Juan Carlos Colonia DISTRIBUCIONES DISCRETAS IMPORTANTES

Transcripción

1 Juan Carlos Colonia DISTRIBUCIONES DISCRETAS IMPORTANTES

2 BIBLIOGRAFÍA Walpole, Ronal E., Myres, Raymond H., Myres, Sharon L.: Probabilidad y Estadística para Ingenieros. McGraw Hill-Interamericana. Canavos G. Probabilidad y Estadística, Aplicaciones y Métodos. México: Editorial Mc Graw Hill.

3 ALGUNAS DISTRIBUCIONES DISCRETAS IMPORTANTES Entre las principales distribuciones discretas tenemos: Distribución Binomial Distribución de Poisson Distribución Hipergeométrica

4 DISTRIBUCIÓN BINOMIAL

5 ENSAYO DE BERNOULLI Un ensayo de Bernoulli es un experimento aleatorio que tiene únicamente dos resultados posibles. Observaciones: 1. Los resultados de un ensayo de Bernoulli suelen ser denominados Éxito y Fracaso ; los cuales no tienen connotación de bueno y malo respectivamente. 2. Como el experimento solo tiene dos resultados, el termino éxito hace referencia a la ocurrencia del evento de interés y el termino fracaso al evento contrario, es decir al complemento.

6 ENSAYO DE BERNOULLI Ejemplos: Al inspeccionar un proceso de producción, si se encuentra algún producto defectuoso el proceso es detenido y sometido a revisión., encontrar un producto defectuoso constituye éxito. Un sistema eléctrico puede que funcione o no, se considera éxito que el sistema funcione y fracaso que no funcione. Un conmutador en ON/OFF, un servidor con conexión o sin ella, un fusible defectuoso o no defectuoso, etc. 3. El resultado éxito toma el valor 1 y fracaso el valor La probabilidad de éxito es p y de fracaso (1 p).

7 DISTRIBUCIÓN DE BERNOULLI Definición: Una variable aleatoria X tiene distribución de Bernoulli con parámetro p si su función de probabilidad esta dado por: X x 1 x f x p 1 p x 0, 1 Notación: X B p Características numéricas: E X p VX p1p

8 ENSAYO BINOMIAL Un ensayo binomial se caracteriza por: 1. Constan de n ensayos de Bernoulli. 2. Los resultados en cada ensayo pueden clasificarse como éxito o fracaso. 3. Los ensayos son independientes. 4. La probabilidad p de éxito en cada ensayo es constante. Es decir un ensayo binomial consiste de n ensayos independientes de Bernoulli, cada uno de los cuales con igual probabilidad p de éxito.

9 DISTRIBUCIÓN BINOMIAL Se emplea para conocer la probabilidad de obtener un número determinado de éxitos al realizar n ensayos de Bernoulli. Definición: Una variable aleatoria X tiene distribución Binomial con parámetros n y p si su función de probabilidad esta dado por: n fx x p 1 p x x n x x 0,1, 2,..., n Notación: X B n,p

10 DISTRIBUCIÓN BINOMIAL Función de distribución: Características numéricas: E X np V X np 1 p 0 x 0 x n i ni FX x p 1 p 0 x n i0 x 1 x 1

11 DISTRIBUCIÓN BINOMIAL Grafico de la Distribución Binomial con n = 10 y p = 0.5 Grafico Función de Probabilidad Grafico Función de Distribución

12 DISTRIBUCIÓN BINOMIAL Ejemplo: Si el 20% de las piezas producidas por una maquina son defectuosas, cual es la probabilidad de que entre cuatro piezas elegidas al azar, a lo sumo 2 sean defectuosas? X : Número de piezas defectuosas X B 4, 0.2 La probabilidad de que entre cuatro piezas elegidas al azar, a lo sumo 2 sean defectuosas es x Px 2 FX 2 p 1 p x0 x

13 DISTRIBUCIÓN DE POISSON

14 PROCESO POISSON Un proceso Poisson se refiere a eventos que ocurren en un intervalo continuo (intervalo de tiempo, longitud, región de espacio, etc.) que satisface las siguientes condiciones: 1. El número de resultados que ocurren en un intervalo de tiempo o en una región especifica son independientes del número de resultados que ocurren en cualquier otro intervalo o región. 2. La probabilidad de que ocurra un solo resultado en un intervalo muy pequeño o región muy pequeña es proporcional a la longitud de dicho intervalo y no depende del número de resultados que se produzcan fuera de este intervalo o región. 3. La probabilidad de que ocurran más de un resultado en un intervalo de tiempo muy pequeño o en una región muy pequeña es prácticamente nula.

15 DISTRIBUCIÓN DE POISSON La distribución de Poisson se emplea cuando se desea calcular la probabilidad de ocurrencias de un evento en un intervalo continuo determinado. Definición: Una variable aleatoria X tiene distribución de Poisson con parámetros 0 si su función de probabilidad esta dado por: t e t f X x x x 0,1, 2,..., n x! Donde es el número promedio de resultados y t es el intervalo continuo.

16 DISTRIBUCIÓN DE POISSON Notación: X P Función de distribución: 0 x 0 x t i FX x e t i0 i! Características numéricas: EX VX x 0

17 DISTRIBUCIÓN DE POISSON Grafico de la Distribución de Poisson con λ = 0.5 Grafico Función de Probabilidad Grafico Función de Distribución

18 DISTRIBUCIÓN DE POISSON Ejemplo: Durante un experimento de laboratorio el número promedio de partículas radiactivas que pasa a través de un contador en un milisegundo es cuatro. Cuál es la probabilidad de que seis partículas entren al contador en un milisegundo? X: Número de piezas defectuosas X P4 La probabilidad de que entren seis partículas 6 4 e 4 P x 6 fx !

19 DISTRIBUCIÓN HIPERGEOMÉTRICA

20 DISTRIBUCIÓN HIPERGEOMÉTRICA Sea el experimento aleatorio que consiste en seleccionar una muestra aleatoria de tamaño n (n N) de una población de tamaño N, dividida en dos subpoblaciones disjuntas de tamaños K y (N K). Los K elementos de N se puede clasificar como éxito y los (N K) como fracasos. Interesa saber el número de elementos en la muestra de tamaño n que pertenecen a la subpoblación K, es decir el número de éxitos en la muestra.

21 DISTRIBUCIÓN HIPERGEOMÉTRICA

22 DISTRIBUCIÓN HIPERGEOMÉTRICA Se emplea para calcular la probabilidad de obtener un número determinado de éxitos en una muestra de tamaño n proveniente de una población de tamaño N. Definición: Una variable aleatoria X tiene distribución Hipergeométrica con parámetros N, n y k si su función de probabilidad esta dado por: k N k x n x fx x x 0,1, 2,..., n N Notación: X HN,n,k n

23 DISTRIBUCIÓN HIPERGEOMÉTRICA Función de distribución: 0 x max 0, n N K k N k x i n i FX x max 0, n N K x min n, K i0 N n 1 x minn, K Características numéricas: E X K n N K N K N n V X n N N N 1

24 DISTRIBUCIÓN HIPERGEOMÉTRICA Grafico de la Distribución Hipergeométrica con N = 1,000 K = 200 y n = 10 Grafico Función de Probabilidad Grafico Función de Distribución

25 DISTRIBUCIÓN HIPERGEOMÉTRICA Ejemplo: Una caja contiene 9 baterías de las cuales 4 están en buen estado. Se toma una muestra de tres baterías. Cuál es la probabilidad de que se obtenga al menos una batería en buen estado? X: Número de baterías defectuosas X H 9, 3, 4 Probabilidad de que se obtengan al menos una batería en buen estado Px 1 1 Px 1 1 Px