= + 3x dx = x + C. Reglas de Integración elementales estándar

Transcripción

1 .. Antidrivds: UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE HONDURAS FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS DET-8, MÉTODODOS CUANTITATIVOS III GUÍA DE EJERCICIOS, UNIDAD III Hst hor hmos studido lo qu s dnomin El Cálculo Difrncil, continución studirmos lo qu dnominrmos El Cálculo Intgrl. Sindo, mbs rms dl Cálculo complmntris y n cirto sntido opusts. Llmrmos Intgrción l procdiminto utilizdo pr dtrminr un función cundo conocmos su drivd y, st función dtrmind, s l dnomin ntidrivd. Por jmplo, Si f ( ), un ntidrivd s F( ). Obsrv qu l drivr F tnmos, F'( ) f( ). Obsrv tmbién qu l ntidrivd no s únic, n l jmplo, tmbién F( ) + 0s un ntidrivd d f ( ). Lugo, pr gnrlizr, incluirmos un constnt C dnomind constnt rbitrri, s dcir, F( ) + C s l ntidrivd d f ( ). Esto lo prsrmos simbólicmnt como: + C s Qu lrmos «l intgrl indfinid d + C». L Intgrl indfinid o simplmnt l intgrl d un función s sinónim d l ntidrivd d un función, vocblo qu tndrá l prfrnci. ) ) ) ) n + n + C, n n + ln + C + C Rgls d Intgrción lmntls stándr 0 + C + C ( cso spcil d ) ) Cf( ) C f( ) 6) n 7) 8) 9) [ f ( ) ± f( ) ±... ± f( )] f( ) ± f( ) ±... ± f( ) n + n ( + b) ( + b) + C, n, 0 n + ln + b + C + b + C + b + b n

2 Ests rgls pudn vrificrs fácilmnt drivndo l rsultdo d l drch pr obtnr l función intgrndo, s dcir, l función ntr l símbolo d intgrl y l difrncil. Ejmplo Ilustrtivo No. : Encuntr l intgrl d f( ) + +. ( + + ) C C En dond inicilmnt hmos plicdo l intgrl d un sum lgbric (rgl 6) y l intgrl d un constnt por un función (rgl ). Lugo, plicmos l intgrl d un potnci (rgls y ). Finlmnt simplificmos. + 8 Ejmplo Ilustrtivo No. : Encuntr l intgrl d f( ) / + 8 Ejmplo Ilustrtivo No. : Encuntr l intgrl d / + / C / + + / C / / C C +. f( ) ln() + ln() ln + C + ln() + ln() Ejmplo Ilustrtivo No. : Encuntr l intgrl d f( ).

3 Ejmplo Ilustrtivo No. : (Costo Mrginl)) + ( ) C C + C + C L función d costo mrginl d un mprs s C'( ) + 0 por ms. ) Dtrmin l función d costo totl. b) Dtrmin l función d costo totl, si los costos fijos d l mprs son d L., c) Cuánto cust producir 80 unidds n un ms cundo los costos fijos son d L.,000.00? ) C ( ) C'( ) ( + 0) C C C ( ) + 0+ C b) Los costos fijos stán ddos por l constnt d intgrción C. Lugo, C ( ) + 0 +,000. c) C (80) (80) + 0(80) +, 000,87, 600 Lmpirs. Ejrcicios.. Evlú ls intgrls siguints: ) ) 9 ) ln() ) ( ) ) ln(8) 6) ( + )

4 7) + 8) 9) ( + ) 0) ( ) ) ) + ) ( )( + ) ) ( + / ) ) ( + )( + ) 6) ( + ) 7) ( ) ( + ) 8) ( ) ( + ) 9) ln( + ) 0) + ) ( )( + ) ) + ( )( + 6) ) ) ln(0) + 7 ) + 6) + 7) ( + + ln(0) ) 8) ( + ) 9) ( ) 0) ( ) + ) (Costo mrginl) L función d costo mrginl, por ms, d un mprs s: C () ) Dtrmin l función d costo totl C() si los costos fijos d l mprs son d L., b) Cuánto l costrá l mprs producir 00 unidds n un ms? ) (Ingrso mrginl) L función d ingrso mrginl d cirt mprs s: R () 0.0 ) Dtrmin l función d ingrso n términos d. b) Cuál s l función d dmnd dl producto d l mprs? ) (Costo mrginl) L función d costo mrginl d cirto producto s C () y l costo d producir 0 unidds s d 6 lmpirs. Cuál s l costo d producir 00 unidds? Los rtículos s vndn l0 lmpirs cd uno. Dtrmin l incrmnto n l utilidd si l volumn d vnt s incrmntdo d unidds. Dtrmin l incrmnto n l utilidd si l volumn d vnt s incrmntdo d unidds. ) (Costo promdio mrginl) El costo promdio mrginl d cirto producto stá ddo por 0 C'( ) 0.0. Si producir 00 unidds custn L. 0., dtrmin l función d costo totl. ) (Utilidd mrginl) L función d utilidd mrginl d un mprs s U'( ) Si los costos fijos d l mprs son d 00 lmpirs (nivl d producción 0), ncuntr l función d utilidd. Dtrmin dmás, l nivl d producción qu mimiz l utilidd y l vlor d l utilidd máim... Intgrción por sustitución Cundo un intgrl no pud vlurs utilizndo ls divrss rgls d intgrción lmntls stándr, pud nsyrs l método d sustitución, qu consist n slccionr un cmbio propido d

5 vribl pr trnsformr l intgrl dd n otr qu si stá n l list d rgls d intgrción. Por 0 jmplo, ( + ) no pud vlurs dirctmnt. Podmos notr qu s l intgrl d un potnci lvd l ponnt 0 por un fctor, lgo sí como u 0. Admás, podmos obsrvr qu l difrncil d + s, s dcir, podmos sustituir por du. Con st rzonminto n mnt podmos stblcr l siguint iguldd: 0 0 ( + ) u du L intgrl indfinid no dpnd d l vribl d intgrción, por lo tnto, podmos utilizr l rgl No. d l scción ntrior y obtnr l rsultdo siguint: u u ( + ) u du + C + C 0 + Finlmnt, l sustituir u por + obtnmos l intgrl dsd: 0 ( + ) ( + ) + C Pr comprobr si l rspust s corrct drivmos l mimbro d l drch y dbrmos d d ( ) + ( + ) obtnr l intgrndo. 0 + C ( ) + 0 ( + ) Tl como lo hbímos nuncido. Intgrl d l función compust: 0) f ( g ( )) g'( ) Fg ( ( )) + C, dond F s un ntidrivd d f. En form práctic, dirmos qu hcmos l sustitución u g() y du g '( ) pr scribir l rgl ntrior n l form: f ( g( )) g '( ) f ( u) du F( u) + C F( g( )) + C. Ejmplo Ilustrtivo No. : Evlú ( + ) (0 + ). Procdmos d l form siguint: Hcmos +, (0 + ), u du Dond du, d curdo l dfinición d difrncil, s l drivd d + multiplicd por. Es dcir, d du ( + ). Por lo tnto, + u u ( + ) (0 + ) u du + C + + C ( + ) + C

6 ln( ) Ejmplo Ilustrtivo No. : Evlú u ln( ) du ln( ) ln( ) u du u + C [ln( )] + C Ejmplo Ilustrtivo No. : Evlú +. du u + du / u / / / ( ) 9 9 /+ du / u + u u du + C / + + C u + C / u + C + + C Ejmplo Ilustrtivo No. : Evlú +. u + du 6 du + + u ( du) u u + du + C + C Ejmplo Ilustrtivo No. : Evlú. + 8 u + 8 du du / + 8 u du / du ln u + C ln C u Ejrcicios.. Mdint un sustitución propid ncuntr ls ntidrivds siguints: ( ) ( + 8) ) 9 ( + )( + + 8) ) ) 6) ) ) ( + + 6) + 9

7 7 7) ( + ) 8) 0) ( + ) 8 ) 6) 9) 9) ( + ) 7 + ) / ) ( ) ) ) [ln( )] ( ) + 7) ln( + ) 0) +.. Intgrción por prts. 8) ln( ) ) ( + ) [ + ln( )] Sbmos qu l difrncil d un producto s igul l primr fctor por l difrncil dl sgundo fctor, más l sgundo fctor por l difrncil dl primr fctor, simbólicmnt: D dond, dspjndo pr u dv s obtin: Si intgrmos mbos mimbros, obtnmos: d(uv) u dv + v du u dv d(uv) v du udv uv vdu Est rsultdo s conoc como fórmul d intgrción por prts y s útil cundo prcn intgrls d productos. El éito dl método consist n sbr lgir ls prsions pr u y pr dv, qu, un vz slccionds s obtin du mdint difrncición, mintrs qu dv s obtin mdint intgrción. Tmbién, s convnint, disñr un cudro pr mostrr st prt dl procso. Ilustrrmos l método con lgunos jmplos: Ejmplo Ilustrtivo No. : Evlú. Eprsión pr u u Eprsión pr dv Difrncil du Intgrl Obsrvcions: En dv s convnint rcordr scribir l fctor pusto qu s un difrncil. En v s omit l constnt d intgrción pusto qu l incluirl o djrl s llg l mismo rsultdo. dv v

8 Ejmplo Ilustrtivo No. : Evlú Ejmplo Ilustrtivo No. : Evlú Hcindo ls sustitucions ntriors n l fórmul: udv uv vdu s obtin: C ( ) + C ln( ). Eprsión pr u u ln() Eprsión pr dv Difrncil du Intgrl 8 dv v Hcindo ls sustitucions ntriors n l fórmul: udv uv vdu s obtin: ln( ) ln( ) ln( ) ln( ) + C [ ln( ) 9 9 ] + C +. Eprsión pr u u Eprsión pr dv dv + Difrncil du Intgrl v ( + ) / Hcindo ls sustitucions ntriors n l fórmul: udv uv vdu s obtin: / / ( ) ( ) ( ) / / ( + ) ( + )

9 Ejmplo Ilustrtivo No. : Evlú / ( + ) / ( ) / / / ( ) ( ) C C. Eprsión pr u u Eprsión pr dv Difrncil du Intgrl Hcindo ls sustitucions ntriors n l fórmul: udv uv vdu s obtin: ( ) Hmos simplificdo l intgrl originl pro nuvmnt tnmos un producto d funcions. Por tnto, dbmos plicr otr vz l método. Eprsión pr u u Eprsión pr dv Difrncil du Intgrl 9 dv v dv v Hcindo ls sustitucions ntriors n l fórmul: udv uv vdu pr l intgrl dl mimbro d l drch, s obtin: C + + C Ejrcicios.. Evlú ls intgrls siguints: ) ln( ) ) ln( ) ) ln( + ) ln ( ) ) ) ln( ) 6) ( + )ln( )

10 7) ln ( ) 8) 0) 8 ln( + ) ) ( + ) ln( + ) 9) ln( ) ) ) ) 6 ) 6) 7) 8) ( + ) ln( ) 9) ( + ) 0) ) ) ) ln( ) ).. Árs bjo un curv. ( + ) ( + ) Intgrl dfinid: S f() un función con un ntidrivd qu rprsntrmos por F(). Supongmos qu tnto f() como F() stán dfinids pr todos los vlors d n l intrvlo crrdo [, b]. Entoncs l intgrl dfinid d f() d b b s simboliz por f ( ) y s dfin por: b f ( ) F ( b ) F ( ). Los númros y b s dnominn los límits d intgrción, dond s l límit infrior y b s l límit suprior. Por convninci F(b) F() s sul scribir ntr préntsis rctngulrs grnds n l ldo drcho spcificndo los límits d intgrción o, si lo prfir, por un rct vrticl sñlndo los mismos, l mnr siguint: b b f ( ) F( ) F( b) F( ) o bin, b b f ( ) F( ) F( b) F( ). Ejmplo Ilustrtivo No. : Evlú ls intgrls dfinids siguints: ) ), b) dz, c) z, d) ln( ). 0

11 b) c) d) dz z ln z ln ln ln 0 ln ( ) ln( ), utilizndo intgrción por prts, obtnmos: Ejmplo Ilustrtivo No. : Evlú Eprsión pr u u ln() Eprsión pr dv dv Difrncil du Intgrl v Hcindo ls sustitucions ntriors n l fórmul: udv uv vdu, s obtin: ln( ) ln( ) ln( ) 0 ln( ) [ ln( ) ] [ln() ] [ln() ] ln() ln() + ln() Rsolvrmos st intgrl utilizndo dos métodos: Método : Encontrmos l ntidrivd mdint sustitución d vribl y lugo vlumos l intgrl dfinid. / + ( + ). S u +, ntoncs du. / / / / + u u C + ( + ) ( ) u du + + C / + / / / u ( + ) + C + C / / / ( + ) ( + ) ( 0 + ) / / / 9 ( ) 7 6

12 Torm Fundmntl dl Cálculo: Método : Hcmos cmbio d vribl y l mismo timpo hcmos cmbio d límits d intgrción. / ( ). S u +, ntoncs du. Ahor, cundo 0 s tin qu u (0) + y cundo s tin qu u () + 9, s dcir, los nuvos límits d intgrción son, rspctivmnt, u y u 9. Por lo tnto, / + 0 ( + ) ( ) 0 9 / u du / 9 / + u u 9 / + / / 9 / 9 / / ( ) u 7 6 Est método tin l vntj qu, un vz qu s hn hcho los cmbios qu corrspondn, s clcul l intgrl dfinid tomndo n cunt l nuv vribl sin tnr qu rcordr l vribl originl, como quin dic cpturr dos zorros con un sol trmp. S f() un función continu no ngtiv n b y s F() un ntidrivd d f(). Entoncs l ár A, bjo l curv y f() y ntr ls rcts vrticls, b y l j, stá dd por l intgrl dfinid: b b A f ( ) F( ) F( b) F( ). Ejmplo Ilustrtivo No. : Encuntr l ár d l rgión comprndid por l gráfic d f ( ) l j, d 0. L rgión s mustr n l figur siguint: y

13 Como f ( ) intgrl dfinid: s no ngtiv, st ár s pud clculr por l /+ / / / Ár / + / / / / ) () (0) ( ) ( 6 unidds cudrds Ejmplo Ilustrtivo No. : Encuntr l ár d l rgión comprndid por l curv y + +, l j y ls rcts y. L rgión s mustr n l figur siguint: ( ) () () Ár [() + + ()] [() + + ()] ( + + ) unidds cudrds Ejmplo Ilustrtivo No. : L función d costo mrginl d un mprs s C'( ) 0.0. Clcul l incrmnto n l costo cundo l producción s incrmnt d 00,000 unidds.

14 ,000, 000 ( 0.0 ) Δ C Δ C [(,000) 0.00(,000) ] [(00) 0.00(00], 000[ 0.00(, 000)] 00[ 0.00(00)],000[ ] 00[.] 8,000 0, 0 L. 7,70.00 Ejrcicios.. Evlú ls intgrls dfinids siguints: ) ) 7) 0) ) 6) ) / ) 0 ( + )( ) 8) 6 ( + )( + ) ) ln( ) ) + + 7) ) ( + + ) 6) 9) ( ) ) + ) ln( ) 8) 9) Encuntr ls árs bjo ls curvs d ls funcions siguints: ) y +, l j y ls rcts 0 y. b) y + +, l j y ls rcts y. c) y + 6, l j y ls rcts 0 y ( + )( + ) ( + ) / 6 + [ + ln( )] d) y, l j y ls rcts 0 y. ) y, l j y ls rcts y. f) y + +, l j y ls rcts 0 y. g) y, l j y ls rcts 0 y. h) y, l j y ls rcts y. i) y +, l j y ls rcts y 6. j) y ln(), l j y ls rcts y.

15 .. Árs ntr curvs. En l scción ntrior, clculábmos l ár bjo un curv, l j y un pr d rcts, con l condición igid d qu y f() fus no ngtiv. En st scción, mplirmos l situción funcions qu tinn sccions o prts bjo dl j, s dcir, prts ngtivs. Tmbién s vlurá l ár d l rgión limitd por dos curvs n un intrvlo. Supong qu y f() y y g() son dos funcions dfinids n l intrvlo crrdo [, b] d tl form qu n cd punto dl intrvlo [, b] s cumpl qu f() g(). Entoncs l ár d l rgión limitd por ls gráfics d ls funcions y f(), y g() y ls rcts y b, strá dd por: b Ár [ f ( ) g( )] D curdo l dibujo, s pud concluir, qu pr vlur l ár d l rgión, s db d clculr l intgrl dfinid d un rst d funcions: f ( ) g( ) n dond l primr término stá rlciondo con l curv suprior f() y l sgundo término con l curv infrior g(). En st punto convin stblcr ls siguints propidds: ) f ( ) 0. b b b c b c ) f ( ) f( ) Propidds d l intgrl dfinid:. f f + f pr c R. ) ( ) ( ) ( ), Ests propidds pudn sr d much utilidd pr clculr ár d rgions. Volvindo l situción qu nos ocup, qué sucd si y f() s un función ngtiv.

16 Podmos vr qu si f() 0 pr todo n l intrvlo crrdo [, b], s pud considrr l ár d l rgión limitd por ls curvs g() 0, y f() y ls rcts y b. En st cso s cumpl qu f() g() porqu l curv suprior s g(), mintrs qu l curv infrior s f(). Por lo tnto, l ár strá dd por: b b b Ár [ g( ) f ( )] [0 f ( )] f ( ) En conscunci, l ár d un rgión situd dbjo dl j, cotd por l curv y f() y ls rcts y b, strá dd por l intgrl dfinid: b f ( ) Considrmos hor un curv qu tin prts por rrib y por dbjo d j. Por jmplo, l curv rprsntd n l figur siguint: El ár d l rgión sombrd strá dd por: b c d b c Ár f( ) f( ) + f( ) Ejmplo Ilustrtivo No. : Dtrmin l ár d l rgión limitd por l j, l curv y 9 y ls rcts y. 6

17 Ár ( 9) (9 ) 9 () () 8 9() 9() unidds cudrds. Ejmplo Ilustrtivo No. : Dtrmin l ár d l rgión limitd por l j, l curv y 6 y ls rcts 0 y. Ár ( 6) + ( 6) 0 (6 ) + ( 6) unidds cudrds Ejmplo Ilustrtivo No. : Dtrmin l ár d l rgión limitd por ls curvs y y y +. En primr lugr dtrminrmos los puntos n dond mbs gráfics s intrscn. Igulndo mbs funcions, s obtin: 7 + 0

18 ( + )( ) 0 ó. Cundo, y +. Cundo, y +. Lugo, mbs curvs s intrscn n los puntos (, ) y (, ). En l dibujo siguint s mustr l gráfic d l rgión. L curv suprior s y +, qu simbolizrmos por y sup. L curv infrior s y, qu dnotrmos por y inf. Por tnto, l ár d l rgión sombrd strá dd por: sup inf Ár ( y y ) [( + ) ] + ( ) ( ) + () + ( ) unidds cudrds Ejmplo Ilustrtivo No. : Dtrmin l ár d l rgión limitd por ls curvs y 8 y y ó.

19 Cundo, y ( ). Cundo, y (). Lugo, mbs curvs s intrscn n los puntos (, ) y (, ). En l dibujo siguint s mustr l gráfic d l rgión. sup inf Ár ( y y ) [ ( 8)] ( + 8) + 8 () ( ) + 8() + 8( ) unidds cudrds A vcs l rgión stá limitd por funcions prsds n términos d y n lugr d. En st cso pud sr más simpl vlur un intgrl n función d l vribl y. Supóngs qu l rgión stá limitd por ls curvs H(y), G(y) y por ls rcts y c, y d. Supóngs qu l rgión stá dd como n l siguint dibujo: 9

20 Entoncs l ár d l rgión pud dtrminrs por l siguint intgrl dfinid: d d c dr i zq c Ár [ ] dy [ G ( y ) H ( y )] dy Ejmplo Ilustrtivo No. : Dtrmin l ár d l rgión limitd por ls curvs y y + y. Dtrminrmos los puntos n dond ls gráfics s intrscn. Sustituyndo y n l cución + y, s obtin: y + y y + y 0 (y + )( y ) 0 y ó y. Cundo y, ( ). Cundo y, (). Lugo, mbs curvs s intrscn n los puntos (, ) y (, ). En l dibujo siguint s mustr l gráfic d l rgión. Dspjndo n términos d y, n mbs cucions, y, y. Vmos qu, cundo vmos d l curv d l izquird y l curv d l drch y, los vlors d y cmbin d y y. Por tnto, l ár d l rgión stá dd por: y y [ dr izq ] [( ) ] Ár dy y y dy y () () ( ) ( ) () ( ) unidds cudrds

21 Si dspjmos pr y n vz d, tnmos qu l rgión strá limitd por ls curvs: y, y y y. Obsrv qu dbmos dividir l rgión n dos: Un dtrmind por ls dos smiprábols y y y n l intrvlo 0 y l otr por l rct y y l smiprábol y n l intrvlo. Por tnto l ár d l rgión stá dd por: 0 0 ( ) / / 0 ( ) / / 0 Ár [ ( )] + [( ) ( )] / / () (0) () / () / + () + () () + () unidds cudrds. Ejrcicios.. A) Dtrmin l ár d cd un d ls siguints rgions: ) y,,. ) y, 0,. ) y,,. ) y, 0,. ) y, 0,. 6) y,,. 7) y, 0,. 8) y, 0,

22 B) Encuntr l ár ntr ls curvs dds dlimitds por ls rcts vrticls siguints: 9) y, y, 0,. 0) y, y +,,. ) y +, y +, 0,. ) y, y,,. ) y +, y 6,,. C) Encuntr l ár ntr ls curvs siguints: ) y, y ) y +, y 6) y, y 7) y +, y + + D) Encuntr l ár ntr ls curvs siguints: 8) y, y ( ) 9) + y 9 0) y, y 6 ) y y, y + y +.6. Suprávit dl Productor y dl Consumidor. Dd l dibujo siguint: En l gráfic, y f() s l curv d dmnd d cirto producto, mintrs qu y g() s l curv d ofrt dl mismo, n dond dnot l cntidd dl producto qu pud vndrs o suministrrs un prcio p culquir. El punto ( 0, p0) s l punto d quilibrio, s dcir n dond l ofrt y l dmnd son iguls. 0 El suprávit dl consumidor stá rprsntdo por l intgrl: SC [ f ( ) p ] El suprávit dl productor stá rprsntdo por l intgrl: SP [ p ( )] 0 0 g Ejmplo Ilustrtivo No. : Ls funcions d ofrt y dmnd pr cirto producto stán dds por:

23 Ofrt: p g() 0 +. Dmnd: p f() 0. Encuntr l suprávit dl Consumidor SC y l suprávit dl productor SP ( + ) ( ) 0, s dscrt por sr ngtivo pusto qu l cntidd no pud sr ngtiv. El prcio d quilibrio s p SC [ f ( ) p ] [(0 ) ] (6 ) unidds montris. SP [ p g( )] [ (0 + )] ( ) unidds montris. 0 Ejrcicios.6. Estblzc l suprávit dl productor y dl consumidor n cd uno d los problms siguints: ) Ofrt: p 8 + Dmnd: p 0. ) Ofrt: p Dmnd: p 0.. ) Ofrt: p 00 + Dmnd: p,000. ) Ofrt: p + 0 Dmnd: p,000 0 ) Ofrt: p Dmnd: p 00. 6) Ofrt: p Dmnd: p, ) Ofrt: p Dmnd: p + 8 8) Ofrt: p + Dmnd: p ) Ofrt: p + Dmnd: p 6 0) Ofrt: p Dmnd: p +