Transformada Z. MSc. Bioing Rubén Acevedo Bioingeniería I. Carrera: Bioingeniería Facultad de Ingeniería - UNER
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- Xavier Silva Miranda
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1 Defiició Fució trasferecia Trasformacioes coformes Aplicació Trasformada Z MSc. Bioig Rubé Acevedo racevedo@bioigeieria.edu.ar Bioigeiería I Carrera: Bioigeiería Facultad Igeiería - UNER 3 Abril 2 Bioigeiería I Trasformada Z 3 Abril / 3
2 Defiició Fució trasferecia Trasformacioes coformes Aplicació Orgaizació Defiició 2 Fució trasferecia 3 Trasformacioes coformes 4 Aplicació Bioigeiería I Trasformada Z 3 Abril 2 / 3
3 Defiició Fució trasferecia Trasformacioes coformes Aplicació Defiició Coceptos Coceptos geerales geerales Fució trasferecia. Respuesta e frecuecia. Im Aálisis estabilidad. Plao S Re Bioigeiería I Trasformada Z 3 Abril 3 / 3
4 Defiició Fució trasferecia Trasformacioes coformes Aplicació Defiició Coceptos Coceptos geerales geerales [] secuecia discreta, - < < + [] X(z) X ( z ) Z ( [ ]) + [ ]. z TZ bilateral. X ( z ) Z ( [ ]) + [ ]. z TZ uilateral o causal. Bioigeiería I Trasformada Z 3 Abril 4 / 3
5 Defiició Fució trasferecia Trasformacioes coformes Aplicació Defiició Ejemplo Ejemplo [], ,5 [] [, ,5] X (z) 2 3, 5.z z + 2.z + 2.z +, 5. z 4 Bioigeiería I Trasformada Z 3 Abril 5 / 3
6 Defiició Fució trasferecia Trasformacioes coformes Aplicació Defiició Epresió Epresió la la trasformada trasformada Z X ( s ) ( t ). e. dt st * (t) δ(t) T.(t), do δ(t) T δ[t T] * (t) [T]. δ[t T] X * ( s ) ( t ). e. dt * st P Bioigeiería I Trasformada Z 3 Abril 6 / 3
7 Defiició Fució trasferecia Trasformacioes coformes Aplicació Defiició Regió Regió covergecia covergecia Z r.e j θ X ( z ) + [ ]. z + [ ]. r. e j θ E la regió covergecia X(z) < X ( z ) + [ ]. r. e j θ + [ ]. r. e j θ + [ ]. r Bioigeiería I Trasformada Z 3 Abril 7 / 3
8 Defiició Fució trasferecia Trasformacioes coformes Aplicació Defiició Regió Regió covergecia covergecia [ ]. r [ ]. r + + [ r ] X ( z ) [ ]. r + + [ r ] Parte o causal Parte causal Im Im Im r2 r r2 Re Re Re r Bioigeiería I Trasformada Z 3 Abril 8 / 3
9 Defiició Fució trasferecia Trasformacioes coformes Aplicació Defiició Regió Regió covergecia covergecia [] [] () α.u( ) X(z) z Im α α.z () α z.u() X(z) Im α.z α Re Re Bioigeiería I Trasformada Z 3 Abril 9 / 3
10 Defiició Fució trasferecia Trasformacioes coformes Aplicació Defiició Regió Regió covergecia covergecia Causal: z > r 2. No causal: z < r. Bilateral: r 2 < z < r. Señales duració ifiita Causal: plao Z ecepto z. No causal: plao Z ecepto z. Señales duració fiita Bilateral: plao Z ecepto z y z. Bioigeiería I Trasformada Z 3 Abril / 3
11 Defiició Fució trasferecia Trasformacioes coformes Aplicació Defiició Plaos Plaos S y y Z Im z z e ST ST Im Re Re Plao S Plao z Bioigeiería I Trasformada Z 3 Abril / 3
12 Defiició Fució trasferecia Trasformacioes coformes Aplicació Defiició Tras. Tras. Z y y tras. tras. Fourier Fourier S jω Im z e jθ Im Re θ Re Plao S Plao z Bioigeiería I Trasformada Z 3 Abril 2 / 3
13 Defiició Fució trasferecia Trasformacioes coformes Aplicació Defiició Tras. Tras. Z y y tras. tras. Fourier Fourier X ( z ) + [ ]. r. e j θ TF ( [ ]) X ( z ) j θ z e X ( e j θ ) + [ ]. e j θ P Bioigeiería I Trasformada Z 3 Abril 3 / 3
14 Defiició Fució trasferecia Trasformacioes coformes Aplicació Defiició Tras. Tras. Z y y tras. tras. Fourier Fourier Bioigeiería I Trasformada Z 3 Abril 4 / 3
15 Defiició Fució trasferecia Trasformacioes coformes Aplicació Defiició Relació Relació etre etre trasformadas trasformadas Trasformada Trasformada Laplace Laplace (t) (t) z e st Trasformada Trasformada Z Z [] [] s jω z e jθ Trasformada Trasformada Fourier Fourier (t) (t) Trasformada Trasformada Fourier Fourier [] [] -π < θ < π θ k2π / N, k..(n-) TDF TDF [] [] Bioigeiería I Trasformada Z 3 Abril 5 / 3
16 Defiició Fució trasferecia Trasformacioes coformes Aplicació Defiició Propiedas Propiedas Liealidad Desplazamieto temporal Desplazamieto frecuecial Iversió temporal Covolució Difereciació e domiio Z Bioigeiería I Trasformada Z 3 Abril 6 / 3 P
17 Defiició Fució trasferecia Trasformacioes coformes Aplicació Fució trasferecia Sistemas Sistemas LTI LTI y [ ] p a. y [ i ] + i i q j b j. [ j ] Ecuació Ecuació geeral geeral sistemas sistemas LTI LTI discretos discretos P Bioigeiería I Trasformada Z 3 Abril 7 / 3
18 Defiició Fució trasferecia Trasformacioes coformes Aplicació Fució trasferecia Sistemas Sistemas LTI LTI H(z) j p q b i j.z i -j a.z -i Sistemas ARMA H(z) b p i a.z i -i Sistemas AR H(z) q j b j.z -j Sistemas MA Bioigeiería I Trasformada Z 3 Abril 8 / 3
19 Defiició Fució trasferecia Trasformacioes coformes Aplicació Trasformacioes coformes Aplicació Aplicació Sistema Sistema tiempo tiempo cotiuo cotiuo Sistema Sistema tiempo tiempo discreto discreto P Bioigeiería I Trasformada Z 3 Abril 9 / 3
20 Defiició Fució trasferecia Trasformacioes coformes Aplicació Trasformacioes coformes Aplicació Aplicació Z ex st Ejemplo simple: H ( s ) s + 2 Trasformacioes Trasformacioes coformes coformes P Bioigeiería I Trasformada Z 3 Abril 2 / 3
21 Defiició Fució trasferecia Trasformacioes coformes Aplicació Trasformacioes coformes Trasformació Trasformació Euler Euler Im s ( z ) T Im Re Re Plao S Plao z Bioigeiería I Trasformada Z 3 Abril 2 / 3
22 Defiició Fució trasferecia Trasformacioes coformes Aplicació Trasformacioes coformes Trasformació Trasformació bilieal bilieal s 2 T z ( + z ) Im Im Re Re Plao S Plao z Bioigeiería I Trasformada Z 3 Abril 22 / 3
23 Defiició Fució trasferecia Trasformacioes coformes Aplicació Trasformacioes coformes Trasformació Trasformació bilieal bilieal 4 Trasformació Euler tita [rad] 2-2 θ ωt f [Hz] Trasformació Bilieal 3 f m khz 2 tita [rad] - 2 θ ω.ta( ) T f [Hz] Bioigeiería I Trasformada Z 3 Abril 23 / 3
24 Defiició Fució trasferecia Trasformacioes coformes Aplicació Trasformacioes coformes Trasformació Trasformació bilieal bilieal θ θ π H(e jθ ) ω H(jω) ω Bioigeiería I Trasformada Z 3 Abril 24 / 3
25 Defiició Fució trasferecia Trasformacioes coformes Aplicació Aplicació Cosiracioes Cosiracioes prácticas prácticas Cuado Cuado usar usar ua ua trasformació trasformació u otra? otra? Bioigeiería I Trasformada Z 3 Abril 25 / 3
26 Defiició Fució trasferecia Trasformacioes coformes Aplicació Aplicació Cosiracioes Cosiracioes prácticas prácticas H ( s ) s 2 + +,, 2. s. s + 9, 6 Respuesta e frecuecia l sistema aalógico 5 Magitud [Hz] Bioigeiería I Trasformada Z 3 Abril 26 / 3
27 Defiició Fució trasferecia Trasformacioes coformes Aplicació Aplicació Cosiracioes Cosiracioes prácticas prácticas f m 5 Hz Magitud Respuesta e frecuecia l sistema discreto (Azul: Euler, Rojo: Bilieal) [rad] 2.5 f m Hz Magitud [rad] Bioigeiería I Trasformada Z 3 Abril 27 / 3
28 Defiició Fució trasferecia Trasformacioes coformes Aplicació Aplicació Cosiracioes Cosiracioes prácticas prácticas f m Hz f m 5 Hz Euler Imagiary Part Lugar raices: Trasformacio Euler Real Part Imagiary Part Lugar raices: Trasformacio Euler Real Part Bilieal Imagiary Part Lugar raices: Trasformacio Bilieal Imagiary Part Lugar raices: Trasformacio Bilieal Real Part Real Part Bioigeiería I Trasformada Z 3 Abril 28 / 3
29 Defiició Fució trasferecia Trasformacioes coformes Aplicació Aplicació Ejemplo Ejemplo L C i(t) E i (t) R E o (t) H ( s ) E E o i ( s ) ( s ) Bioigeiería I Trasformada Z 3 Abril 29 / 3
30 Defiició Fució trasferecia Trasformacioes coformes Aplicació Fi Fi la la clase clase Bioigeiería I Trasformada Z 3 Abril 3 / 3
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