Inferenciasacercade unamediade unapoblación Técnicasinferencialt-test (Cap. 8)

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1 Inferenciasacercade unamediade unapoblación Técnicasinferencialt-test (Cap. 8)

2 INICIO A cuál parámetro se refiere la afirmación? (Proporciones) Use la Dist. Normal con * p p z ; p pq n x n Media o proporción? MEDIA ES n50 SI o n>50? NO Es la distribución de la población básicamente normal? Use la Dist. Normal con NO z * x σ n µ Use métodos no paramétricos que no requieran una Dist. Normal. SI

3 SI n es de distribuciones sin valores extremos Se conoce σ? DS poblacional NO Use la Dist. t-student con Nota importante: Si σ es desconocida y suficientemente"grande" asímetricas ("bias"). t * SI x µ s n ( cumpla TLC) exceptoen muestras extremadamente sesgadas. n 15 provienen de distribuciones uni mod ales, y si t * o 20 z * x µ s n Use la Dist. Normal con x µ σ n las muestras no provienen si los datos casi simétricas (cola"corta") y (RARO) requieren tamaños de muestras más grandes (50),

4 Ej 9.0 A. La media esperada de una población continua es 100. Una muestra aleatoria de 16 mediciones de la población proporciona una media de 96 y D.S. es 12. Con un nivel de significancia de 0.01, se realiza una prueba para decidir entre los enunciados la media poblacional es 100 vs la media poblacional es diferente de 100. Determine o calcular los siguientes: Puntuaciones x ~ N( µ, σ 2 Ho Ha α y 1 α μ x ) Error estándar Error estándar de las medias Grados de libertad(gln 1), Estadístico de prueba t calculado p value

5 Ej 9.0 B. Sea μ la concentración de receptor de suero en todas las mujeres embarazadas. Se conoce que el promedio de todas las mujeres es de Un artículo de una revista profesional, American Journal of Clinical Nutr. Informó que el p value es mayor que 0.10 para una prueba de Ho: μ5.63 vs Ha: μ 5.63 basada en n20 mujeres embarazadas. Use el nivel de significancia α0.01. Las concentraciones de receptor de suero en todas las mujeres embarazadas se comportan normalmente. Ho Ha α y 1 α μ Gradosdelibertad(gln 1) Estadístico de prueba p value Quésepuedeconcluir?????

6 Inferencias concerniente a una media poblacional (Prueba t Student) Resumen (Enfoque Clásico) 1. Describir el parámetro. Establecer las hipótesis la Ha 2. Comprobar los supuestos -Distribución de medias( x 's) -Nivel de medición 2 x ~ N( µ, σ ) Comportanormalmente con media y varianza 3. Identificar la estadística de prueba a utilizar Calcular la estadística de prueba Tomar las decisiones

7 Frases comunes y sus negaciones Ho () es igual; no es diferente; es ( ) por lo menos; no es menor que; mayor o igual que ( ) no más de; no es mayor que, cuando mucho, menor o igual que Ha ( ) no es; diferente de; no es igual a (<)menor que (>) más que; mayor que

8 William Gosset lived from 1876 to 1937 Gosset invented the t -test to handle small samples for quality control in brewing. He wrote under the name "Student". Find out more at: Mathematicians/Gosset.html

9 Propiedades de la Distribución t 1. t está distribuida con una media de cero; 2. t está distribuida simétricamente alrededor de su media; 3. t está distribuida de modo que forma una familia de distribuciones, distinguidas con gl o df n-1 (grados de libertad. Nota importante: gl 1 4. La distribución t se aproxima a la Normal a medida que aumente gl. 5. t está distribuida con una varianza mayor que 1, pero a medida que aumenta gl, la varianza se aproxima a t está distribuida de forma más achatada que la Curva Normal.

10 Ejemplo 9.1 En una conocida prueba de autoimagen que da por resultado valores que se distribuyen de manera normal, se espera que la puntuación promedio de los beneficiarios de asistencia del gobierno sea de 65. El test se aplica a una muestra aleatoria de 28 beneficiarios del gobierno, quienes logran un valor medio de 62.1 con una D.S. de s igual a Al nivel de significancia de 0.01, existe suficiente evidencia para demostrar la afirmación del investigador: los beneficiarios de asistencia gubernamental tienen un puntuación (autoimagen) media menor que lo esperado? Use α 1%0.01. Paso 1: El parámetro de interés es la puntación media de la prueba de autoimagen, µ, para todos los benficiarios de la asistencia del gobierno. Paso 2: Establecer las hipótesis alterna ALTERNA: Qué es lo que vamos a demostrar o probar?

11 Ho: La puntación media de autoimagen de todos los beneficiarios de asistencia del gobierno es 65.0 Ha: µ < 65.0 Paso 3: ALTERNA: La puntación media de autoimagen de todos los beneficiarios de asistencia del gobierno es menor que 65.0 a. Supuestos o sea: -El nivel de medición es Intervalo/Razón -Se espera que las puntuaciones de autoimagen se aproximen a la Distribución Normal - σ es desconocida y n es suficiente grande (TLC)

12 Paso 3: c. El nivel de significancia es α0.01. TABLA t grados de libertad gl n Es una región crítica de una cola (direcciona l) ( < ) izquierda El valor crítico es t ( 27,0.01 ) dado por la tabla de la Dist. t Student

13 Entonces la prueba de hipótesis que se aplicará es t. El nivel de significancia es 01 α 0. t ( 27,0.01) Paso 4: Sustituir en la fórmula de la Estadística de Prueba t x 62.1; n 28 beneficiar ios de ayuda del gobierno ; p t * value x µ s 5.83 n < 0.01 α

14 Paso 5: El valor de la estadística de prueba t * 2.63 p value α está en la REGIÓN CRĺTICA Decisión: p value es menor o igual queα. Rechazo la Ho, es decir Los beneficiarios de la ayuda del gobierno obtienen puntuaciones significativamente menores, en promedio, que la puntación media esperada 65.0 La media observada es menor que 65.0.

15 Ej 9.2. Se conoce que la densidad de la Tierra en relación con la densidad del agua es de g/cm 3, Henry Cavendish, químico y físico inglés ( ), fue el primer científico en medir con precisión la densidad de la Tierra. A continuación se presentan 29 mediciones tomadas en 1798 con una balanza de torsión existe suficiente para probar la afirmación de que la media de los datos de Cavendish es significativamente menor que g/cm 3 (estándar conocido hoy día)? Use el nivel de significancia α0.05. Establecer la Ha Ha: La densidad media de los datos de Cavendish es significativamente menor que g/cm 3 (estándar conocido hoy día) 3 µ < g / cm ( )

16 El nivel de significancia esα TABLA t grados de libertad gl n Es una región crítica de una cola (direcciona l) ( < ) izquierda El valor crítico es t (28,0.05) dado por la tabla de la Distribuci ón t Student

17 Entonces la prueba de hipótesis que se aplicará es t. El nivel de significancia es α t ( 28,0.05) Paso 4: Sustituir en la fórmula de la Estadística de Prueba t x , s x ; n 29 mediciones tomadas en 1798 ; * x µ t s x n 29 p value > α

18 Paso 5: El valor de la estadística de prueba t * 1.68 NO está en la REGIÓN CRĺTICA Decisión: p value es mayor queα. No hay suficiente evidencia para rechazar la Ho, es decir Decisión: La densidad media de los datos de Cavendish no es significativamente menor que g/cm 3 (es aproximadamente 5.517g/cm 3 oseaelestándarconocidohoydía) ( 3 µ g / cm )

19 Ej 9.3. Las lecturas de contaminación del agua en la playa DeMoivre parecen ser menores que las del año anterior. Una muestra de 12 lecturas, medidas en términos coliform/100 ml, se seleccionó aleatoriamente de los registros de las lecturas diarias de este año existe suficiente para probar la afirmación de que la media de los lecturas de contaminación de este año es significativamente menor que la media del año pasado de 3.8 coliform/100 ml? Use el nivel de significancia α0.01. Suponer que todas las lecturas se comportan normalmente. Establecer la Ha Ha: La media de los lecturas de contaminación de este año es significativamente menor que la media del año pasado de 3.8 µ < 3.8 coliform / 100 ml coliform/100 ml ( )

20 El nivel de significancia esα TABLA t grados de libertad gl n Es una región crítica de una cola (direcciona l) ( < ) izquierda El valor crítico es t (11,0.01) dado por la tabla de la Distribuci ón t Student

21 Entonces la prueba de hipótesis que se aplicará es t. El nivel de significancia es α t ( 11,0.01) Paso 4: Sustituir en la fórmula de la Estadística de Prueba t x , s x ; n 12 lecturas de conta min ación; p * x t value µ s x n > α

22 Paso 5: El valor de la estadística de prueba t * 1.90 NO está en la REGIÓN CRĺTICA Decisión: p value es mayor queα. No hay suficiente evidencia para rechazar la Ho, es decir Decisión: La media de los lecturas de contaminación de este año es mayor o igualquelamediadelañopasadode3.8coliform/100ml ( µ 3.80 coliform / 100 ml )

23 Ej 9.4. Se ha sugerido que los niños varones con anormalidades tiendenanacerdepadresmásviejosqueelpromedioverdaderode 28.0 (edad media a la que las madres en la población general dan a luz). Se obtuvieron historias de casos de 20 niños varones con anormalidades y las edades de las 20 madres fueron las siguientes: existe suficiente para probar la afirmación de que? Use el nivel de significancia α0.05. Suponer que todas las edades se comportan normalmente. Establecer la Ha Ha: Los niños varones con anormalidades tienden a nacer de padres más viejos que el promedio verdadero de 28.0 (edad media alaquelasmadresenlapoblacióngeneraldanaluz) ( µ > 28.0 años )

24 El nivel de significancia esα TABLA t grados de libertad gl n Es una región crítica de una cola (direcciona l) ( > ) derecha El valor crítico es t (19,0.05) dado por la tabla de la Distribuci ón t Student

25 Entonces la prueba de hipótesis que se aplicará es t. El nivel de significancia es α t ( 19,0.05) Paso 4: Sustituir en la fórmula de la Estadística de Prueba t x 31.45, s x 8.049; n 20 madres; * x µ t s x n 20 p value α

26 Paso 5: El valor de la estadística de prueba t * 1.92 p value α está en la REGIÓN CRĺTICA Decisión: p value es menor o igual queα. Rechazar la Ho, es decir Decisión: Los niños varones con anormalidades tienden a nacer de padres másviejosqueelpromedioverdaderode28.0(edadmediaalaque lasmadresenlapoblacióngeneraldanaluz) ( µ > 28.0 años )

27 Ej 9.5. Una muestra de 26 trabajadores de una plataforma petrolera marina participaron en un simulacro de escape (Oxigen Consumption and Ventilation During Escape from an Offshore Plataform, Ergonomics (1997)) sobre el tiempo de escape (s) con mediade sydesviaciónestándarde 24.36sSupongaquelos investigadores creyeron de antemano (establecido) que el tiempo promedio de escape verdadero sería menor o igual que 6.0 minutos. Existe suficiente para contradecir la afirmación de la creencia de antemano? Use el nivel de significancia α0.01. Establecer la Ha Ha:

28 Ejercicio 9.6: Una psicóloga del CEG desea determinar si el tiempo promedio que tarda un conductor adulto en reaccionar a cierta situación de urgencia es en realidad 80 s, como lo ha afirmado un investigador del Departamento de Física-Matemáticas. Decide seleccionar una muestra aleatoria de 26 conductores con los siguientes tiempos: Existe suficiente evidencia para demostrar que el tiempo promedio en reaccionar a una urgencia es diferente de 80.0 s? Useα10%.

29 Ejercicio 9.7 Pepita Jimenez es una comediante de centros nocturnos que graba en video sus actuaciones y registra el total de los tiempos que ella debe esperar a que el público deje de reír. A continuación se dan los tiempos (en s) para 15 actuaciones distintas en las que usó una nueva rutina. Existe suficiente evidencia para demostrar que el tiempo Promedio de todas las actuaciones con la nueva rutina es diferente de 63.2 segundos (s)? Cree usted que su nueva rutina es mejor? Useα