{a,b,c,e,d,f} {a,h,a,b,c} {c,e,e,d,c,b} {d,e,g,e,e,d} {e,e} {h,a,b,c,a,h} {c,d,e,c} {a,b,c,d,e,c} {a,h,a} {b,a,c,d,f}

Transcripción

1

2 RUTA Un rut de longitud n desde u v en G es un seueni de n rists e 1,,e n de G pr el ul existe un seueni x 0 =u, x 1,., x n-1, x n =v de vérties tl que e i tiene, pr i=1,, n los puntos finles x i-1 y x i. Si el grfo es simple, se denot l rut por l seueni de vérties x 0, x 1,., x n-1, x n. L rut es un iruito si est inii y termin en el mismo vértie, es deir, si u=v, y tiene longitud myor que ero. Un rut o iruito es simple si este no ontiene l mism rist más de un ves.

3 EJEMPLO Rut simple de longitud 4:, d,, f, e; porque {,d}, {d,}, {,f}, y {f,e} son todos los ros. No es un rut d, e,, Ciruito de longitud 4:,, f, e, Rut de longitud 5:,, e, d,, (no es simple, porque ontiene el ro {,})

4 EJERCICIO Cuáles de ls siguientes lists de vérties formn un rut? Cuáles ruts son simples? Cuáles son iruitos? Cuál es l longitud de ests ruts?

5 h g Ejemplo: Ddo el grfo e Reorrido Rut Rut simple de longitud n {,,,e,d,f} {,h,,,} {,e,e,d,,} {d,e,g,e,e,d} {e,e} {h,,,,,h} {,d,e,} {,,,d,e,} {,h,} {,,,d,f} d Ciruito f Ciruito simple de longitud n

6 Grfo onetdo Un grfo no dirigido es onetdo si existe un rut entre d pr de distintos vérties del grfo. Un grfo no dirigido no onetdo, se llm desonetdo. Un grfo es desonetdo undo removemos vérties y rists, o mos, pr produir un sugrfo desonetdo. Existe un rut simple entre d pr de distintos vérties de un grfo no dirigido onetdo.

7 GRAFO CONEXO O CONECTADO Es quél en el que pr ulquier pr de vérties w, x distintos entre sí, existe un tryeto pr ir de w x. d f d e e Grfo onexo Grfo no onexo

8 Ejemplo G1 es onetdo, porque pr d pr de distintos vérties existe un rut entre ellos. El grfo G2 no es onetdo, no existe un vértie entre y d.

9 Definiiones Un iruito Euler en un grfo G es un iruito simple que ontiene d rist de G. Un rut Euler en G es un rut simple que ontiene d rist de G. Ejemplo: G1 tiene un iruito Euler, por ejemplo,, e,, d, e,,. G2 y G3 no tienen iruitos Euler. G3 tiene un rut Euler, (,,d,e,,d,,). G2 no tiene un rut Euler.

10 Ejeriio Cuáles de los grfos dirigidos tienen un iruito Euler? Cuáles tienen un rut Euler?

11 Soluión El grfo H2 tiene un iruito Euler, por ejemplo,, g,,, g, e, d, f,. H1 y H3 no tienen iruitos Euler. H3 tiene un rut Euler,,,,, d, pero H1 no.

12 CAMINO DE EULER Es quel mino que reorre todos los vérties psndo por todos los ros solmente un vez d h Cminos de Euler: {,,e,d,,f,g,d,h,h,i,g} e {g,i,h,h,d,g,f,,d,e,,} f g i Un mino de Euler siempre inii y termin en un vértie de grdo impr. Si un grfo tiene ms de dos vérties de grdo impr no puede tener minos de Euler.

13 CIRCUITO DE EULER Es quel ilo que reorre todos los vérties psndo por todos los ldos solmente un vez. Algoritmo de Fleury pr un iruito de Euler 1. Verifir que es onexo on todos los vérties pr 2. Seleionr un vértie ritrrio 3. Seleionr un rist prtir del vértie tul que no se puente ( es deir que no desonete el grfo), menos que no hy otr lterntiv 4. Desonetr los vérties que están unidos por l rist seleiond 5. Si todos los vérties y están desonetdos, y se tiene el iruito de Euler. De otr form ontinur on el pso 3

14 CIRCUITO DE EULER Un grfo tiene un mino Eulerino pero no un iruito Euler si y sólo si tiene extmente 2 vérties de grdo impr. Un multigrfo onexo (onetdo) tiene un iruito Eulerino si y sólo si d vértie tiene grdo pr. Multigrfo: es un grfo no dirigido que puede ontener múltiples rists onetndo los mismos vérties.

15 Ejemplo de Ciruito de Euler Iniimos el reorrido en el nodo y podemos seleionr l rist (,) o (,) y que no son puentes, onsideremos (,) Ciruito (,) d e f Desonetmos l rist d e f Ahor podemos tomr (,), (,d) o (,e), seleionmos (,) d e f Ciruito (,,) d e f Desonetmos l rist d e f

16 Del vértie tul se puede seleionr (,e) o (,f) y no (,) y que se desonetrí el grfo, sí seleionmos (,e) Eliminndo l rist se tiene Ciruito (,,,e) d e f Seleionmos (e,d) d e f Ciruito (,,,e,d) d e f Ahor solo quedn ldos puente por lo que hrá que seleionrlos d e f d e f d e f Ciruito de Euler (,,,e,d,,e,f,,)

17 Apliiones Apliiones que usn un rut o iruito que trvies d lle en un veindrio, d mino en un red de omuniión.

18 Ejeriio Determin si tienen iruitos de Euler o mino de Euler d e

19 Reorrido Euler Ciudd de Köniserg, en XVIII: Pregunt: serí posile dr un pseo psndo por d uno de los siete puentes, sin repetir ninguno, omenzndo y ndo en el mismo punto?

20 Ejeriio Representión propuest por Leonrd Euler en 1736: Existe un iruito que pse por tods ls rists un sol vez?

21 Ejeriio Los grfos tienen un ilo eulerino?

22 CIRCUITO HAMILTONIANO Se trt de un prolem similr l del iruito de Euler, on l difereni que en lugr de psr por todos los ldos del grfo solmente un vez, en el iruito de Hmilton se ps por d vértie solmente un vez. d g f h i e j d g f h i e j Ciruito de Hmilton {,,h,g,e,j,i,f,d,,}

23 CIRCUITO HAMILTONIANO Y CAMINO HAMILTONIANO Si G=(V,E) es un grfo o multigrfo on V >= 3, deimos que G tiene un ilo hmiltonino si existe un ilo en G que onteng d vértie de V. Un mino hmiltonino es un mino simple (y no un ilo) de G que ontiene todos los vérties. Ddo un grfo on un ilo hmiltonino, l eliminión de ulquier rist en el ilo produe un mino hmiltonino. Sin emrgo, es posile que un grfo teng un mino hmiltonino sin que teng un ilo hmiltonino.

24 EJERCICIO Determin si el grfo tiene un mino y un iruito hmiltonino. d e Cmino hmiltonino:,,,f,e,d,g,h,i Ciruito hmiltonino:,,f,i,h,g,d,e,f > no tiene

25 ISOMORFISMO Se die que dos grfos G 1 y G 2 son isomorfos undo teniendo prieni diferente son igules, porque oiniden en: El número de rists El número de vérties El onjunto de grdos Ser o no onexos El número de iruitos de longitud n Tener o no iruito de Euler Definiión: Dos grfos G=(V,A), G =(V,A ) son isomorfos si existe un funión iyetiv f:v V tl que {,} A <-> {f(),f()} A

26 EJEMPLO: DETERMINAR SI LOS GRAFOS G 1 Y G 2 SON ISOMORFOS Aplindo un funión iyetiv d vértie de G se mpe en G y un funión iyetiv d vértie de G se mpe en G. f e d Isomorfos f 3 5 e d f()=2 f()=4 f()=5 f(e)=1 f(f)=3 f(d)=6

27 TABLA COMPARATIVA DE G 1 Y G 2 Propiedd G1 G2 Oservión Número de vérties Número de rists Grdos 2,4,4,4,4,2 4,2,2,4,4,4 Coiniden en el mismo número de vérties y de grdos 2 y 4. Conexo Si Si pr ulquier pr de vérties se puede enontrr un mino Cmino de Euler Ciruito de Euler No No Todos los vérties son de grdo pr Si Si Todos los vérties tienen grdo pr Ciruitos de longitud n ( en este so de longitud 3) 6,,d,,e,,,d,,,d,e,,d,e,,e,f, 6 1,3,5,1 1,6,4,1 1,4,5,1 1,5,6,1 2,4,6,2 4,5,6,4 En lugr de tener longitud 3, se puede ver uántos iruitos tienen de longitud 4. Pero en ulquier so deen de oinidir

28 Ejeriio Demostrión: Construimos f omo se indi l ldo de l figur. Se tiene que: {1,2} f {,f} {6,8} f {,} {1,6} f {,} f(1) = f(2) = f f(6) = {2,8} f {f,} {4,3} f {h,g} {1,4} f {,h} f(4) = h f(5) = d f(3) = g {2,3} f {f,g} {5,7} f {d,e} {4,5} f {h,d} {3,7} f {g,e} {6,5} f {,d} {8,7} f {,e} f(7) = e f(8) =

29 Ejeriio Son isomorfos estos dos grfos? No, G tiene un ilo de longitud 3 (,d,,) y G no tiene ninguno de longitud 3

30 Ejeriio Son isomorfos estos dos grfos? Justifi tu respuest

31 APLICACIONES: COLORACIÓN DE GRAFOS Cuántos olores se neesitn pr olorer un mp de form que no hy dos regiones on fronter on el mismo olor?

32 APLICACIONES:COLORACIÓN DE GRAFOS Se G(V,A) un grfo y se C un onjunto de olores. L olorión de los vérties V del grfo usndo un olor del onjunto C se enuentr dd por l funión. f: V C tl que v 1, v 2 V dyentes f(v 1 ) f(v 2 ) Esto signifi que d pr de vérties dyentes deerán estr ilumindos on un olor diferente En l olorión de grfos se us usr l menor ntidd de olores posile

33 NUMERO CROMÁTICO X(G) Se llm número romátio del grfo G l número mínimo de olores on que se puede olorer un grfo, uidndo que los vérties dyentes no tengn el mismo olor. Psos pr olorer un grfo: 1. Seleionr el vértie v de myor grdo e iluminrlo on ulquier olor del onjunto C 2. Colorer los vérties dyentes l vértie v verifindo que no existn vérties dyentes del mismo olor. En so de ser neesrio intermir olores. Si y están oloredos todos los vérties, terminmos, en so ontrrio ontinur on el pso 3 3. Seleionr el vértie v de myor grdo que y este oloredo y que todví teng vérties dyentes sin olorer. Regresr l pso 2

34 CARACTERÍSTICAS DEL NÚMERO CROMÁTICO 5. En generl l myorí de los grfos tienen un X(G) n porque se entiende que no están reliondos todos los vérties entre sí. 6. Los grfos iprtitos o iprtitos ompletos (K n, m ) tienen un número romátio X(G) = 2 7. Todos los ároles de ulquier orden tienen número romátio X(G)=2 o ien se die que son 2-olorele d e f d e Grfo iprtito iprtito ompleto (K 2, 3 ) d e f g X(G) = 2 h i j k

35 EJEMPLO: COLOREO DE GRAFOS Considere que se dese iluminr el siguiente grfo G y que se dispone pr ello el onjunto C ={1,2,3,4,5} f e d g h f e d g h

36 CARACTERÍSTICAS DEL NÚMERO CROMÁTICO El número romátio posee ls siguientes siete rterístis fundmentles: 1. Un grfo G tiene un X(G) =1 si y sólo si no tiene rists X(G) = 1 2. El X(G) pr un mino o un ilo de longitud 2 es X(G)=2 y que se podrán lternr los olores X(G) = 2 3. Si el grfo G tiene un ilo de longitud impr entones X(G) 3 d e X(G) = 3 X(G) = 4 4. El número romátio del grfo ompleto K n es X(K n )=n, onsiderndo que un grfo K n d todos los vérties son dyentes entre sí. X(K 4 ) = 4 g f

37 EJERCICIO Determinr si hy mino de Euler, iruito de euler, iruito hmiltonino. Colore el grfo. d e

38 Ejeriio Colore los siguientes grfos