Apéndice al Tema 3 (Geometría Diferencial)

Transcripción

1 Apéndice l Tem 3 (Geometrí Diferencil) Ejemplos de Curvs Superficies en el espcio Curso 2011/12 1. Alguns curvs plns lbeds Elipse b Un elipse centrd en el origen de semiejes b tiene por ecución implícit b 2 = 1 se prmetriz como = cos t; = b sen t; t [0, 2π] Hipérbol L hipérbol centrd en el origen de semiejes b tiene por ecución implícit c b c b 2 = 1 Est curv está formd por dos rms que se prmetrizn como = cosh t; = b senh t; t [, ] = cosh t; = b senh t; t [, ] Prbol L prábol es un curv mu conocid de ecución implícit 2 = 0 que se prmetriz como = t 2 ; = t donde t tom culquier vlor rel. 1

2 Espirl de Arquímedes L espirl de Arquímedes, tmbién llmd espirl ritmétic, es un curv pln prmetriz como = t cos t; = t sen t; t [0, ) que en coordends polres tom l siguiente epresión: ρ = θ Espirl logrtímic L espirl logrítmic tiene como ecución en coordends polres ρ = e bθ o bien θ = log ( ρ) b de hí su nombre. En form prmétric se epres: α(t) = (e bt cos t, e bt sen t); t [0, ) L espirl logrítmic prece frecuentemente en l nturlez. Tmbién se relcion l espirl logrítmic con los números de Fiboncci con l proporción áure 1. Curvs helicoidles Y conocemos l curv lbed llmd hélice. En generl un curv helicoidl se define prtir de un curv pln α(t) = ((t), (t)) de l form β(t) = ((t), (t), bt) Así, l imgen de l izquierd represent un espirl helicoidl definid prtir de l espirl de Arquímedes β(t) = (t cos t, t sen t, bt) ; t [0, ) 1 Vése el rtículo espirl logrítmic en Wikipedi. 2

3 Astroide El stroide de rdio es un curv cerrd que tiene por ecución implícit = 3 por ecuciones prmétrics = cos 3 t = sen 3 t t [0, 2π] El stroide no es regulr, tiene cutro puntos singulres en t = 0, t = π 2, t = π t = 3π 2. Est curv se puede formr hciendo rodr un circunferenci de rdio /4 en el interior de un circunferenci de rdio. Astroide elíptico b El stroide elíptico de semiejes b generliz l stroide tiene por ecución implícit ( ) 2 ( 3 ) b = 1 b por ecuciones prmétrics = cos 3 t = b sen 3 t t [0, 2π] Astroide lbedo Est curv lbed es un generlizción de l curv pln nterior. Su representción gráfic es l del dibujo de l izquierd tiene por prmetrizción α(t) = ( cos 3 t, b sen 3 t, c cos(2t) ) donde el prámetro t vrí en el intervlo [0, 2π]. Crdioide Curv pln cerrd que tom su epresión más fácil conocid en en coordends polres ρ = 2(1 + cos θ), θ [0, 2π] tiene por ecución implícit 2 ( ) 2 = 4 2 ( ) Por último, sus ecuciones prmétrics son = 2(1 + cos t) cos t = 2(1 + cos t) sen t t [0, 2π] Obsérvese que no es un curv regulr puesto que tiene un punto singulr en t = π. 3

4 Cisoide de Diocles Tiene como ecución implícit = 2 2 por ecución en coordends polres 2 ρ = 2 tn θ sen θ que sólo tiene sentido en los vlores en los que está definido l tngente, es decir, θ π 2 ± kπ. Por tnto, un prmetrizción de l cisoide de Diocles es l siguiente: = 2 sen 2 t ( = 2 tn t sen 2 t π t 2, π ) 2 L cisoide dmite tmbién un prmetrizción no trigonométric ( 2t α: R R 2 2 definid α(t) = 1 + t 2, 2t 3 ) 1 + t 2 Obsérvese que es un curv sintótic en l rect = 2 tiene un singulridd en t = 0. Folium de Descrtes Tiene como ecución implícit = 3 por ecución en coordends polres cos θ sen θ ρ = 3 cos 3 θ + sen 3 θ que nos permite dr un prmetrizción. El folium dmite tmbién un prmetrizción no trigonométric ( 3t α: R R 2 definid α(t) = 1 + t 3, 3t 2 ) 1 + t 3 El folium es un curv sintótic en l rect + + = 0 tiene un singulridd en t = 1. Lemnisct de Bernouille Tiene como ecución implícit ( 2 + 2) 2 = 2 ( 2 2 ) por ecución en coordends polres ρ = cos(2θ) que nos proporcion l siguiente prmetrizción: ( α(t) = cos(2t) cos t, ) [ cos(2t) sen t t π 4, π ] [ 3π 4 4, 5π ] 4 4

5 Crcol de Pscl Crcol con b < 2. Crcol con b > 2. L ecución crtesin del crcol de Pscl es ( ) ) 2 = b 2 ( ) que, l sustituir un cmbio coordends polres nos d l siguiente prmetrizción: α(t) = ((b + 2 cos t) cos t, (b + 2 cos t) sen t) con t [0, 2π] Si b = 2 se obtiene un crdioide; en cso contrrio ls curvs cus figurs representmos rrib. Ross Ros de cinco pétlos ρ = sen(5θ). Ros de ocho pétlos ρ = sen(4θ). Ls ross es un fmili de curvs de ecución en coordends polres ρ = sen(kθ) con k Z + por tnto, se tiene l siguiente prmetrizción: α: (0, 2π) R 2 definid α(t) = ( sen(kt) cos t, sen(kt) sen t) Obsérvese que el número de pétlos de l gráfic depende de l pridd del prámetro k. Si k es impr, l ros se recorre dos veces se obtienen k pétlos ; si k es pr se obtienen 2k pétlos. 5

6 Trctriz L trctriz es un curv que ps por el punto (0, ) que tiene l propiedd de que el segmento de l rect tngente que une el punto de l curv con el eje de ordends es constnte. Un prmetrizción de l trctriz es = sen t = (cos t + log (tn(t/2))) con t (0, π) otr prmetrizción es α: R R 2 definid ( ) α(t) = cosh t, (t tnh t) Curv de Vivini donde el prámetro t vrí en el intervlo [ 2π, 2π]. Est curv lbed se obtiene como l intersección de un esfer de rdio 2 centrd en el origen de coordends = 4 2 con un cilindro cuo eje centrl es un rect verticl que ps por el punto (, 0, 0), es decir, tiene por ecución ( ) = 2 Un prmetrizción de est curv es l siguiente: α(t) = ((1 + cos t), sen t, 2 sen(t/2)) 6

7 2. Superficies cuádrics Aguns superficies mu usds en ls ingenierís son ls llmds cuádrics que, en generl, se epresn como los puntos que verificn un ecución cudrátic de tres vribles: z z z + 33 z 2 = 00 A continución dmos sus nombres sus ecuciones reducids. Cuádrics no degenerds con centro Elipsoide Hiperboloide Hiperboloide de un hoj de dos hojs b 2 + z2 c 2 = b 2 z2 c 2 = b 2 + z2 c 2 = 1 = cos(u) cos(v) = b sen(u) cos(v) z = c sen(v) = cos(u) cosh(v) = b sen(u) cosh(v) z = c senh(v) = cos(u) senh(v) = b sen(u) senh(v) z = c cosh(v) Cuádrics no degenerds sin centro Prboide elíptico Prboloide hiperbólico b 2 = z = v cos(u) = bv sen(u) z = v b 2 = z = v cosh(u) = bv senh(u) z = v 2 7

8 El cono es un cuádric degenerd con centro Cono elíptico b 2 z2 c 2 = 0 = v cos(u) = bv sen(u) z = cv Los cilindros son cuádrics degenerds sin centro Cilindro Cilindro Cilindro elíptico hiperbólico prbólico b 2 = b 2 = cz = 0 = cos(u) = b sen(u) z = v = cosh(u) = b senh(u) z = v = u = 2v z = v2 c 8

9 3. Otrs superficies Alguns superficies se definen como funciones, por ejemplo l llmd sill del mono l superficie embudo. Sill del Mono Superficie embudo z = z = log( ) Helicoides generlizdos o superficies de torsión A prtir de un curv pln α((t), (t)) con t I, cremos el helicoide generlizdo generdo por α como ls superficie que se prmetriz como Φ(u, v) = ((v) cos u, (v) sen u, cu + (v)), (u, v) R I Así, por ejemplo, prtir de l rect genertriz α(t) = (t, 0), t R obtenemos el helicoide prtir de l esfer genertriz β(t) = (r cos t, r sen t), t [0, 2kπ] obtenemos l llmd esfer de torsión. Helicoide Ester de torsión = v cos u = v sen u z = cu = r cos v cos u = r cos v sen u z = cu + r sen v 9