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1 Universidd de Sntigo de Chile Fcultd de Ciencis Fcultd de Ingenierí Deprtmento de Mtemátic º Semestre 04 Mteril Docente Asigntur: Clculo II Profesor: H. Crreño G Mteril Docente Nº.0. Vectores Los científicos utilizn el término vector pr indicr un cntidd (por ejemplo, velocidd o fuerz) que tiene mgnitud y dirección. Un vector suele representrse por un flech o segmento de rect. L longitud de l flech represent l mgnitud del vector y l flech punt l dirección del vector. Consideremos los segmentos de rect dirigidos como representciones equivlentes de un sol entidd llmd vector. En otrs plrs, podemos considerr un vector v como un conjunto de segmentos de rects equivlentes. En est form, un vector idimensionl puede ser considerdo como un pr ordendo de números reles. Utilizremos l notción, pr el pr ordendo que se refiere un vector y no deemos confundirlo con el pr ordendo, ) que se refiere un punto en el plno. ( En lo que sigue se hce referenci un vector si se pone un flech sore un letr. Definición: Un vector idimensionl es un pr ordendo de l form, de números reles. Un vector tridimensionl es un tern ordend de l form,, de números reles. Los números, y se llmn componentes del vector. Denotremos por V l conjunto de todos los vectores idimensionles, y por V l conjunto de todos los vectores tridimensionles.

2 Universidd de Sntigo de Chile Deprtmento de Mtemátic Definición: Ddos los puntos en el plno A x, y ), y ( B x, y ), el vector v con ( representción AB es v x x, y y Ddos los puntos en el espcio, el A x, y, ), y B x, y, ) ( z ( z vector v con representción AB es v x x y y,, z z.. Longitud o Norm de un Vector L longitud o norm de un vector es l longitud de culquier de sus representciones y se denot con el símolo o ien. Con el uso de l fórmul de l distnci, pr clculr l longitud de un segmento OA, que corresponde l segmento que v desde el origen de coordends O, l punto fórmuls en l siguiente definición. Definición: L longitud o norm del vector idimensionl, es A, otenemos ls L norm del vector tridimensionl,, es Oservción: El único vector con longitud 0 es el vector cero O 0, 0 o O 0, 0, 0 vector sin dirección específic.. Este es el único.. Sum de Vectores Definición: Si,, y,,, entonces l sum de y que se not, es el vector definido por:,, Pr vectores idimensionles, y,.,, l sum es L sum pr vectores en V se ilustr geométricmente en l siguiente figur. Se puede ver que l definición de sum vectoril se llm regl del prlelogrmo Ejemplo. Si,, y 4,, 0, entonces 4,, 0, 4, Profesor: H. Crreño G. Vectores º semestre 04 Pág.:

3 Universidd de Sntigo de Chile Deprtmento de Mtemátic.. Multiplicción de un vector por un esclr Definición: Si k es un esclr (número rel no nulo) y,, es un vector, entonces el vector k que est definido por k k, k, k. De igul form, pr vectores idimensionles: k k, k. Est definición se ilustr continución. En generl, pr multiplicr un vector por un esclr multiplicmos cd componente por ese esclr. Vemos como el múltiplo esclr esclr en dos dimensiones. Si, k se compr con el vector originl, entonces ) ( k ) k ( k k ( ) k k de modo que l longitud de k es k por l longitud de. En prticulr, el vector () tiene l mism longitud de, pero punt en l dirección contrri Aun cundo hemos considerdo vectores idimensionles, lo nterior tmién es cierto pr vectores tridimensionles que k es un vector que tiene k veces l longitud de, y l mism dirección de, si k 0 ; sí como l dirección contrri si k 0. Dos vectores y diferentes de cero se llmn prlelos si c pr lgún esclr c IR. Profesor: H. Crreño G. Vectores º semestre 04 Pág.:

4 Universidd de Sntigo de Chile Deprtmento de Mtemátic.4. Diferenci entre vectores Por l diferenci de dos vectores, queremos decir ( ), de modo que si,, y,,, entonces,, Ejemplo. Si,, y 4,, 5, entonces 4,, 5,,.5. Vector Unitrio Un vector unitrio es un vector cuy longitud o norm es igul. Los vectores cnónicos (o normles) son unitrios. En generl si v 0 que tiene l mism dirección de v es u v v v v, entonces el vector unitrio Ejemplo: Encuentre el vector unitrio en l dirección del vector 4,, Desrrollo: L longitud del vector ddo es ( 4) ( ) ( ) 6, y el vector unitrio requerido es u 4,, 6 4,, Profesor: H. Crreño G. Vectores º semestre 04 Pág.: 4

5 Universidd de Sntigo de Chile Deprtmento de Mtemátic.6. Vectores de l se Norml En V se tiene i, 0, 0, j 0,, 0 y k 0, 0, son vectores que tiene longitud y puntn en ls direcciones positivs de ls ejes de coordends. En V se tiene i, 0 y j 0, son los vectores ses, que tiene longitud. L importnci de los vectores ses es l siguiente, en por ejemplo en V, si considermos el vector,,,,, 0, 0,, 0, entonces lo podemos escriir como: 0 0, 0,, 0, 0 0,, 0 0, 0, i j k es decir culquier vector,en V puede expresrse como un cominción linel de los vectores de l se norml i, j, k, es decir:,, i j k L figur siguiente d un interpretción geométric de l ecución que expres un vector como un cominción linel de los vectores ses de V. Por ejemplo,, 4 podemos escriir, i i j 4 k j.. Análogmente, en dos dimensiones Profesor: H. Crreño G. Vectores º semestre 04 Pág.: 5

6 Universidd de Sntigo de Chile Deprtmento de Mtemátic.0. PRODUCTOS VECTORIALES Hst quí se hn sumdo y restdo dos vectores, y ponderdo un vector por un esclr. Nos preguntmos es posile multiplicr dos vectores, de modo que su producto se un cntidd útil? Uno de esos productos es el producto punto, cuy definición dmos continución. Otro producto es el producto cruz que se definirá posteriormente. Amos son muy útiles en lguns plicciones físics y tienen interesntes interpretciones geométrics.. PRODUCTO PUNTO Definición: Si,, y,, son dos vectores, entonces el producto punto de y que se not es el número rel ddo por. El producto punto de vectores en dos dimensiones se define en form semejnte,, Entonces pr hllr el producto punto de los vectores y multiplicmos ls componentes correspondientes y summos dichos productos. El resultdo no es un vector, es un número rel, es decir es un esclr. Por est rzón, el producto punto se le llm veces producto esclr( o producto interior). Ejemplo. Si,, y,,, entonces el producto punto de y es:,,,, ( ) ( ) 9 Ejemplo. Si, y,, entonces el producto punto de y será:,, ( ) ( ) Ejemplo. Si 4 i j ( 4 i j 4 k y i 4 k) ( i 4 j 5 k, entonces est ddo por: 4 j 5 k) 4 ( ) ( 4) Alguns propieddes del producto esclr se deducen directmente de l definición. Propieddes: Si, y c son vectores y y son esclres, entonces. 0 ; 0 0. ( c) c ;. ( )c c c 4. ( ) 5. ( ) 6. Si,,, entonces, con lo cul Profesor: H. Crreño G. Vectores º semestre 04 Pág.: 6

7 Universidd de Sntigo de Chile Deprtmento de Mtemátic Al producto punto se le puede dr un interpretción geométric en términos del ángulo de medid determindo por los vectores y, que se define como el ángulo entre ls representciones de y que tienen su origen en el origen de coordends, donde 0. En otrs plrs, es l medid del ángulo determindo entre los segmentos de rect OA y OB. En prticulr si y son vectores prlelos, entonces 0, o. Teorem : Si es el ángulo entre los vectores y, entonces se verific que cos. Ejemplo: Si los vectores y tiene longitudes y, y el ángulo que formn entre ellos mide 0º, encuentre. Desrrollo: Usndo el teorem nterior, tendremos cos cos(0º ) cos( ) Corolrio: Si es el ángulo entre los vectores y no nulos, entonces: cos Se deduce de l ecución dd nteriormente que si y son vectores no nulos, podemos expresr que l medid del ángulo que formn es Arc cos Profesor: H. Crreño G. Vectores º semestre 04 Pág.: 7

8 Universidd de Sntigo de Chile Deprtmento de Mtemátic Ejemplo: Hllr el ángulo entre los vectores i j k y i j k. Desrrollo: Usndo el teorem, o ien l consecuenci del corolrio, tenemos: cos ( i j k) ( i j k) ( i j k) ( i j k) cos cos Arccos 7º Ejemplo: Hllr el ángulo entre los vectores,, y,,. Desrrollo: Como ( ) 4 y ( ) 4, y demás,,,, ( ) ( ) 9, entonces, tendremos 9 9 cos, por tnto Arc cos 9 0º Dos vectores y no nulos se llmn perpendiculres u ortogonles si el ángulo entre ellos es, es decir 90º. Entonces, por el teorem nterior se tendrá: cos( ) 0 0 Por el contrrio, si 0, entonces cos( ) 0, de modo que, pues 0 y 0, y que y no nulos. El vector 0 se consider perpendiculr todos los vectores. Por tnto tenemos el siguiente método pr determinr si dos vectores son ortogonles o perpendiculres: Teorem : Los vectores y son ortogonles si y sólo si 0 Ejemplo: Pruee que los vectores,, y 7, 5, son ortogonles. Desrrollo: Como,, 7, 5, 7 ( ) 5 ( ) 0, estos dos vectores son perpendiculres. Profesor: H. Crreño G. Vectores º semestre 04 Pág.: 8

9 Universidd de Sntigo de Chile Deprtmento de Mtemátic Podemos considerr que dirección. El producto punto dirección; el producto punto producto punto mide l mgnitud si y puntn en l mism es positivo si y puntn en l mism es nulo o cero si y son perpendiculres, y el es negtivo si y puntn en direcciones opuests. En el cso extremo, cundo y tienen exctmente l mism dirección y sentido, tenemos que 0, el ángulo que formn es nulo, por lo que cos( ) cos(0), de donde cos(0). Si y tienen l mism dirección, pero sentido contrrio, entonces, el ángulo que formn es extendido, por lo que cos( ) cos( ), de donde cos( ) ( ). Resumen: El producto esclr proporcion un uen método pr determinr si dos vectores son perpendiculres. Con frecuenci diremos que los vectores perpendiculres son ortogonles. Los vectores de l se cnónic i, j, k son ortogonles entre si y tienen longitud igul ; dichos sistems de vectores se llmn ortonormles. Adoptmos l convención de que el vector cero es ortogonl todos los vectores. Ejemplo: Determine el ángulo de medid del tringulo ABC determindo por los vértices A=(0,0), B=(,5) y C=(5,). Desrrollo: El ángulo de medid es el ángulo formdo por los vectores CA y CB, cuys componentes están determindos por CA 5, y CB,, y el producto punto entre estos es: CA CA ( 5)( ) ( )( ) 4, Y ls norms son CA ( 5) ( ) 9 y CB ( ) (), por tnto CA CB cos( ), CA CB 4 4 cos( ), Arc cos 78, 9 77 Profesor: H. Crreño G. Vectores º semestre 04 Pág.: 9

10 Universidd de Sntigo de Chile Deprtmento de Mtemátic.. Angulo y Cósenos de dirección Los ángulos directores de un vector,, no nulo, son los ángulos, y del intervlo 0, que form el vector con los semi ejes positivos. Los cosenos de estos ángulos, cos( ), cos( ) y cos( ) se llmn cosenos directores del vector. cos( ) cos( ) cos( ) Pr justificr estos resultdo usndo el corolrio del teorem, con sustituido por el vector unitrio i, 0, 0, otenemos por ejemplo cos i i Profesor: H. Crreño G. Vectores º semestre 04 Pág.: 0

11 Universidd de Sntigo de Chile Deprtmento de Mtemátic Si se elevn l cudrdo ls expresiones cos( ) cos( ) cos( ) y ls summos, otenemos que cos ( ) cos ( ) cos ( ) Por tnto cos ( ) cos ( ) cos ( ) Tmién ls ecuciones de los cosenos directores se pueden expresr como cos( ) cos( ) cos( ) Por tnto todo vector,,, puede ser expresdo en form ponderdo de l siguiente mner cos( ), cos( ), cos( ), de modo que cos( ), cos( ), cos( ), que estlece que los cosenos directores del vector son ls componentes del vector unitrio en l dirección del vector. Ejemplo: Encuentre ls medids de los cosenos directores del vector,, Desrrollo: Como 4, ls ecuciones pedids dn cos( ) y Arc 4 cos( 4 ) 4 cos( ), cos( ), de donde Arc cos( 4 ) 74º, Arc cos( 4 ) 7º y 58º 4 Profesor: H. Crreño G. Vectores º semestre 04 Pág.:

12 Universidd de Sntigo de Chile Deprtmento de Mtemátic.. PRODUCTO CRUZ El producto cruz de dos vectores y, diferenci del producto punto, es un vector. Por est rzón, tmién recie el nomre de producto vectoril. Note que est definido sólo cundo los vectores y, son tridimensionles. Definición: Si,, y,,, entonces el producto cruz de y que se not por es el vector que se determin por el siguiente determinnte de orden tres: i j k Aun cundo l primer fil del determinnte simólico de l fórmul nterior está formdo por vectores, los vectores de l se cnónic i, j, k, si l expndimos como si fuer un determinnte ordinrio usndo l regl de expnsión de los determinntes en términos de l primer fil, otendremos el vector resultnte del producto cruz de y, de l siguiente form i j k i j k L fórmul simólic de l ecución nterior es prolemente l form más fácil de recordr y clculr el producto cruz entre dos vectores, en l cul se us l notción de determinntes. Un determinnte de orden est ddo por: c d d c Ejemplo: Si,, y,, i j k, entonces el producto cruz de y será i j k ( 6) i ( 6 ) j (4 ) k i 9 j 5 k Por tnto, 9, 5 Profesor: H. Crreño G. Vectores º semestre 04 Pág.:

13 Universidd de Sntigo de Chile Deprtmento de Mtemátic Ejercicio. Demuestre que 0, pr culquier vector en V. Desrrollo: Si,, i j, entonces k i j k ( ) i ( ) j ( ) k 0 i 0 j 0 k 0 Un de ls propieddes más importntes del producto cruz está dd por el siguiente teorem. Teorem : El vector es octogonl los vectores y. Si y están representdos por segmentos de rect dirigidos con el mismo punto inicil, entonces el teorem estlece que el producto cruz punt en un dirección perpendiculr l plno que ps por y. Result entonces que l dirección de está dd por l regl de l mno derech: si los dedos de l mno derech se doln en l dirección de un rotción (en un ángulo menor que 80º) de y, entonces el pulgr punt en l dirección de. Profesor: H. Crreño G. Vectores º semestre 04 Pág.:

14 Universidd de Sntigo de Chile Deprtmento de Mtemátic Ahor que conocemos l dirección del vector descripción geométric es su longitud, lo que rest pr completr su Teorem : Si es el ángulo entre los vectores y (de modo que 0 ), entonces l longitud del vector está dd por sen Corolrio: Dos vectores no nulos y son prlelos si y solo si 0. L interpretción geométric del teorem de l longitud del vector se puede visulizr de l siguiente form: Si y están representdos por segmentos de rect dirigidos y con el mismo origen, entonces determinn un prlelogrmo con se, ltur h sen y áre A sen es decir A interpretr l longitud de un producto cruz.. Así, tenemos l siguiente form de L longitud del producto cruz por los vectores y. es igul l áre del prlelogrmo determindo Ejemplo: Encuentre el áre del prlelogrmo determindo por los siguientes vectores,, y,,. Desrrollo: Como el producto cruz de y es, 9, 5, por tnto, el áre será A ( ) Ejemplo: Encuentre el áre del triángulo cuyos vértices son los puntos los P (,, ), Q (,4, ) y R (,,). Desrrollo: Se PQ,, y PR, 4,, entonces 5,, por tnto, el áre será A (5) () () 58. Profesor: H. Crreño G. Vectores º semestre 04 Pág.: 4

15 Universidd de Sntigo de Chile Deprtmento de Mtemátic El producto vectoril verific l siguiente propiedd: Si, y c son tres vectores ( c) ( ) c El producto ( c) se llm producto esclr triple de los vectores, y c, su nomre se dee l hecho de que se otiene un esclr; y el producto esclr triple lo podemos escriir como el siguiente determinnte: ( c) c c c L importnci geométric del producto esclr triple se puede ver si considermos el prlelepípedo determindo por los vectores, y c (ver figur siguiente). El áre del prlelogrmo se es entonces l ltur h del prlelepípedo es lugr de será A. Si es el ángulo entre los vectores c y, h c cos. (Deemos de usr cos en cos, y que estmos clculndo un ltur). Por tnto, el volumen del sólido V A h c cos ( ) c De lo nterior, hemos prodo el siguiente resultdo. El volumen del prlelepípedo determindo por los vectores, y c es igul l mgnitud de su producto esclr triple, es decir V ( c). Si emplemos l fórmul nterior y descurimos que el volumen del prlelepípedo determindo por los vectores, y c es nulo, entonces los vectores deen hllrse en el mismo plno, es decir son coplnres. Profesor: H. Crreño G. Vectores º semestre 04 Pág.: 5

16 Universidd de Sntigo de Chile Deprtmento de Mtemátic Ejemplo: Hllr el volumen de prlelepípedo determindo por los tres vectores v, 0, 6, u,, 8 y w 8, 5, 6 Desrrollo: El volumen es el vlor soluto del siguiente determinnte Si desrrollmos est determinnte por menores con respecto de l primer fil tendremos de modo que el volumen pedido será V ( 8 40) 6 ( 0 4) 6 Ejemplo: Utilizndo el producto esclr triple, pruee que los vectores v i j k, u i j y w 7i j k son coplnres. Desrrollo: Usndo l formul del producto esclr triple dd por determinnte Si desrrollmos est determinnte por menores con respecto de l tercer column tendremos ( 7) ( ) 0 ( 0) 0 Como el vlor resultnte del determinnte es 0, es decir el volumen del prlelepípedo determindo por los vectores ddos es 0, ello signific que los tres vectores ddos son coplnres Ejemplo: Determine el áre del tringulo con vértice en los puntos P (,4,6 ), Q (,5, ) y R (,,), Solución: Los vectores que corresponden los segmentos de rects dirigidos PQ y PR son,, 7 y 0, 5, 5. El producto cruz socido dichos vectores es 40 i 5 j 5 k. El áre del tringulo PQR es l mitd del áre del prlelogrmo con ldos dycentes PQ y PR, entonces: A ( 40) ( 5) Profesor: H. Crreño G. Vectores º semestre 04 Pág.: 6

17 Universidd de Sntigo de Chile Deprtmento de Mtemátic.0. ECUACIONES DE RECTAS y PLANOS.0. ECUACION DE LA RECTA Usndo l interpretción geométric de l sum de vectores y l multiplicción por esclr, se estudirá l ecución de un rect L que ps por un punto P 0 y tiene l dirección de un vector v Un rect en el plno XY está determind cundo se dn un punto de l rect y su pendiente o ángulo de inclinción (dirección de l rect). L ecución de l rect puede escriirse en l form punto pendiente. L ecución de l rect L que ps por el punto P ( x, y ) y cuy pendiente dd es m, se determin por l ecución: y y m( x x ) Del mismo modo, un rect L en un espcio tridimensionl se determin cundo se conoce un punto P x, y, ) y l dirección de l rect L. 0 ( 0 0 z0 En tres dimensiones, l dirección de un rect se descrie cómodmente con un vector, de modo que hcemos que v se un vector prlelo l rect L. Se P ( x, y, z) un punto ritrrio en l rect L y sen r 0 y r los vectores de posición de los puntos P 0 y P, es decir tienen representciones 0P 0 y 0 P. Si u es el vector con representción P 0 P regl del tringulo pr l sum de vectores se tiene son vectores prlelos, hy un esclr t de mner que, como en l figur siguiente, entonces por l r r 0 u. Pero, como u y v u t v. Por tnto r r t v es l ecución vectoril de l rect L. 0 Profesor: H. Crreño G. Vectores º semestre 04 Pág.: 7

18 Universidd de Sntigo de Chile Deprtmento de Mtemátic Cd vlor del prámetro t d el vector de posición r de un punto P en l rect L. Como se indic en l siguiente figur, los vlores positivos de t corresponden un punto que se encuentr en un ldo de P 0, es decir, según t v creciendo, el punto P se mueve lejándose de P 0 en el sentido que indic el vector v, mientrs que vlores negtivos de t corresponden puntos P que están en el otro ldo de P 0, o se, conforme t decrece desde t 0 tomndo vlores negtivos, el punto P se mueve lejándose de P 0 en el sentido de ( v ) Si el vector v que d l dirección de l rect L se escrie por v,, c, entonces tenemos que 0 x0 y0, 0 t v t, t, t c, tmién podemos escriir los r x, y, z y r, z, de modo que l ecución vectoril de l rect determind nteriormente, se convierte en l iguldd de vectores x, y, z x t, y t, z t c Dos vectores son igules si y sólo si sus componentes correspondientes son igules entre si. Por tnto, tenemos ls tres ecuciones esclres siguientes donde t IR x x t, y y t, z z t c Ests ecuciones se llmn ecuciones prmétrics de l rect L que ps por el punto P x, y, ) y es prlel l vector v,, c, que es denomindo 0 ( 0 0 z0 el vector de dirección de l rect L. Cd vlor del prámetro t d un punto P ( x, y, z) sore l rect L. Profesor: H. Crreño G. Vectores º semestre 04 Pág.: 8

19 Universidd de Sntigo de Chile Deprtmento de Mtemátic Definición: Un ecución de l rect que ps por el punto P x, y, ) y que es prlel l vector 0 ( 0 0 z0 v,, c, se determin en form prmétric como: o vectorilmente como: x x y y z z t t c t r r t v 0 dónde r 0P, r0 0P0 y P ( x, y, z) y P0 ( x0, y0, z0 ). Además, l rect posee un descripción en form simétric, siempre que los números directores del vector v sen no nulos, es decir 0, 0 y c 0 x x0 y y0 z z0 c Pr rects en el plno XY no es necesrio escriir l componente z., o se: Ejemplo : Encontrr ls ecuciones de l rect en el espcio que ps por el punto (,, ) y tiene dirección Desrrollo: v i j 4 k En este cso P (,, ) x, y, ) y v,, 4, de modo que, y 0 ( 0 0 z0 c 4, entonces ls ecuciones prmétrics de l rect son x t, y t, z 4t. Ejemplo : Qué dirección tiene l rect x t, y ( t ), z 8t? Desrrollo: Construimos el vector v,, c, usndo los coeficientes del prámetro t, es decir, y c 8, por tnto l dirección de l rect est dd por el vector director v,, 8 Ejemplo : Se intersectn ls rects x, y, z t, 6t, t 8 y x, y, z t, t, 0? Desrrollo: Si ls rects se interceptn, deen de her dos números t y t tles que los puntos correspondientes sen igules, es decir se dee de verificr que t 6t, t 8 t,, 0, t por tnto se deen de stisfcer ests tres ecuciones simultánemente t t 6t t t 8 0 De l tercer ecución tenemos que t 4, y sustituyendo en l primer ecución se otiene que t, reemplzndo estos vlores en l segund ecución se tiene que 4, que es flso, de modo que ls rects no se interceptn Profesor: H. Crreño G. Vectores º semestre 04 Pág.: 9

20 Universidd de Sntigo de Chile Deprtmento de Mtemátic.. ECUACIONES DE PLANOS Un plno en el espcio qued determindo por un punto P x, y, ) por el que 0 ( 0 0 z0 ps el plno y un rect que ps por el punto P 0 y que es perpendiculr l plno. Otr lterntiv es dr el punto P 0 sore el plno y un vector norml (perpendiculr) n,, c l plno. El punto P ( x, y, z) está en el plno si y sólo si los vectores n y P 0 P son perpendiculres entre si (ver siguiente figur), en cuyo cso se verific que n P P 0. 0 Si considermos que P 0 P r r 0, donde r 0 y r los vectores de posición r y r 0P 0 0P 0 de los puntos P 0 y ecución vectoril del plno, dd por n ( r r0 ) 0 P respectiv mente. Así, otenemos un Definición: L ecución vectoril de un plno que ps por el punto P x, y, ) y con vector Norml (perpendiculr l plno) n,, c, est ddo por: 0 ( 0 0 z0 n ( r r0 ) 0 () dónde r 0P, r0 0P0 y P ( x, y, z) y P x, y, ). 0 ( 0 0 z0 L ecución esclr del plno que el punto P x, y, ) y con vector Norml 0 ( 0 0 z0 (perpendiculr l plno) n,, c, está ddo por: ( x x0) ( y y0) c ( z z0) 0 () Profesor: H. Crreño G. Vectores º semestre 04 Pág.: 0

21 Universidd de Sntigo de Chile Deprtmento de Mtemátic Si efectumos los productos pertinentes y grupmos términos semejntes en l ecución nterior, podemos escriir l ecución de un plno como: dónde en x y c z d () x y c z d. Est últim ecución recie el nomre de ecución linel x, y y z del plno con vector norml n,, c. Ejemplo. Determine un ecución del plno que ps por el punto P (, 5, ), con vector norml n,,. 0 Desrrollo: Utilizndo l ecución () tendremos ( x ( )) ( ) ( y 5) ( z ) 0, o se ( x ) ( y 5) ( z ) 0, con lo cul x y z es l ecución linel del plno pedid Importnte: Vemos que los coeficientes de ls vriles x, y y z en l últim ecución son ls componentes del vector norml. Esto siempre es sí, y que podemos escriir l ec. () ( x x0) ( y y0) c ( z z0) 0 en l form de l ecución () x y c z d, con x y c z d Recíprocmente, tod ecución linel en ls vriles x, y y z de l form () represent un plno en el espcio siempre que los coeficientes, y c no sen los tres simultánemente cero. Ejemplo. Un plno determindo por tres puntos. Determine un ecución pr el plno que ps por los tres puntos P (, 4, ), Q (,7, ) y R ( 4,, 0 ). Desrrollo: Deemos de utilizr l ecución (), por tnto lo primero necesitmos un vector n que se norml l plno pedido. Un form sencill de otener dicho vector norml es medinte el producto vectoril. Se el producto cruz PQ PR i j k i j 7 k, Como PQ y PR están en el plno, el producto vectoril n PQ PR es norml l plno. Sustituimos ls componentes de este vector y lo usmos con uno de los puntos (no import cul) pr escriir l ecución del plno ( x 4) ( y ) ( 7) ( z 0) 0 simplificndo, un ecución del plno pedido es x y 7z 47. Profesor: H. Crreño G. Vectores º semestre 04 Pág.:

22 Universidd de Sntigo de Chile Deprtmento de Mtemátic Dos plnos son prlelos si sus vectores normles son prlelos. Por ejemplo, los plnos de ecuciones x y z 4 y x 4y 6z son prlelos porque sus vectores normles son n,, y n, 4, 6 que verificn n n. Si dos plnos no son prlelos, entonces se cortn en un rect y el ángulo entre los dos plnos se define como el ángulo gudo formdo por sus dos vectores normles. Ejemplo. Angulo entre dos plnos. Determine el ángulo entre los plnos con ecuciones x y z 4 y 4x 5y z 4. Desrrollo: Los vectores normles cd plno son n,, y n 4, 5, coseno del ángulo que ellos formn est ddo por l formul, de modo que el cos n n n n por tnto Arc cos 4,87º 4 Pr determinr l rect L de intersección de dos plnos, necesitmos determinr inicilmente un punto P 0 que esté en L. Podemos hcer esto, sustituymos un vlor ritrrio de un de ls vriles en cd un de ls ecuciones de dichos plnos y resolvemos el sistem de ecuciones lineles socido pr ls otrs dos incógnits. Por ejemplo si hcemos x en ls ecuciones de los dos plnos del ejemplo nterior tendremos el sistem: x y z 4x 5y z y z 5 5y z. Donde solución común es y y z. Así, otenemos el punto P 0 cuys coordends son P (,, ), el cul se encuentr sore l rect L. Ahor 0 necesitmos un vector v prlelo l rect L. Los vectores n y n normles los dos plnos son mos perpendiculres L, por lo que su producto vectoril es prlelo L, el cul drá l dirección de l rect L. Otr lterntiv es determinr un segundo punto P en L sustituyendo un segundo vlor de x en ls ecuciones de los plnos ddos y despejndo ls vriles y y z como lo vimos nteriormente. Por ejemplo si x 5, vemos que y 4 y z, sí, otenemos un segundo punto P ( 5, 4,), en consecuenci el vector v P 0 P 4,, es prlelo l rect L, por tnto ls ecuciones prmétrics de l rect intersección de los dos plnos son x 4t, y t, z t. Profesor: H. Crreño G. Vectores º semestre 04 Pág.:

23 Universidd de Sntigo de Chile Deprtmento de Mtemátic.. Distnci de un punto un plno Clculemos l distnci de un punto P x, y, ) l plno descrito por l ecución ( z ( x x0) ( y y0) c ( z z0) x y cz d 0. Pr ello, consideremos el vector norml unitrio que determin l ecución del plno n i jck c que es el vector de longitud (norml l plno). Trzmos l perpendiculr desde el punto P l plno y construimos el triángulo de vértices P 0 QP que prece en l siguiente figur. L distnci d v P 0 P (vector que v de P 0 P ) sore el vector n. PQ es l longitud de l proyección del vector Así l distnci pedid se otiene prtir de l fórmul: Dis tn ci v n, que corresponde l vlor soluto de l proyección esclr del vector v sore el vector norml n, donde v x x ) i ( y y ) j ( z z ) k ( y n i j ck c, por lo tnto Distnci v n ( ) ( ) ( ) i jck x x0 i y y0 j z z0 k ( x x0 ) ( y y0 ) c( z z0 ) c c Si el plno viene ddo en l form x y cz d 0, entonces pr culquier punto P0 ( x0, y0, z0) que este en él y d x0 y0 c z0. Al sustituir en l fórmul nterior se tiene el siguiente resultdo: L fórmul pr l distnci d del punto P ( x, y, z) l plno x y c z d es: d x y cz d c Profesor: H. Crreño G. Vectores º semestre 04 Pág.:

24 Universidd de Sntigo de Chile Deprtmento de Mtemátic Ejemplo 4: Encuentre l distnci entre los plnos prlelos 0x y 4z y 5x y z. Desrrollo: Oservmos que los plnos son prlelos porque sus vectores normles 0,, 4 y 5,, son prlelos. Pr hllr l distnci entre los plnos, escogemos culquier punto en uno de los plnos y clculmos l distnci l otro plno. Si x z 0 en el segundo plno otenemos y, por tnto ( 0,, 0 ) es un punto de este plno. Por tnto l distnci del punto ( 0,, 0 ) l plno 0x y 4z es d Ejemplo 5: Dd ls rects x 4 y 5 z L :, 4 L : x y. Determine si ells son olicus. Solución: Ls ecuciones prmétrics de ls dos rects L y L son: x 4 t x s y 5 4t, y z t y s Igulndo x e y en ls dos primers ecuciones, se otiene el sistem 4 t s t 5, cuy solución es 5 4t s s 8 Estos vlores no stisfcen l tercer ecución, por lo tnto ls rects no se cortn y son olicus.. Determine l distnci entre ells. Solución: Se P y P los plnos prlelos que contienen ls rects L y L respectivmente, si: z s V, 4, el vector que d l dirección de l rect L V,, el vector que d l dirección de l rect L El vector norml est ddo por z i j k N V V 4 = 7 i 7 j k Si s 0 en L, otenemos el punto (,,0). Así un ecución pr el plno P es 7 ( x ) 7 ( y ) ( z 0) 0, o lo que es lo mismo 7x 7y z 4. Si t 0 en L, otenemos el punto ( 4, 5, ) que est en P. Entonces l distnci entre L y L es l mism que distnci del punto ( 4, 5, ) l plno 7x 7y z 4, y se clcul por: d 7 (4) 7 ( 5) () 4 (7) ( 7) () 64 4 Profesor: H. Crreño G. Vectores º semestre 04 Pág.: 4