EXÁMENES DE BACHILLERATO MATEMÁTICAS I y II

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1 EXÁMENES DE BACHILLERATO MATEMÁTICAS I y II Los exámenes finales de bachillerato que aquí se muestran son sobre la totalidad de contenidos de 1º y 2º de Bachillerato Mauricio Contreras

2 EXÁMENES DE BACHILLERATO MATEMÁTICAS I y II ESTRUCTURA: DOS PROBLEMAS (3 puntos cada problema): uno de: a) cálculo diferencial; b) cálculo integral, y otro de: a) matrices y determinantes, b) sistemas de ecuaciones lineales, c) geometría tridimensional. UNA CUESTION (4 puntos): Sobre los mismos contenidos anteriores o sobre: a) geometría plana, b) cónicas, c) complejos, d) resolución de triángulos, e) sucesiones aritméticas y geométricas, f) funciones exponenciales y logarítmicas, g) trigonometría

3 Se quiere dividir la región plana encerrada entre la parábola y x y la recta y=1 en dos regiones de igual área mediante una recta y=a. Halla el valor de a. 2.- De las matrices,, y determina cuáles tienen inversa y en los casos en que exista, calcula el determinante de dichas inversas. 3.- Determina el centro y el radio de la circunferencia que pasa por el origen de coordenadas, tiene su centro en el semieje positivo de abcisas y es tangente a la recta de ecuación x+y=1. 2 x 1.- Sea f la función definida para x 1 por f (x) x 1 a) Determina las asíntotas de la gráfica de f. b) Determina los intervalos de crecimiento y decrecimiento y los extremos relativos de f c) Esboza la gráfica de f Considera,, a) Determina el rango de A en función del parámetro a. b) Discute en función de a el sistema, dado en forma matricial: A.X=B. c) Resuelve AX=B en los casos en que sea compatible indeterminado. 3.- Halla la ecuación de una circunferencia que pase por el punto (-1, -8) y sea tangente a los ejes de coordenadas.

4 3 1.- Sea f :R R la función definida por: a) Esboza la gráfica de f. b) Calcula el área de la región limitada por la gráfica de f, el eje de abcisas y la recta x= Considera los puntos A(1, 0, 3), B(3, -1, 0), C(0, -1, 2), D(a, b, -1). Halla a y b sabiendo que la recta que pasa por A y B corta perpendicularmente a la recta que pasa por C y D. 3.- Escribe la ecuación de la circunferencia con centro (2, -1) y cuyo radio es 3, y luego determina los puntos de esta circunferencia que equidistan de los ejes Siendo ln(x) el logaritmo neperiano de x. calcula. 2.- Sea. Se pide: a) Para qué valores de x existe la matriz inversa de A? b) Calcula dicha matriz inversa. 3.- Se quiere construir un marco para una ventana que debe ser de un metro cuadrado de área. El coste del marco se estima en 125 euros por cada metro de altura de la ventana y 80 euros por cada metro de anchura. Cuáles son las dimensiones del marco más económico?

5 Sea f :R R la función dada por f(x) 8 x. a) Esboza la gráfica y halla los extremos relativos de f (dónde se alcanzan y cuáles son sus respectivos valores). b) Calcula los puntos de corte de la gráfica de f con la recta tangente a la misma en el punto de abcisa x= Halla la ecuación del plano que pasa por el punto A(1, 0, -1), es perpendicular al plano x-y+2z+1=0 y es paralelo a la recta. 3.- En el voladizo de la figura adjunta, los triángulos ABC y AEC son rectángulos e iguales. Siendo ED=EC, BC=3 m, y CA=7 m. Calcula el área del triángulo CED Siendo ln(x) el logaritmo neperiano de x, considera la función f : 0, R definida por f(x)=x.ln(x). Calcula: a) b) Una primitiva de f cuya gráfica pase por el punto (1, 0) Calcula a sabiendo que los planos ax y 7z 5 y x 2y a z 8 se cortan en una recta que pasa por el punto A(0, 2, 1) pero que no pasa por el punto B(6, -3, 2). 3.- Dos carreteras rectas formando ángulo de 60 0, convergen en el punto O. A partir de este lugar salen dos móviles simultáneamente, cada uno por una de esas carreteras con velocidades de 6 y 8 km/h, respectivamente, alcanzando los puntos A y B. La distancia entre A y B es diez veces mayor que el lado de un cuadrado de área igual a 208 Ha. Durante cuánto tiempo avanzaron los móviles hasta llegar a alcanzar los puntos A y B?

6 De la función f :R R se sabe que f ''(x) x 2x 2 y que su gráfica tiene tangente horizontal en el punto P(1, 2). Halla la expresión de f. 2.- Considera la matriz a) Siendo I la matriz identidad 3x3 y O la matriz nula 3x3, demuestra que A I O. 10 b) Calcula A. 3.- En un círculo de radio r se inscribe un triángulo equilátero, en éste se inscribe un círculo, en este nuevo círculo se inscribe un nuevo triángulo equilátero, en éste un nuevo círculo y así sucesiva e indefinidamente. a) Calcula el límite de la suma de las áreas de los círculos. b) Calcula el límite de la suma de las longitudes de las circunferencias Halla el área del recinto rayado que aparece en la figura adjunta, sabiendo que la parte 2x 2 curva tiene como ecuación y 1 x 2.- Se sabe que la matriz verifica que det(a)=1 y sus columnas son vectores perpendiculares dos a dos. a) Calcula los valores de a y b. b) Comprueba que para dichos valores se verifica que traspuesta de A. 1 t A A, donde t A es la matriz 3.- La hipérbola de ecuación x 2 2 y 1 pasa por el punto (-10, 4). Halla los dos ejes, las 36 9 coordenadas de los focos y la ecuación de la recta tangente en ese punto.

7 9 1.- Calcula 2.- Considera los planos y. a) Qué ángulo determinan ambos planos? b) Halla el plano que pasa por el origen de coordenadas y es perpendicular a los dos planos dados. 3.- Halla las coordenadas del ortocentro de un triángulo, uno de cuyos vértices es el origen de coordenadas y los otros dos son A(-1, 7) y B(4, 3), y calcula el área del triángulo Sea f :R R la función definida por f(x) 2 x 1. a) Esboza la gráfica de f. b) Estudia la derivabilidad de f. c) Calcula 2.- Considera el sistema: a) Discútelo según los valores de m. b) Cuál es, según los valores de m, la posición relativa de los planos cuyas ecuaciones respectivas son las tres que forma el sistema? 3.- Para medir la altura de una nube se han hecho simultáneamente dos observaciones desde los puntos A y B distantes entre sí 1 km. La inclinación de la visual desde A es de Los ángulos que las visuales desde A y B forman con la recta AB son, respectivamente, y Halla la altura de la nube.

8 Siendo ln(x) el logaritmo neperiano de x, considera la función f : 0, R definida por a) Determina el valor de a sabiendo que f es derivable. b) Calcula 2.- Sea r la recta de ecuaciones a) Halla los puntos de r cuya distancia al origen es de 7 unidades. b) Halla la ecuación del plano perpendicular a r que pasa por el punto P(1, 2, -1). 3.- Por el punto C(2, 3) se traza una paralela al eje OX, y otra a la bisectriz del primer cuadrante. Ambas rectas determinan con el eje OY un triángulo. Halla la ecuación de su circunferencia circunscrita Determina la función f :R R sabiendo que su derivada segunda es constante e igual a 3 y que la recta tangente a su gráfica en el punto de abcisa x=1 es 5x y 3 = Determina la matriz X tal que AX 3B=O, siendo y 3.- Un campesino propone a otro utilizar durante treinta días una pequeña parcela de su propiedad, permitiendo hacerle en ella algunas mejoras. Se propone pagarle un euro el primer día, dos el segundo, tres el tercero, y así sucesivamente por el uso de la parcela; en cambio, el propietario le dará 0,1 euros el primer día; 0,2 el segundo; 0,3 el tercero, y así sucesivamente hasta el último día, por las mejoras introducidas. Halla el resultado de la liquidación, una vez pasados los treinta días.

9 a) Determina el valor de las constantes a y b sabiendo que la gráfica de la función f :R R definida por admite recta tangente en el punto (0, 1). b) Existen constantes c y d para las cuáles la gráfica de la función g : R R definida por respuesta. admita recta tangente en el punto (0, 1)? Justifica la 2.- Halla las coordenadas del punto simétrico de A(0, -1, 1) con respecto a la recta de x 2 ecuaciones: 5 z y Un cuadrado situado por completo en el semiplano superior del eje OX, tiene un vértice en el origen, y el otro es el afijo del número complejo 3+2i. Halla, en forma binómica, trigonométrica y polar, los complejos cuyos afijos son los otros vértices Calcula: a) b) 2.- Considera la matriz. a) Calcula el determinante de las matrices: 2A, b) Halla la matriz 1 A A, 1 A. 3.- Se considera el triángulo equilátero que tiene el vértice A en el origen de coordenadas, el vértice B en el punto (6, 0) y el otro vértice en el primer cuadrante. Calcula en forma binómica, trigonométrica y polar, el número complejo que tiene por afijo el centro de gravedad (baricentro) del triángulo.

10 Sea f :R R la función definida por. a) Determina los intervalos de crecimiento y decrecimiento de f. b) Determina los extremos relativos y de f con y calcula 2.- Halla el punto de la recta origen de coordenadas. y 2 z 3 x que equidista del punto A(1, 2, 1) y del Se tiene un paralelogramo uno de cuyos vértices es el punto (3, 2) y dos de cuyos lados se encuentran contenidos, respectivamente, en las rectas r y s de ecuaciones r: 2x+3y- 7=0, s: x-3y+4=0. Halla las ecuaciones de las rectas sobre las que se encuentran los otros dos lados Determina las dimensiones de una puerta formada por un rectángulo y un semicírculo (como en la figura), sabiendo que es la que tiene perímetro mínimo entre las que tienen área igual a 2 m Resuelve el sistema de ecuaciones, dado en forma matricial, AX=-AX+B, siendo:,, y Sea C la circunferencia de ecuación C :x y 4x 6y a) Calcula el centro y el radio de C. b) Calcula el punto B que es diametralmente opuesto del punto A(-1, 7). c) Cuál es la posición relativa de las rectas tangentes a C en los puntos A y B?

11 Sea f :R R la función definida por a) Determina m sabiendo que f es derivable. b) Calcula 2.- Considera el plano 2x+y+2z-4=0. a) Halla el área del triángulo cuyos vértices son los puntos de corte del plano dado con los ejes coordenados. b) Calcula la distancia del origen al plano dado. 3.- El ángulo entre dos vectores u y v es de 120 o y se sabe que el módulo de u es 5 y el de v es 3. a) Determina el valor del número real para el que los vectores (u-v) y ( u+v) son ortogonales. b) Cuánto vale el módulo de u-v? Un hilo de alambre de 1 m de longitud se corta en dos trozos formando con uno de ellos una circunferencia y con el otro un cuadrado. Demuestra que la suma de las áreas es mínima cuando el lado del cuadrado es el doble que el radio de la circunferencia. 2.- Determina todos los puntos del plano que equidistan de los puntos A(3, 0, -2) y B(1, 2, 0). Qué representan geométricamente? 3.- a) Es posible determinar una circunferencia conociendo su centro y una de sus rectas tangentes? Justifica la respuesta. b) Calcula el radio de una circunferencia cuyo centro es el punto C(1, -1) sabiendo que la recta de ecuación 2x+y=4 es tangente en uno de sus puntos.

12 Considera la función definida por: a) Esboza la gráfica de f. b) Halla el área del recinto limitado por la gráfica de f y el eje de abcisas. 2.- Considera la matriz a) Determina para qué valores del parámetro la matriz A no tiene inversa. b) Calcula, si es posible, la matriz inversa de A para = a) En el segmento cuyos extremos son los puntos A=(1, 2) y B=(2, 3) hay un punto P tal que la relación que existe entre los vectores y es la siguiente:. Halla P. b) Halla la ecuación de la circunferencia con centro en P y que pasa por el origen de coordenadas Considera la función definida por f(x)=3x 2. Calcula el punto de la gráfica de f más cercano al punto (2, 6) y calcula también el más alejado. 2.- Determina a, b y c sabiendo que la matriz verifica y rango(a)= Del sistema de ecuaciones se conocen todas sus soluciones, que son x=, y=2, con variando en los números reales. También se sabe que. Resuelve el sistema:

13 a) Dibuja el recinto limitado por la curva, los ejes de coordenadas y la recta x=. b) Calcula el área del recinto descrito en el apartado anterior. 2.- Considera los tres planos siguientes: a) Se cortan y? b) Hay algún punto que pertenezca a los tres planos? 3.- Sabiendo que la matriz A verifica la relación, resuelve el sistema a) Calcula el área encerrada entre la curva y 3 x 4x y el eje de abcisas. b) Determina sabiendo que existe y es finito el límite. Calcula dicho límite. 2.- a) Clasifica el siguiente sistema según los valores del parámetro m: b) Resuelve el sistema anterior para m= Una circunferencia tiene por centro el punto C(1, 0) y su diámetro es 2. Halla la ecuación de la recta tangente a la circunferencia en el punto de abcisa y ordenada positiva.

14 Sea ln(x) el logaritmo neperiano de x y sea la función definida por. a) Determina el conjunto D sabiendo que está formado por todos los números reales para los que existe f(x). b) Usa el cambio de variable t=ln(x) para calcular una primitiva de f. 2.- Considera los puntos A(1, 2, 3), B(3, 2, 1) y C(2, 0, 2). Halla el punto simétrico del origen de coordenadas respecto del plano que contiene a A, B y C. 3.- Dadas las matrices: y, se sabe que a) Tiene A inversa? Justifica la respuesta y si la respuesta es afirmativa indica cuál es la inversa de A. b) Es cierto que A.B=B.A en este caso? Sea una función cuya derivada tiene por gráfica la de la figura adjunta. a) Estudia el crecimiento y el decrecimiento de f y determina los valores donde alcanza sus extremos relativos. b) Estudia la concavidad y la convexidad de f. Tiene puntos de inflexión la gráfica de f? 2.- En el sector de las aceitunas sin hueso, tres empresas A, B y C, se encuentran en competencia. Calcula el precio por unidad dado por cada empresa sabiendo que verifican las siguientes relaciones: El precio de la empresa A es 0,6 euros menos que la media de los precios establecidos por B y C. El precio dado por B es la media de los precios de A y C. El precio de la empresa C es igual a 2 euros más 2/5 del precio dado por A más 1/3 del precio dado por B. 3.- a) Sean P y Q dos puntos del plano situados, respectivamente, en los ejes OX y OY que son distintos del origen de coordenadas O. Cuántas circunferencias pasan simultáneamente por O, P y Q? Justifica la respuesta. b) Describe un procedimiento geométrico para calcular una circunferencia de las mencionadas anteriormente. c) Aplica el procedimiento descrito para calcular el centro y el radio de una circunferencia que pase por los puntos P=(2, 0), Q=(0,2) y O=(0, 0).

15 Determina el valor de las constantes c y d sabiendo que la gráfica de la función 3 2 f :R R definida por f(x) x 3 x cx d tiene como recta tangente en su punto de inflexión a la recta y=3x Considera los puntos A(1, -3, 2), B(1, 1, 2) y C(1, 1, -1) a) Pueden ser A, B y C vértices consecutivos de un rectángulo? Justifica la respuesta. b) Halla, si es posible, las coordenadas de un punto D para que el paralelogramo ABCD sea un rectángulo. 3.- Considera las matrices e a) Calcula una matriz X tal que. b) Calcula, si existe, la inversa de X Calcula la siguiente integral indefinida: 2.- Considera las matrices, a) Calcula la matriz inversa de A b) Calcula A y A. c) Determina x e y tal que A.B=B.A 3.- Una tienda vende una clase de calcetines a 12 euros el par. Al llegar las rebajas, durante el primer mes realiza un 30% de descuento sobre el precio inicial y en el segundo mes un 40% también sobre el precio inicial. Sabiendo que vende un total de 600 pares de calcetines por 5976 euros y que en las rebajas ha vendido la mitad de dicho total, a cuántos pares de calcetines se les ha aplicado el descuento del 40%?