste en: 1º Colocar todos los sumandos en cada fila haciendo coincidir en la misma columna el mismo orden de unidades, pasando una raya horizontal por debajo del último sumando º Se suman, de derecha a izquierda, las cifras de cada columna y el resultado se pone debajo de la horizontal. Si la suma de una columna pasa de nueve solo se pone debajo de la horizontal la cifra de las unidades sumando la de las decenas con las cifras de la siguiente columna º El número que finalmente aparece debajo de la horizontal es el resultado de la suma. USO DEL PARÉNTESIS Los paréntesis indican que se deben realizar primero las operaciones que están dentro de ellos y las que quedan fuera se vuelven a indicar en el mismo orden en que aparecen. Si no hay paréntesis se hacen las operaciones en el orden en que aparecen volviendo a indicar las que no se hacen en el mismo orden. 8 + (2 + 5) = = = = 15

2 Estaría mal hecho si no se repiten las operaciones que no se hacen en un paso en el mismo orden en que aparecen: = = = 15 MAL SUMA DE NÚMEROS ENTEROS Al escribir operaciones con números enteros no se pueden escribir seguidos los signos de las operaciones y los signos de los números enteros por lo que, los separaremos encerrando el número entero con su signo entre paréntesis. Correctas Incorrectas (+5) + (+3) (+4) (+11) ( 6) + ( 2) ( 9) ( 20) ( 7) (+9) ( 7) : ( 9) : 9 ( 7) (+9) ( 8) ( 10) ( 8) : (+10) 8 : + 10 SUMA DE ENTEROS DEL MISMO SIGNO Para sumar dos números enteros del mismo signo se suman sus valores absolutos y se pone el mismo signo que tienen. (+5) + (+3) = +(I+5I + I+3I) = +(5 + 3) = +8 = 8 (+4) + (+11) = +(4 + 11I) = +15 = 15 ( 6) + ( 2) = (6 + 2) = 8 ( 9) + ( 20) = 29 SUMA DE ENTEROS DE DISTINTO SIGNO Para sumar dos números enteros de distinto signo se restan sus valores absolutos y se pone el signo del que tiene mayor valor absoluto. (+5) + ( 3) = + (I+5I + I 3I) = + (5 3) = +2 = 2 (+4) + ( 11) = (11 4) = 7 ( 6) + (+2) = (6 2) = 4 ( 9) + (+20) = 11 SUMA DE VARIOS NÚMEROS ENTEROS Se pueden resolver de dos formas distintas: - Haciendo las operaciones, de una en una, en el orden en que van apareciendo, volviendo a indicar las que no se hacen en un paso en el mismo orden. (+6) + (+ 13) + (+5) + ( 9) = (+ 19) + (+5) + ( 9) = (+ 24) + ( 9) = +15 = 15 ( 2) + (+5) + ( 18) + ( 21) = (+3) + ( 18) + ( 21) = ( 15) + ( 21) = 36 (+7) + ( 3) + (+14) + ( 17) = (+4) + (+14) + ( 17) = (+18) + ( 17) = + 1 = 1 - Juntando primero los números positivos con los positivos y los negativos con los negativos, se suman los positivos y se suman los negativos. Finalmente se suman los

3 resultados de ambas sumas (siempre será una suma de enteros de distinto signo). (+6) + (+ 13) + (+5) + ( 9) = (+ 24) + ( 9) = +15 = 15 ( 2) + (+5) + ( 18) + ( 21) = (+5) + ( 2) + ( 18) + ( 21) = (+5) + ( 41) = 36 (+7) + ( 3) + (+14) + ( 17) = (+7) + (+14) + ( 3) + ( 17) = (+ 21) + ( 20) = + 1 = 1 PROPIEDADES DE LA SUMA - Conmutativa: El orden de los sumandos no altera la suma. a + b = b + a - Asociativa: La forma de agrupar los sumandos no altera la suma. (a + b) + c = a + (b + c) - Elemento neutro: Es el cero. Todo número entero sumado con cero da el mismo número. a + 0 = a - Elemento simétrico: En la suma se llama opuesto, y es el número que sumado con él da el elemento neutro (0). Se expresa con la abreviatura de opuesto (op) y entre paréntesis el número entero del cual expresamos su opuesto. Se lee Opuesto de +a op (+a) = a Es el opuesto de +a El opuesto de un número entero también se puede expresar colocando un signo delante del número entero. Op (+a) = (+a) = a op ( a) = ( a) = +a a + op (a) = a + ( a) = 0 El opuesto de un número entero es otro número entero que tiene el mismo valor absoluto pero distinto signo. 3 y +3 son opuestos porque tienen el mismo valor absoluto pero distinto signo. Op (+7) = (+7) = 7 op ( 12) = ( 12) = +12 = 12 ===================================================================================== ACTIVIDADES Lee detenidamente en la página 7 del libro la cuestión 3.1 Suma y en las páginas 49 y 50 del libro, el epígrafe 3.1, Suma, reflexiona y estudia lo destacado. Completa el estudio con los apuntes anteriores y cuando creas que lo sabes, haz las siguientes actividades. Consulta tus dudas con el profesor. 1.- Resuelve estas operaciones e identifica sus términos a) = b) = 2.- Calcula: a) (+5) + (+3) = b) ( 8) + (+2) = c) 8 +2 = d) (+4) + (+12) = e) (+7) + ( 5) = f) ( 4) + ( 12) = g) ( 7) + (+5) = h) ( 4) + (+12) = i) ( 7) + ( 5 ) =

4 3.- Halla el opuesto de los siguientes números enteros: 6, 0, -10 y Página 50, actividad Página 50, actividad Página 50, actividad Página 50, actividad Página 50, actividad 30. ====================================================================== 2.- RESTA DE NÚMEROS ENTEROS LA RESTA O SUBSTRACCIÓN: La resta es la operación que consiste en quitar una cantidad a otra. SIGNO DE LA RESTA: Es una rayita horizontal ( ) y se lee menos. TÉRMINOS DE LA RESTA: Minuendo: Es la cantidad a la que se le quita otra. Va antes del signo Substraendo: Es la cantidad que se quita al minuendo. Va después del signo Diferencia: Es el resultado de la resta. MINUENDO SUBSTRAENDO = DIFERENCIA = ALGORITMO DE LA RESTA: 1º Se coloca el minuendo en una fila y el substraendo en la fila de abajo, haciendo coincidir en la misma columna el mismo orden de unidades, trazando una horizontal por debajo del substraendo. _ º Se resta, de derecha a izquierda, las cifras de cada columna, quitándole a la del minuendo la del substraendo. Si la de minuendo es menor que la del substraendo, se le suman 10 unidades a la del minuendo y se le resta la del substraendo. Se compensa sumando a la cifra del substraendo de la columna de la izquierda una unidad. La diferencia de cada columna se va colocando debajo de la horizontal. _ _ _ _ _ º El número que se forma debajo de la horizontal después de restar todas las columnas es la diferencia.

5 PROPIEDADES DE LA RESTA: La resta no cumple ni la propiedad conmutativa, ni la asociativa ni tiene elemento neutro. Propiedad fundamental de la resta: En una resta siempre se cumple: MINUENDO = DIFERENCIA + SUBSTRAENDO JERARQUÍA DE LAS OPERACIONES Entre la suma y la resta no hay prioridad. Si no hay paréntesis se hacen en el orden en que aparecen volviendo a indicar las que no se hacen en cada paso en el mismo orden = = = 19 4 = (4 + 7) = = RESTA DE NÚMEROS ENTEROS RESTA DE NÚMEROS ENTEROS Para restar dos números enteros se suma el minuendo con el opuesto del substraendo. a b = a + ( b) (+3) (+ 9) = (+3) + ( 9) = 6 (+4) ( 6) = (+4) + (+6) = 10 ( 7) (+9) = ( 7) + ( 9) = ( 7) (+9) = 16 ( 8) ( 10) = ( 8) + (+10) = 2 Si se transforman las restas en sumas, al final todas las operaciones van a ser de sumar, por lo que se puede suprimir el signo de la suma (se sobrentiende que todas las operaciones son de sumar) y los paréntesis entonces también sobran y se suprimen con lo que solo quedarán los números enteros con su signo. (+3) (+ 9) = (+3) + ( 9) = 3 9 = 6 (+4) ( 6) = (+4) + (+6) = 4 +6 = 10 ( 7) (+9) = ( 7) + ( 9) = 7 9 = 16 ( 8) ( 10) = ( 8) + (+10) = = 2 (+5) + ( 3) = 5 3 = 2 (+4) + ( 11) = 4 11 = 7 ( 6) + (+2) = 6 +2 = 4 SUPRESIÓN DE PARÉNTESIS Teniendo en cuenta lo anterior, se pueden suprimir los paréntesis teniendo en cuenta el signo que llevan delante. - Si delante del paréntesis no va ningún signo o va el signo de sumar +, se suprimen los paréntesis, sin cambiar nada de lo que va dentro de ellos. - Si lleva signo de restar,, se suprimen los paréntesis, cambiando los signos a todo lo que iba dentro de los paréntesis. A lo que tenía signo + o no tenía signo, se le pone signo ; y a lo que tenía signo se le pone signo +. (+3) (+ 9) = 3 9 = 6 (+4) ( 6) = 4 +6 = 1 ( 7) (+9) = 7 9 = 16 ( 8) ( 10) = = 2

6 PROPIEDADES DE LA RESTA DE NÚMEROS ENTEROS La resta de números enteros no cumple las propiedades conmutativa, asociativa, elemento neutro y elemento simétrico. En cambio cumple la propiedad fundamental de la resta: MINUENDO = DIFERENCIA + SUBSTRAENDO SUBSTRAENDO = MINUENDO - DIFERENCIA (+27) ( 13) = (+27) +(+13) = +40 => (+27) = (+40) + ( 13) => ( 13) = (+27) (+40) ======================================================================== ACTIVIDADES Lee detenidamente en la página 7 del libro la cuestión 3.2, Resta y en la página 51 del libro, el epígrafe 3.2, Resta, reflexiona y estudia lo destacado. Completa el estudio con los apuntes anteriores y cuando creas que lo sabes, haz las siguientes actividades. Consulta tus dudas con el profesor. 9.- Calcula los resultados e identifica sus términos: a) = b) = c) = 10.- Quita paréntesis primero y calcula el resultado después: a) (+5) + (+3) = b) ( 8) + (+2) = c) (+3) (+5) = d) (+10) ( 4) = 11.- Resuelve las siguientes operaciones. a) (+5) ( 6) = b) (+ 5) (+6) = c) ( 5) ( 6) = d) ( 5) (+ 6) = e) (+6) ( 5) = f) (+ 6) (+5) = g) ( 6) ( 5) = h) ( 6) (+ 5) = i) (+3) ( 9) = j) (+ 3) (+9) = k) ( 3) ( 9) = l) ( 3) (+ 9) = m) (+9) ( 3) = n) (+ 9) (+3) = ñ) ( 9) ( 3) = o) ( 9) (+ 3) = 12.- Página 7, actividad Página 7, actividad Página 52, actividad Página 52, actividad 33. ======================================================================

7 3.- SUMAS Y RESTAS COMBINADAS DE NÚMEROS ENTEROS SUMAS Y RESTAS COMBINADAS DE NÚMEROS ENTEROS La suma y la resta números enteros se puede hacer de dos formas distintas: - Sumar o restar sin quitar los paréntesis ni corchetes, transformando antes las restas en sumas y respetando la prioridad de las operaciones que van dentro de los paréntesis y corchetes: (+6) (+ 13) + (+5) ( 9) = (+6) + ( 13) + (+5) + (+ 9) = ( 7) + (+5) + (+ 9) = = ( 2) + (+ 9) = +7 = 7 ( 2) (+5) + ( 18) ( 21) = ( 2) + ( 5) + ( 18) + (+ 21) = ( 7) + ( 18) + (+ 21) = = ( 25) + (+ 21) = 4 (+7) [( 3) ( 14)] + ( 17) = (+7) [( 3) + (+ 14)] + ( 17) = (+7) (+11) + ( 17) = = (+7) + ( 11) + ( 17) = ( 4) + ( 17) = 21 - Quitar primero los paréntesis y corchetes, teniendo en cuenta el signo que llevan delante y sumar después los números enteros que quedan. (+6) (+ 13) + (+5) ( 9) = = = = 7 ( 2) (+5) + ( 18) ( 21) = = = = 4 (+7) [( 3) ( 14)] + ( 17) = 7 [ ] 17 = = = 21 Al quitar los paréntesis, los signos + y que quedan no son de sumar o restar (todas son sumas) sino que son los signos de los números enteros. Si hay paréntesis y corchetes en la misma expresión, primero se suprimen los paréntesis y después los corchetes. Los corchetes [ ] son paréntesis que llevan dentro a otros paréntesis y se suprimen aplicando los mismos criterios. ===================================================================== ACTIVIDADES Lee detenidamente en la página 52 el epígrafe 3.3, Sumas y restas combinadas, reflexiona y estudia lo destacado. Completa el estudio con los apuntes anteriores y cuando creas que lo sabes, haz las siguientes actividades. Consulta tus dudas con el profesor. 16- Página 52, actividad Página 52, actividad Página 52, actividad 36.

8 19.- Resuelve las siguientes operaciones. a) (+10) (+8) + (+3) ( 7) = b) ( 3) (+5) + ( 2) + ( 1) ( 10) = c) = d) = e) = f) (+12) ( 16) + (+15) + ( 22) (+13) = g) ( 18) + ( 5) ( 32) (+27) ( 12) = h) (3 8) + (5 3) + (2 6) (3 + 4) (1 7) = i) = j) ( 9) (5 11) ( 7) (18 11) ( 14) = k) 15 + ( ) (5 8 9) = l) 10 + ( ) (6 7 +8) = m) [(+4) + ( 3) ( 1)] [(+8) (+2) + ( 6)] = n) (9 13) [5 (2 8 +3) (4 +3)] = ñ) 15 [( ) (5 3 +1)] (10 3 9) = 20.- Quita paréntesis primero y calcula el resultado después: a) (+10) (+8) + (+3) ( 7) = b) ( 3) (+5) + ( 2) + ( 1) ( 10) = c) (+12) ( 16) + (+15) + ( 22) (+13) = d) ( 18) + ( 5) ( 32) (+27) ( 12) = e) (3 8) + (5 3) + (2 6) (3 + 4) (1 7) = f) ( 9) (5 11) ( 7) (18 11) ( 14) = g) 15 + ( ) (5 8 9) = h) 10 + ( ) (6 7 +8) = i) [(+4) + ( 3) ( 1)] [(+8) (+2) + ( 6)] = j) (9 13) [5 (2 8 +3) (4 +3)] = k) 15 [( ) (5 3 +1)] (10 3 9) = ====================================================================== 4.- MULTIPLICACIÓN DE NÚMEROS ENTEROS 4.1- MULTIPLICACIÓN La multiplicación o producto es una suma abreviada de la misma cantidad varias veces. SIGNO DE LA MULTIPLICACIÓN: Es una cruz en aspa(x) o un punto ( ) y se lee por. En las operaciones indicadas en forma de igualdad se utilizará preferentemente el punto ( ), mientras que en el algoritmo de la operación se utilizará siempre la cruz (X) como signo de la operación. TÉRMINOS DE LA MULTIPLICACIÓN: - Factores, que son las cantidades que se multiplican. Se llaman... multiplicando, a la cantidad que se suma varias veces, y multiplicador, a la cantidad de veces que se suma el multiplicando. - Producto, que es el resultado de la multiplicación.

9 ALGORITMO DE LA MULTIPLICACIÓN: La operación de multiplicar se puede hacer mentalmente o utilizando un método de cálculo escrito(algoritmo) específico para la multiplicación. En cualquier caso, además hay que indicarla siempre en forma de igualdad con su resultado = El algoritmo de la multiplicación consiste en: 1º Colocar el multiplicando en una fila y el multiplicador debajo alineados por la derecha, haciendo coincidir en la misma columna el mismo orden de unidades o no, pasando una raya horizontal por debajo del multiplicador x º Se va multiplicando, de derecha a izquierda, cada cifra del multiplicador, excepto los ceros, por todas cifras del multiplicando, menos los ceros. Cuando el producto de una cifra del multiplicando por una del multiplicador pase de 10, solo se colocará la cifra de las unidades en la columna que le corresponda, sumando la cifra de las decenas al resultado del siguiente producto. Los productos de cada una de estas multiplicaciones parciales se van poniendo debajo de la línea horizontal en filas sucesivas, desplazándolas un lugar cara a la izquierda con respecto a la anterior. En el caso que haya un cero intermedio en el multiplicador, no se multiplica pero la fila siguiente se desplaza un lugar más. Por debajo del último producto parcial se pasa una línea horizontal x x º Se suman los productos parciales obtenidos en el paso anterior se añaden a la derecha los ceros finales del multiplicando y del multiplicador x º El resultado final obtenido en el paso anterior es el producto que se expresa con la operación INDICADA EN FORMA DE IGUALDAD TAMBIÉN =

10 MULTIPLICACIÓN POR LA UNIDAD SEGUIDA DE CEROS: Para multiplicar cualquier número entero por la unidad (1) seguida de ceros, se escribe el mismo número seguido de tantos ceros como siguen a la unidad. No se necesita aplicar el algoritmo de la multiplicación. JERARQUÍA DE LAS MULTIPLICACIONES, SUMAS Y RESTAS COMBINADAS Primero hay que hacer siempre as operaciones entre paréntesis, volviendo a escribir a las que están fuera en el mismo orden en que aparecen. 12 ( 8 + 2) = = 120 (12 8) 2 = 4 2 = 8 Las multiplicaciones tienen prioridad sobre sumas y restas = 12 8 = = = (27 2 9) 5 = (27 18) 5 = = = 91 5 = 86 Entre sumas y restas no hay prioridad; se van haciendo en el orden en el que aparecen. Las operaciones que no se hacen en un paso se repiten en el mismo orden en el que aparecen = = = 14 BIEN = 16 5 = = 14 MAL MULTIPLICACIÓN DE NÚMEROS ENTEROS Para multiplicar dos números enteros, se multiplican primero los signos (teniendo en cuenta la tabla de multiplicar los signos) y después los valores absolutos. TABLA DE MULTIPLICAR LOS SIGNOS + + = + + = = + + = (+4) (+6) = +(4 6) = + 24 = 24 ( 5) ( 9) = +(5 9) = + 45 = 45 (+7) ( 3) = (7 3) = 21 ( 8) (+ 2) = (8 2) = 16 MULTIPLICACIÓN DE VARIOS NÚMEROS ENTEROS Para multiplicar varios números enteros hay que tener en cuenta que: - Si hay una cantidad PAR de factores negativos, el producto es POSITIVO. - Si hay una cantidad IMPAR de factores negativos, el producto es NEGATIVO. Por lo tanto, se cuentan los factores negativos, se pone el signo correspondiente y se multiplican los valores absolutos de los factores.

11 ( 3) (+ 7) (+1) ( 4) (+ 5) = + ( ) = = 420 ( 8) (+ 5) (+ 9) (+ 10) = ( ) = PROPIEDADES DE LA MULTIPLICACIÓN DE NÚMEROS ENTEROS Conmutativa: El orden de los factores no cambia el resultado de la multiplicación. a b = b a (+ 2) ( 17) = ( 17) (+2) Asociativa: La forma de agrupar los factores no cambia el resultado de la multiplicación. En otras palabras, el orden en que se hagan las multiplicaciones no cambia el resultado. (a b) c = a (b c) (3 15) 2 = 3 (15 2) 45 x 2 = 3 x Elemento neutro: El elemento neutro para la multiplicación de números enteros es el UNO (+1). a (+1) = (+1) a = a ( 56) (+1) = (+1) ( 56) = = = 576 Distributiva del producto con respecto a la suma o la resta: Dice que el producto de un número por una suma o resta es igual a la suma o resta de productos de dicho número por cada uno de los sumandos de la suma o de los términos de la resta. a (b + c) = a b + a c a (b c) = a b a c 6 (5 + 3) = ( 5 3) = Sacar factor común es la aplicación al revés de la propiedad distributiva que consiste en transformar una suma o resta de productos con un factor que se repite en todos ellos (factor común) en un producto de dicho factor común por la suma o resta de los demás factores. a b + a c a d = a (b + c d) ( 6) 5 + ( 6) 3 = ( 6) ( 5 + 3) = 6 (5 3) (+4) ( 2) + (+5) (+4) (+4) 3 = (+4) [( 2) + (+5) 3] ========================================================================

12 ACTIVIDADES Lee detenidamente en la página 8 del libro la cuestión 3.3 Multiplicación y en las páginas 53 y 54 del libro, el epígrafe 4.1, Multiplicación reflexiona sobre lo leído y estudia lo destacado. Complétalo con el estudio de los apuntes anteriores. Consulta tus dudas con el profesor y cuando creas que ya lo entiendes y lo sabes, haz las siguientes actividades Expresa como una suma de varios sumandos iguales cada uno de estos productos: a) 10 1 = b) 6 4 = c) = d) 7 0 = 22.- Resuelve los siguientes productos e identifica sus términos: a) = b) = c) = d) = e) = f) = 23.- Resuelve mentalmente: a) = b) = c) = d) = e) = f) = 24.- Calcula: a) = b) 4 (6 + 2) = c) (8 3) 4 = d) (2 8 3) 4 = e) 4 ( ) 3 4 = f) 4 ( ) 4 = 15.- Página 9, actividad Página 9, actividad 22. ======================================================================== 7.- MULTIPLICACIÓN DE NÚMEROS ENTEROS LA MULTIPLICACIÓN DE NÚMEROS ENTEROS Para multiplicar dos números enteros, se multiplican primero los signos (teniendo en cuenta la tabla de multiplicar los signos) y después los valores absolutos. TABLA DE MULTIPLICAR LOS SIGNOS + + = + + = = + + = (+4) (+6) = +(4 6) = + 24 = 24 ( 5) ( 9) = +(5 9) = + 45 = 45 (+7) ( 3) = (7 3) = 21 ( 8) (+ 2) = (8 2) = 16 MULTIPLICACIÓN DE VARIOS NÚMEROS ENTEROS Para multiplicar varios números enteros hay que tener en cuenta que:

13 - Si hay una cantidad PAR de factores negativos, el producto es POSITIVO. - Si hay una cantidad IMPAR de factores negativos, el producto es NEGATIVO. Por lo tanto, se cuentan los factores negativos, se pone el signo correspondiente y se multiplican los valores absolutos de los factores. ( 3) (+ 7) (+1) ( 4) (+ 5) = + ( ) = = 420 ( 8) (+ 5) (+ 9) (+ 10) = ( ) = PROPIEDADES DE LA MULTIPLICACIÓN DE NÚMEROS ENTROS - Conmutativa: El orden de los factores no altera el producto. a b = b a - Asociativa: La forma de agrupar los factores no altera el producto. (a b) c = a (b c) - Elemento neutro: Es el uno. Todo número entero multiplicado por uno da el mismo número. a 1 = a El producto de números enteros no tiene elemento simétrico. - Distributiva del producto con respecto a la suma o la resta: Dice que el producto de un número por una suma o resta es igual a la suma o resta de productos de dicho número por cada uno de los sumandos de la suma o de los términos de la resta. a (b + c) = a b + a c a (b c) = a b a c - Sacar factor común es la aplicación al revés de la propiedad distributiva que consiste en transformar una suma o resta de productos con un factor que se repite en todos ellos (factor común) en un producto de dicho factor común por la suma o resta de los demás factores. a b + a c a d = a (b + c - d) LA DIVISIÓN DE NÚMEROS ENTEROS Para dividir dos números enteros, se dividen primero los signos (teniendo en cuenta la tabla de dividir los signos) y después los valores absolutos. :. TABLA DE DIVIDIR + : + = + + : = : = + : + = (+12) : (+6) = +(12 : 2) = + 2 = 2 ( 20) : ( 5) = +(20 : 5) = + 4 = 4 (+72) : ( 8) = (72 : 8) = 9 ( 48) : (+ 3) = (48 : 3) = 16 PROPIEDADES DE LA DIVISIÓN: La división no cumple ni la propiedad conmutativa, ni la asociativa, ni tiene elemento neutro. Pero si cumple otras propiedades específicas de la división: Propiedad fundamental de la división: En una división de números enteros siempre se cumple:

14 DIVIDENDO = COCIENTE DIVISOR D = c d En esta propiedad se basa la prueba de la división. ( 27) : (+3) = 9 => 27 = (+3) ( 9) OPERACIONES COMBINADAS CON MULTIPLICACIONES Y DIVISIONES. JERARQUIZACIÓN - Primero hay que hacer siempre las operaciones que van entre paréntesis, volviendo a escribir las que están fuera en el mismo orden en que aparecen. Los corchetes [] son paréntesis de mayor ámbito pues llevan dentro otros paréntesis. Primero hay que resolver las que van dentro de estos paréntesis y después las que quedan dentro de los corchetes. Si los paréntesis o corchetes van precedidos o sucedidos del signo de multiplicar o dividir no se debe quitar los paréntesis antes de operar. - Las operaciones multiplicativas (multiplicación y división) hay que hacerlas antes que las aditivas (sumas y restas). También dentro de los paréntesis y corchetes hay que respectar esta prioridad. - Entre las multiplicaciones y divisiones, al igual que entre las sumas y las restas no hay prioridad; se van haciendo en el orden en que aparecen. ( 12) [30 : ( 8 + 2)] 5 = ( 12) [30 : ( 6)] 5 = ( 12) ( 5) 5 = 60 5 = 55 ======================================================================== ACTIVIDADES Lee detenidamente en las páginas 53 y 54 del libro, el epígrafe 4.1, Multiplicación, reflexiona y estudia lo destacado. Completa el estudio con los apuntes anteriores y cuando creas que lo sabes, haz las siguientes actividades. Consulta tus dudas con el profesor Calcula: a) (+5) (+3) = b) (+8) ( 4) = c) ( 6) (+2) = d) ( 5) ( 4) = e) ( 1) ( 3) = f) (+5) ( 10) = g) ( 1) ( 1) ( 1) = h) ( 2) (+3) ( 6) = i) (+5) ( 2) (+3) = j) (+2) ( 2) ( 4) = k) (+6) : (+2) = l) (+12) : ( 3) = m) ( 20) : (+4) = n) ( 8) : ( 2) = ñ) (+40) : (+20) = o) (+18) : ( 6) = p) ( 15) : (+3) = q) ( 21) : ( 3) = r) ( 30) : ( 5) = s) ( 45) : (+15) =

15 17.- Resuelve paso a paso las siguientes operaciones. a) ( 4) ( 6) : (+ 3) = b) (+ 5) : ( 5) ( 7) (+ 2 ) =. c) ( 11) (+ 3) ( 4) : ( 6) ( 9) = d) ( 18) [(+ 4) + ( 6)] : (+ 2) + (+5) = e) ( 3) 2 (4 10 : 2) = f) 21 : 3 4 ( 3) = g) 36 : ( 4) + 5 ( 2) = h) ( 12) : 3 [ ( 2)] = 18.- Calcula: a) ( 2) ( 3) ( 6) = b) ( 4) (+ 3) ( 2) = c) (+ 7) ( 2) (+ 3) = d) ( 9) ( 5) ( 2) = e) (+ 35) : ( 7) : ( 5) = f) ( 21) : ( 7) : ( 1) = g) ( 20) : ( 5) : (+ 2) = h) (+ 32) : ( 8) : ( 2) = 19.- Página 54, actividad Página 54, actividad Página 54, actividad Página 54, actividad Página 54, actividad 44. ===================================================================== 5.- POTENCIAS Y RAICES DE NÚMEROS ENTEROS POTENCIAS Una potencia es un producto de factores iguales. n veces a a. a = a n n es el exponente a es la base de la potencia (+4) (+4) (+4) = (+4) 3 ( 5) ( 5) ( 5) ( 5) = ( 5) 4 POTENCIAS DE BASE ENTERA - Las potencias de base positiva son todas positivas. (+a) n = +a n = a n - Las potencias de base negativa son POSITIVAS, si el exponente es PAR. ( a) 2n = ( a) ( a) 2n veces ( a) = +a 2n = a 2n Siendo 2n un número par cualquiera

16 ( 3) 2 = 3 2 = 9 ( 6) 4 = 6 4 = 1296 NEGATIVAS, si el exponente es IMPAR. ( a) (2n + 1) = ( a) ( a) (2n +1) veces ( a) = a (2n + 1) Siendo (2n + 1) un número impar cualquiera ( 2) 3 = 2 3 = 6 ( 3) 5 = 3 5 = 243 La base de la potencia debe ir siempre entre paréntesis con su signo. Si no va entre paréntesis el signo no es de la base sino que es de la potencia y por lo tanto el signo no se eleva al exponente. ( a) 2n = +a 2n = +(a a 2n veces a) = a 2n ( a) (2n + 1) = a (2n + 1) = (a a (2n +1) veces a) = - a (2n+1) ====================================================================== ACTIVIDADES Lee detenidamente en las páginas 55, 56 y 57 del libro el epígrafe 5.1, Potencias, reflexiona y estudia lo destacado. Completa el estudio con los apuntes anteriores y cuando creas que lo sabes, haz las siguientes actividades. Consulta tus dudas con el profesor Página 55, actividad Página 55, actividad Página 55, actividad Página 57, actividad Página 57, actividad Página 57, actividad Página 57, actividad Página 57, actividad Página 57, actividad Quita paréntesis y calcula: a) (+2) 6 = b) ( 3) 3 = c) ( 4) 2 = d) ( 4) 3 = e) (+5) 3 = f) ( 5) 3 = g) ( 5) 4 = h) ( 10) 5 = ======================================================================

17 6.- RAÍCES CUADRADAS DE NÚMEROS ENTEROS - POSITIVOS: Tienen dos raíces cuadradas con el mismo valor absoluto pero distinto signo. +9 = ±3 36 = ±6 - NEGATIVOS: No tienen raíces cuadradas. 16 CÁLCULO DE LA RAÍZ CUADRADA 1º.- Se coloca el radicando debajo del radical y, por el extremo de la visera del radical, se traza una vertical hacia abajo. A la altura del radicando se traza una horizontal hacia la derecha desde la vertical anterior º.- Se separan las cifras del radicando de dos en dos, de derecha a izquierda. 1, 2 3, 2 4 3º.- Se calcula la raíz cuadrada del número que forman el 1º grupo de cifras de la izquierda y se coloca sobre la horizontal (es la 1ª cifra da raíz cuadrada), se eleva al cuadrado y el resultado se pone para restar al radicando debajo del número que forman el 1º grupo de cifras de la izquierda y se resta para obtener el primero resto parcial. 1, 2 3, º.- A la derecha del 1º resto parcial se baja el siguiente grupo de dos cifras, formándose un nuevo radicando. 1, 2 3, º.- Se halla el doble de la raíz y se pone debajo de la horizontal sobre la que se puso la primera cifra de la raíz.

18 1, 2 3, º.- Se busca, por tanteo, una cifra que colocada a la derecha del doble de la raíz o número que se forma multiplicado por dicha cifra tiene que dar el nuevo radicando o aproximarse sin pasarle. Si es así, el resultado de la multiplicación anterior se pone para restar y se resta al radicando y la cifra encontrada se sube para encima de la horizontal, a la derecha de la 1ª cifra de la raíz (es su 2ª cifra). Si no es así, se tantea con una cifra menor. (El tanteo anterior se puede hacer separando desde la izquierda en el nuevo radicando tantas cifras como haya de diferencia entre las que forman el nuevo radicando y las que forman el doble de la raíz, dividiendo el número separado en el nuevo radicando entre la primera cifra del doble de la raíz. El cociente entero de esta división es el número que se tanteará). 1, 2 3, ,1 1 = , º.- Si hay más grupos de dos cifras en radicando inicial se baja el siguiente grupo de cifras a la derecha del último resto parcial obtenido y se vuelve a repetir todo el proceso desde o 5º paso. Y así sucesivamente hasta que no queden más cifras en el radicando por bajar. Entonces se cierra la operación. 1, 2 3, = ,2 1 1 = º.- PRUEBA DE LA RAÍZ CUADRADA: Se puede comprobar si la operación está bien hecha elevando al cuadrado la raíz cuadrada obtenida y se le suma el resto mirando si da como resultado el radicando. Si no es así puede estar mal y hay que revisarla = =

19 ======================================================================== ACTIVIDADES Lee detenidamente en la página 57 del libro el epígrafe 5.2, Raíz cuadrada, reflexiona y estudia lo destacado. Completa el estudio con los apuntes anteriores y cuando creas que lo sabes, haz las siguientes actividades. Consulta tus dudas con el profesor Página 57, actividad Página 57, actividad Calcula las raíces cuadradas, si existen, de los siguientes números enteros. a) +16 = b) 64 = c) +100 = d) 144 = e) 16 = f) 4 = g) +1 = h) 1 = i) 0 = 37.- Página 57, actividad 59. ===================================================================================== 7.- OPERACIONES COMBINADAS CON POTENCIAS Y RAÍCES CUADRADAS. JERARQUIZACIÓN. - Primero se resuelven las operaciones que van entre paréntesis y luego las que queden entre corchetes y por último las de fuera. - Las potenciaciones y radicaciones hay que hacerlas antes que las demás operaciones, a no ser que los paréntesis y corchetes expresen lo contrario. Entre potenciaciones y radicaciones no hay prioridad y, por lo tanto, se harán en el orden en que aparezcan, volviendo a indicar otra vez en el mismo orden en que aparecen las que no se hacen en un paso. - Cuando hay radicaciones con operaciones en el radicando hay que resolver antes las operaciones que van en el radicando, y después las radicaciones. ===================================================================================== ACTIVIDADES Lee detenidamente en la página 58 del libro el epígrafe 6, Raíz cuadrada, reflexiona y estudia lo destacado. Completa el estudio con los apuntes anteriores y cuando creas que lo sabes, haz las siguientes actividades. Consulta tus dudas con el profesor Página 57, actividad Página 57, actividad 61.

20 40.- Página 58, actividad Página 58, actividad Página 58, actividad Página 58, actividad 65. ====================================================================== ACTIVIDADES FINALES DE REFUERZ0 Y AMPLIACIÓN Repasa de nuevo toda la lección y luego haz las siguientes actividades. Consulta tus dudas con el profesor Página 60, actividad Página 60, actividad Página 61, actividad Página 61, actividad Página 61, actividad Página 61, actividad Página 61, actividad Página 61, actividad Página 61, actividad Página 61, actividad Página 61, actividad Página 61, actividad Página 61, actividad Página 61, actividad Página 61, actividad Página 61, actividad Página 61, actividad Página 62, actividad Página 62, actividad Página 62, actividad Página 62, actividad Página 62, actividad Página 62, actividad Página 62, actividad Página 62, actividad Página 62, actividad Página 62, actividad Página 62, actividad Página 62, actividad Página 62, actividad Página 62, actividad Página 63, actividad Página 63, actividad Página 63, actividad Página 63, actividad Página 63, actividad Página 63, actividad Página 62, actividad Página 63, actividad Página 63, actividad 126.

21 84.- Página 64, actividad Página 64, actividad 133. ======================================================================