MOMENTO RESPECTO A UN EJE

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Juana Soler Cano
hace 7 años
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MOMENTO RESPECTO A UN EJE Objetivos del día de hoy: Los estudiantes serán capaces de determinar el momento de una fuerza alrededor de un eje usando: Actividades en clase: a) Análisis

1 MOMENTO RESPECTO A UN EJE Objetivos del día de hoy: Los estudiantes serán capaces de determinar el momento de una fuerza alrededor de un eje usando: Actividades en clase: a) Análisis escalar, y, Revisión de la tarea b) Análisis vectorial. Prueba de lectura Aplicaciones Análisis Escalar Análisis Vectorial Prueba conceptual Solución grupal de problemas Prueba de atención

2 PRUEBA DE LECTURA 1. Al determinar el momento de una fuerza con respecto a un eje específico, el eje debe estar a lo largo. A) del eje X B) del eje Y C) del eje Z D) de cualquier línea en el espacio 3-D E) de cualquier línea en el plano XY 2. El producto escalar triple u (r F) resulta en: A) una cantidad escalar (+ ó -) B) una cantidad vectorial C) cero D) un vector unitario E) un número imaginario

3 APLICACIONES Con la fuerza P, una persona crea un momento M A usando esta llave de mango flexible. La totalidad de M A actúa para voltear al objeto? Cómo calcularía la respuesta para esta pregunta?

4 APLICACIONES (continuada) La camisa A de este soporte puede proveer un momento máximo resistente de 125 N m con respecto al eje X. Cómo determinaría usted la magnitud máxima de F antes de que el giro respecto al eje X ocurriera?

5 ANÁLISIS ESCALAR Recuerde que el momento de una fuerza escalar con respecto a cualquier punto O es M O = F d O donde d O es la distancia perpendicular (o más corta) a partir del punto hasta la línea de acción de la fuerza. Este concepto se puede extender para encontrar el momento de una fuerza respecto a un eje. Hallar el momento de una fuerza con respecto a un eje, puede ayudar a resolver lo tipos de preguntas que acabamos de considerar.

6 ANÁLISIS ESCALAR (continuada) En la figura de arriba, el momento respecto al eje Y sería M y = F z (d x ) = F (r cos θ). Sin embargo, a menos que la fuerza se pueda fácilmente descomponer, y d x sea encontrada rápidamente, dichos cálculos no son siempre triviales, y el análisis vectorial puede resultar mucho más fácil (y menos proclive a ocasionar errores).

7 ANÁLISIS VECTORIAL Nuestra meta es encontrar el momento de F (la tendencia a rotar el cuerpo) respecto al eje a. Primero calcule el momento de F respecto a cualquier punto arbitrario O que yazca en el eje a usando el producto cruz. M O = r F Ahora, encuentre la componente de M O a lo largo del eje a usando el producto punto. M a = u a M O

8 ANÁLISIS VECTORIAL (continuado) M a también se puede obtener como: La ecuación de encima también se conoce como el producto triple escalar. En esta ecuación, u a representa al vector unitario dirigido a lo largo del eje a, r es el vector de posición desde cualquier punto en el eje a hasta cualquier punto A en la línea de acción de la fuerza, y F es el vector de fuerza.

9 A B EJEMPLO Dado: Una fuerza se aplica a la herramienta como se muestra. Hallar: La magnitud del momento de esta fuerza respecto al eje X del valor. Plan: 1) Use M x = u (r F). 2) Primero, encuentre F en su forma vectorial cartesiana. 3) Note en este caso que u = 1 i. 4) El vector r es el vector de posición desde O hacia A.

10 EJEMPLO (continuado) Solución: u = 1 i r OA = {0 i j k} m F = 200 (cos 120 i + cos 60 j + cos 45 k) N = {-100 i j k} N Ahora encuentre M x = u (r OA F ) M x = = 1{0.3 (141.4) 0.25 (100) } N m M x = 17.4 N m CR

11 PRUEBA CONCEPTUAL 1. La operación vectorial (P Q) R es igual a: A) P (Q R). B) R (P Q). C) (P R) (Q R). D) (P R) (Q R ).

12 PRUEBA CONCEPTUAL (continuada) 2. La fuerza F está actuando a lo largo de DC. Empleando el producto triple escalar para determinar el momento de F respecto a la barra BA, usted podría emplear cualquiera de los siguientes vectores de posición, excepto. A) r BC B) r AD C) r AC D) r DB E) r BD

13 SOLUCIÓN DE PROBLEMA GRUPAL Dado: La fuerza F = 30 N actúa en el soporte. = 60, = 60, = 45. A Hallar: El momento de F respecto al eje a-a. Plan: u a r OA O 1) Hallar u a y r OA 2) Encontrar F en su forma vectorial cartesiana. 3) Usar M a = u a (r OA F)

14 SOLUCIÓN DE PROBLEMA GRUPAL (continuado) Solución: u a = j r OA = { 0.1 i k} m A r OA F = 30 {cos 60 i + cos 60 j + cos 45 k} N F = { 15 i + 15 j k} N u a O

15 SOLUCIÓN DE PROBLEMA GRUPAL (continuado) Ahora encuentre el producto triple, M a = u a (r OA F) M a = N m M a = -1 {-0.1 (21.21) 0.15 (15)} = 4.37 N m A r OA Ma u a O

16 1. Para encontrar el momento de la fuerza F respecto al eje X, el vector de posición en el producto triple escalar debe ser. A) r AC B) r BA C) r AB D) r BC 2. Si r = {1 i + 2 j} m y F = {10 i + 20 j + 30 k} N, entonces el momento de F respecto al eje Y es N m. A) 10 B) -30 PRUEBA DE ATENCIÓN C) -40 D) Ninguna de las anteriores

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